平方差公式与完全平方公式试题含答案

乘法公式的复习

一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2= x 2y 2-(z 2+2zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。 解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =24096 =161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32 =10000+600+9 =10609

（2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22 =40000-800+4 =39204 例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2 （2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4 例9．解下列各式

（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。 （2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2

-b )=2，求22

2

a b ab +-的值。

（4）已知13x x -=，求441

x x

+的值。

分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未

知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6

∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4

∴ a 2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即2211

2

a b += ①-②得 4ab =3，即34

ab =

（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22

112222

a b =-=⨯-=

（4）由13x x -=，得19x x 2

⎛⎫-= ⎪

⎝⎭ 即22129x x +-= 2

2111x x ∴+= 221121x x 2

⎛⎫∴+= ⎪⎝

⎭ 即4412121x x ++= 4

41119x x += 例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=52

2⨯3⨯4⨯5+1=121=112 3⨯4⨯5⨯6+1=361=192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。 解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数

则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1 =(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n +1)2

∵n 是整数，∴ n 2，3n 都是整数 ∴ n 2+3n +1一定是整数

∴(n 2+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。 例1. 计算：()()

53532222x y x y +- 解：原式()()

=-=-5325922

22

44x

y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：()()()(

)

111124-+++a a a a

解：原式()()()=-++1112

2

4

a a a ()()=-+=-11144

8

a a a