2020高考数学分类汇编解析版(1)

2020 高考数学分类汇编解析版（ 1）

专题 01 集合与常用逻辑用语

专题 02

函数的概念与基本初等函数 I

专题 03

导数及其应用

专题 04

立体几何

专题 05

平面解析几何

专题 01 集合与常用逻辑用语

1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合 M = {x | -4 < x < 2}, N = {x | x 2 - x - 6 < 0}，则 M I N =

A ． {x -4 < x < 3}

C ． {x -2 < x < 2}

B ．{x -4 < x <- 2}

D ．{x 2 < x < 3}

【答案】C

【解析】由题意得 M = {x | -4 < x < 2}, N = {x | x 2 - x - 6 < 0} = {x | -2 < x < 3}， 则 M I N = {x | -2 < x < 2}．

故选 C ．

2．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】设集合 A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则 A ∩B =

A ．(–∞，1)

C ．(–3，–1) B ．(–2，1)

D ．(3，+∞)

{ }

【

【解析】∵ eU A = { - 1,3} ，∴ e A I B = {-1} .

【答案】A

【解析】由题意得， A = {x | x 2 - 5x + 6 > 0} = {x | x < 2 或 x > 3}， B = {x | x -1 < 0} = {x | x < 1} ，则

A I

B = {x | x < 1} = (-∞,1)．

故选 A ．

3．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合 A = {-1,0,1,2}, B = {x | x 2 ≤ 1} ，则 A I B =

A ． {-1,0,1}

C ． {-1,1}

B ． {0,1}

D ． {0,1,2}

【答案】A

【解析】∵ x 2 ≤ 1, ∴ -1 ≤ x ≤ 1 ，∴ B = x -1 ≤ x ≤ 1 ，

又 A = {-1,0,1,2} ，∴ A I B = {-1,0,1}.

故选 A ．

4． 2020 年高考天津理数】设集合 A = {-1,1,2,3,5}, B = {2,3,4}, C = {x ∈ R |1 ≤ x < 3}，则 ( A I C ) U B =

A ． {2}

C ． {-1,2,3}

B ． {2,3}

D ． {1,2,3,4 }

【答案】D

【解析】因为 A I C = {1,2} ，所以 ( A I C ) U B = {1,2,3,4} .

故选 D .

5．【2020 年高考浙江】已知全集U = {-1,0,1,2,3 }，集合 A = {0,1,2}， B = {-1,0,1}，则 (e A) I B =

U

A ． {-1}

C ． {-1,2,3}

B ． {0,1}

D ． {-1,0,1,3}

【答案】A

( )

U

故选 A.

6．【2020 年高考浙江】若 a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a>0,b>0时，a+b≥2ab，则当a+b≤4时，有2ab≤a+b≤4，解得a b≤4，充分性成立；

当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，

综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.

故选A.

7．【2020年高考天津理数】设x∈R，则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的

A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由x2-5x<0可得0

由0

故0

即“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.

故选B.

8．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行C．α，β平行于同一条直线B．α内有两条相交直线与β平行D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.

故选B．

uuur uu u uuur uuur uuur 9．【2020年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”

r

v v

v

uuuv v

的

A ．充分而不必要条件

C ．充分必要条件

B ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

uuuv uuu uuur uuuv uuu uuuv uuuv 【解析】∵A ?B ?C 三点不共线，∴| AB + AC |>| BC | ? | AB + AC |>| AC - AB |

uuuv uuu uuuv uuuv uuur uuur uuuv ? | AB + AC |2>| AC - AB |2 ? AB · AC >0 ? AB 与 AC 的夹角为锐角，

uuuv uuuv uuuv uuu uuur 故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC |”的充分必要条件.

故选 C.

10．【2020 年高考江苏】已知集合 A = {-1,0,1,6} ， B = {x | x > 0, x ∈ R } ，则 A I B = ▲.

【答案】{1,6}

【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知， A I B = {1,6} .

专题 02

函数的概念与基本初等函数 I

1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a = log 0.2，b = 20.2，c = 0.2 0.3 ，则

2

A ． a < b < c

C ． c < a < b

【答案】B

【解析】 a = log 2 0.2 < log 2 1 = 0, b = 20.2 > 20 = 1,

0 < c = 0.20.3 < 0.20 = 1, 即 0 < c < 1,

则 a < c < b ．

故选 B ．

2．【2020 年高考天津理数】已知 a = log 2 ， b = log

5

A ． a < c < b

C ． b < c < a

【答案】A

B ． a < c < b

D ． b < c < a

0.50.2 ， c = 0.50.2，则 a, b , c 的大小关系为

B ． a < b < c

D ． c < a < b

2

1 lg 1 ，其中星等为 m 的星的亮度为 E （k=1，2）．已知太阳的星等是 26.7，天狼星

2 E

lg 1 ， 5 5

【解析】因为 a

log 2

log

5

1

5

5

，

b log 0.2 log 0.25 2 ，

0.5

0.5

1 0.5 c 0.50.

2 0.5 ，即

c 1，

2

所以 a

c b .

故选 A.

3．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】若 a>b ，则

A ．ln(a b)>0

C ．a 3 b 3>0

B ．3a <3 b

D ．│a│>│b│

【答案】C

【解析】取 a

2,b 1 ，满足 a

b ，但 ln(a b) 0 ，则 A 错，排除 A ；

由 9 32

31 3 ，知 B 错，排除 B ；

取 a 1,b 2 ，满足 a b ，但 |1|| 2 |，则 D 错，排除 D ；

因为幂函数 y

x 3是增函数， a b ，所以 a 3 b 3 ，即 a 3 b 3>0 ，C 正确.

故选 C ．

4．【2020 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度

满

足 m 2 m 1=

5 E 2

k k

的星等是 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A ．1010.1

C ．lg10.1

【答案】A

B ．10.1

D ．10 10.1

【解析】两颗星的星等与亮度满足 m

令 m 2

1.45,m

26.7，

1

2 m

1

5

E 2 E

2

则 lg E

E 1

2

2 2

m m

2 1

( 1.45 26.7) 10.1,

从而 1 = 1010.1 .

【解析】由 f (- x ) = sin(- x) + (- x) 2 1 + 2 = 4 + 2π > 1, f (π) =

又 f ( ) =

( )2

π

E

E

2

故选 A.

5．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f (x )= sinx + x

cosx + x 2

在 [-π, π] 的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

- sin x - x

=

= - f ( x ) ，得 f ( x ) 是奇函数，其图象关于原点对称． cos(- x )+ (- x ) cos x + x 2

π 2 π

2

2

π π -1 + π 2 > 0 ，可知应为 D 选项中的图象．

故选 D ．

6．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】函数 y =

2 x

3 2x + 2- x

在 [-6,6]的图像大致为

A ．

B ．

2 且单调递增，函数 y = log a x +

C ．

D ．

【答案】B

【解析】设 y = f ( x ) = 2 2 x 3 x + 2- x ，则 f (- x ) = 2(- x )3 2 x 3

=-

2- x + 2x 2x + 2- x

= - f ( x ) ，所以 f ( x ) 是奇函数，图

象关于原点成中心对称，排除选项 C ．

又 f (4) = 2 ? 43 24 + 2-4

> 0, 排除选项 D ；

f (6) = 2 ? 63 26 + 2-6

≈ 7 ，排除选项 A ，

故选 B ．

7．【2020 年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数 y =

1

a x

，

1

y = log ( x + ) (a >0，且 a ≠1)的图象可能是

a

【答案】D

【解析】当 0 < a < 1 时，函数 y = a x 的图象过定点 (0,1) 且单调递减，则函数 y =

1

的图象过定点 (0,1)

a x

? ?

1 ? 1 ? 的图象过定点 ( ,0) 且单调递减，D 选项符合；

2 ? 2

当 a > 1 时，函数 y = a

x 的图象过定点

(0,1) 且单调递增，则函数 y =

1

的图象过定点 (0,1) 且单调递减，

a x

函数 y = log x + ? 的图象过定点 ( ,0）且单调递增，各选项均不符合.

R ，L 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：

(R + r ) R C ． 3

D ． 3 因为

M

2 2

? 1 ? 1

a ? 2 ? 2

综上，选 D.

8．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】2020 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着

陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测

器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 点的轨 2

道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为

2 M 1 2 + M r 2

2 = (R + r ) M

1 . 3

r

设 α = ，由于 α 的值很小，因此在近似计算中

R

3α 3 + 3α 4 + α 5 (1+ α )2

≈ 3α 3 ，则 r 的近似值为

A ．

M

M

2 R

1

B ．

M

2

R

2M

1

3M

2 R M

1

【答案】D

【解析】由 α = r

，得 r = α R ，

R

M M

1 +

2 = ( R + r ) 1 ，

( R + r )2 r 2 R 3

M

2 R 3M

1

所以

M M M

1 + = (1+ α ) 1 ， R

2 (1+ α )2 α 2 R 2 R 2

即 M M 2 = α 2[(1+ α ) -

1

1 α 5 + 3α 4 + 3α 3

] = ≈ 3α 3 ， (1+ α ) (1+ α )2

解得 α = 3

M

2 ， 3M

1

所以 r = α R =

故选 D.

3

M

2 R. 3M

1

A ． f （log 3 ）＞ f （ 2- 2 ）＞ f （ 2- 3 ）

B ． f （log 3 ）＞ f （ 2- 3 ）＞ f （ 2- 2 ）

C ． f （ 2- 2 ）＞ f （ 2- 3 ）＞ f （log 3 ）

D ． f （ 2- 3 ）＞ f （ 2- 2 ）＞ f （log 3 ）

-

2

2

-

Q log 4 > log 3 = 1,1 = 2 > 2 > 2 ,∴ l og 4 > 2

> 2 ，

∴ f (log 4) < f 2- 3 ? < f 2- 2 ? ，

? ? ? ? 即 f 2 2 ? > f 2 3 ? > f log 3 4 ?

f (x) = x(x - 1) ．若对任意 x ∈ (-∞, m ] ，都有 f ( x ) ≥ - ，则 m 的取值范围是

A ． -∞, ?

B ． -∞, ?

C ． -∞, ? 2?

D ． -∞,

?

9 ?

4 ?

x ∈ (1,2] 时， x -1∈ (0,1]， f ( x) = 2 f ( x - 1) = 2( x - 1)(x - 2) ∈ ?- ,0 ? ；

9．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】设 f (x )是定义域为 R 的偶函数，且在 (0,+ ∞)单调递减，则

1 3

2 4

1 2 3

4 3 2

1 4

2 3

1 4

【答案】C

【解析】Q f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，∴ f (log 3 - 3

3 3

3

3

又 f (x )在(0，+∞)上单调递减，

? 2 ? ? 3 ?

3

1 ?

? - 3 ? ? - 2 ? ? ? .

? ? ? ?

? 1 4

2 3

) = f (log 4) ．

3

- 3 2

故选 C ．

10．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，满足 f (x + 1) = 2 f (x) ，且当 x ∈ (0,1] 时，

8 9 ? ? 7 ? ? ?

3 ? ? 5 ? ? 8 ? ? ?

3 ?

【答案】B

【解析】∵ f (x + 1) = 2 f (x) ，∴ f ( x ) = 2 f ( x - 1) ．

∵ x ∈ (0,1] 时， f (x) = x(x - 1) ∈[- 1 4

,0] ；

∴

? 1 ?

? 2 ?

9 3 3

-∞, ? .

11．2020 年高考浙江】已知 a, b ∈ R ，函数 f ( x ) = ?1 1

．若函数 y = f ( x ) - ax - b ?

当 x ≥0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b = 1x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b = 1x 3

（a +1）x 2﹣b ，

∴ x ∈ (2,3] 时， x -1∈ (1,2]， f ( x ) = 2 f ( x -1) = 4( x - 2)(x - 3) ∈[-1,0] ，

如图：

当 x ∈ (2,3] 时，由 4( x - 2)( x - 3) = - 8 解得 x = 1 7 8

， x = ，

2

8 7

若对任意 x ∈ (-∞, m ] ，都有 f ( x ) ≥ - ，则 m ≤ .

9 3

? 则 m 的取值范围是

?

7 ? 3 ?

故选 B.

? x , x < 0 ?

【 ? 3 x 3 - 2 (a + 1)x 2 + ax, x ≥ 0

恰有 3 个零点，则

A ．a <–1，b <0

B ．a <–1，b >0

C ．a >–1，b <0

D ．a >–1，b >0

【答案】C

【解析】当 x ＜0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得 x =

b 1a

，

则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 1

1 3

2 3

2

y ' = x 2 - (a + 1)x ，

当 a +1≤0，即 a ≤﹣1 时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，

则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；

b

b＞0

＜0且{1

6

（a+1）3，

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，

令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，

如图：

∴

1a(a+1)31(a+1)(a+1)2

32

，b＜0

解得b＜0，1﹣a＞0，b＞1

则a>–1，b<0.

故选C．

12．【2020年高考江苏】函数y=7+6x-x2的定义域是▲.

【答案】[-1,7]

【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.

由已知得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0，解得-1≤x≤7，

故函数的定义域为[-1,7].

13．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-e ax.若f(ln2)=8，则a= __________．

【答案】-3

【解析】由题意知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-e ax，

又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，

( )

( )

所以 -e -a ln 2 = -8 ，

两边取以 e 为底数的对数，得 -a ln 2 = 3ln 2 ，

所以 -a = 3 ，即 a = -3 ．

14．【2020 年高考北京理数】设函数 f (x ) = e x + a e - x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；

若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．

【答案】 -1

(-∞,0 ]

【解析】首先由奇函数的定义得到关于 a 的恒等式，据此可得 a 的值，然后利用 f '( x ) ≥ 0 可得 a 的取 值范围.

若函数 f (x ) = e x + a e - x 为奇函数，则 f (- x ) = - f (x ), 即 e - x + a e x = - e x + a e - x ，

即 (a + 1) e x + e - x = 0 对任意的 x 恒成立，

则 a +1 = 0 ，得 a = -1 .

若函数 f (x ) = e x + a e - x 是 R 上的增函数，则 f '( x ) = e x - ae - x ≥ 0 在 R 上恒成立，

即 a ≤ e 2x 在 R 上恒成立，

又 e 2 x > 0 ，则 a ≤ 0 ，

即实数 a 的取值范围是 (-∞,0 ]

.

15．【2020 年高考浙江】已知 a ∈ R ，函数 f ( x ) = ax 3 - x ，若存在 t ∈ R ，使得 | f (t + 2) - f (t ) |≤

则实数 a 的最大值是___________.

4 【答案】

3

2 3

，

【解析】存在 t ∈ R ，使得 | f (t + 2) - f (t ) |≤ 2 3

，

即有 | a(t + 2)3 - (t + 2) - at 3 + t |≤

化为 | 2a (3t 2

+ 6t + 4)- 2 |≤

2

，

3

2 3

，

- ≤ 2a (3t 2 + 6t + 4)- 2 ≤ 即 2 ≤ a (3t 2 + 6t + 4)≤

因为 y ?

= 15 ，所以 x 的最大值为15 . ?8? 2，且 f ( x ) 是奇函数 .当 x ∈ (0, 2] 时， f ( x ) = 1 - ( x - 1)2 ， g ( x ) = ? 1

，其中 k >0. ?? 2

可得 2 2 3 3

，

4 3 3

，

由 3t 2 + 6t + 4 = 3(t + 1)2 + 1 ≥ 1 ，可得 0 < a ≤ 4

3

.

则实数 a 的最大值是

4

3

.

16．【2020 年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西

瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促

销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到

支付款的 80%．

①当 x =10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为

__________．

【答案】①130；②15

【解析】① x = 10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付 (60 + 80)-10 = 130 元.

②设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元，

当 y < 120 元时，李明得到的金额为 y ? 80% ，符合要求；

当 y ≥ 120 元时，有 (y - x )? 80% ≥ y ? 70% 恒成立，

即 8 ( y - x ) ≥ 7 y , x ≤ y

8

，

min

综上，①130；②15.

17．【2020 年高考江苏】设 f ( x ), g ( x ) 是定义在 R 上的两个周期函数， f ( x ) 的周期为 4， g ( x ) 的周期为

?k ( x + 2),0 < x ≤ 1 ?

- ,1 < x ≤ 2

3 4 ??

∴ ≤ k < ，

综上可知，满足 f ( x ) = g ( x ) 在(0,9]上有 8 个不同的实数根的 k 的取值范围为 ? ， ? .

?

若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f ( x ) = g ( x ) 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是

▲ .

? 1 2 ?

【答案】 ? , ? ?

【解析】作出函数 f ( x ) ， g ( x ) 的图象，如图：

由图可知，函数 f ( x ) = 1 - ( x - 1)2 的图象与 g ( x ) = -

1

2

(1< x ≤ 2,3 < x ≤ 4,5 < x ≤ 6,7 < x ≤ 8) 的

图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f ( x ) = g ( x ) 有 2 个不同的实数根，

要使关于 x 的方程 f ( x ) = g ( x ) 有 8 个不同的实数根，

则 f ( x ) = 1 - ( x - 1)2 , x ∈ (0,2] 与 g ( x ) = k ( x + 2), x ∈ (0,1]的图象有 2 个不同的交点，

由 (1,0) 到直线 kx - y + 2k = 0 的距离为 1，可得 | 3k | = 1 ，解得 k = 2 (k > 0) ， k 2 + 1 4

∵两点 ( - 2,0),(1,1)连线的斜率 k = 1

3

，

1 2 3 4

? 1 2 ? ? 3 4 ?

专题 03

导数及其应用

1．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，a e ）处的切线方程为 y =2x +b ，则

A ． a = e ，b = -1

B ．a=e ，b =1

x>1.若关于x的不等式f(x)≥0

【

1-x=-(1-x-1)2

1-x=-

(1-x)2-2(1-x)+1

=- 1-x+

1

1-x-

2?≤-

?

2(1-x)?-2??=0，

1-x，即

x=0时取等号，

当x>1时，f(x)=x-a ln x≥0，即a≤

x

ln x，则h'(x)=

C．a=e-1，b=1D．a=e-1，b=-1【答案】D

【解析】∵y'=ae x+ln x+1,

∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2，∴a=e-1，

将(1,1)代入y=2x+b，得2+b=1,b=-1.

故选D．

?x2-2ax+2a,x≤1, 2．2020年高考天津理数】已知a∈R，设函数f(x)=?

?x-a ln x,在R上恒成立，则a的取值范围为

A．[0,1] C．[0,e]B．[0,2] D．[1,e]

【答案】C

【解析】当x=1时，f(1)=1-2a+2a=1>0恒成立；

当x<1时，f(x)=x2-2ax+2a≥0?2a≥

x2

x-1恒成立，

令g(x)=

x2

x-1，

则g(x)=-x2

1-x

???1?

???1-x?

当1-x=

1

∴2a≥g(x)max=0，则a>0.

ln x恒成立，

令h(x)=x ln x-1

(ln x)2，

3． 2020 浙江）已知a, b ∈ R ，函数 f ( x ) = ? 1 1 ．若函数 y = f ( x ) - ax - b 恰有 ?

当 x ≥0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b = 1x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b = 1x 3

（a +1）x 2﹣b ，

当 x > e 时， h '( x ) > 0 ，函数 h( x ) 单调递增，

当 0 < x < e 时， h '( x ) < 0 ，函数 h( x ) 单调递减，

则 x = e 时， h( x ) 取得最小值 h(e) = e ，

∴ a ≤ h( x)min = e ，

综上可知， a 的取值范围是 [0,e] .

故选 C.

? x , x < 0 ?

（

? 3 x 3 - 2 (a + 1)x 2 + ax, x ≥ 0

3 个零点，则

A ．a <–1，b <0

B ．a <–1，b >0

C ．a >–1，b <0

D ．a >–1，b >0

【答案】C

【解析】当 x ＜0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得 x =

b 1a

，

则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 1

1 3

2 3

2

y ' = x 2 - (a + 1)x ，

当 a +1≤0，即 a ≤﹣1 时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，

则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；

当 a +1＞0，即 a >﹣1 时，令 y ′＞0 得 x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，

令 y ′＜0 得 x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.

根据题意，函数 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有 3 个零点?函数 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，

在[0，+∞）上有 2 个零点，

如图：

1+

解得b＜0，1﹣a＞0，b＞（a+1）3，

0)设斜率为-1的直线与曲线y=x+(x>0)切于00

(x,x+)，

由1-4

=-1得x=2（x=-2舍去），

∴b

1a ＜0且{

b

(a

＞0

1)31(a+1)(a+1)2

32

，

b＜0

1

6

则a>–1，b<0.

故选C．

4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】曲线y=3(x2+x)e x在点(0，处的切线方程为____________．【答案】3x-y=0

【解析】y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,

所以切线的斜率k=y'|x=0=3，

则曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x，即3x-y=0．

5．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+线x+y=0的距离的最小值是▲.

【答案】4

44

【解析】由y=x+(x>0)，得y'=1-

，

x x2

44

x x

x200

04

x

(x>0)上的一个动点，则点P到直

则曲线 y = ln x 在点 A 处的切线为 y - y = ( x - x ) ，

即 y - ln x =

x

- 1 ， x 将点 (-e, -1)代入，得 -1 - ln x

∴曲线 y = x + 4 x

( x > 0) 上，点 P( 2,3 2) 到直线 x + y = 0 的距离最小，最小值为

2 +

3 2

12 + 12 = 4 .

故答案为 4 ．

6．【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y =ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过

点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是

▲ .

【答案】 (e, 1)

【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.

设点 A (x , y 0 0

1 又 y ' =

，

x

) ，则 y

= ln x .

当 x = x 时， y ' = 0

1 x 0

，

1 x

0 = -e x

- 1 ，

即 x 0 ln x 0 = e ，

考察函数 H (x ) = x ln x ，

当 x ∈ (0,1)时， H (x ) < 0 ，当 x ∈ (1, +∞)时， H (x ) > 0 ，

且 H ' (x ) = ln x + 1 ，

当 x > 1 时， H ' (x ) > 0, H (x )单调递增，

注意到 H (e ) = e ，

故 x 0 ln x 0 = e 存在唯一的实数根 x 0 = e ，

此时 y 0 = 1 ，

若函数 f (x ) = e x + a e - x 为奇函数，则 f (- x ) = - f (x ), 即 e - x + a e x = - e x + a e - x ， ( )

（1） f '( x ) 在区间 (-1, ) 存在唯一极大值点；

当 x ∈ -1, ? 时， g' ( x) 单调递减，而 g' (0) > 0, g' ( ) < 0 ，可得 g' ( x) 在 -1, ? 有唯一零点，

? 时， g' ( x) < 0 .

?

2 ?

单调递减，故 g ( x) 在 -1, ? 存在唯一极大值点，即 f ' ( x) ?

故点 A 的坐标为 (e,1).

7．【2020 年高考北京理数】设函数 f (x ) = e x + a e - x （a 为常数）．若 f （x ）为奇函数，则 a =________；

若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．

【答案】 -1

(-∞,0 ]

【解析】首先由奇函数的定义得到关于 a 的恒等式，据此可得 a 的值，然后利用 f '( x ) ≥ 0 可得 a 的取

值范围.

(

)

即 (a + 1) e x + e - x = 0 对任意的 x 恒成立，

则 a +1 = 0 ，得 a = -1 .

若函数 f (x ) = e x + a e - x 是 R 上的增函数，则 f '( x ) = e x - ae - x ≥ 0 在 R 上恒成立，

即 a ≤ e 2x 在 R 上恒成立，

又 e 2 x > 0 ，则 a ≤ 0 ，

即实数 a 的取值范围是 (-∞,0 ]

.

8．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f ( x ) = sin x - ln(1+ x) ， f '( x ) 为 f ( x ) 的导数．证明：

π

2

（2） f ( x ) 有且仅有 2 个零点．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）设 g ( x ) = f ' ( x ) ，则 g ( x ) = cos x -

1

1 + x 1 ， g' ( x ) = - sin x + .

(1+ x)2

? π? π ? π?

?

2 ?

2

?

2 ?

设为 α .

则当 x ∈ (-1,α ) 时， g' ( x) > 0 ；当 x ∈ α , ?

π? 2 ?

所以 g ( x) 在 (-1,α ) 单调递增，在 α , ?

π? ?

? π? ? 2 ?

在 -1, ? 存在唯一极大值点.

（ii ）当 x ∈ 0, ? 时，由（ 1）知， f ' ( x) 在 (0, α ) 单调递增，在 α , ? 单调递减，而 f ' (0)=0 ，

f ' ? < 0 ，所以存在 β ∈ α , ? ，使得 f ' (β ) = 0 ，且当 x ∈ (0, β ) 时， f ' ( x) > 0 ；当 x ∈ β , ?

? 单调递减.

?

又 f (0)=0 ， f = 1 - ln 1 + > 0 ，所以当 x ∈ 0, ? 时， f ( x) > 0 .从而， f ( x) 在 0, ? 没有

? 2 ?

?

2 ?

? 2 ? ? 2 ?

, π? 时，f ' ( x) < 0 ，所以 f ( x) 在 , π ? 单调递减.而 （iii ）当 x ∈

f ? > 0 ，f (π) < 0 ，所以 f ( x) 在 ?π , π? 有唯一零点.

9．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 f (x ) = ln x - x + 1

? π? ?

2 ?

（2） f ( x ) 的定义域为 (-1,+∞) .

（i ）当 x ∈ (-1,0] 时，由（1）知， f ' ( x ) 在 ( - 1,0) 单调递增，而 f ' (0) = 0 ，所以当 x ∈ (-1,0) 时，

f ' ( x ) < 0 ，故 f ( x ) 在 ( - 1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而 x = 0 是 f ( x ) 在 (-1,0] 的唯一零点.

? π? ? π? ? 2 ?

?

2 ?

?π? ? π? ? π? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

时， f ' ( x) < 0 .故 f ( x) 在 (0, β ) 单调递增，在 β , ?

π? 2

?

?π? ? π? ? π? ? π? ? ?

零点.

?π ? ?π ? ? 2

?

? 2

?

?π? ? 2 ?

?

? 2 ?

（iv ）当 x ∈ (π, +∞) 时， ln( x + 1) > 1 ，所以 f ( x ) <0，从而 f ( x ) 在 (π, +∞) 没有零点.

综上， f ( x ) 有且仅有2个零点.

x - 1 .

（1）讨论 f (x )的单调性，并证明 f (x )有且仅有两个零点；

（2）设 x 0 是 f (x )的一个零点，证明曲线 y =ln x 在点 A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线 y = e x 的切线.

【答案】（1）函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (1, +∞) 上是单调增函数，证明见解析；

（2）见解析.

【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1） U （1，+∞）．