人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_平面向量的数量积_基础
2b | 7
∴ 9a 2 4b2 12a b 7 ，
， ∴9×1+4×1－12×1×1×cosθ=7
∴ cos
1
．
2
又 θ∈[0，π] ∴ a 与 b 夹角为
．
3
（2）∵|3a b| 9a2 b2 6a b 9 1 1 6 1 1 cos 3 13 ．
类型四：向量垂直（或夹角）问题
例 5．已知 a,b 是两个非零向量，同时满足 a
（2）若 a 、 b 反向，则 a 、b 的夹角为 π ，∴ a · b =| a | |b |cosπ =―|a | |b |且以上各步均可逆，故
叙述②是正确的．
（3）当a ⊥ b 时，将向量a 、b 的起点确定在同一点，则以向量 a 、b 为邻边作平行四边形，则该平
行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有 | a + b |=| a ― b |．反过来，若| a + b |=| a ― b |，则
如上图所示，当 =60°时， a 在 e 方向上的正投影的数量为| a |·cos60°=3；
当 =90°时， a 在 e 方向上的投影的数量为|a |·cos90°=0；
当 =120°时， a 在 e 方向上的正投影的数量为|a |·cos120°=－3．
【总结升华】 要注意 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影不是不同的．
2
2
=4+2×1+1=7
所以 | a b | 7
举一反三： 【平面向量的数量积 395485 例 4】
【变式 1】已知| a | 2,| b | 5,a b 3，求| a b |,| a b |．
【答案】 35 23
【解析】
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(a b)2 a2 2ab b2 4 25 6 35 ， |a b | 35 同理，|a b| 23
例 2．已知|a |=4，|b |=5，当（1）a ∥ b ，（2）a ⊥ b ，（3）a 与 b 的夹角为 30°时，分别求a 与b 的
数量积．
【思路点拨】 已知向量| a |与| b |，求 a · b ，只需确定其夹角 ．
【解析】
（1）当 a ∥ b 时，有 =0°和 =180°两种可能．
若 a 与 b 同向，则 =0°， a · b =| a | |b|cos0°=4×5×1=20；
以 a 、 b 为邻边的四边形为矩形，∴ a ⊥ b ，故叙述③是正确的．
c
c
cc
（4）当|a |=|b |，但 a 与 c 的夹角和b 与 c 的夹角不等时，就有|a · |≠|b · |，反过来的由|a · |=|b · |
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也推不出|a |=|b |．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前 3 个是正确的，而第 4 个是不正确
类型三：平面向量模的问题
例 4．（2015 春 甘肃临夏州期末）已知向量a ，b 的夹角为 60°，且| a | 2 ，| b | 1，
（1）求 a b ；
（2）求| a b |．
【答案】（1）1；（2）| a b | 7
【解析】（1） ab | a ||b | cos60 21
1 2
1
（2）| a b |2 (a b)2 a 2ab b
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人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点 ）巩固练习
平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义
若 a 与b 反向，则 =180°， a · b =| a | |b |cos180°=4×5×(―1)=―20．
（2）当 a ⊥ b 时， =90°， a · b =| a | |b |cos90°=0．
（3）当 a 与 b 的夹角为 30°时， a · b =| a | |b |cos30°=4×5× 3 10 3 ． 2
的． 【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减
法的平行四边形法则． 举一反三：
【变式 1】如果 a · b = a · c ，且 a ≠0，那么（ ）
A．b = c B． b = c C．b ⊥ c
【答案】D 类型二：平面向量数量积的运算
D． b 、 c 在 a 方向上的投影相等
(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a b ，而 a b 是两个向量的
数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不用“×”代替.
(3)在实数中，若a 0，且a b 0，则b 0；但是在数量积中，若 a 0，且a b 0，不能推出
【变式 2】（2016 广西钦州月考）设向量 a,b 满足 |a | |b | 1 及 |3a
（1）求 a,b 的夹角大小；
（2）求 |3a b |的值．
【答案】（1） ；（2） 13 ． 3
【解析】（1）设 a 与 b 夹角为 θ，
∵向量 a,b 满足 |a | |b | 1 及 |3a
2b | 7 ，
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向上的正投影，并画图说明．
【答案】（1） 3 （2）略 2
【解析】 （1）∵ a · b =| a | |b |cos =6，又|a |=4， ∴4|b |cos =6，∴|b | cos 3 ．
2 （2） a 在 e 方向上的投影为| a |·cos ．
1
1
当 900 时，由于 cos 0，所以 OB 0 ，此时 O 与 B 重合；当 00 时，由于 cos 1，所以
1
1
OB |b |；当 1800 时，由于 cos 1，所以OB |b | ．
1
1
要点三：平面向量数量积的性质
设 a 与 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量.
2.数乘结合律： a b a b a b
3.分配律： a b c a c b c
要点诠释：
1.已知实数 a、b、c(b≠0)，则 ab=bc a=c.但是 a b b c a c ；
2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是 a b c a b c
显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一
b a b ，求 a 与 a b 的夹角.
【思路点拨】利用 cos
ab ab
xx yy
12
12
求出两个向量的夹角．
x2 y2 x 2 y 2
1
1
2
2
【解析】法一：将 a b a b 两边平方得
a b 1 a2 1 b2，
2
2
ab
则 cos
a (a b) aa b
a ab 2
aa b
a2 2a b a 2 12 a 2 a 3a
xx yy 1 21 2
x2 y2 x 2 y 2
112
2
(4)求线段的长度，可以利用 a
【典型例题】 类型一：平面向量数量积的概念
a2 或 P P ( x x )2 ( y y )2 1 22121
例 1．已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）
① a ·b =±|a |·|b | a ∥ b ；②a 、b 反向 a ·b =－|a |·|b |；③a ⊥b |a + b |=|a －b |；
1. e a a e a cos
2. a b a b 0 3.当 a 与 b 同向时，a b a b ；当a 与b 反向时，a b a b . 特别的 a a a 2或 a a a
4. cos a b ab
5. a b a b
要点四：向量数量积的运算律
1.交换律：a b b a
a// b a b(b 0) (x , y ) (x , y )
11
22
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
a b ab 0 x x y y 0
12
12
(3)求夹角问题．
由向量 a ， b 数量积可知，若它们的夹角为 ，则 a b | a || b | cos ，
利用 cos aa bb
3. 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x , y ) 、 ( x , y ) ， 那 么
11
22
| a | ( x x )2 ( y y )2 (平面内两点间的距离公式).
12
1
2
要点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
b2 3a 3 ， 故 a 与 a b 的夹角为 30°. 2
法二： 数形结合法
如图， a ,b ,a b 构成一个等边三角形，向量a b
是向量 a 与向量 b 夹角的角平分线，所以向量 a 与向量 a b
所成的夹角为 30°．
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【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法. 举一反三：
【变式 1】（2015 山东高密市月考）已知| a | 4 ，| b | 3， (2a 3b) (2a b) 61，
般 a 与 c 不共线.
要点五：向量数量积的坐标表示
高中数学人教版必修4 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 课件1
2.平面向量数量积的性质和运算律
[提出问题] 已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角． 问题1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？ 提示：∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. 问题2：a·a等于什么？ 提示：a·a＝|a|2cos 0°＝|a|2. 问题3：在什么条件下可求cos θ？ 提示：已知 a·b 及|a||b|时，可得 cos θ＝|aa|·|bb|.
新知导入
1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定： 零向量与任一向量的数量积均为0. 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量b在a的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量a在b的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
人教版 必修4
第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
知识点
1.平面向量的数量积
[提出问题] 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图． 问题1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ. 问题2：力F在位移方向上的分力是多少？ 提示：|F|cos θ. 问题3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
新知导入
1．向量数量积的性质
设 a 与 b 都是非零向量， θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ， 当 a 与 b 反向时，a·b＝ －|a||b| . (3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a＝ a2.
平面向量的数量积(1)
§5.3平面向量的数量积定向.学习目标1、通过物理中功等实例，掌握平面向量数量积的概念2、通过几何直观，掌握平面向量投影的概念以及投影的几何意义定向.重点、难点重点：数量积的概念、投影向量的概念难点：极化恒等式求数量积预学.自主梳理1．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝________|a|＝____________夹角cosθ＝________cosθ＝________________a⊥b的充要条件a·b＝0a·b＝|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22) 2、求平面向量数量积的五种方法：（1）定义法（2）坐标法（3）投影法（4）极化恒等式（5）分解法（基向量法）这节课我们将重点学习求数量积的3种方法并探究一下不同方法的适用条件。
研学.任务探究题型一投影法求数量积问题1我们来看数量积的结构a·b＝|a||b|cosθ，|b|cosθ表示什么？你能否在图中画出来？当cosθ>0，则|b|cosθ>0；当cosθ<0，则|b|cosθ0；当cosθ=0时，则|b|cosθ=0。
问题2如图，设每个格子长度为1，请同学们试着把b在a上的投影向量画出来，并分别求出a·b问题3如图，在圆C 中，是不是只需知道圆C 的半径或弦AB 的长度，就可以求出AB →·A的值.？例1(2024·揭阳模拟)已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且∠BAD ＝120°，则AP →·AB →的取值范围是()A ．[－2，4]B ．(－2，4)C ．[－2，2]D ．(－2，2)跟踪训练1（1）在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．则BD →·BM →＝________；若D 是线段AM 上的任意一点，则BD →·BM →=请思考：为什么点D 在AM 上的位置发生变化，却不影响数量积的大小？（2）（2020山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则•的取值范围是（）A ．（﹣2，6）B ．（﹣6，2）C ．（﹣2，4）D ．（﹣4，6）题型二极化恒等式求数量积（难点）问题在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a ·b ＝|AM →|2－|MB →|2.请试着证明这个结论（）例2（1）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则•＝（）A ．9B ．16C ．﹣16D ．与三角形形状有关（2）（2017全国卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是()A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1跟踪训练2已知点A ，B ，C 均在半径为的圆上，若|AB |＝2，则的最大值为________．题型三分解法（基向量法）求数量积思考：若一个向量固定不动，用投影法；若两个向量共起点且底边长度固定，用极化恒等式；如果两向量都不固定，或者都不共起点，那如何求数量积？例3在边长为2的等边△ABC 中，点M 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，点Q 为AC 的中点，BQ 交AM 于点N ．求A·B 提示：如果BM ：MC=m:n ，则跟踪训练3在ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则•＝．总结感悟3种求数量积的方法的适用条件1、投影法（几何法）：a·b＝|a||b|cosθ，其中|b|cosθ为b在a方向上的投影适用条件：有一个向量固定，用投影法2、极化恒等式适用条件：两向量共起点，且底边固定，用极化恒等式3、分解法（基向量法）适用条件：两向量横七竖八，用分解法达标检测1.如图，△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则A ·A 等于A.1B.2C.3D.42、(2023·安康模拟)已知四边形ABCD为平行四边形如图，|AB→|＝，|AD→|＝2，DN→＝2NC→，BM→＝3MC→，则AM→·NM→等于()A．7B．1 C.34D.1 43．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是．。
人教A版高中数学必修四2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|? 答 ∵a＝xi＋yj， ∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝ x2＋y2.
呈重点、现规律
1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决 平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力 的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学 问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b⇔x1y2－ x2y1＝0，a⊥b⇔x1b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝ ___8___2__. 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝8 2.
y2之间的关系如何？反之成立吗？
答 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
思考2 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与
b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 .
x21＋y21· x22＋y22
3 例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为___4_π____. (2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是_____直__角_三 角形.
人教A版高中数学必修四课件：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义.pptx.pptx
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2.4 平面向量的数量积
-2-
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性 质与运算律解决有关问题.
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的
写法我们就非常熟悉了.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
量b方向上的投影等于( )
A.2 B.120°
C.-1 D.由向量b的长度确定
解析:|a|cos120°=2cos120°=-1.
答案:C
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
2.运算律
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
【做一做 3-1】在 Rt△ABC 中,A=90°,则������������ ·������������ =
2019人教版高中数学必修四课件：2.4.1 平面向量数量积
学习难点：理解国家的产生是人类进入文明时期的重要标志。
阅读学习目标，明确本课学习任务。
明确本节课的学习任务，让学生带着任务开展下面环节。
三、自主学习
学生先根据导学案自学找出下列问题的答案，然后教师进行重要知识点进行讲解强调。
1.古代两河流域文明
（1）两河指的是、，两河流域又被称为。大体上在今天（国家）。
3.谈谈你对《汉谟拉比法典》的看法。
①《汉谟拉比法典》严格保护奴隶主的利益；②《汉谟拉比法典》是迄今已知世界上第一部较为完整的成文法典；③《汉谟拉比法典》是古巴比伦王国留给人类的宝贵文化遗产，表明人类社会的法制传统源远流长。
小组讨论探究
培养学生合作学习，分享智慧的能力。
五、课堂小结
古代两河流域
1.古代两河流域文明
（2）《汉谟拉比法典》体现的是利益。
学生自主学习，阅读课本，独立完成问题，并初步记忆。
先通过自学了解课本的大致内容，在经过老师的讲解让知识更加的巩固。
四、合作学习
小组内先进行讨论，后教师总结。
1Байду номын сангаас两河流域南部早期国家产生和统一是怎样的？
（1）约从公元前3500年起，两河流域南部逐渐产生了一些以城市为中心的小国。
（2）两河流域实现初步统一是在公元前年。古巴比伦王国时期建立起统一、强大的奴隶制国家。
（3）两河流域的苏美尔人使用“”。
2.古巴比伦王国
（1）古巴比伦王国的建立者是，他在统一事业中采用了策略。
（2）汉谟拉比实行，制定法典，他在位时期是古巴比伦最强盛的时期。
3.《汉谟拉比法典》
（1）《汉谟拉比法典》是迄今已知世界上第一部较为完整的法典。从法典中可以看出古巴比伦分为、、三个社会等级。
人教A版高中数学必修四课件：第二章2-4-2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
3 ， 2
3 则 c＝ ，－ 2
3 . 2
把 a、b、c 的坐标代入 c＝ta＋(1－t)b，得 t＝2. 答案：(1)D (2)2
归纳升华 向量数量积的求法 1．求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及 向量的夹角， 其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的 关键．
(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝t a＋ (1－t)b.若 b· c＝0，则 t＝________．
→ ＝CD →， → ＝BA → ＋BC →， 解析： (1)在菱形 ABCD 中， BA BD → · CD → ＝ ( BA → ＋ BC → )· → ＝ BA → · CD → ＋ BC → · CD → ＝ a2 ＋ 所以 BD CD 1 2 3 2 a×a· cos 60°＝a ＋ a ＝ a . 2 2
第二章
平面向量
2．4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
[学习目标] 1.通过物理中“功”理解平面向量数量 积的含义(重点、难点)． 2.体会平面向量的数量积与向 量投影的关系，掌握平面向量数量积的运算律(易错点、 易混点)． 3.会用两个向量的数量积解决向量的垂直问 题． 4.理解向量的数量积的几何意义(难点)． 5.利用 向量的数量积解决夹角、模等问题(重点、难点)．
2
(2)法一：因为 b· c＝0， 所以 b· [t a＋(1－t)b]＝0，即 t a· b＋(1－t)· b2＝0，
1 又因为|a|＝|b|＝1， 〈a，b〉＝60°，所以 t＋1－t＝0， 2 所以 t＝2.
法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线，
1 在平面直角坐标系中设 a＝(1，0)，b＝ 2，
高中数学人教A版必修4课件：第二章2-4 平面向量的数量积
§2.4 平面向量的数量积
明目标、知重点
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产 生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量 是否垂直.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作 O→A＝a，O→B ＝b，则 ∠AOB 称作向 量a和向量b的夹角，记作 〈a，b〉，并规定它的 范围是 0≤〈a，b〉≤π .
明目标、知重点
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a与b的夹角为60°时， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6.
明目标、知重点
探究点二 投影
思考1 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cosθ叫做 向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a 方向上的投影是什么？ 答 不一定；|b|cosθ. 小结 我们把|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做 向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角.由数量积
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.
明目标、知重点
跟踪训练2 已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量 2a－b在向量a＋b方向上的投影. 解 (2a－b)·(a＋b) ＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
明目标、知重点
人教版高中数学必修4讲义 2.4 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)[基础·初探]教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P 106“探究”以下至P 107例6以上内容，完成下列问题. 1.平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝02.向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.3.两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a |·|b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0°.( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2－y 1y 2＝0.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( ) 【解析】 (1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)×.a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________. 【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )， 所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1， 解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝⎛⎭⎫97，47.【答案】 (1)D (2)1 4 (3)⎝⎛⎭⎫97，471.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.[再练一题]1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝()A.(－15,12)B.0C.－3D.－11【解析】依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】 C向量模的坐标表示(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A.4B.5C.3 5D.4 5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【精彩点拨】(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.【自主解答】(1)由y＋4＝0知y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝(－2)2＋42＝25，|a－b|＝4.【答案】(1)D(2)25 4向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.[再练一题]2.已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.【导学号：00680057】【解析】 ∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋(x ＋2)2＝2x 2＋4x ＋4＝2(x ＋1)2＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞). 【答案】 [2，＋∞)[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【提示】 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.探究2 已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于？ 【提示】 由已知得a －b ＝(1－x,4). ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0. ∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.(－2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，－2)D.(－2,2)(2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用a ，b 的夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0，a ≠λb求解.(2)设出点D 的坐标，利用BD →与BC →共线，AD →⊥BC →列方程组求解点D 的坐标.【自主解答】 (1)当a·b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向.由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. 【答案】 B(2)设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，② 即2x ＋y －3＝0.由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)， ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1).1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决.[再练一题]3.已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角.【解】 设a 与b 的夹角为θ， 则a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12. (2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a ·b <0且a 与b 不反向. 由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向， 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a ，b 不同向.由a ·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞).1.已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A.5 B.4 C.－2D.－1【解析】 a·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1. 【答案】 D2.已知a ＝(－2,1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 由题意，a·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A. 【答案】 A3.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a |＝32＋(－1)2＝10，|b |＝12＋(－2)2＝5，故a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝510·5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4. 【答案】 B4.已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________. 【解析】 因为a ＝(3，－4)，所以|a|＝32＋(－4)2＝5.【答案】 55.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b ). 【解】 (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， (a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。
人教版高中数学高一A版必修4备课资料 2.4向量的运算、数量积
教师下载中心教学点睛向量是学习其它知识尤其是学习高等数学和普通物理的重要工具，故受到高考命题者的青睐.高考中，向量试题除单纯考查向量的概念及运算等知识外，常常与其它知识(如三角函数、解析几何、立体几何等)综合命题.平面向量涉及的概念、运算法则和规律较多，复习时要与相关知识进行比较，避免混淆. 解决有关向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确进行向量的各种运算；二是要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解题中的应用.拓展题例【例1】已知向量a =(x 2，x+1)，b =(1-x ，t).若函数f(x)=a ·b 在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围.分析：需先求函数f(x)的解析式，再由f ′(x)≥0在(-1，1)上恒成立，即可求出t 的取值范围. 解法一：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t ，则f ′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上可设f ′(x)≥0.∴f ′(x)≥0⇔t ≥3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立.考虑函数g(x)=3x 2-2x ，由于g(x)的图象是对称轴为x=31，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立⇔t ≥g(-1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f(x)在(-1，1)上满足f(x)＞0，即f(x)在(-1，1)上是增函数.故t 的取值范围是t ≥5.解法二：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t.f ′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数.则在(-1，1)上可设f ′(x)≥0∵f(x)的图象是开口向下的抛物线.∴当且仅f(1)=t-1≥0，且f(-1)=t-5≥0时，f(x)在(-1，1)上满足f(x)＞0，即f(x)在(-1，1)上是增函数.故t 的取值范围是t ≥5.【例2】已知OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB=(5，1)，设M 是直线OP 上的一点(O 是坐标原点)， (1)求使MA ·MB 取最小值时的OM； (2)对(1)中求出的点M ，求∠AMB 的值. 解：(1)设OM =λOP =(2λ,λ), ∴MA =(1-2λ,7-λ), MB =(5-2λ,1-λ).MA ·MB =5λ2-20λ+12，当λ=2时，MA ·MB 取最小值，这时OM =(4，2). (2)MA =(-3，5),MB =(1，-1),∴cos ∠AMB==17174-. 又0≤∠AMB ≤π,∴∠AMB=arccos(17174-). 【例3】 已知a =(sin α,cos α),b =(cos β,sin β),b +c =(2cos β,0),a ·b =21,a ·c =31,求cos2(α+β)+tan αcot β的值.解：设c =(x,y),则b +c =(cos β,sin β)+(x,y)=(x+cos β,y+sin β)=(2cos β,0).∴⎩⎨⎧=+=+.0sin ,cos 2cos βββy x ∴⎩⎨⎧-==.sin ,cos ββy x ∴c =(cos β,-sin β). ∵a ·b =21,a ·c =31, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•-•=•+•.31sin cos cos sin ,21sin cos cos sin βαβαβαβα ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.121sin cos ,125cos sin βαβα ∴tan αcot β=5.又∵sin(α+β)=21, ∴cos2(α+β)=1-2sin 2(α+β)=21. ∴cos2(α+β)+tan αcot β=21+5=211.。
5_3平面向量数量积
二、基础练习训练1.判断下面结论是否准确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.--------------------（ ） (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量. ---（ ）(3)△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是等腰三角形. -------------------------------------------------------（ ）(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形.--（ ）(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2].-------------------------------------------------（ ）2.(2012·陕西改编)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ＝________.3.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______.4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________. 5.已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 三、典型例题分析题型一 平面向量数量积的运算例1 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.变式： （1）点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________.（2）．(2009·天津)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.题型二 求向量的夹角与向量的模 例2 (1)(2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.（2）.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于________.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.变式：1.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．题型四 数量积的综合应用例4 已知△ABC 中，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.变式：1 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值.2．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．3． 在三角形ABC 中，且2sin 2A ＋B2＋cos 2C ＝1.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(3a ，b )，向量n ＝⎝⎛⎭⎫a ，－b3，m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝－16. 求a 、b 、c 的值．一轮复习作业纸20 5.3向量的数量积一、填空题1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________.2.(2012·重庆改编)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 则|a ＋b |＝________.3.向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为________.4..(2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m ).若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________ 5(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 6.已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________ 7．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.8．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 9．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．10．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.二、解答题11.已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，a ⊥b ，求：(1)|a ＋b |；(2)cos(α＋π4)的值.12．(2010·济南三模)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．。