天津南开中学2015届高三数学(理)统练20(扫描版)
天津市南开中学高三数学统练4 理
天津市南开中学2015届高三数学统练4 理一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 若函数3)(x x f =，则])2(['-f =（ ）A. 8-B.12C. 0D. 12. 曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 4- D. 4 3. 下列求导运算正确的是（ ）A.211)1(x x x +='+ B. 2ln 1)(log 2x x =' C. x x x x sin 2)cos (2-=' D. e x x 3log 3)3(='4. 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围（ ）A.21<<-aB.63<<-aC.63>-<a a 或D.21>-<a a 或5. 曲线01=--x y x 上一点)47,4(-P 处的切线方程是（ ）A.08165=++y xB.08165=+-y xC.08165=-+y xD.08165=--y x6. 函数52)(24+-=x x x f 在区间上的最大值与最小值分别是（ ） A.5，4 B.13，4 C.68，4 D.68，57. 若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A.（1，3）B.（1-，3） C .（1，0） D.（－1，0）8. 已知()3231fx ax x =-+，若()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A.(),2-∞- B. ()1,+∞ C. ()2,+∞ D. (),1-∞-9. 已知()()()()ln 1ln 1,1,1fx x x x =+--∈-.现有下列命题：①()()f x f x -=-；②()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；③()2f x x≥.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 10. 函数()()ln fx x x ax =-有两个极值点1x 和2x ()12x x <，则（ ）A.()10fx >，()212fx >-B. ()10f x <，()212fx <- C.()212fx >-，()212f x <-D. ()10fx <，()212fx >-11. 设函数()3232t h x tx t=-，若有且仅有一个实数0x ，使得对任意正数t ，()()700t h x h x …恒成立，则0x 等于（ ）12. 已知函数()32fx x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-…，则（ ）A. 3c …B. 36c <?C. 69c <?D. 9c >二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 曲线423+-=x x y 在()3,1处切线的倾斜角为 . 14. x x y sin 2=，则='y _____ .15. 曲线x x x y -+-=21ln 2在点M （1，0）处的切线方程是___________.16. 直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则b 的值为___ _.17. 过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 的值为 .18. 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++…恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
重庆市南开中学2015届高三10月月考数学(理)试题 扫描版含答案
重庆南开中学高2015级10月月考数学答案（理 科）一、选择题 BCDCB ACBAD二、填空题11. 10 12. (-3,3) 13. 1-14. 223 15. 12- 16. []5,2-三、解答题17.(1) ()cos sin cos (cos )f x x x x x =+- 11cos 2sin 222x x +=-1sin(2)42x π=-- ()的最小正周期f x T π∴= （2）[,]44x ππ∈-32[,]444x πππ∴-∈- ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-22,1)42sin(πx 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈--0,212221)42sin(22πx ()f x ∴的最大值为0，最小值为2122--18.（1）tan 2((,))2πθθπ=-∈sin ,cos θθ∴==-()2sin()sin cos 6f πθθθθ∴=+=+=(2)()2sin()26f παα=+=sin()16πα∴+=又[0,]3πα∈ +[0,]62ππα∴∈ +=，故=623πππαα∴ 8又()2sin()65f πββ=+=，4sin()65πβ∴+= 25(22)2sin(2+)2sin(2)366f πππβαββ∴+=+=+2cos(2)3πβ=+22[12sin ()]6πβ=-+14= -25/2219.(1)()2(1)f x x x m =-++-1时，m ∴=/2()2(2)f x x x x x =-+=-- 0或2时，x x ∴<>/()0f x <，()在（-，0），（2，+）上单调递减f x ∴∞∞ 02时，x ∴<</()0f x >，()在（0，2)上单调递增f x ∴ 故当0x =时，()f x 取得极小值(0)0f =，2x =时，()f x 取得极大值4(2)3f =（2）法一:当[0,]2x π∈时，/(sin )cos 0f x x ≥ ，而cos 0x ≥（[0,]2x π∈） 故只许/22(sin )sin 2sin (1)0f x x x m =-++-≥在[0,]2π上恒成立 即221sin 2sin m x x -≥-在[0,]2π上恒成立， 22max 须1[(sin 1)1]m x ∴-≤--而22sin 2sin (sin 1)1x x x -=--，又sin [0,1]x ∈∴ 当sin 0x =时，2(sin 1)1x --取得最大值0∴210m -≥，即-1m ≤或1m ≥法二:也可利用同增异减法则,说明外层函数在[]10，单调递减20.（1）过点P 作PC x ⊥轴，则3BC AC =，故tan 3tan BPC APC ∠=∠ tan tan()APB BPC APC ∴∠=∠-∠22tan 1213tan APC APC ∠==-∠ 解得1tan 1或3APC ∠=. 若111tan ,则333APC AC PC ∠===，此时()f x 的最小正周期443T AC ==，3故2ω=，313()sin[()]cos 232f x x x ππ=+= ，其图像关于y 轴对称，舍去 若tan 1,则11APC AC PC ∠===，此时()f x 的最小正周期44T AC ==，1故2ω=，1()sin[()]sin()2326f x x x πππ=+=+ ，符合题意 （2），32sin sin )312()312(==--βαβπαπf f 且34αβπ+= ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-62=，62cos cos -=βα ∴原式=22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos sin αθαθβθβθθθ++-2222sin sin cos cos cos sin sin()sin cos cos sin αβθαβθαβθθθθ+++=- 22sin sin cos cos tan sin()tan 1tan αβαβθαβθθ+++=-922-=21. 解： （Ⅰ）2(21)1()x ax a x a f x e-+-+-'= 由条件知(0)1f a '=-， 因为函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与直线013=+-y x 平行所以31=-a ,2-=a（Ⅱ）2(21)1()x ax a x a f x e-+-+-'=(1)(1)x ax a x e -+--= ①当0a =时，1x =，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增；在)4,1(上，有()0f x '< 函数()f x 减，44)4(,0)0(-==e f f 函数()f x 的最小值为0，结论不成立． ②当0a ≠时，1211,1x x a==- (1)若0a <，(0)0f a =<，结论不成立(2)若01a <≤，则110a-≤，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增； 在)4,1(上，有()0f x '<，函数()f x 减，只需⎩⎨⎧≥≥--44)4()0(ef e f ，所以14≤≤-a e (3)若1a >，则1011a <-<，在)11,0(a-上，有()0f x '<，函数()f x 减； 在)1,11a-（,有()0f x '>,函数()f x 增;在)4,1(上，有()0f x '<，函数()f x 减 函数在11x a =-有极小值，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=)4(),11()(min f a f x f 只需⎪⎩⎪⎨⎧≥≥---44)4()11(ef e a f 得到⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥---14171213a e a a ，因为1,11213<>---a e a ，所以1a >综上所述可得4-≥e a22.（1）方程即x a x =+)ln(，构造函数x a x x F -+=)ln()(，定义域为{}a x x ->， ax a x a x x F ++--=-+=')1(11)(，由a a ->-1可得)(x F 在)1,(a a --增，),1(+∞-a 减 而-∞→+∞→-∞→-→)(,;)(,x F x x F a x ；则0)1(=-a F 即1=a(2) ),25(21ln )(2≥-+=m mx x x x g bx cx x x h --=2ln )( 由已知01)(2=+-='xmx x x g 的两根为21,x x ，当25≥m 时方程012=+-mx x 的0>∆ 则m x x =+21，121=x x又由21,x x 为bx x x x h --=22ln )(的零点可得⎩⎨⎧=--=--0ln 0ln 22221211bx cx x bx cx x 两式相减0)())((ln 21212121=---+-x x b x x x x c x x ，可反解出)(ln212121x x c x x x x b +--=① 而)2()(2121x x h x x y +'-=)[(21x x -=])(22121b x x c x x -+-+代入①式 =y )ln2)((21212121x x x x x x x x --+-212121ln 2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-= 令t x x =21)10(<<t ，由m x x =+21，121=x x 可得221m t t =++则]41,0(∈t 设函数t t t t G ln 112)(-+-=，而0)1()1()(22<+--='t t t t G ，则)(t G y =在]41,0(∈t 单减 所以4ln 56)41()(min +-==G t G ，即)2()(2121x x h x x y +'-=的最小值为4ln 56+-。
天津市南开中学2015届高三数学统练13 文
cos y xω=天津市南开中学2015届高三数学统练13 文说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 第І卷（选择题共40分）一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!)i 是虚数单位，复数131ii --=（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+3()2x f x x =+的零点所在区间为( )A ．(0，1)B ．(-1，0)C ．(1，2)D ．(-2，-l)阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的S 是（ ）A 21．B 39．C 81．D 102．若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数的图象重合，则ω的值可能是 （ ）A ．13B ．32C ．23D ．12设2log 3a =，4log 3b =，1.21()2c =，则它们的大小关系是（ ） A. b a c << B.b c a << C.c a b << D. a b c <<已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()∞1，+ B ．()1，2C ．()21，1+D ．()22，1+已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|20}a a -<< B ．{|20}a a -<< C ．{|20a a -<<或12}a << D ．{|20a a -<<或1}a = 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!)实数x ，y 满足不等式组10,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≤⎩若,则W 的范围是 _________．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 . 已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为__________.已知1x >，1y >，且1ln 4x，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值是_______.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （本小题满分13分)2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．（本小题满分13分)已知函数222263f (x )sin(x )cos(x )cos xππ=+-++．(I)求12f ()π的值；(Ⅱ)求f (x )的最大值及相应x 的值． (本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点,2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =.（Ⅰ）求证：PE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅲ）求直线BM 与CD 所成角的余弦值. (本小题满分13分)设0),(),,(222211>+b x a y y x B y x A 是椭圆是椭圆)0(1),(),,(222211>>=b a y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量11(,)x y b a =m ，P ABC DE M22(,)x y b a =n ,若0=⋅n m 且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.( 1)求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式，并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和nD ；（Ⅱ）设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T ．（本小题满分14分) 已知函数()()32 0f x ax bx cx d x a =+++∈≠R ,，2-是()f x 的一个零点，又()f x 在0x =处有极值，在区间()6,4--和()2,0-上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求ba 的取值范围；（Ⅲ）当3b a =时，求使(){}32A y y f x x ==-≤≤，，[]3,2A ⊆-成立的实数a 的取值范围．南开中学2015届高三文科数学统练13参考答案 一、选择题：二、填空题：（9）113W -≤≤（10）2π （11）110（12） （13）e （14）229-三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15 （I ）系统抽样 （II ）2名 （III ）16．H17.（1）∵PD PA =，E 为AD 的中点，AD PE ⊥∴又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，⊂PE 平面PADPE ∴⊥平面ABCD -------4分（2）连接EC ，取EC 中点H ，连接HB MH , ∵M 是PC 的中点，H 是EC 的中点，MH ∴∥PE 由（1）知PE ⊥平面ABCD ，MH ∴⊥平面ABCDHB ∴是BM 在平面ABCD 内的射影 MBH ∠∴即为BM 与平面ABCD 所成角∵AD ∥BC ，AD BC 21=，E 为AD 的中点，090=∠ADC∴四边形BCDE 为矩形，∴121,2===EC HB EC ，又∵,2321==PE MH MHB ∆∴中，23tan ==∠HB MH MBH∴直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值为23-------9分(3) 由（2）知CD ∥BE ∴直线BM 与CD 所成角即为直线BM 与BE 所成角连接ME ，MHE Rt ∆中，,27=ME MHB Rt ∆中，,27=BM 又3==CD BE MEB ∆∴中，7213272473472cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠BE BM ME BE BM MBE∴直线BM 与CD 所成角的余弦值为721-------13分18. 解：（1）2 2.1,2,c 2c b b e a a a =====⇒==椭圆的方程为1422=+x y（2）由题意，设AB 的方程为3+=kx y222212122(4)10.................4 141. .................5 4y kx k x y x x x x x k ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩-+==+分分由已知0=⋅n m 得：1212121222212121(43(1)().................6 444x x y y x x kx kx b a k x x x x +=+++=++++分22413()0,444k k k +=-+==+解得19．解：（Ⅰ）当1=n ，21=a ； …………………………1分 当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴12n n a a -=， ……………2分∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2nn a = ………3分由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴21n b n =- ………………………………5分∴(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴1231123252(23)2(21)2n nn D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②…6分①—②得：123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯………7分114(12)22(21)212n n n -+-=+⨯--⨯- ……8分12(32)6n n +=--， ……9分 1(23)26n n D n +=-+ ………10分（Ⅱ）2(21)nn c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ………11分 321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-． ………13分2122223n n n+-=-- ………14分20 解：（Ⅰ）∵()32f x ax bx cx d=+++，()232f x ax bx c'=++，()f x 在0x =有极值，∴()00f '=即0c =，……………………3分（Ⅱ）()232f x ax bx'=+，由()()320f x x ax b '=+=，得0x =或23bx a =-，()f x 在区间()6,4--和()20-,上单调且单调性相反,2423b a -≤-≤-，故36b a ≤≤．…………………6分（Ⅲ）3b a =，且2-是()f x 的一个零点，()28120f a a d -=-++=，4d a =-，()3234f x ax ax a=+-，()()23632f x ax ax ax x '=+=+，由()0f x '=得0x =或2x =-，…………….8分（ⅰ）当0a >时所以 当0a >时，若32x -≤≤，则()416a f x a-≤≤，…………………10分（ⅱ）当0a <时所以 当0a <时， 若32x -≤≤，则()164a f x a≤≤-，…………………12分得0 16 2 4 3 a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，，， 或0 16 3 4 2 a a a <⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，，， 即108a <≤或3016a -≤<，故a 的取值范围是31,00,168⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．…………………14分。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练14 Word版无答案
一、选择题（共8小题，每题5分）1. 设集合{|2,0},{|xM y y x N x y ==<==，则“x M ∈”是“x N ∈”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+= ( ) A. 16(14)n -- B. 16(12)n -- C. 32(14)3n -- D. 32(12)3n -- 3．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//l α，//m α，则//l mB.若l m ⊥，//m α，则l α⊥C. 若l m ⊥，m α⊥，则//l αD.若//l α，m α⊥，则l m ⊥4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===，则（ ） A ．14-B ．11-C ．12-D ．13-5. 设0.5log 0.413a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.4log 0.513b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 23c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l α⊂，m β⊂，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m β⊂，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．p ⌝或qD ．p 且q ⌝7. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n nS a nn=+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）.则=+)()(65a f a f ( ) A ．3B ．2-C ．3-D ．28. ABC ∆是边长为1的正三角形,点P 在ABC ∆所在的平面内,且222||||||PA PB PC a ++= (a 为常数).下列结论中,正确的是 （ ）A .当10<<a 时,满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时,满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时,满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时,满足条件的点P 总是有限个.二、填空题（共6个小题，每题5分）9. ABC ∆中,三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,已知60B ∠=,不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<,则b =______.10. 某品牌香水瓶的三视图如右图（单位：cm ），则该几何体的表面积为 cm 2； 11. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数__________.12. 数列{}n a 的前n 项和()0.1log 1n S n =+，则101199a a a ++⋅⋅⋅+=__________.13. 设=⎰a ,对任意∈x R ，不等式2(cos )cos 0-+≥a x m x π恒成立，则实数m 的取值范围是 ．14. 已知正ABC ∆ 的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆ 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围为___________.三、解答题（共6个小题）15. 已知函数)cos()(ϕω+=x A x f (0>A ,0>ω,02<<-ϕπ)的图像与y 轴的交点为)1,0(,它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx(1)求函数)(x f 的解析式及的单调递增区间 ；(2)若锐角θ满足1cos 3θ=,求(2)f θ的值.16. 甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试侧视图正视图俯视图PABCDEF和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6, 0.5, 0.4,能通过面试的概率分别是0.5, 0.6, 0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .17.在如图所示的多面体中, AD ⊥平面ABE ,AE AB ⊥，//,//,EF AD AD BC 2,AE AB BC EF ====3.AD =(1)求证: //BE 平面ACF ; (2)求证: BF AC ⊥;(3)求二面角C DF E --的余弦值.18. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若222na n m +=，数列{}nb 满足关系式11,1,,2,n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩求数列{}n b 的通项公式；（3）设（2）中的数列{}n b 的前n 项和S n ，对任意的正整数n ，11(2)22n n n S n n p +-+++<（）+()恒成立，求实数p 的取值范围.19．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,,E F 分别为,PC BD 的中点. (1) 求证: //EF 平面PAD ； (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(3) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13? 说明理由.20. 已知函数()ln ,()x f x ax x g x e =+=.(1)当0a ≤时,求()f x 的单调区间 (2)若不等式()g x<有解,求实数m 的取值菹围; (3)定义:对于函数()y F x =和()y G x =公共定义域内的任意实数0x ,称00|()()|F x G x -的值为两函数在0x 处的差值.证明:当0a =时,函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有差值都大于2. 天津南开中学2015届高三数学统练14（理科）答题纸班级 _________ 姓名 ________ 学号 ________ 得分________二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. _________________ 10.___________________ 11.________________12._________________ 13.___________________ 14.________________PAC DEF。
天津市南开中学2015届高三数学统练15 理
天津市南开中学2015届高三数学统练15 理一、选择题（共8小题，每题5分）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）．A.()227313x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B.()()22211x y -+-=C.()()22131x y -+-=D.()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）． A.αβ且lαB.α与β相交，且交线垂直于lC.αβ⊥且l β⊥D.α与β相交，且交线平行于l从点)2,3(-A 作直线与圆922=+y x 交于Q P ,两点，若要满足4=⋅AQ AP ，则这样的直线（ ）．A.有且仅有一条B.不超过两条C.有无数条D.不存在 直线()():21210l k x k y k +--+-=与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A.相交B.相切C.相离D.不确定，与k 有关若直线1x ya b +=通过点()cos sin M αα，，则（ ）．A.221a b +≤ B.221a b +≥C.22111a b +≤D.22111a b +≥已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ）． A.2- B.1- C.1 D. 4若曲线1y =(2)4y k x =-+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）．A.53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B.5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭过点) 0引直线l与曲线y A B ，两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）．A.B.C.D.二、填空题（共6个小题，每题5分）若直线1l ：(2)10m x y ---=与直线2l ：310x my -+=互相平行，则m 的值等于 ．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（0a >）的公共弦的长为 则a = ．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ．在已知直线1l ：x y =与2l ：xy 33-=的上方有一点P ，P 到1l 、2l 的距离分别是22和32，则P 点的坐标为 ．设函数2()f x ax bx =+，且1(1)2,f ≤-≤2(1)4f ≤≤，则12b a +-的取值范围是 ．已知在圆:C 2225x y +=上有一点()4,3P .,E F 分别为y 轴上的两点，满足PE PF=，且直线,PE PF 与圆C 交于,M N 两点，则直线MN 的斜率为 .三、解答题（共6个小题）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B. (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程．已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知41=m ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点) ，并求出该圆的方程；（3）已知41=m ，设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B1，当R 为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值.天津南开中学2015届高三数学统练15（直线与圆）参考答案 一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 BDCADCAB三、解答题：15. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 解：（1）c b a ，，成等差数列 2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+.（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--====222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac +∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为12.16. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）17. 已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B. (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设l 的方程为b y a x +=1，则A(a,0)，B(0,b)且a ＞0，b ＞0， 又∵l 过P(3,2)∴b a 23+=1∵a ，b ＞0∴1=b a 23+≥2ab 6得ab≥24，∴S △AOB=21ab≥12当且仅当2123==b a 即a=6，b=4时取“=”．∴S △AOB 的最小值为12，此时，l 的方程为46yx +=1即2x ＋3y －12=0． (2)由(1)知，+a 3b 2=1，∴a ＋b=(b a 23+)(a ＋b)=b aa b 23+＋5≥2b a a b 23⋅＋5=5＋26 当b aa b 23=即a=3＋6，b=2＋6时取“=”.∴l 在两坐标轴上截距之和的最小值为5＋26，此时l 的方程为6263+++yx=1即2x ＋6y －26－6=0．或者设l 的方程为y －2=k(x －3)(k ＜0)，令x=0，则y=－3k ＋2令y=0，则x=－k 2＋3，∴a ＋b=－k 2－3k ＋5≥26＋5当且仅当k 2=3k ．即k=－36时取“=”.(3)由(2)知A(－k 2＋3,0)，B(0,－3k ＋2)∴|PA|·|PB|= )1(3672)99)(44(2222k k k k ++=++≥23672⨯+=12(当且仅当k2=21k 即k=－1时取“=”)此时l 的方程为y －2=－(x －3)即x ＋y －5=0． 18. 已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知条件得：331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1,a q =-⎧⎨=-⎩所以数列{}n a 的通项为253n n a -=⨯或()151n n a -=-⋅-()*n N ∈.（II ）若253n n a -=⨯，则113153n na -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1112311531119191111031013m m m a a a --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==⋅-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．若()151n n a -=-⋅-，则()11115n n a -=-⋅-，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而()()**121,21,11150,2,m m k k N a a a m k k N ⎧-=-∈⎪+++=⎨⎪=∈⎩，故121111ma a a +++<．综上，对任意整数m ，总有121111ma a a +++<．故不存在这样的正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立．19. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ； （2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解：以D 为原点，射线1,,DD DC DA 分别为z y x ,,轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系xyz D -，由已知得),0,0(),0,0,1(),2,2,0(),0,2,2(1λP F C B ， 所以)2,0,2(1-=BC ，),0,1(λ-=FP ，)0,1,1(=FE ，（I ）证明：当1=λ时，)1,0,1(-=FP ，因为)2,0,2(1-=BC ， 所以FP BC 21=，即FP BC //1， 而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ，故直线//1BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量),,(z y x =n ，由⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00n n FP FE 可得⎩⎨⎧=+-=+00z x y x λ，于是取)1,,(λλ-=n ， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为)1,2,2(λλ--=m ， 若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则0)1,,()1,2,2(=-•--=•λλλλn m ，即01)2()2(=+---λλλλ，解得221±=λ，故存在221±=λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.20. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知41=m ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点) ，并求出该圆的方程；（3）已知41=m ，设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B1，当R 为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值.解:（1）因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-, 所以2210a b mx y ⋅=+-=, 即221mx y +=.当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ；当1m =时, 方程表示的是圆；当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆；当0<m 时,方程表示的是双曲线.(2).当41=m 时, 轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=,即222(14)8440k x ktx t +++-=,要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,则使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>, 即22410k t -+>,即2241t k <+, 且12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++,要使OA OB ⊥, 需使12120x x y y +=,即222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++,∴225440t k --=, 即22544t k =+且2241t k <+, 即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =222224(1)45115k t r k k +===++, 所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2214x y +=交于点)552,552(±或)552,552(±-也满足OA OB ⊥.综上, 存在圆心在原点的圆2245x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.(3)当41=m 时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1, 由（2）知R =, 即222(1)t R k =+ ①,因为l 与轨迹E 只有一个公共点B1,由（2），2214y kx txy++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t++=,即222(14)8440k x ktx t+++-=有唯一解则△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t-+-=-+=, 即22410k t-+=,。
天津市南开中学高三数学统练10 理
- 1 - 天津市南开中学2015届高三数学统练10 理 一 选择题（共8个小题，每题5分）
1.在ABC中，,2ABC，则“3AC”是“B”的（ ） .A充分不必要条件 .B必要不充分条件 .C充要条件 .D既不充分也不必要条件
2.若向量2,3,6,1axby互相垂直，则42xy的最小值为（ ） .4A .22B .32C .42D
3.已知3sincos10cossin3s，则225sin8sincos11cos822222sin
（ ） 2.6A 2.6B 52.6C 52.6D
4.为了得到函数sin2yx的图象，可以将函数cos2yx的图象（ ） .A向右平移个单位长度 .B向右平移个单位长度
.C向左平移个单位长度 .D向左平移个单位长度
5.在四边形ABCD中，1,2,4,2ACBD，则该四边形的面积是（ ） .5A .25B .5C .10D
6.已知ABC为等边三角形，2AB，设点,PQ满足,1,APABAQACR，若32BQCP，则（ ） 1.2A
12.2B 110.2C 322.2D - 2 -
7.设两个向量222,cos,,sin2mabm，若2ab，则m的范围是（ ） .6,1A .4,8B .6,1C .1,6D
8.已知点M为ABC所在平面上的一点，且12012AMABmAC，其中m为实数，若点M落在ABC的外部，则m的取值范围是（ ）
.,0A
2011.,2012B 2011.,0,2012C 2011.0,2012D
二、填空题（共6个小题，每题5分） 9.设0，向量sin2,cos,cos,1ab，若//ab，则tan
2015年天津市南开区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数＝（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．144．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？5．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（）A．B．C．D．7．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）若集合A＝{x|2x+1＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝．10．（5分）（x2﹣）6的展开式中x3的系数为．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝．13．（5分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD＝AB＝2，则EB＝．14．（5分）已知函数f（x）＝，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红．蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X）．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝4，AB＝2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC＝2OM＝2ON．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．18．（13分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．19．（14分）在等比数列{a n}中，已知a1＝2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n＝，求证：数列{b n}的前n项和T n＜．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．2015年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数＝（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i【解答】解：＝＝＝﹣6﹣5i．故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．3．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从481～720共240人中抽取＝12人．故选：B．4．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）A．k＜132？B．k＜70？C．k＜64？D．k＜63？【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝1，K＝2，满足条件，S＝2，K＝4满足条件，S＝2×4，K＝8满足条件，S＝2×4×8，K＝16满足条件，S＝2×4×8×32，K＝32满足条件，S＝2×4×8×32×64，K＝64由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S＝2×4×8×32×64，结合选项可知，判断框内可以填入k＜70？故选：B．5．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2＝25，＝1，∴b＝，a＝2∴双曲线的方程为．故选：A．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C ＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin2B＝10sin B cos B，所以cos B＝，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sin B＝＝．所以sin C＝sin2B＝2×＝，cos C＝＝．故选：A．7．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由曲线y＝x2，y＝，联立，因为x≥0，所以解得x＝0或x＝1所以曲线y＝x2与y＝所围成的图形的面积S＝∫01（﹣x2）dx＝﹣x3|01＝故选：B．8．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）若集合A＝{x|2x+1＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（﹣，3）．【解答】解：由题意A＝{x|2x+1＞0}＝{x|x＞﹣}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B＝（﹣，3）故答案为（﹣，3）10．（5分）（x2﹣）6的展开式中x3的系数为﹣20．【解答】解：由＝，令12﹣3r＝3，得r＝3．∴（x2﹣）6的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣20．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．【解答】解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4＝30（m3）．故答案为：30．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆的方程为：x2+y2＝4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|＝＝2．故答案为：2．13．（5分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD＝AB＝2，则EB＝．【解答】解：连接OC则∠DOA＝∠CBO＝∠BCO＝∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB＝x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC＝2x，则（2x）2＝x•（x+2），则．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．【解答】解：如图所示，当x∈[0，π]时，f（x）＝sin x．不妨设a＜b＜c，若满足f（a）＝f（b）＝f（c），则0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b＝π，∴2π＜a+b+c＜2016π．∴a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．故答案为：（2π，2016π）．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵sin x cos x＝sin2x，cos2x＝（1+cos2x）∴f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1＝﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1＝2sin2x﹣2cos2x＝2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T＝＝π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x＝0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x＝时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）＝2；最小值为f（0）＝﹣2．16．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红．蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X）．【解答】解：设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i（i＝0，1，2，3）与B j （j＝0，1）相互独立．（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P（A1）＝＝．…（4分）（Ⅱ）X的所有可能值为：0，10，50，200，P（X＝200）＝P（A3B1）＝P（A3）P（B1）＝，P（X＝50）＝P（A3B0）＝P（A3）P（B0）＝，P（X＝10）＝P（A2B1）＝P（A2）P（B1）＝，P（X＝0）＝1﹣．…（11分）所以X的分布列为所以X的数学期望E（X）＝0×+10×+50×+200×＝4．…（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝4，AB＝2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC＝2OM＝2ON．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：依题设知，AC＝2OM，则AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，则P A⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面P AD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD．…（4分）（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量＝（x，y，z），由⊥，⊥可得：，令z＝1，则＝（2，﹣1，1）．设所求角为α，则sinα＝||＝．…（9分）（Ⅲ）解：由条件可得，AN⊥NC．设＝λ＝（2λ，4λ，﹣4λ），则＝+＝（2λ，4λ，4﹣4λ），所以•＝（2λ，4λ，4﹣4λ）•（2，4，﹣4）＝36λ﹣16＝0解得λ＝，所以＝（，，），设点N到平面ACM距离为h，则h＝＝．…（13分）18．（13分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M （4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【解答】解：（I）由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8＝0，则x1＝，x2＝．又因为，，，所以，所以λ＝．19．（14分）在等比数列{a n}中，已知a1＝2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n2﹣a n}的前n项和为S n，记b n＝，求证：数列{b n}的前n项和T n＜．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，由已知得：2（a1+a3）＝a2+a4，即2（a1+a1q2）＝a1q+a1q3，解得q＝2，又∵a1＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：S n＝（a12+a22+a32+…+a n2）﹣（a1+a2+a32+…+a n）＝（4+42+43+…+4n）﹣（2+22+23+…+2n）＝﹣＝（2n﹣1）（2n+1﹣1），∴b n＝＝（﹣），∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝（1﹣）＜．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a＝b＝时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）当a＝b＝时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x，f′（x）＝﹣x﹣＝．（2分）令f′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）F（x）＝lnx+，x∈（0，3]，所以k＝F′（x0）＝≤，在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]（7分）当x0＝1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（9分）（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，f（x）＝lnx+x，因为方程f（x）＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x＝mx有唯一实数解．∴，设g（x）＝，则g′（x）＝．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）＝1，g（e2）＝1+＝1+，g（e）＝1+，所以m＝1+，或1≤m＜1+．。
天津市南开区2015届高三数学第二次模拟考试试题 文
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测〔二〕数 学 试 卷〔文史类〕本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部．共150分，考试时间120分钟．第1卷1至2页，第2卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第1卷须知事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、某某号、考试科目涂在答题卡上；2．每一小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每一小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34R 3，P (A ∪B )=P (A )+P (B )．其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 〔1〕设i 是虚数单位，如此复数ii65 =〔 〕． 〔A 〕6–5i 〔B 〕6+5i 〔C 〕–6+5i 〔D 〕–6–5i〔2〕命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，如此p 是〔 〕．〔A 〕x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 〔B 〕x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 〔C 〕x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 〔D 〕x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0〔3〕某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，如此抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为〔 〕．〔A 〕10〔B 〕11 〔C 〕12〔D 〕13〔4〕如下函数是奇函数的是〔 〕．〔A 〕f (x )=–|x |〔B 〕f (x )=lg(1+x )–lg(1–x ) 〔C 〕f (x )=2x+2–x〔D 〕f (x )=x 3–1〔5〕如下列图的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64〞的值，如此判断框内可以填入〔 〕．〔A 〕k ＜132? 〔B 〕k ＜70? 〔C 〕k ＜64? 〔D 〕k ＜63?〔6〕双曲线C ：22x a–22y b =1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，如此C 的方程为〔 〕．〔A 〕220x –25y =1〔B 〕25x –220y =1〔C 〕280x –220y =1〔D 〕220x –280y =1〔7〕函数f (x )=sin(x +4π)〔x ∈R ，＞0〕的最小正周期为，将y=f (x )的图象向左平移||个单位长度，所得图象关于y 轴对称，如此的一个值是〔 〕． 〔A 〕2π〔B 〕83π〔C 〕4π〔D 〕8π〔8〕在△ABC 中，假设|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，如此AE •AF =〔 〕．〔A 〕98 〔B 〕910 〔C 〕925 〔D 〕926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测〔二〕答 题 纸〔文史类〕题 号二三总分(15) (16) (17) (18) (19) (20)得 分第2卷须知事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分． 得 分 评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每一小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理
天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．105．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．2πD．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名．若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取名．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则A∩∁R B=．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A 作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n（﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答：解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．2πD．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，根据空间线面关系，找出正确选项．解答：解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：根据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，a n进而发现数列{a n}是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=b n+┉+b2+b+1．a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，a n=b n故数列{a n}是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得．由于，可得=0．利用•==即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．∵A（0，3），C（4，0），∴．∵，∴=0．∴•====8﹣=．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名．若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取40名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2014-2015学年高一应抽取的学生数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．解答：解：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则A∩∁R B=（1，2]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分a﹣2为0与不为0两种情况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A，求出使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，根据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，综上，a的范围为﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的所有实数a构成的B=（﹣∞，1），∴∁R B=[1，+∞），则A∩∁R B=（1，2]．故答案为：（1，2]点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A 作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac 的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）根据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线互相垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最后由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC，则=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E的平面角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣（9分）设平面AEC的法向量=（x，y，z），根据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）假设侧棱PC上存在一点F，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，则⋅=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n（﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S n，最后利用a n=S n﹣S n﹣1求得答案．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中a n，求得b n，设出C n，分n为偶数和奇数时的T n．（Ⅲ）根据数列为递减数列，只需满足C n+1﹣C n＜0，求得﹣的最大值，即可求得λ的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知=，且S1=a1=1，当n≥2时，S n=S1••…•=1•••…•=，S1也适合，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，且a1也适合，∴a n=．（Ⅱ）b n=4（）2=（n+1）2，设C n=（﹣1）n（n+1）2，当n为偶数时，∵C n﹣1+C n=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，T n=（C1+C2）+（C3+C4）+…（C n﹣1+C n）=5+9+…+（2n﹣1）==，当n为奇数时，T n=T n﹣1+C n=﹣（n+1）2=﹣，且T1=C1=﹣4也适合．综上得T n=（Ⅲ）∵C n=2n（﹣λ），使数列{C n}是单调递减数列，则C n+1﹣C n=2n（﹣﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，则（﹣）max＜λ，∵﹣==，当n=1或2时，（﹣）max=，∴λ＞．点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a n=S n﹣S n﹣1一定要a1对进行验证．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的极小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：因为函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：因为，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．。
天津市南开中学2025届高三上学期统练2数学试题(含答案)
2025届南开中学高三数学统练2一､单选题（每小题5分，共45分）1.已知数集满足：，若，则一定有：（）A. B. C. D.2.设为虚数单位，，则实数（ ）A.2 B.1 C.0 D.3.函数的图象大致是（ ）A. B.C. D.4.某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下：（万元）34567（万元）4550606570由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（）A.89.5 B.90.5C.92.5D.94.55.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（ ）A. B. C. D.A B ､{}{}1,2,3,1,2,3,4,5A B A B ⋂=⋃=4A ∉5A ∈5A ∉4B ∈4B ∉i 2i 1i 1i a +-=+a =1-()()22e x f x x x =-x y x y y x ˆˆˆy bx a =+ˆ 6.5b=10x =y ()f x R [)0,∞+()40f =()()3120x f x -<12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭()12,2,3∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()1,2,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭6.已知函数满足：，则；当时，则（）A. B. C. D.7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ）A.B.C.D.9.函数满足：当时，是奇函数.记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ）A. B. C. D.1二､填空题（每小题5分，共30分）10.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是__________.11.的展开式中，不含字母的项为__________.()f x 4x ≥()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭4x <()()1f x f x =+()22log 3f +=1241121838()()33e 103(0)x x f x x x a x ⎧-≥=⎨-++<⎩[)2,∞+a [)4,∞+()4,∞+[)3,∞+()3,∞+R ()f x ()f x [)0,∞+()1433log 4log 52f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4133log 5log 42f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1433log 4log 52f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4133log 5log 42f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 0x >()()321,122,23x x f x y f x x -<≤==+⎨+>⎪⎩x ()()102f x kx k -+=∈R 12,,,m x x x ()172m i i f x ==-∑k 1118171254()()257m f x m m x =-+y m 6212xy y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭y12.计算的值为__________.13.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为__________.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为__________.14.已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为__________.15.设函数，若有三个零点，则的取值范围是__________.三､解答题16.（14分）已知函数.（1）若函数在上的最大值为8，求实数的值；（2）若函数在上有唯一的零点，求实数的取值范围.17.（15分）已知函数，其中是大于0的常数.（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若对任意恒有，试确定的取值范围.18.（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面.34223log 32log 9log log 64⋅-+0.5,0.4()()2ln f x x ax a =--121,,2x x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()12120f x f x x x -<-a ()ln ,0e 2ln ,e x x f x x x ⎧<≤=⎨->⎩()f x C =123x x x <<31211x x x ++()()242log log 2f x x m x =-+()y f x =1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()y f x =()1,2m ()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a ()f x ()1,4a ∈()f x [)2,∞+[)2,x ∞∈+()0f x >a P ABCD -ABCD AD ∥,BC CD AD ⊥22AD CD BC ===PAD ⊥,,ABCD PA PD PA PD ⊥=（1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线所成角的余弦值；（2）求平面和平面的夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由.19.（15分）已知椭圆C ：，左､右焦点分别为，直线交椭圆于两点，当直线过点时，的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为轴上一点，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点的坐标.20.（16分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不同的根.（i ）求的取值范围；（ii ）证明：.E AB F PC ,BC EF PAC PAD PC M BM ⊥PCD PM PC()222210x y a b a b +=>>12,F F ():20l y kx k =+>C ,M N l 1F 2MNF V C P x PMN V P l P ()()ln e x f x ax =e ()f x ()1f x =12,x x a 22122x x +>2025届南开中学高三数学统练2试卷答案一､单选题123456789C C A B D A A A D二､填空题10111213141528；三､解答题16.【详解】解：因为，令，则，（1）因为，所以，所以当，即时，此时当，即时，取最大值，即，解得，满足；当，即时，此时当时，即时，取最大值，即，解得，满足.所以实数的值为1或.（2）因为，所以，因为函数在上有唯一的零点，且在是增函数，所以函数在上有唯一的零点，令，因为，①当，即时，满足题意②当，则时，此时，令，解得或，不满足；2120x 0.70.2211,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦212e ,e 2e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()()()22422222log log 2log log 2log log 2f x x m x x m x x m x =-+=-+=-+2log t x =22y t mt =-+1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,2t ∈-[]22222,2,224m m y t mt t t ⎛⎫=-+=-+-∈- ⎪⎝⎭..02m 0m ≥2t =-14x =y 4228m ++=1m =02m <0m <2t =4x =y 4228m -+=1m =-m 1-()1,2x ∈()0,1t ∈()y f x =()1,22log t x =()1,222y t mt =-+()0,1()22g t t mt =-+()()02,13g g m ==-()130g m =-<3m >()130g m =-=3m =()232g t t t =-+()2320g t t t =-+=1t =2t =③当时，且此时无解；综上，实数的取值范围为.17.解：（1）由，得，当时，恒成立，定义域为，当时，定义域为且，当时，定义域为或.（2）设，当时，.因此在上是增函数，在上是增函数.则.（3）对任意，恒有.即对恒成立..令.由于在上是减函数，.故时，恒有.因此实数的取值范围为.()130g m =->201,280,m m ⎧<<⎪⎨⎪-=⎩m ()3,∞+20a x x +->220x x a x-+>1a >220x x a -+>()0,∞+1a ={0xx >∣1}x ≠01a <<{01x x <<∣1x >()2a g x x x=+-()[)1,4,2,a x ∞∈∈+()22210a x a g x x x-=-=>'()g x [)2,∞+()f x ∴[)2,∞+()min ()2lg 2a f x f ==[)2,x ∞∈+()0f x >21a x x+->[)2,x ∞∀∈+23a x x ∴>-()[)23,2,h x x x x ∞=-∈+()23924h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭[)2,∞+()max ()22h x h ∴==2a >()0f x >a ()2,∞+18.（1）解：取中点，连接，因为，所以因为平面平面，平面平面且平面所以平面，又因为平面平面，所以因为，所以所以四边形是平行四边形，所以，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，可得，设异面直线所成角为，则所以异面直线（2）解：由（1）得，.设平面的法向量为，则AD O ,OP OB PA PD =PO AD⊥PAD ⊥ABCD PAD ⋂,ABCD AD =PO ⊂,PAD PO ⊥ABCD OA ⊂,PAD OB ⊂PAD ,,PO OA PO OB ⊥⊥,CD AD BC ⊥∥,2AD AD BC =BC ∥,,OD BC OD =OBCD OB AD ⊥O ,,OA OB OP ,,x y z ()()0,0,0,1,0,0O A ()()()0,2,0,1,2,0,1,0,0B C D --()1110,0,1,,1,0,,,1,222P E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,0,0,1,0,2BC EF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ,BC EF θcos cos ,BC EF BC EF BC EF θ⋅=<>=== ,BC EF ()2,2,0AC =- ()1,0,1AP =- PAC (),,n x y z =，令，可得，所以，因为平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则所以平面和平面（3）解：设是棱上一点，则存在使得，设，则，，所以.所以，所以.所以因为，且，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量.若平面，则，所以，此时方程组无解，所以在棱上不存在点，使得平面.19.（1）的周长为8，由椭圆的定义得，所以.2200n AC x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =1,1y z ==()1,1,1n =PAD ()0,2,0OB = PAC PAD αcos cos ,n OB n OB n OBα⋅=<>== PAC PAD M PC []0,1λ∈PM PC λ= ()000,,M x y z ()000,,1PM x y z =- ()1,2,1PC =-- ()()000,,11,2,1x y z λ-=--000,2,1x y z λλλ=-==-(),2,1M λλλ--(),22,1,BM λλλ=--- ,AP PD AP CD ⊥⊥CD PD D ⋂=,CD PD ⊂PCD PA ⊥PCD ()1,0,1PA =- PCD BM ⊥PCD BM ∥PA2201λλλ-=⎧⎨=-⎩PC M BM ⊥PCD 2MNF V 48a =2a =椭圆，所以所以故椭圆的标准方程为.（2）设的中点为，联立消去得，因为直线与椭圆交于两点，所以，解得，①②.则，代入，得，故，由题意知，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，，故，即，故，即，解得③，故，由，得，即，C c e a ==c =b ==C 22142x y +=()()1122,,,,M x y N x y MN ()00,Q x y (),0P m 222,1,42y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2221840k x kx +++=l C ,M N ()22Δ6416210k k =-+>212k >122821k x x k -+=+122421x x k =+02421k x k -=+2y kx =+02221y k =+2242,2121k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭PMN V P PQ MN ∴⊥1PQ MN k k ⋅=-222211421k k k m k +⋅=---+1PQ MNk k ⋅=-222211421k k k m k +⋅=---+2221k m k -=+22,021k P k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭PM PN ⊥1PM PN k k ⋅=-12121y y x m x m ⋅=---整理得，将①②③代入上式，化简得，解得，因为，所以，故直线的方程为，点的坐标为.20.（1）由题意得，，由，得.若，则当时，单调递增，当时，单调递减；若，则当时，单调递减，当时，单调递增.综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增.（2）（i ）由，得.设，由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减，又，当时，，当时，，所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，()()()2212121240k x x k m x x m ++-+++=()22222133102121k k k k --+=++21k =0k >1k =l 2y x =+P 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()()ln e 1ln x x f x ax ax+==()()2ln 0,,x x f x ax ∞=-'∈+()0f x '=1x =0a >01x <<()()0,f x f x '>1x >()()0,f x f x '<0a <01x <<()()0,f x f x '<1x >()()0,f x f x '>0a >()f x ()0,1()1,∞+0a <()f x ()0,1()1,∞+()ln e 1x ax =1ln x a x+=()ln ax x g x x+=()g x ()0,1()1,∞+()10,11e g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭1x >()0g x >x ∞→+()0g x →01a <<1ln x a x+=()ln e 1x ax =故的取值范围是.（ii ）证明：不妨设，则且，设则，所以在区间内单调递增，又，所以，即，又，所以，又在区间内单调递减，所以，即，所以，得证.a ()0,112x x <1201x x <<<1212ln 1ln 1x x x x ++=()()()11ln 1ln x h x g x g x x x x +⎛⎫=-=--⎪⎝⎭()222ln 1ln ln 0x x h x x x x x'--=+=⋅≥()h x ()0,∞+()10h =()()11110h x g x g x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()111g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()21g x g x =()211g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()2111,1,x g x x >>()1,∞+211x x >121x x >22121222x x x x +>>。