利用旋转解决几何问题精品课件
例 3 如图 3，将边长为 2 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一
个绕点 B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为 4 3
多少 解：连结BH。
由旋转可知，Rt△BA' H RtBCH
又因为 SBCH
14 23
3
所以 1 BC HC 2 3
2
3
又BC=2，所以HC 2 3 3
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11、人总是珍惜为得到。20.9.3019:53: 1119:5 3Sep-2 030-Se p-20
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12、人乱于心，不宽余请。19:53:1119:53:1119:53Wednesday, September 30, 2020
1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，M、N 是斜边 AB 上的 点，且∠MCN=45°，AM=3，BN=5，则 MN= 34 ．
分析：基于在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC 及 AM、BN、MN 共线特点的考虑，选择旋转法 解答，目的就是设法将这三条线段以等线段替换的方式集中在一个三角形中．将△ACM 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△BCQ，连结 QN
图形的旋转
基础回顾
旋转具有以下特征：
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等； （4）图形的形状和大小都不变。
旋转的思想：旋转是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而 将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的 解决，它是一种要的解题方法。
而PA、PD、PC三条线段较为分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条 线段以等线段替换方式集中在一个三角形中．
将△APD绕点C顺时针旋转90°得到△CDE，连结PE
CE2+PE2=9k2，CP2=9k2，即CE2+PE2= CP2
如图 6，正方形 ABCD 的边长为 1，AB、AD 上各存一点 P、Q，
则以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是
多少？
A
O
B
C
图2
分析：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。
提示：△BOM是等边三角形
（二）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时 针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个 ΔP' CP为等腰直角三角形。
提示：△ BNQ为Rt△ 提示：△MCN≌△QCN
推论：在解题过程中，会发现图形中的线段AM、BN、MN组成一个直角三角形， 即有结论：MN2=AM2+BN2．
类比练习：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 是 BC 上的
任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．
A
B
D
C
提示：将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE，连结 ED．
P
B
C
分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中， 为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。
提示1：△BPH是等边三角形 提示2：△HCP是Rt△ 提示3：∠HPC=30° ？！ 提示4： △BCP是Rt△
2 如图 2，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，
由勾股定理得
3 ，则这个旋转的角度为
BH 2 22 ( 2 3 )2 4 4 16
3
33
BH 4 3 3
在Rt△BCH中， HC 2 3 ，BH 4 3
3
3
所以∠HBC=30°
所以∠ A'BC=60°，∠ ABA'
=30°， 所以这个旋转角为30°
Hale Waihona Puke 4.如图 4，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与 CBP' 重合， 若 PB=3，求 PP' 的长。
简析：线段 PA，PB，PC 比较分散 可以利用旋转将它们集中到 一个三角形中，为此可将△ACP 绕 A 点逆时针旋转 60°可得△ABPˊ
提示：△APPˊ 为正三角形 提示：△PBPˊ 为直角三角形
1.如图 1 所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，
A
PA=2，PB= 2 3 ，PC=4，求△ABC 的边长。
例2．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3 ，PB=1，PC=2。求∠ BPC的度数。
1350
分析：将ΔACP绕C点逆时针旋转90度，AC与 BC重合，得ΔCBPˊ
提示1： ΔCBPˊ为等腰直角三角形 提示2： ΔBPPˊ为直角三角形 ( ⊙o⊙?)
32
图4
提示：将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，实际上就是把△ABP顺时 针方向旋转90°可得△BCP`，即<PBP`=90°。
如图 5, P 是正方形 ABCD 内一点，且满足 PA：PD：PC=1：2：3， 则∠APD= 135°.
分析：设PA=k，则PD=2k，PC=3k(k>0)
图5
若△APQ 的周长为 2，求∠PCQ 的度数。
D C
Q A
PB
图6
把△CDQ绕点C旋转90°到△CBF的位置，CQ=CF。
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.9.3020.9.30Wednesday, September 30, 2020
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。19:53:1119:53:1119:539/30/2020 7:53:11 PM
一、旋转在解三角形中的应用
（一）正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB 与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于 图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例 1. 如图：（1-1）：设 P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4， PC=5，∠APB 的度数是___1_5_0_0__.
提示：△BED 为Rt △ △AED 为Rt △
( ⊙o⊙?)
二、旋转在正方形中的运用
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转 900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段 集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。
利用旋转解决几何问题
利用旋转解决几何问题一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
二、旋转的三要素1、旋转中心：旋转时的定点；2、旋转方向：顺时针或者逆时针；3、旋转角：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
三、旋转的性质旋转只改变图形的位置，而不改变图形的大小和形状。
1、图形中的每一点都绕着旋转中心转动了同样大小的角度；2、对应点到旋转中心的距离相等；3、对应角、对应线段相等。
旋转伴随着几何元素位置的变化会使得这些元素重新组合，会产生新的角或者新的多边形。
四、与旋转相关的几何题型（一）以等边三角形为背景的旋转60。
1、方法:一般将与等边三角形共边的三角形顺时针或者逆时针旋转02、结果：连接对应点出现新的等边三角形。
常会结合勾股定理、勾股定理的逆定理解题。
等边△ABC，P是△ABC形内一点，连结PA、PB、PC，以点A为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60度，可以得到△APD为等边三角形，可以将PA、PB、PC三边组成一个新三角形△PCD,已知PA、PB、PC的长可以求出∠APB、∠APC、∠BP C，因为初中没学余弦定理，所以涉及求角度时△PCD一般是直角三角形。
模型一：点P在△ABC的内部模型二：点P在△ABC的外部3、相关题型1、如图3-6-8，在等边△ABC中，AB=6,D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,那么线段DE的长度为．2、设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求 APB的度数？3、点O 是△ABC 内的一点，已知0125115=∠=∠BOC AOB ，，求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角度数是多少？4、设P 是等边△ABC 内的一点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长？5、如图3-6-10，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为 ．6、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AM N ∆的周长？7、如图，已知△ABC 为等边三角形，M 为三角形外任意一点，证明：AM ≤BM+CM.8、如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关NM DCBANMEDC BA系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动． 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（二）以等腰三角形为背景的旋转1、方法：一般将与等腰三角形共边的三角形顺时针或逆时针旋转与其顶角相等的度数。
华师大版七年级下册数学10.图形的旋转说课课件
五、板书设计：
10.3.图形的旋转
1、 旋转的概念。
对应点
2、旋转的特征。
对应线
对应角
2、学法 学生通过自主学习、合作学习和探究学习，到达多思、多说、 多练，激发学生的学习兴趣。
教学过程设计
1．创设情景，激发学生的学习兴趣，请一 位学生来黑板上来完成俄罗斯方块的游戏， 另一位同学把的游戏操作用语言表达出来。
教师问：玩这个游戏的关键是什么？ “旋转”
［设计意图］从游戏入手，激发学生的学习兴趣，活跃 课堂氛围，引出本节课的主要内容——旋转，培养学生 运用数学知识，解决实际问题的意识。
【设计意图】通过回忆图形平移的特征，类比推理得 出图形旋转的特征。考察小组合作探究能力，同时也 能提高学生的视察能力。
例题讲授
A
例1 如图，△ABC是等边三角形，D
是BC上一点，△ABD经过旋转后到
达△ACE的位置。
M
（1）旋转中心是哪一点？
E
（2）旋转了多少度？
（3）如果M是AB的中点，那么经 B D
讲授新课
一 旋转的概念
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点O称为旋转中心
o 旋转中心
转动的角∠POP'称为旋转角
旋转角
［设计意图］使学生了解对旋转的概念，为
接下来的学习奠定基础。
P
P'
2.旋转的特征
回忆平移的特征，仔细视察图形，小组合作探究，讨 论旋转的特征。
《图形的旋转二》课件
详细描述
与前两种旋转不同，绕任意点旋 转更加灵活，可以根据需要选择 任意一点作为旋转中心。通过这 种旋转，我们可以实现更加复杂
的图形变换。
举例
例如，一个圆形绕其上任意一点 旋转一定角度后，会形成一个新
的圆形或椭圆。
旋转的组合与分解
总结词
旋转的组合是指将多个旋转操作按照一定顺序进行组合，以实现更加复杂的图形变换；而旋转的分解则是将一个复杂 的旋转操作分解为多个简单的旋转操作。
在计算机图形学中的应用
动画制作
在计算机动画制作中，旋转是一 种常见的变换方式。通过旋转， 可以制作出各种动态效果，例如
旋转的文字、旋转的图像等。
游戏开发
在游戏开发中，旋转是一种常见的 物理效果。例如在射击游戏中，子 弹的飞行轨迹可能会受到重力的影 响而发生旋转。
虚拟现实
在虚拟现实中，旋转是模拟现实世 界的重要手段之一。例如在模拟飞 行游戏中，玩家可以通过旋转来控 制飞机的方向和姿态。
四元数定义
四元数是用于描述旋转的复数，由一个实部和三个虚部组成，具有反对称性和模 长为1的特点。
旋转向量
旋转向量是描述物体旋转的向量，其方向与旋转轴一致，模长与旋转角度成正比 。通过四元数，可以将旋转向量转换为四元数形式，用于描述旋转。
旋转的微分与积分
微分旋转
微分旋转是指在极短的时间内完成的 旋转，其描述了旋转的速度和方向。 通过微分旋转，可以推导出物体的角 速度和角加速度。
《图形的旋转二》课件
汇报人： 日期:
目录
• 旋转的定义与性质 • 旋转的种类与操作 • 旋转的应用 • 旋转的数学模型 • 旋转的实践操作 • 习题与思考题
01
旋转的定义与性质
旋转的基本概念
旋转与勾股定理的三种题型ppt课件
变式3： 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三 个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此 正方形ABCD面积。 变式4：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC= 1：2：3，求∠APB的度数。
12
下课了!
诲 •悟性的高低取决于有无悟“心 人 ”,其实,人与人的差别就在于你 不 是否去思考, 去发现，去总结。 倦
由勾股定理的逆定理知∠APPl=90o
∠APB=∠APPl+∠BPPl=900+600=1500
10
变式1：如图，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
变式2：如图1，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=3a，PB=4a，PC=5a，求∠APB的度数。
7
（一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针 方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化， 将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
8
例3
如图，点P是等边△ABC内一点，且PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数。
23
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选C．
24
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理， 创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2 由弦图记 图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1， S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.
利用旋转解决几何问题
利用旋转解决几何问题在几何学中，旋转是一种常见的解决问题的方法。
通过将形状绕着某一点或某一轴旋转，可以得到新的形状，从而解决一些原本复杂的几何问题。
本文将通过几个例子，介绍如何利用旋转来解决几何问题。
一、旋转体的体积计算旋转体的体积计算是旋转解决几何问题的经典应用之一。
考虑一个曲线y=f(x)，如果将该曲线绕x轴旋转一周，就可以得到一个旋转体。
我们可以利用旋转体的性质来计算其体积。
例如，我们要计算曲线y=x^2在x=0到x=1之间的旋转体体积。
首先，我们将曲线绕x轴旋转，得到一个旋转体。
然后，我们将该旋转体切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δx。
每个薄片在x轴上的宽度为Δx，高度为f(x)。
因此，该薄片的体积可以用V=π(f(x))^2Δx来表示。
最后，将所有薄片的体积相加，即可得到旋转体的体积。
二、旋转体的表面积计算除了计算旋转体的体积，我们还可以计算旋转体的表面积。
同样，我们可以将旋转体切割成薄片，每个薄片在x轴上的宽度为Δx。
但是，不同于计算体积时使用薄片的高度f(x)，计算表面积时，我们使用薄片的周长。
例如，考虑一个曲线y=√x在x=1到x=4之间的旋转体。
我们可以将该旋转体切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δx。
每个薄片在x轴上的宽度为Δx，周长为2πf(x)。
因此，该薄片的表面积可以用S=2πf(x)Δx来表示。
最后，将所有薄片的表面积相加，即可得到旋转体的表面积。
三、旋转体的质心计算旋转体的质心是指旋转体的重心或质量中心，即旋转体的几何中心。
我们可以利用旋转解决几何问题的方法来计算旋转体的质心。
以曲线y=x为例，我们要计算其在x=0到x=1之间的旋转体的质心。
首先，我们将曲线绕x轴旋转，得到一个旋转体。
然后，根据物理学的原理，质心可以通过计算各个薄片的质心位置得到。
每个薄片的宽度为Δx，高度为f(x)。
根据几何学中的平均值定理，每个薄片的质心位置x可以用公式x=∫xf(x)Δx/∫f(x)Δx来表示。
《旋转》优秀教学课件精选
《旋转》优秀教学课件精选一、教学内容本节课选自教材《数学》第七章第五节“旋转”。
详细内容包括旋转的定义、性质、应用等，特别是旋转在平面直角坐标系中的变换规律及其应用。
二、教学目标1. 理解旋转的定义，掌握旋转的基本性质。
2. 学会使用旋转在平面直角坐标系中进行坐标变换。
3. 能够将旋转知识应用于解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：旋转的性质及其在平面直角坐标系中的坐标变换。
教学重点：旋转的定义，旋转在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、旋转演示模型。
学具：直尺、圆规、量角器、坐标纸。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的旋转现象，如风车旋转、地球自转等，引出本节课的主题——旋转。
2. 新课内容：(1) 旋转的定义：介绍旋转的概念，结合实际例子进行讲解。
(2) 旋转的性质：讲解旋转的三个基本性质，结合教具进行演示。
(3) 旋转在平面直角坐标系中的坐标变换：通过例题讲解，让学生学会旋转的坐标变换方法。
3. 随堂练习：布置一些有关旋转的练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
4. 知识应用：结合实际例子，让学生运用旋转知识解决具体问题。
六、板书设计1. 旋转2. 定义：旋转的概念及符号表示。
3. 性质：旋转的三个基本性质。
4. 坐标变换：旋转在平面直角坐标系中的坐标变换方法。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 判断下列图形是否为旋转，若为旋转，请说明旋转中心和旋转角。
(2) 在平面直角坐标系中，将点A(2,3)绕原点逆时针旋转90°，求旋转后的坐标。
2. 答案：(1) 图形1：旋转，旋转中心为O，旋转角为90°。
图形2：旋转，旋转中心为O，旋转角为180°。
(2) 旋转后的坐标为A'(3,2)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对旋转的定义、性质及坐标变换掌握情况，及时调整教学方法，提高教学效果。
2. 拓展延伸：引导学生探索旋转与翻转、平移等其他几何变换的关系，培养学生的空间想象能力和创新意识。
旋转完整版课件
旋转完整版课件一、教学内容本节课将深入探讨几何变换中的旋转概念。
教学内容依据教材第八章第二节“平面几何的旋转”，具体包括旋转的定义、性质、应用以及在实际问题中的解决方法。
详细内容涉及旋转图形的作法、对称性质、中心对称和旋转角度的计算。
二、教学目标1. 让学生理解旋转的定义，掌握旋转图形的基本性质。
2. 培养学生运用旋转解决实际问题的能力，包括图形的绘制和角度的计算。
3. 培养学生的空间想象力和创造力，能够将旋转概念应用到艺术和日常生活中。
三、教学难点与重点教学难点：旋转中心的选择和旋转角度的计算。
教学重点：旋转图形的性质和实际应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、旋转演示模型、三角板、量角器。
学具：练习本、铅笔、直尺、三角板、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（10分钟）利用多媒体展示风车旋转、地球自转等实际生活中的旋转现象，引导学生发现旋转的普遍性和美感。
2. 理论讲解（15分钟）讲解旋转的定义，介绍旋转中心、旋转角等基本概念，并通过旋转演示模型具体展示旋转过程。
3. 例题讲解（15分钟）通过例题详细讲解旋转图形的绘制方法和角度计算，强调对称性质的应用。
4. 随堂练习（10分钟）分组发放练习题，要求学生现场绘制旋转图形，并计算旋转角度，教师巡回指导。
5. 小组讨论（10分钟）学生就练习中的难点和问题进行小组讨论，教师参与指导，共同寻找解决策略。
六、板书设计板书分为三部分：1. 定义与性质：清晰列出旋转的定义、性质、旋转中心、旋转角等关键词。
2. 例题与解答：展示例题，并逐步呈现解题过程和答案。
七、作业设计1. 作业题目（1）绘制一个图形，并进行90度旋转。
（2）计算一个给定图形绕某点旋转60度后的新位置。
2. 答案（1）见教材第88页图84。
（2）具体解答见教材第89页例题5。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过课堂练习和作业反馈，分析学生在旋转概念理解和应用上的掌握情况，针对个别问题进行个性化辅导。