(完整版)平面向量数量积授课优秀教案

平面向量的数量积授课教案张辉

授课内容：平面向量的数量积

授课类型：复习课

授课教师：张辉

教学目标：

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

教学重点：平面向量数量积的运算

教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处理

命题走向：

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测09年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

教学过程：

一．知识点梳理

（1）数量积的概念

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫

做a 与b 的数量积（或内积）。规定00a ⋅=；

向量的投影：︱b ︱cos θ=||

a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

（2）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。 （3）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。 ②乘法公式成立

()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+2

22a a b b =±⋅+； ③平面向量数量积的运算律

交换律成立：a b b a ⋅=⋅； 对实数的结合律成立：()()()

()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈； 分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。 ④向量的夹角：cos θ=cos ,a b

a b a b •<>=•=222221212

121y x y x y y x x +⋅++。

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 （4）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +。 （5）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔02121=+y y x x ，平

面向量数量积的性质。

（6）平面内两点间的距离公式

设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=。 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)。

二：典例解析

例1：已知向量a=(cosa,sina),b=(cos ,sin )a b ββ≠±且.那么 a+b 与a-b 的夹角的大小是？ 分析：()()cos ,a b a b a b a b a b a b +•-<+->=+-，易得

()()0a b a b +•-= 2πθ∴=

例2

：已知2a b ==。

（1） 若a 与b 的夹角为0150，求2a b +

（2） 若a-b 与a 垂直，求a 与b 夹角的大小

分析：通常用一个向量与自身做内积来求它的模，当两个向量互相垂直时它们的内积为0 , 本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。

2a b +=

==解：

2

2a b ====因为上式 例3．已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件

求实数λ的值。（1）m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n =。

解析：()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=

（1）m n ⊥()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ9

52-

=⇒λ； （2）//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ； (3)m n =()()088458723422222=--⇒+=-++⇒

λλλλ

51122±=⇒λ。 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

三．练习：

1．判断下列各命题正确与否：

（1）00a ⋅=； （2）00a ⋅=；

（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；

（4）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立；

（5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立； （6）对任意向量a ，有22a a =。

学生完成，教师点评：

（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a ⋅0为零向量，而a ⋅0为零。

2.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b 等于（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．1

点评：选择B,掌握向量数量积的逆运算Q b b a a cos ||||=22

||a a =。