高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2.3圆与圆的位置关系课件理
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2025届高中数学一轮复习课件《圆的方程及直线与圆的位置关系》ppt
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第14页
3．若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则点 P(a，b)与圆 x2＋y2＝1 的关系为( )
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．以上都有可能
解析：∵|a×0＋a2b＋×b02－1|<1，∴a2＋b2>1，∴点 P(a，b)在圆外．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
1＋k2 过点 B(－2,0)时，直线 l 的斜率 k＝2－4－－02＝1，则直线 l 与半 圆有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为34，1.故选 A.
l 的倾斜角：相切逆―时―→针过 B 点．
第29页
l
高考一轮总复习•数学
第30页
(3)已知圆 O：x2＋y2＝4 上到直线 l：x＋y＝a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的 即圆心 O 到 l 的距离 d＜3.
高考一轮总复习•数学
方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得2－－2a－2a＋2＋－3－－5b－2b＝2r＝2，r2，
a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
第20页
高考一轮总复习•数学
第21页
方法三：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2 ，－E2.
2．以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
高考一轮总复习•数学
第10页
3．圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2； 切线：y－y0＝－xy00(x－x0)(y0≠0)， 即 y0y＋x0x＝x20＋y20＝r2， 即 x0x＋y0y＝r2(留一代一)． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2； (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y ＝r2.
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第九章
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
高考数学一轮复习第九章9.3直线与圆、圆与圆的位置关系课件文
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆 的方程： (1)经过 P(－2,4)、 Q(3，－1) 两点， 并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上， 且
方法二
设所求方程为(x－x0)2＋(y
－y0)2＝r2，
根据已知条件得 y0＝－4x0， 3－x02＋－2－y02＝r2， |x0＋y0－1| ＝r， 2
2 2 x2＋ y2＋ Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D ＋E －4F>0 ，
知识回顾 理清教材
半径 .
其中圆心为
D E － ，－ 2 2
，半径 r＝
D2＋E2－4F 2 .
基础知识·自主学习
要点梳理 5.确定圆的方程的方法和步骤
知识回顾 理清教材
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、 F 的方程组； (3)解出 a、 b、r 或 D、 E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x－ a)2＋(y－b)2＝ r2，点 M(x0，y0) 2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) ＝ r 0 0 (1)点在圆上： ；
与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2).
待定系数法求解.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 与 x 轴相切，圆心在直线 3x－y＝0 上，且被直线 x－ y＝0 截得的弦长为 2 7的圆的方程为 2 2 2 2 ( x － 1) ＋ ( y － 3) ＝ 9 或 ( x ＋ 1) ＋ ( y ＋ 3) ＝9 _____________________________________.
【例 1】 根据下列条件，求圆 的方程： (1)经过 P(－2,4)、 Q(3，－1) 两点， 并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上， 且
方法二
设所求方程为(x－x0)2＋(y
－y0)2＝r2，
根据已知条件得 y0＝－4x0， 3－x02＋－2－y02＝r2， |x0＋y0－1| ＝r， 2
2 2 x2＋ y2＋ Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D ＋E －4F>0 ，
知识回顾 理清教材
半径 .
其中圆心为
D E － ，－ 2 2
，半径 r＝
D2＋E2－4F 2 .
基础知识·自主学习
要点梳理 5.确定圆的方程的方法和步骤
知识回顾 理清教材
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、 F 的方程组； (3)解出 a、 b、r 或 D、 E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x－ a)2＋(y－b)2＝ r2，点 M(x0，y0) 2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) ＝ r 0 0 (1)点在圆上： ；
与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2).
待定系数法求解.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 与 x 轴相切，圆心在直线 3x－y＝0 上，且被直线 x－ y＝0 截得的弦长为 2 7的圆的方程为 2 2 2 2 ( x － 1) ＋ ( y － 3) ＝ 9 或 ( x ＋ 1) ＋ ( y ＋ 3) ＝9 _____________________________________.
高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件
y12 =4x1,②
由①②得 y12 -2y0y1+2 y02 -12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y02<12. ∴r2=(3-5)2+ y02 =4+ y02 <16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
9.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与
垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= | AC |2 22 = 40 4=6.故 选C.
6.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ 5 =0或2x+y- 5 =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5 =0或2x-y- 5 =0
2
3.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
| a 4 1| =1,解得a=- 4 .故选A.
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
, 到直线： − − = 的距离 =
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高考数学一轮复习第九章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课件理(2).ppt
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关 系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只 有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率 不存在的切线．
过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切点分 别为 P，Q，则线段 PQ 的长为________．
答案：(1)A (2)D (Fra bibliotek)D判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离， 注意求距离时直线方程必须化成一般式．
[典题 2] (2015·新课标全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为
k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在 圆 N 上，从而 ON⊥PM. 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－13， 故 l 的方程为 y＝－13x＋83. 又|OM|＝|OP|＝2 2，O 到 l 的距离为4 510， |PM|＝4 510，所以△POM 的面积为156.
又点 C(1,2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线 x＝3 是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)， 即 kx－y＋1－3k＝0， 则圆心 C 到切线的距离 d＝|k－2k＋2＋1－1 3k|＝r＝2，解得 k＝34. ∴切线方程为 y－1＝34(x－3)，即 3x－4y－5＝0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3＝0 或 3x－4y－5 ＝0.∵|MC|＝ 3－12＋1－22＝ 5， ∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2－r2＝ 5－4＝1.
2019高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.3点、线、圆的位置关系课件
(2t+3)t2·m+(2t+3)2-1=0,
显然t4≠1,Δ=4(t4+4t2+12t+8),
且m1+m2=
2(2t t4
3)t 1
2
,m1·m2=(2t
t4
3)2 1
1
,
所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1)·2
t4
|
4t2 12t t4 1|
3
得 190 (x+3)2=1,所以,当P点坐标为
3
3 10 10
,
10 10
时,|PF|有最小值 10
-1.
(2)设R(2t,t2),过点R的圆的切线方程为
x-2t=m(y-t2),
令y=-1,则有x=2t-m(t2+1).
由题知点N到直线x-2t=m(y-t2)的距离为| 3 mt2 2t | =1,化简得(t4-1)m2-2 1 m2
方法技巧
方法 1 直线与圆的位置关系的解题策略
1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相切⇔圆心到直线的距离等于半径长⇔直线与圆只有一个 公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组只有一组解; (2)直线与圆相交⇔圆心到直线的距离小于半径长⇔直线与圆有两个公 共点⇔直线和圆的方程组成的方程组有两组解; (3)直线与圆相离⇔圆心到直线的距离大于半径长⇔直线与圆无公共点 ⇔直线和圆的方程组成的方程组无解. 2.判断直线和圆的位置关系的方法 用方程组解的个数或用圆心到直线的距离判断,一般情况下,后一种方 法相对简单,但如果判断两圆相交并求交点坐标,必须求方程组的解,这
知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.
显然t4≠1,Δ=4(t4+4t2+12t+8),
且m1+m2=
2(2t t4
3)t 1
2
,m1·m2=(2t
t4
3)2 1
1
,
所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1)·2
t4
|
4t2 12t t4 1|
3
得 190 (x+3)2=1,所以,当P点坐标为
3
3 10 10
,
10 10
时,|PF|有最小值 10
-1.
(2)设R(2t,t2),过点R的圆的切线方程为
x-2t=m(y-t2),
令y=-1,则有x=2t-m(t2+1).
由题知点N到直线x-2t=m(y-t2)的距离为| 3 mt2 2t | =1,化简得(t4-1)m2-2 1 m2
方法技巧
方法 1 直线与圆的位置关系的解题策略
1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相切⇔圆心到直线的距离等于半径长⇔直线与圆只有一个 公共点⇔直线和圆的方程组成的方程组只有一组解; (2)直线与圆相交⇔圆心到直线的距离小于半径长⇔直线与圆有两个公 共点⇔直线和圆的方程组成的方程组有两组解; (3)直线与圆相离⇔圆心到直线的距离大于半径长⇔直线与圆无公共点 ⇔直线和圆的方程组成的方程组无解. 2.判断直线和圆的位置关系的方法 用方程组解的个数或用圆心到直线的距离判断,一般情况下,后一种方 法相对简单,但如果判断两圆相交并求交点坐标,必须求方程组的解,这
知,该方程无整数解.故存在点R(0,0)满足题意.
2023版高考数学一轮总复习：圆的方程及直线圆的位置关系课件文
第九章
直线和圆的方程
第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系
要点提炼
考点1
圆的方程
1. 圆的定义与方程
定长
(a,b)
考点1
圆的方程
规律总结
(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.
2
2
2
2
(2)在圆的一般方程中:当D +E -4F=0时,方程x +y +Dx+Ey+F=0表示一个点(- ,- );
( ✕)
( √ )
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.
( ✕)
(5)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.
( ✕)
(6)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( √ )
(7)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直
R-r<d <R+r
____________
___________
d_________
>R+r ___________
_____
4
_____
3
________
2
1
0
考点3
圆与圆的位置关系
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
(*),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
y2=1,即x2+y2-2x=0.
直线和圆的方程
第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系
要点提炼
考点1
圆的方程
1. 圆的定义与方程
定长
(a,b)
考点1
圆的方程
规律总结
(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.
2
2
2
2
(2)在圆的一般方程中:当D +E -4F=0时,方程x +y +Dx+Ey+F=0表示一个点(- ,- );
( ✕)
( √ )
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.
( ✕)
(5)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.
( ✕)
(6)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( √ )
(7)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直
R-r<d <R+r
____________
___________
d_________
>R+r ___________
_____
4
_____
3
________
2
1
0
考点3
圆与圆的位置关系
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
(*),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
y2=1,即x2+y2-2x=0.
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[正解] (1)当直线的斜率不存在时，方程为 x＝－1. 此时圆心 C(1，－2)到直线 x＝－1 的距离 d＝|－1－1|＝2. 故该直线为圆的切线． (2)当直线的斜率存在时，设为 k， 则其方程为 y－1＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋1＝0. 由已知圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|k×1－k2＋－2－＋1k2＋1|＝2，
圆公共弦长．
(3)两圆位置关系与公切线条数
两圆位置关系
内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数
01234
撬题·对点题 必刷题
已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点 P(－1,1)的圆的切线方程为_x_＝__－__1__或__5_x_＋__1_2_y_－__7_＝__0_． [错解]
[错因分析] 没有对 k 进行分类讨论，从而遗漏了 k 不存在的情况．
撬法·命题法 解题法
Hale Waihona Puke [考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．
命题法 圆与圆的位置关系
典例 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，4若直线 y＝kx－2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是__3____．
代数
无实数解 一组实数解
两组实数解
特征
一组实数解 无实数解
公切线
4
3
2
条数
1
0
注意点 判别式与两圆的位置关系
在利用判别式 Δ 判断两圆的位置关系时，Δ>0 是两圆相交的充要条件，而 Δ＝0 是两圆外切(内切)的必
要不充分条件，Δ<0 是两圆外离(内含)的必要不充分条件.
1．思维辨析 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × ) (4)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0. 显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0 就是两圆的公共弦方 程．
②求两圆公共弦长的步骤
第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；
第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两
A．x＋y＝0
B．x－y＝0
C．x－y＋2＝0
D．x＋y＋2＝0
解析 圆 x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心 C 的坐标为(－2,2)．直线 l 过 OC 的中 点(－1,1)，且垂直于直线 OC，易知 kOC＝－1，故直线 l 的斜率为 1，直线 l 的方程为 y－1＝x＋1，即 x－y ＋2＝0.故选 C.
创新例题 设 m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 相切，则 m＋n 的取值 范围是( ) A．[1－ 3，1＋ 3] B．(－∞，1－ 3]∪[1＋ 3，＋∞) C．[2－2 2，2＋2 2] D．(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)
第九章 直线和圆的方程
第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系
考点三 圆与圆的位置关系
撬点·基础点 重难点
圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R，r，R>r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何 特征
d>R＋r
d＝R＋r
R－r<d<R＋r
d＝R－r
d<R－r
2．圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 的内公切线有且仅有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析 圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，内公切线条数为 2.
3．若圆 O：x2＋y2＝4 与圆 C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )
[解析] (1)两圆心之间的距离为 d＝ －2－22＋0－12＝ 17，两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝3. 则 r2－r1＝1<d<r1＋r2＝5，故两圆相交． (2)圆 C 方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为 1.由题意知，直线 y＝kx－2 上至少存在一 点(x，kx－2)，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，所以 x－42＋kx－22≤2，整理得(k2＋1)x2 －(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是 Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解得 0≤k≤43，故 k 的最大值为43.
【解题法】 两圆位置关系的相关问题 (1)圆与圆的位置关系有 5 种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见 有两种命题方式： ①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题． (2)两圆相交公共弦问题 ①求相交圆公共弦问题 设圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点 式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0， y0)，则有： x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，① x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.② ①－②得
整理得|2kk＋ 2＋31|＝2，解得 k＝－152， 故此时切线方程为－152x－y＋172＝0， 即 5x＋12y－7＝0， 综上，圆的切线有两条：x＝－1 或 5x＋12y－7＝0.
[心得体会]
微型专题 与圆有关的交汇问题 创新考向 与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托， 考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最 值等． 常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等.
圆公共弦长．
(3)两圆位置关系与公切线条数
两圆位置关系
内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数
01234
撬题·对点题 必刷题
已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点 P(－1,1)的圆的切线方程为_x_＝__－__1__或__5_x_＋__1_2_y_－__7_＝__0_． [错解]
[错因分析] 没有对 k 进行分类讨论，从而遗漏了 k 不存在的情况．
撬法·命题法 解题法
Hale Waihona Puke [考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．
命题法 圆与圆的位置关系
典例 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，4若直线 y＝kx－2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是__3____．
代数
无实数解 一组实数解
两组实数解
特征
一组实数解 无实数解
公切线
4
3
2
条数
1
0
注意点 判别式与两圆的位置关系
在利用判别式 Δ 判断两圆的位置关系时，Δ>0 是两圆相交的充要条件，而 Δ＝0 是两圆外切(内切)的必
要不充分条件，Δ<0 是两圆外离(内含)的必要不充分条件.
1．思维辨析 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × ) (4)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0. 显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0 就是两圆的公共弦方 程．
②求两圆公共弦长的步骤
第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；
第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两
A．x＋y＝0
B．x－y＝0
C．x－y＋2＝0
D．x＋y＋2＝0
解析 圆 x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心 C 的坐标为(－2,2)．直线 l 过 OC 的中 点(－1,1)，且垂直于直线 OC，易知 kOC＝－1，故直线 l 的斜率为 1，直线 l 的方程为 y－1＝x＋1，即 x－y ＋2＝0.故选 C.
创新例题 设 m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 相切，则 m＋n 的取值 范围是( ) A．[1－ 3，1＋ 3] B．(－∞，1－ 3]∪[1＋ 3，＋∞) C．[2－2 2，2＋2 2] D．(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)
第九章 直线和圆的方程
第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系
考点三 圆与圆的位置关系
撬点·基础点 重难点
圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R，r，R>r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何 特征
d>R＋r
d＝R＋r
R－r<d<R＋r
d＝R－r
d<R－r
2．圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 的内公切线有且仅有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析 圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，内公切线条数为 2.
3．若圆 O：x2＋y2＝4 与圆 C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )
[解析] (1)两圆心之间的距离为 d＝ －2－22＋0－12＝ 17，两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝3. 则 r2－r1＝1<d<r1＋r2＝5，故两圆相交． (2)圆 C 方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为 1.由题意知，直线 y＝kx－2 上至少存在一 点(x，kx－2)，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，所以 x－42＋kx－22≤2，整理得(k2＋1)x2 －(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是 Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解得 0≤k≤43，故 k 的最大值为43.
【解题法】 两圆位置关系的相关问题 (1)圆与圆的位置关系有 5 种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见 有两种命题方式： ①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题． (2)两圆相交公共弦问题 ①求相交圆公共弦问题 设圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点 式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0， y0)，则有： x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，① x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.② ①－②得
整理得|2kk＋ 2＋31|＝2，解得 k＝－152， 故此时切线方程为－152x－y＋172＝0， 即 5x＋12y－7＝0， 综上，圆的切线有两条：x＝－1 或 5x＋12y－7＝0.
[心得体会]
微型专题 与圆有关的交汇问题 创新考向 与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托， 考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最 值等． 常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等.