完全平方公式教学设计

完全平方公式

教学目标

知识技能：

1.理解完全平方公式的意义.

2.掌握公式的推导、结构及其应用．

3.理解完全平方公式的几何解释．

过程方法：

1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．情感态度

在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．

教学重点

完全平方公式的结构特点及字母的广泛意义、几何解释以及灵活应用．

教学难点

理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．

教学过程

一、创设情境，提出问题：

【活动一】请同学们探究下列问题：

一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…

（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（3）第三天这（a＋b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

解：（1）第一天老人一共给了这些孩子a2块糖．

（2）第二天老人一共给了这些孩子b2块糖．

（3）第三天老人一共给了这些孩子（a＋b）2块糖．

（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用

减法．即：（a＋b）2－（a2＋b2）

二、探究概括，学习新知：

教师提出问题：能不能将（a＋b）2转化为我们学过的知识去解决呢？

学生回答：利用乘方的定义a2=a·a，有（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b），这样

就转化成多项式与多项式的乘积了．

【活动二】计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p＋1）2＝（p＋1）（p＋1）＝_______；

（2）（m＋2）2＝_______；

（3）（p－1）2＝（p－1）（p－1）＝________；

（4）（m－2）2＝________；

（5）（a＋b）2＝________；

（6）（a－b）2＝________．

1、学生板书结果：

（1）（p＋1）2＝（p＋1）（p＋1）＝p2＋p＋p＋1＝p2＋2p＋1 （2）（m＋2）2＝（m＋2）（m＋2）＝m2＋2m＋2m＋2×2＝m2＋4m＋4

（3）（p－1）2＝（p－1）（p－1）＝p2－p－p＋1＝p2－2p＋1

（4）（m－2）2＝（m－2）（m－2）＝m2－2m－2m＋4＝m2－4m＋4

（5）（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2

（6）（a－b）2＝（a－b）（a－b）＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2

2、交流发现：

（1）结果都是三项；

（2）结果中都有两个平方项：1＝12，4＝22；

（3）结果中的2p＝2·p·1,4m＝2·m·2，2ab＝2·a·b；

（4）式子（3）（4）与（1）（2）比较只有一次项的符号不同，式子（5）、（6）

更具有一般性．

3、教师总结：大家分析得很好，把你们的发现用语言叙述出来！

学生归纳：

两个数相加的平方等于第一个数的平方加上两个数的积乘以2再加上另一个数的平方．

两个数相减的平方等于第一个数的平方减去两个数的积乘以2再加上另一个数的平方．

教师归纳：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.

符号表示：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

【活动三】从几何角度去解释完全平方差公式．

你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？

学生交流后谈出自己的看法：

对于图（1），大正方形的边长是a＋b，所以大正方形的面积是（a＋b）2，从图形种又可以看出这个大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形的面积都是ab；所以大正方形的面积又可以表示为a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2.于是就可以得出：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.这正好符合完全平方公式的第一个．

用相同的方法来研究图（2），大正方形的边长是a，它的面积是a2；长方形

DCGE 与长方形BCHF 是全等的，长都是a ，宽都是b ，所以它们的面积都是ab ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是b 2；正方形AFME 的边长是（a －b ），所以它的面积是（a －b ）2．从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去长方形DCGE 和长方形BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积．•也就是：

（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．这正好符合完全平方公式的第二个．

总结：数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．

（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）

＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2－b 2

＝2ab ．•

于是得到：孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多，多了2ab 块．

三、应用举例，巩固新知：

例1、运用完全平方公式计算：

（1）2)4(n m + （2）221⎪⎭⎫ ⎝

⎛-y （3）2)(b a -- 解：（1）2)4(n m +

＝2242)4(n n m m +••+

＝22816n mn m ++

（2）、（3）由学生完成.

例2、运用完全平方公式计算：

（1）1022 （2）992

解：（1）1022＝（100＋2）

2 ＝1002＋2×100×2＋22

＝10000＋400＋4

＝10404

（2）由学生完成

练习：教材P155练习第1题和第2题.