行列式计算的几种常用方法

行列式计算的几种常用方法

[摘要] 行列式的计算是.高等代数的重要内容。学生在学习过程中普遍存在很多困难，难于掌握。计算n阶行列式的方法很多，下面介绍几种常用的方法。

[关键词] 行列式计算方法

n阶行列式的计算方法很多，不同的行列式有不同的特点。我们在计算的过程中，要针对行列式的特点选取适当的方法，使行列式的计算变的简便。

1、定义法

此法适用于行列式中零因子很多的行列式。

例：计算行列式

D=.

据定义 D 是一个4！=24项的代数和。然而在这个行列式里除了acfh. bdeg .bcfg adeh四项外，其余的项至少含一个因子，因而等于零。因此

D=acfh+bdeg-bcfg-adeh

2、依行依列展开法

按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。

例：D=

解D=a(-1)4+b(-1)5

+c(-1)6+d(-1)7 =3a-b+2c+d

3、化为三角形行列式

利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形，使其形变值不变，于是原行列式等于此上(下）三角形行列式的主对角线元素之积。

例：计算n阶行列式

解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，

把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

4、递推法

依据已给行列式Dn 的特点，用行列式性质或依行（列）展开定理，建立同类型的Dn 阶行列式与Dn-1 阶（或更低阶）行列式之间的递推关系式，根据递推关系式，求出Dn 的一般表达式。

例: 证明

证明：将Dn按第1列展开得

由此得递推公式：，利用此递推公式可得

5、利用范德蒙行列式

应用范德蒙行列式计算或证明某些繁杂行列式的方法。

例: 计算行列式

解: 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

6、数学归纳法

当推理关系仅联系相邻两个行列式时，要用第一数学归纳法; 当推理关系仅联系相邻三个行列式时，则采用第二数学归纳法。

例：计算n阶行列式

解：用数学归纳法. 当n = 2时

假设n = k时，有

则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

由此，对任意的正整数n，有

参考文献:

[1]张禾瑞郝鈵新，《高等代数》,高等教育出版社,1993

[2]许甫华张贤科,《高等代数解题方法》,清华大学出版社,2001

[3]北大数学系,《高等代数》,高等教育出版社,1988

讲师，主要从事数学教育研究。