广东省广州市高一下学期期末数学试题(解析版)
A．2，5
B．5，5
C．5，8
D．8，8
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得 x 5 ，16.8 1 (9 15 10 y 18 24) y 8 ，选 5
C.
【考点】茎叶图
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图．已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生 人数为（ ）
（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的
角．
10．已知圆 C : x 32 y 42 1和两点 Am,0 ， Bm,0m 0 ，若圆 C 上
存在点 P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（ ）
A．7
B．6
【点睛】 本题考查斜率公式、两直线的位置关系以及直线方程，关键在于将两直线平行转化为斜 率相等，并利用斜率公式求出直线的斜率，考查推理分析能力与计算能力，属于中等题。
15．如图，⊙O 的半径为1，六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，从 A、B、C、D、E、F 六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为 3 的概率是
断。
【详解】
A 样本的数据为：43、50 、45 、55 、60 ，没有众数，中位数为 50 ，平均数为 50.6 ，
方差为 39.44，
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B 样本的数据为：48 、55 、50 、60 、65 ，没有众数，中位数为 55 ，平均数为 55.6 ， 方差为 39.44，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D。
广东省广州市高一下学期期末数学试题
一、单选题 1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A．出租车车费与出租车行驶的里程 B．商品房销售总价与商品房建筑面积 C．铁块的体积与铁块的质量 D．人的身高与体重 【答案】D 【解析】根据函数的概念来进行判断。 【详解】 对于 A 选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系； 对于 B 选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品 房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系； 对于 C 选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量 是一次函数关系； 对于 D 选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系， 因人而异，D 选项中两个变量之间的关系不是函数关系。 故选：D。 【点睛】 本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式， 考查学生对这些概念的理解，属于基础题。
A．588
B．480
C．450
D．120
【答案】B
【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于 60 分的频率是
1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是 600×0.8=480
【考点】频率分布直方图
5．设 ， 是两个不同的平面， l ， m 是两条不同的直线，且 l ， m （ ）
A(4, a) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则| AB | （ ）
A．2 【答案】C
B． 4 2
【解析】试题分析：直线 l 过圆心
C．6
D． 2 10
，所以 a 1，所以切线长
AB (4)2 1 4(4) 2 1 6 ，选 C.
【考点】切线长
9．在三棱锥 A BCD 中，已知所有棱长均为 2 ， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ ）
二、填空题
13．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋
转体的侧面积是_____．
【答案】 2
【解析】先确定旋转体为圆柱，根据条件得出圆柱的底面半径和母线长，然后利用圆柱 侧面积公式计算可得出答案． 【详解】
由题意可知，旋转体为圆柱，且底面半径为 r 1，母线长为 l 1 ， 因此，旋转体的侧面积为 2rl 2 11 2 ，故答案为 2 ．
【点睛】 本题考查圆柱侧面积的计算，计算出圆柱的底面半径和母线长是解本题的关键，意在考 查学生对这些公式的理解与运用能力，属于基础题．
14．若直线 l 过点 3, 4，且平行于过点 M (1, 2) 和 N(1, 5) 的直线，则直线 l 的方程
为_____
【答案】 7x 2y 13 0
【解析】先利用斜率公式求出直线 MN 的斜率，由直线 l 与直线 MN 平行，得出直线 l
2．在某次测量中得到 A 样本数据如下： 43,50, 45,55, 60 ，若 B 样本数据恰好是 A 样
本每个数都增加 5 得到，则 A 、 B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数
B．中位数
C．方差
D．平均数
【答案】C
【解析】分别计算出 A 、 B 两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判
的斜率，再利用点斜式可得出直线 l 的方程。
【详解】
由于直线
l//MN
，则直线 l
的斜率等于直线
MN
的斜率
2 5 1 1
7 2
，
又由于直线 l 过点 3, 4，所以直线 l 的方程为 y 4 7 x 3 ，即 7x 2y 13 0 。
2
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故答案为： 7x 2y 13 0 。
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A．若 l ，则
B．若 ，则 l m
C．若 l// ，则 //
D．若 // ，则 l//m
【答案】A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，
则两面垂直，可得 l ， l
可得
【考点】空间线面平行垂直的判定与性质
6．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a,b, c ，若 b c 2a,3sin A 5sin B ,
【详解】
在△ABC 中，由 ACB 30 得 AC 120 ．
_____．
【答案】 2 5
【解析】先计算出所有线段条数的总数，并从中找出长度为 3 的线段条数，利用古典
概型概率公式计算所求事件的概率． 【详解】
在 A 、B 、C 、D 、E 、F 中任取两点的所有线段有：AB 、 AC 、 AD 、AE 、AF 、 BC 、 BD 、 BE 、 BF 、 CD 、 CE 、 CF 、 DE 、 DF 、 EF ，共15 条，
其中长度为 3 的线段有： AC 、 AE 、 BD 、 BF 、 CE 、 DF ，共 6 条，
由古典概型的概率公式可知，线段的长为 3 的概率是 6 2 ，故答案为 2 ．
15 5
5
【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，考查概率公式的应用，其中列举基本事件时，可以利用
枚举法与树状图法来列举，在列举应遵循不重不漏的原则进行，考查计算能力，属于中 等题．
16．如图，一热气球在海拔 60m 的高度飞行，在空中 A 处测得前下方河流两侧河岸 B ，
C 的俯角分别为 75°，30°，则河流的宽度 BC 等于_____m．
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【答案】120( 3 1)
【解析】先计算出 AC 的长度，然后在 ABC 中求出 BAC 和 ABC ，利用正弦定理 求出 BC 的长度。
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由于 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点，则 EF//BD ，且 EF 1 BD 1 ， 2
所以，异面直线 CE 与 BD 所成的角为 CEF 或其补角， 三棱锥 A BCD 是边长为 2 的正四面体，则 ABC 、ACD 均是边长为 2 的等边三
角形，
E 为 AB 的中点，则 CE AB ，且 CE AC2 AE2 3 ，同理可得 CF 3 ，
【点睛】 本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理 解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。 3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已 知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为（ ）
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由平面向量模的三角不等式可得
PA PB PC 2PO PB 2 PO PB 4 PB 4 PO 1 7 ，
当且仅当点 B 的坐标为 1,0 时，等号成立，
因此， PA PB PC 的最大值为 7 .
故选：C. 【点睛】 本题考查向量模的最值问题，涉及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用， 考查数形结合思想的应用，属于中等题.
【答案】C 【解析】由题意得圆心为 (a,0) ，半径为 2 ．
a 1
圆心到直线的距离为 d
，
2
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由直线与圆有公共点可得
a 1 2 ，即 a 1 2 ，解得 3 a 1．
2 ∴实数 a 取值范围是[3,1] ．
选 C．
8．已知直线 l ： x ay 1 0(a R) 是圆 C : x2 y2 4x 2 y 1 0 的对称轴.过点
4
∴球的表面积 S 81 ，故选 A. 4
【考点】球的体积和表面积
12．已知点 A 、 B 、 C 在圆 x2 y2 1 上运动，且 ABC 90 ，若点 P 的坐标为
2,0 ， PA PB PC 的最大值为（ ）
A． 9
【答案】C
B． 8
C． 7
D． 6
【解析】由题意可知 AC 为圆 x2 y2 1 的一条直径，由平面向量加法的平行四边形法
广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．在ABC V 中，3BE EC =u u u r u u u r ，则AE =u u u r（ ）A ．1233AB AC +u u ur u u u rB ．2133AB AC +u u ur u u u rC ．1344AB AC +u u ur u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r2．下列的表述中，正确的是（ ）A ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C ．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D ．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3．若两个非零向量,a b rr 的夹角为θ，且满足||2||,(3)a b a b a =+⊥r r r r r ，则cos θ=（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．234．有一组从小到大排列的样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中i i y ax b =+(1,2,,)i n =⋯，0,0a b >≠，则（ ）A ．数据231,,,n y y y -⋯的标准差不小于数据12,,,n y y y ⋯的标准差B ．数据231,,,n y y y -⋯的中位数与数据12,,,n y y y ⋯的中位数相等C ．若数据12,,,n x x x ⋯的方差为m ，则数据12,,,n y y y ⋯的方差为amD ．若数据12,,,n x x x ⋯的极差为d ，则数据12,,,n y y y ⋯的极差为ad b + 5．为了得到2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把sin y x =图象上所有的点（ ）A ．先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变B ．先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C ．先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变D ．先向左平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2,|||AO AB AC AB AO =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BA u u u r 在BC u u ur 上的投影向量为（ ）A BC u urB ．34BC uu u r C ．58BC u u u rD u ur 7．设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（ ）A ．π22αβ+=B ．π22αβ-=C ．π22βα-=D ．π22βα+=8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm 10mm =）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨二、多选题9．已知向量(2,),(1,3)a m b ==-r r，则下列说法中正确的是（ ）A ．若||a b +rr 4m = B ．若||||a b a b +=-r rr r ，则23m =C ．若//a b rr ，则6m =-D ．若向量,a b rr 的夹角为钝角，则m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．已知复数1z ，2z ，则下列说法中正确的是（ ）．A ．1212z z z z +≤+B ．若2121z z z =，则12z z =C ．若1212z z z z -=+，则120z z =D ．1122z z z z = 11．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知动点P 满足1BP BC BB λμ=+u u u r u u u r u u u r，[0,1],[0,1]λμ∈∈，且1AB AA =，则下列说法中正确的是（ ）A ．若1λ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值 B ．若1μ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值C ．若12λμ==，则三棱锥1B AB P -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的16D ．若1λμ+=，则直线AP 与平面11BB C C三、填空题12．已知复数z 满足(1i)2i z +=+，则||z =．13．某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为小时，方差为．14．已知点,G O 在ABC V 所在平面内，满足0,||||||GA GB GC OA OB OC ++===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rr ，且3AG AO ⋅=u u u r u u u r，||AG =u u u r BC 的长为．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，P 分别为CD ，11A B 的中点．AB E；(1)求证：直线//DP平面1BB E的距离．(2)求点A到平面116．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17．已知甲船在A海岛正北方向B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60︒的方向航行．(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；(2)在A海岛西偏南60︒方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．-中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为18．在四棱锥P ABCD矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值；(3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值．19．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．(1)若2AD =，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值； (2)在ABC V 中，记BAC ABC ACB ∠∠∠，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足2()c b b a += ①求证：2BAC ABC ∠=∠； ②求4cos c bb ABC+∠的最小值．。
广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析
广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA 的着装建议是（ ） A ．身材完美，无需改善 B ．可以戴一顶合适高度的帽子 C ．可以穿一双合适高度的增高鞋D ．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子2．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．43．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．154．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ）A ．18B ．14C ．10D ．225．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知x y ，满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．16D ．47．已知数列}{n a 满足111,1n n a a a +=-=，则10a =（ ） A ．10B ．20C ．100D ．2008．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形90ACB ∠=︒，2AC =，11BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是（ ）A ．2B 5C 3D 562+-10．已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 ( ) A ．3B ．3C ．12D ．12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高中数学试题与解析-广州市越秀区高一(下)期末数学试卷
2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式3x 2﹣x ﹣2≥0的解集是（ ）A ．{x|−23≤x ≤1}B ．{x|−1≤x ≤23}C ．{x|x ≤−23或x ≥1}D ．{x|x ≤−1或x ≥23} 2．（5分）设a =20.7，b =(12)0.8，c =log 0.72，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a3．（5分）复数z 满足z （1+i ）＝1﹣i ，则z 的虚部等于（ ）A ．﹣iB ．﹣1C ．0D ．14．（5分）α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊄α，n ⊂α，则m ⊥αB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若α⊥β，n ⊂α，则n ⊥βD ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n5．（5分）已知△ABC 中，点M 是线段BC 的中点，AN →=14AM →，则BN →=（ ） A ．−78AB →+18AC → B ．−23AB →+112AC → C ．−74AB →+14AC →D ．−56AB →+112AC → 6．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(1，√3)，且a →⋅b →=1，则a →与a →+b →夹角的余弦值为（ ）A ．√77B ．2√77C ．√55D ．2√557．（5分）如图：已知正四面体ABCD 中E 在棱CD 上，EC ＝2DE ，G 为△ABC 的重心，则异面直线EG 与BD 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．（5分）平面四边形P ABC 中，∠APC =2π3，AB =2，AC =2√3，AC ⊥AB ，则AP →⋅AB →最小值（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．−2√3D ．−√3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）A ．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人B ．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6C ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2D ．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为2（多选）10．（5分）下列结论正确的是（ ）A ．已知向量a →=(3，4)，则与a →垂直的单位向量为(45，35)或(−45，−35)B ．已知单位向量a →，b →满足|a →−b →|=1，则a →在b →方向上的投影向量为12b →C ．已知i 为虚数单位，若1﹣i 是实系数一元二次方程x 2+px +q ＝0的一个根，则p •q ＝﹣4D ．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若复数z ＝a 2﹣1+（a +1）i 为纯虚数，则a ＝±1（多选）11．（5分）已知函数f(x)=sin2x −√3cos2x ，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π6，0)对称B ．若x ∈[π3，π2]，则函数f （x ）的最大值为√3C ．若f （α）＝1，则cos 2(α+π12)=14D ．若f （x 1）﹣f （x 2）＝4，x 1≠x 2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π（多选）12．（5分）如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为菱形，AB ＝SD ＝3，∠DAB ＝60°，SD ⊥底面ABCD ，P 是SC 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）A ．若SA ∥平面PBD ，则SA ∥POB ．B 到平面SAC 的距离为3√55 C ．当P 为SC 中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形D ．当P 为SC 中点时，DP +PB 有最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知AB →=(4，−4)，BC →=(−3，2)，AD →=(−1，m)，若A 、C 、D 三点共线，则m ＝ ．14．（5分）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为 ．15．（5分）已知S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，SO =2√3．若该圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为 ．16．（5分）某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1挖去正四棱台ABCD ﹣EFGH 后所得的几何体，其中AB ＝2EF ＝2BF ，AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝4cm ，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg ，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 mg ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①bsinA =√3acosB ，②（a ﹣c ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ），③2S △ABC =√3BA →⋅BC →这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且______．（1）求角B 的大小；（2）若b =√3，△ABC 的面积为√32，求△ABC 周长． 18．（12分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；（3）现知道直方图中成绩在[130，140）内的平均数为136，方差为8，在[140，150]内的平均数为144，方差为4，求成绩在[130，150]内的平均数和方差．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，且D 为A 1C 1的中点．（1）求证：A 1B ∥平面B 1CD ；（2）求A 1B 与平面BCC 1B 1所成角的余弦值．20．（12分）2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为23，甲、乙两公司都研发成功的概率为25，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为15，各公司是否研发成功互不影响． （1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．21．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =2π3． （1）若BC =2，CD =√7，求△ACD 的面积；（2）若∠ADC =π6，AD =2，求cos ∠ACD ．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC =12AD =2，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，O 是AD 的中点．（1）求证：平面P AC ⊥平面POB ；（2）点M 在棱PC 上，满足PM ＝λPC （0＜λ＜1），且三棱锥P ﹣ABM 的体积为√33，求λ的值及二面角M ﹣AB ﹣D 的正切值．2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式3x 2﹣x ﹣2≥0的解集是（ ）A ．{x|−23≤x ≤1}B ．{x|−1≤x ≤23}C ．{x|x ≤−23或x ≥1}D ．{x|x ≤−1或x ≥23}【解答】解：根据题意，3x 2﹣x ﹣2≥0即（3x +2）（x ﹣1）≥0，解可得：x ≥1或x ≤−23，即不等式的解集为{x |x ≤−23或x ≥1}，故选：C ．2．（5分）设a =20.7，b =(12)0.8，c =log 0.72，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【解答】解：b ＝（12）0.8＝2﹣0.8，因为函数y ＝2x 在（﹣∞，+∞）上单调递增，且﹣0.8＜0.7，所以0＜2﹣0.8＜1＜20.7，即b ＜a ，因为函数y ＝log 0.7x 在（0，+∞）上单调递减，所以c ＝log 0.72＜0，所以c ＜b ＜a ，故选：D ．3．（5分）复数z 满足z （1+i ）＝1﹣i ，则z 的虚部等于（ ）A ．﹣iB ．﹣1C ．0D ．1【解答】解：∵复数z 满足z （1+i ）＝1﹣i ，∴z =1−i 1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=1−2i+i 21−i 2=−i ，∴z 的虚部为﹣1．故选：B ．4．（5分）α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（） A ．若m ⊥n ，m ⊄α，n ⊂α，则m ⊥α B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若α⊥β，n ⊂α，则n ⊥βD ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n【解答】解：逐一考查所给的命题： A ．若m ⊥n ，m ⊄α，n ⊂α，则m ⊥α或m 与α斜交或m 与α平行，该命题错误；B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m 与n 异面，该命题错误；C ．若α⊥β，n ⊂α，则n ⊥β或n 与β斜交或n 与β平行，该命题错误；D ．若m ⊥α，n ⊂α，由线面垂直的定义可知m ⊥n ，该命题正确；故选：D ．5．（5分）已知△ABC 中，点M 是线段BC 的中点，AN →=14AM →，则BN →=（ ） A ．−78AB →+18AC →B ．−23AB →+112AC →C ．−74AB →+14AC →D ．−56AB →+112AC → 【解答】解：由于△ABC 中，点M 是线段BC 的中点，所以AM →=12AB →+12AC →，由于AN →=14AM →，所以AN →=18AB →+18AC →， 整理得BN →−BA →=18AB →+18AC →， 故BN →=−78AB →+18AC →．故选：A ．6．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(1，√3)，且a →⋅b →=1，则a →与a →+b →夹角的余弦值为（ ）A ．√77B ．2√77C ．√55D ．2√55 【解答】解：因为b →=（1，√3），所以|b →|=√12+(√3)2=2，所以|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →b →=√12+22+2×1=√7， cos ＜a →，a →+b →＞=a →⋅(a →+b →)|a →||a →+b →|=a →2+a →b →|a →||a →+b →|=21×√7=2√77，故选：B．7．（5分）如图：已知正四面体ABCD中E在棱CD上，EC＝2DE，G为△ABC的重心，则异面直线EG与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AB中点F，连接FC，FD，如图所示：∵G为△ABC的重心，F为AB中点，∴CG＝2GF，又EC＝2DE，∴在△CDF中，EG∥DF，则异面直线EG与BD所成角为∠DBF或其补角，由题可知，△ABD为正三角形，∴∠DBF＝30°，∴异面直线EG与BD所成角为30°．故选：A．8．（5分）平面四边形P ABC中，∠APC=2π3，AB=2，AC=2√3，AC⊥AB，则AP→⋅AB→最小值（）A．﹣2B．﹣1C．−2√3D．−√3【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：则C （0，2√3），B （2，0），平面四边形ABCD 中，AB ＝2，AC ＝2√3，AC ⊥AB ，∠APC =2π3，则点P 在以BC 为直径的圆劣弧AC 上，因为BC 的中点为O （1，√3），BC =√22+(2√3)2=4，所以圆O 的标准方程为（x ﹣1）2+（y −√3）2＝4，设P （x ，y ），其中x ∈[﹣1，0]，则AP →=（x ，y ），AB →=（2，0），所以AP →•AB →=（x ，y ）•（2，0）＝2x ∈[﹣2，0]， 所以AP →•AB →的最小值为﹣2，故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）A ．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人B ．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6C ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2D ．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，由分层抽样方法可得：应抽取男生3050×10＝6人，A 正确；对于B ，概率是定值，抛掷一枚质地均匀的硬币，概率为0.5，B 错误； 对于C ，一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数4+52=4.5，C 错误；对于D ，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．其平均数x =110（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）＝7，方差S 2＝4，则其标准差S ＝2，D 正确； 故选：AD ．（多选）10．（5分）下列结论正确的是（ ）A ．已知向量a →=(3，4)，则与a →垂直的单位向量为(45，35)或(−45，−35) B ．已知单位向量a →，b →满足|a →−b →|=1，则a →在b →方向上的投影向量为12b →C ．已知i 为虚数单位，若1﹣i 是实系数一元二次方程x 2+px +q ＝0的一个根，则p •q ＝﹣4D ．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若复数z ＝a 2﹣1+（a +1）i 为纯虚数，则a ＝±1 【解答】解：A 选项，因为（3，4）•（45，35）≠0，（3，4）•（−45，−35）≠0，所以A 选项错误；B 选项，|a →−b →|=1，两边平方得a →2−2a →•b →+b →2=1，所以a →•b →=12，所以a →在b →方向上的投影向量为a →⋅b →|b →|•b→|b →|=12b →，B 选项正确；C 选项，1﹣i 是实系数一元二次方程x 2+px +q ＝0的一个根，则1+i 是实系数一元二次方程x 2+px +q ＝0的另一个根，所以{1−i +1+i =2=−p (1−i)(1+i)=2=q，则pq ＝﹣4，C 选项正确；D 选项，复数z ＝a 2﹣1+（a +1）i 为纯虚数，所以{a +1≠0a 2−1=0，解得a ＝1，D 选项错误．故选：BC ．（多选）11．（5分）已知函数f(x)=sin2x −√3cos2x ，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）的图象关于点(π6，0)对称 B ．若x ∈[π3，π2]，则函数f （x ）的最大值为√3C ．若f （α）＝1，则cos 2(α+π12)=14D ．若f （x 1）﹣f （x 2）＝4，x 1≠x 2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π 【解答】解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， ∵f(π6)=2sin(2×π6−π3)=0， ∴函数f （x ）的图象关于点(π6，0)对称，故A 正确， ∵x ∈[π3，π2]， ∴(2x −π3)∈[π3，2π3]， ∴sin(2x −π3)∈[√32，1]，∴f （x ）∈[√3，2]，故B 错误，∵f(α)=2sin(2α−π3)=2sin[(2α+π6)−π2]=1，则cos(2α+π6)=−12， ∴cos(2α+π6)=2cos 2(α+π12)−1，cos 2(α+π12)=14，故C 正确， ∵T =2π2=π， 若f （x 1）•f （x 2）＝4，x 1≠x 2，则x 1，x 2同为最大值点或同为最小值点， ∴|x 1﹣x 2|的最小值为f （x ）的最小正周期T2=π2，故D 错误．故选：AC ．（多选）12．（5分）如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为菱形，AB ＝SD ＝3，∠DAB ＝60°，SD ⊥底面ABCD ，P 是SC 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）A ．若SA ∥平面PBD ，则SA ∥POB ．B 到平面SAC 的距离为3√55C ．当P 为SC 中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形D ．当P 为SC 中点时，DP +PB 有最小值【解答】解：∵SA ∥平面PBD ，SA ⊂平面SAC ，平面PBD ∩平面SAC ＝PO ， ∴SA ∥PO ，故A 正确；设B 到平面SAC 的距离为h ，则有SA ＝SC ＝3√2，AC ＝3√3， ∵V B ﹣SAC ＝V S ﹣ABC ，∴13h ×12×3√3×3√52=13×3×12×3×3×√32，解得h =3√55．故B 正确；当P 为SC 中点时，如图，取SD 的中点M ，连接PM ，AM ，MB ，则PM ∥CD ，PM =12CD ， ∵AB ∥CD ，则PM ∥AB ，∴过P 、A 、B 的截面为ABPM ，则PB ＝3，BM =3√52，PM =32， ∴BM 2＝PM 2+PB 2，则PM ⊥PB ，即ABPM 为直角梯形，故C 正确； 借助于侧面展开图，如图，连接DB 交SC 于P ，此时DP +PB 为最小值，若P 为SC 中点时，∵SD ＝CD ，则DP ⊥SC ，∴BC ＝SB ，这与题意相矛盾，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知AB →=(4，−4)，BC →=(−3，2)，AD →=(−1，m)，若A 、C 、D 三点共线，则m ＝ 2 ．【解答】解：根据题意，AB →=(4，−4)，BC →=(−3，2)，AD →=(−1，m)， 则AC →=AB →+BC →=（1，﹣2），若A 、C 、D 三点共线，则AC →∥AD →，则有1×m ＝（﹣1）×（﹣2）＝2，即m ＝2； 故答案为：2．14．（5分）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为12．【解答】解：某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，基本事件总数n =C 42=6，篮球被选中包含的基本事件个数m =C 11C 31=3，则篮球被选中的概率为P =m n =36=12． 故答案为：12．15．（5分）已知S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，SO =2√3．若该圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为8√33π ．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，依题意2πr ＝πl ，即l ＝2r ， 又SO =√l 2−r 2=2√3，∴r ＝2，∴圆锥的体积为V =13πr 2ℎ=13π×22×2√3=8√33π． 故答案为：8√33π． 16．（5分）某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1挖去正四棱台ABCD ﹣EFGH 后所得的几何体，其中AB ＝2EF ＝2BF ，AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝4cm ，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg ，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 282+54√3 mg ．【解答】解：∵AB ＝2EF ＝2BF ，AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝4cm ， ∴几何体的四个侧面与底面积的和为4×6×4+6×6＝132cm 2，四边形EFGH 的面积为3×3＝9cm 2，梯形ABFE 的高为√BF 2−14(AB −EF)2=3√32，则正四棱台的侧面积为4×12(3+6)×3√32=27√3cm 2． ∴模型的表面积S ＝132+9+27√3=（141+27√3）cm 2． ∴所需金属膜的质量为2×(141+27√3)=282+54√3（mg ）． 故答案为：282+54√3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①bsinA =√3acosB ，②（a ﹣c ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ），③2S △ABC =√3BA →⋅BC →这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且______． （1）求角B 的大小；（2）若b =√3，△ABC 的面积为√32，求△ABC 周长． 【解答】解：（1）若选①：bsinA =√3acosB ，由正弦定理可得sin B sin A =√3sin A cos B ， 因为sin A ≠0，所以sin B =√3cos B ，即tan B =√3， 又0＜B ＜π，B =π3；若选②：在△ABC 中（a ﹣c ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ），可得（a ﹣c ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ），由正弦定理得（a ﹣c ）c ＝（a ﹣b ）（a +b ），整理得c 2+a 2−b 22ac=12，∴cos B =12，又0＜B ＜π，∴B =π3；若选③：2S △ABC =√3BA →⋅BC →， 所以2×12ac sin B =√3ac cos B ， 所以sin B =√3cos B ， 即tan B =√3， 又0＜B ＜π，B =π3； （2）因为△ABC 的面积为√32，所以12ac sin π3=√32，解得ac ＝2， 在△ABC 中，因为b =√3，由余弦定理有b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a +c ）2﹣3ac ＝3， 所以a +c ＝3，当且仅当a ＝c 时取等号， 所以△ABC 周长的3+√3．18．（12分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；（3）现知道直方图中成绩在[130，140）内的平均数为136，方差为8，在[140，150]内的平均数为144，方差为4，求成绩在[130，150]内的平均数和方差．【解答】解：（1）根据题意，设第一组的频率为x，则第二组的频率为2x，则有x+2x+0.034×10+0.03×10+0.018×10+0.006×10＝1，解可得x＝0.04，则第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，（2）根据题意，0.04+0.08+0.34+0.3＝0.76＞0.75，设数据的第75百分位数为x，则有0.03×（x﹣120）＝0.29，解可得：x≈129.7，故全市“良好”以上等级的成绩范围为[129.7，150]；（3）根据题意，成绩在[130，140）内人数为100×0.18＝18，在[140，150]内人数为100×0.06＝6，又由成绩在[130，140）内的平均数为136，方差为8，在[140，150]内的平均数为144，方差为4，则成绩在[130，150]内的平均数x=1818+6×136+618+6×144＝138，其方差S2=1818+6×[8+（136﹣138）2]+618+6×[4+（144﹣138）2]＝19，故成绩在[130，150]内的平均数为138，方差为19．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，且D为A1C1的中点．（1）求证：A1B∥平面B1CD；（2）求A1B与平面BCC1B1所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BC1，设BC1⋂B1C＝E，连接DE，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为矩形，则E为BC1的中点，又D为A1C1的中点，所以DE∥A1B，A1B⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，所以A1B∥平面B1CD．（2）解：取B 1C 1的中点F ，连接A 1F 、BF ，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1F ，又△A 1B 1C 1为等边三角形，所以C 1B 1⊥A 1F ，C 1B 1⋂BB 1＝B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，C 1B 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1， 所以∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成角， 因为AB ＝AA 1＝3，所以BF =√BB 12+FB 12=√32+(32)2=3√52，A 1B =√BB 12+A 1B 12=3√2，所以cos∠A 1BF =BFA 1B =3√523√2=√104，所以直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成角的余弦值为√104． 20．（12分）2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为23，甲、乙两公司都研发成功的概率为25，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为15，各公司是否研发成功互不影响．（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．【解答】解：（1）设甲、乙、丙公司研发成功分别为事件A ，B ，C ， 则P （A ）=23，P （AB ）=25，P （BC ）=15，由于各公司是否研发成功互不影响，事件A ，B ，C 相互独立，P （AB ）＝P （A ）P （B ）=25，P （BC ）＝P （B ）P （C ）＝[1﹣P （B ）][1﹣P （C ）]=15， ∴P （B ）=35，P （C ）=12，故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为35，12．（2）设一轮研发“取得重大突破”的目标为事件M ， P （M ）＝1﹣P （ABC ）＝1−13×25×12=1415， 设实现“取得重大突破”目标为事件N ， P （N ）＝P （M ）+P （M ）P （M ）=1415+115×1415=224225， 所以实现“取得重大突破”目标的概率为：224225．21．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =2π3． （1）若BC =2，CD =√7，求△ACD 的面积； （2）若∠ADC =π6，AD =2，求cos ∠ACD ．【解答】解：（1）因为AB =1，∠ABC =2π3，BC =2，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅AC ⋅cos 2π3=7，即AC =√7，由余弦定理得cos∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22×AC×BC =5√714，所以sin∠ACD =sin(π2−∠ACB)=cos∠ACB =5√714， 所以△ACD 的面积S =12×AC ×CD ×sin∠ACD =5√74． （2）在△ADC 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=AC sin∠ADC，即2sin∠ACD=AC12①， 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，即1sin(π2−∠ACD)=1cos∠ACD=√32②，①②联立可得tan∠ACD =sin∠ACD cos∠ACD =2√33，因为∠ACD∈(0，π2)，所以cos∠ACD=√217．22．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB= BC=12AD=2，∠BAD＝∠ABC＝90°，O是AD的中点．（1）求证：平面P AC⊥平面POB；（2）点M在棱PC上，满足PM＝λPC（0＜λ＜1），且三棱锥P﹣ABM的体积为√33，求λ的值及二面角M﹣AB﹣D的正切值．【解答】解：（1）证明：连接OC，因为底面ABCD中，AB=BC=12AD=2，∠BAD＝∠ABC＝90°，所以四边形四边形AOCB为正方形，得AC⊥OB，因为侧面P AD为等边三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，因为平面P AD垂直于底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PO平面ABCD，因为AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，因为PO∩OB＝O，所以AC⊥平面POB，因为AC⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面POB；（2）因为底面ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD=2，∠BAD＝∠ABC＝90°，O是AD的中点．所以AO＝OD＝AB＝BC＝OC＝2，P A＝AD＝PD＝4，PO＝2√3，OB＝AC＝2√2，因为PO平面ABCD，OB，OC⊂平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OC，以PB2＝PO2+OB2＝20，因为AB 2+P A 2＝20，所以PB 2＝AB 2+P A 2，所以∠PAB =π2，设点C 、M 到平面P AB 的距离分别为d 1、d 2，由V C ﹣P AB ＝V P ﹣ABC ， 即13S △ABC ⋅PO =13S △PAB •d 1，13×12×2×2×2√3=13×12×2×4d 1，解得d 1=√3．因为三棱锥P ﹣ABM 的体积为√33，所以13S △PAB •d 2=√33，即13×12×2×4d 2=√33，可得d 2=√34， 又PM PC =d 1d 2=14，所以PM =14PC ， 因为PM ＝λPC （0＜λ＞1），所以λ=14，取OC 靠近点O 的四等份点E ，连接ME ，则ME ∥PO ， 因为PO ⊥平面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以ME ⊥AB ，过点E 作EF ⊥AB 于F ，连接MF ，因为ME ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平MEF ，因为MF ⊂平面MEF ，所以AB ⊥MF ，则∠MFE 为二面角M ﹣AB ﹣D 的平面角，因为ME PO =MC CP =34，所以ME =34PO =32√3， 因为∠BAD ＝∠AFE ＝∠AOC ＝90°，所以四边形AOEF 为矩形，所以AO ＝EF ＝2，所以在Rt △MEF 中，tan ∠MFE =ME EF =3√34， 所以二面角M ﹣AB ﹣D 的正切值为3√34．。
最新广东省广州市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年广东省广州市高一放学期期末数学试题一、单项选择题1．以下两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车资与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重【答案】 D【分析】依据函数的观点来进行判断。
【详解】对于 A 选项，出租车车资推行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于 B 选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于 C 选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于 D 选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必定联系，因人而异， D 选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
应选： D。
【点睛】此题考察函数观点的理解，充足理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考察学生对这些观点的理解，属于基础题。
2．在某次丈量中获得 A 样本数据以下：43,50,45,55,60 ，若B样本数据恰巧是 A 样本每个数都增添 5 获得，则 A 、B两样本的以下数字特点对应同样的是（）A．众数B．中位数C．方差D．均匀数【答案】 C【分析】分别计算出 A 、B两个样本数据的众数、中位数、方差和均匀数，再进行判断。
【详解】A 样本的数据为：43、 50 、 45 、 55、 60 ，没有众数，中位数为 50 ，均匀数为，方差为，B 样本的数据为：48 、 55 、 50 、 60 、65，没有众数，中位数为55 ，均匀数为，方差为，所以，两个样本数据的方差没变，应选：D。
【点睛】此题考察样本的数据特点，考察对样本数据的众数、中位数、均匀数以及方差观点的理解，娴熟利用有关公式计算这些数据，是解此题的重点，属于中等题。
3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的均匀数为16.8 ，则 x， y 的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【答案】 C【分析】试题剖析：由题意得 x 5 ，1(9 15 10 y 18 24)y 8 ，选5C.【考点】茎叶图4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分红6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] 加以统计，获得以下图的频次分布直方图．已知高一年级共有学生600 名，据此预计，该模块测试成绩许多于60 分的学生人数为（）A． 588B． 480C． 450D． 120【答案】 B【分析】试题剖析：依据频次散布直方图，得；该模块测试成绩许多于60 分的频次是1- （ 0.005+0.015 ）× 10=0.8 ，∴对应的学生人数是600× 0.8=480【考点】频次散布直方图5．设，是两个不一样的平面，l ，m是两条不一样的直线，且 l，m（）A ．若l，则B ．若，则 lmC ．若l //，则//D ．若//，则l // m【答案】 A【分析】 试题剖析：由面面垂直的判断定理：假如一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l， l可得【考点】 空间线面平行垂直的判断与性质6．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b,c ，若 b c 2a,3sin A 5sin B ,则角 C =（）A ．B ．23 3C ．3D ．546【答案】 B【分析】【详解】试题剖析：Q 3sin A 5sin B ，由正弦定理可得 3a 5b 即 a5b ；7b ，所以3因为 bc 2a ，所以 c3252249 215cosCa 2b 2c 29 b b9 b9 1(0, ) ，所以2ab5 210，而 C22b332，应选 B.C3【考点】 1. 正弦定理； 2. 余弦定理 .7．若直线 x y 1 0 与圆 ( x a) 2 y 22 有公共点，则实数 a 的取值范围是（）A ．[ 3,1]B ． [ 1,3]C ． [ 3,1]D ． ( , 3] U [1, )【答案】 C【分析】 由题意得圆心为 ( a,0) ，半径为 2 ．圆心到直线的距离为 da 1，2由直线与圆有公共点可得a 12 ，即a 1 2 ，解得3 a 1 ．2∴实数 a 取值范围是[ 3,1] ．选 C．8．已知直线l：x ay 1 0(a R) 是圆C : x2 y 2 4x 2 y 1 0 的对称轴.过点A( 4, a) 作圆C的一条切线，切点为B，则|AB| （）A． 2 B．4 2 C． 6 D．2 10【答案】 C【分析】试题剖析：直线l 过圆心，所以 a 1 ，所以切线长AB (4)21 4 ( 4) 2 1 6，选 C.【考点】切线长9．在三棱锥A BCD中，已知全部棱长均为 2 ， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A．3 1 1D．3B．C．6 6 3 3【答案】 A【分析】取 AD 的中点F，连结 CF 、EF，于是获得异面直线CE 与 BD 所成的角为CEF ，而后计算出CEF 的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ，即可得出答案．【详解】以以下图所示，取AD的中点F，连结 CF 、EF，因为 E 、F分别为 AB 、 AD 的中点，则 EF //BD ，且EF 1BD 1，2所以，异面直线 CE 与 BD 所成的角为CEF 或其补角，Q 三棱锥A BCD是边长为2的正四周体，则ABC 、 ACD 均是边长为2 的等边三角形，Q E为AB的中点，则CE AB ，且CE AC 2 AE 2 3，同理可得 CF 3 ，在 CEF 中，由余弦定理得cos CEF CE2 EF 2 CF 2 3 1 3 3 ，2CE EF 2 3 1 6所以，异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为3，应选 A．6【点睛】此题考察异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤以下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择适合的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．10．已知圆C : x 3 2 2m 0 ，若圆 C 上y 41和两点A m,0，B m,0存在点 P ，使得APB 90 ，则 m 的最大值为（）A． 7 B． 6 C． 5 D． 4【答案】 B【分析】由题意知，点P 在以原点（ 0，0）为圆心，以 m为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只需两圆有交点即可，所以m 1 5 ，应选 B.【考点】本小题主要考察两圆的地点关系，考察数形联合思想，考察剖析问题与解决问题的能力 .11．正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．81B．16 C． 9 D．27 4 4【答案】 A【分析】【详解】正四棱锥 P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为 O， PO=AO=R，PO14，OO1 =4-R，在 Rt △ AOO 1 中， AO 1 2 ，由勾股定理 R 22 4 29 R 得 R，4∴球的表面积 S81 ，应选 A. 4【考点】 球的体积和表面积12．已知点 、 、 在圆x 2y 21 上运动，且 ABC90 o，若点 P 的坐标为 2,0 ，A B Cuuur uuur uuurPA PB PC 的最大值为（）A ． 9B ． 8C ． 7D ． 6【答案】 C【分析】 由题意可知 AC 为圆 x 2y 21 的一条直径， 由平面向量加法的平行四边形法uuur uuuruuur则可得 PAPC 2PO （ O 为坐标原点），而后利用平面向量模的三角不等式以及圆uuuvuuuv uuuv的几何性质可得出 PA PB PC 的最大值 .【详解】以以下图所示：Q ABC 90o， AC 为圆 x 2 y 21 的一条直径，uuuruuur uuur 由平面向量加法的平行四边形法例可得2POPAPC （ O 为坐标原点），由平面向量模的三角不等式可得uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvPA PB PC 2PO PB 2 PO PB 4 PB 4PO17，当且仅当点 B 的坐标为1,0 时，等号建立，uuuv uuuv uuuv所以， PA PB PC 的最大值为7 .应选： C.【点睛】此题考察向量模的最值问题，波及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考察数形联合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其他三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是_____．【答案】 2【分析】先确立旋转体为圆柱，依据条件得出圆柱的底面半径和母线长，而后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案．【详解】由题意可知，旋转体为圆柱，且底面半径为r 1 ，母线长为l 1 ，所以，旋转体的侧面积为 2 rl 2 1 1 2 ，故答案为 2 ．【点睛】此题考察圆柱侧面积的计算，计算出圆柱的底面半径和母线长是解此题的重点，意在考查学生对这些公式的理解与运用能力，属于基础题．14．若直线l过点3,4 ，且平行于过点M (1,2) 和N ( 1, 5)的直线，则直线l 的方程为 _____【答案】 7x 2 y 130【分析】先利用斜率公式求出直线MN 的斜率，由直线l 与直线 MN 平行，得出直线 l 的斜率，再利用点斜式可得出直线l 的方程。
2022年广东省广州市中学(高中部)高一数学文下学期期末试卷含解析
2022年广东省广州市中学(高中部)高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数f(x)满足，则f(2015)的值为A．－1 B．0 C．1 D．2参考答案：C由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以f(n)的值以6为周期重复性出现，所以f(2015)＝f(5)＝1，故选C.2. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）A．B．C．D.参考答案：B3. 设集合A={1，0}，集合B={2，3}，集合M={x|x=b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．15个参考答案：D 【考点】子集与真子集．【分析】求出集合M，从而求出M的真子集的个数即可．【解答】解：a=1，b=2时，x=6，a=1，b=3时，x=12，a=0，b=2时，x=4，a=0，b=3时，x=9，故M={4，6，9，12}，故M的真子集的个数是：24﹣1=15个，故选：D．4. 下列判断正确的是（）A． B． C． D．参考答案：D略5. 已知集合，那么下列结论正确的是．A．B． C．D．参考答案：A6. 设｛a｝是等差数列，｛b｝为等比数列，其公比q≠1, 且b＞0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则 ( )A a=bB a＞bC a＜bD a＞b或 a＜b参考答案：B7. 已知=（2，m），=（﹣1，m），若（2﹣）⊥，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】向量的模．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】化简可得2﹣=（5，m），故（5，m）（﹣1，m）=0，从而求得m2=5，从而求||．【解答】解：2﹣=2（2，m）﹣（﹣1，m）=（5，m），∵（2﹣）⊥，∴（5，m）（﹣1，m）=0，即5﹣m2=0，即m2=5，故||==3；故选：B．【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积的应用，同时考查了向量的模的求法．8. 下列命题中：①若?=0，则=或=；②若不平行的两个非零向量，满足||=||，则（）?（﹣）=0；③若与平行，则；④若∥，∥，则∥；B略9. 已知集合M={1,2}, N={2,3,4},若P=M∪N ,则P的子集个数为（）A．14 B．15 C．16 D．32参考答案：C集合M={1,2},N={2,3,4},则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．10. 如图所示的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为( )A．2，1，，﹣1 B．2，﹣1，1，C．，1，2，﹣1 D．﹣1，1，2，参考答案：A【考点】幂函数的图像．【专题】应用题．【分析】在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n应是从大到小排列．【解答】解：在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应的n 依次为 2，1，，﹣1，故选A ．【点评】本题考查幂函数的图形和性质的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f(x)的定义域为R，且，当时，，则．参考答案：－2因为，则，所以，则。
2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+2i ）z ＝4+3i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣2+iB ．﹣2﹣iC ．2+iD ．2﹣i2．已知向量a →=(2，0)，b →=(1，−1)，若a →+λb →与b →垂直，则λ等于（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣23．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为x ，标准差为s ，则质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0.14 B ．若A ，B 互斥，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0.14 C ．若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0 D ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.24，P(AB)=0.06 5．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，则（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →是a →⊥(b →−c →)的充要条件C ．若a →=(1，−1)，b →=(2，−3)，c →=(−3，4)，则{a →+b →，c →}可以作为基底D ．若a →，b →，c →两两的夹角相等，且|a →|=1，|b →|=1，|c →|=3，则|a →+b →+c →|=26．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW •h 之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（ ）A ．小区用电量平均数为186.5，极差为300B ．小区用电量中位数为171，众数为175C ．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5D ．小区用电量不小于250kW •h 的约有380户7．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ） A ．√3128πa 3 B ．√364πa 3C ．√332πa 3D ．√316πa 38．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，则该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知复数z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），z 2＝cos θ+i sin θ（θ∈R ），则（ ） A ．（z 1+z 2）2＝|z 1+z 2|2B ．复平面内z 22对应的点的集合是单位圆C ．z 1+z 2=z 1+z 2D ．复平面内满足|z 1﹣i |＝1的点的集合是线段10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件A ＝“两次记录的数字之和为偶数”，事件B ＝“第一次记录的数字为偶数”；事件C ＝“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）A ．P （A ）＝P （B ）＝P （C ） B ．P （AB ）＝P （BC ）＝P （AC ）C ．P （A ）P （B ）P （C ）=116D ．P （ABC ）=1411．已知函数f （x ）＝cos 4x ﹣2sin x cos x ﹣sin 4x ，则（ ） A ．函数f （x ）的图象关于x =π4对称 B ．函数f （x ）的图象关于点（−3π8，0）对称 C ．函数f （x ）在区间[−π8，3π8]上单调递减D ．函数f （x ）满足f （x +π2）=1f(x)12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是线段AB 、A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥CD 1B ．直线EF 与BC 1所成的角为60° C ．直线EF 与平面ABC 1所成的角的正弦值为√36D ．直线B 1D 与平面A 1BC 1的交点是△A 1BC 1的重心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z 等于 ．（写出一个即可） 14．已知|a →|＝6，e →=（0，1），当向量a →，e →的夹角θ等于30°时，向量a →在向量e →上的投影向量为 ． 15．如图，长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝BB 1＝1，AB ＝2，E ，F ，G 分别是线段AB 1，B 1C 1，DC 的中点，平面A 1B 1C 1上存在点P ，满足DP ∥平面EFG ，则点D 与满足题意的点P 构成的平面截长方体所得截面的面积为 ．16．如图，已知直线l 1∥l 2，A 是直线l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，B ，C 分别为直线l 1，l 2上的动点，且满足∠BAC ＝120°，则△ABC 面积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）将函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数f （x ）的图象．（1）解不等式g （x ）≥﹣1，x ∈[0，π4]；（2）证明：tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）＝2f （x ）．18．（12分）如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A ，B 两点间的距离，在A ，B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，并且在C ，D 两点分别测得∠ACB ＝60°，∠ACD ＝45°，∠BDC ＝30°，∠BDA ＝75°， （1）求A ，B 两点间的距离；（2）设AC 与BD 相交于点O ，记△AOD 与△BOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝2，AA 1＝3，点P ，Q 分别为线段AB 1，CC 1的中点．（1）证明：PQ ∥平面ABC ； （2）求多面体B 1PCQ 的体积．20．（12分）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．（1）若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；（2）若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E 为CD的中点，P A＝PB=√2，∠P AD＝∠PBC，（1）证明：平面POE⊥平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面P AB与底面ABCD所成二面角的大小．22．（12分）某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A等品，小于10的为B等品．厂家将A等品售价定为160元/件，B等品售价定为140元/件．如表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：经计算得x=116∑x i=9.9716i=1，s2=116∑16i=1(x i−x)2=116∑x i2−x2i=1=0.045，其中x i为抽取的第i件产品的工艺质量指标值，i＝1，2，⋯，16．为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．（1）若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）（2）根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+2i ）z ＝4+3i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣2+iB ．﹣2﹣iC ．2+iD ．2﹣i解：由（1+2i ）z ＝4+3i ，得z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i ． 故选：D ．2．已知向量a →=(2，0)，b →=(1，−1)，若a →+λb →与b →垂直，则λ等于（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为a →=(2，0)，b →=(1，−1)，所以a →+λb →=(2+λ，−λ)， 因为a →+λb →与b →垂直，所以（2+λ）×1+（﹣λ）×（﹣1）＝0，则λ＝﹣1． 故选：C ．3．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为x ，标准差为s ，则质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9解：10袋白糖的平均质量x =500+−5+0+3+8+(−2)+0+(−7)+3+010=500， 方差s 22=110[(−5)2+02+32+82+(−2)2+02+(−7)2+02+32+02]=16，标准差s ＝4， 因此x −s =496，x +s =504，所以质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是7． 故选：B ．4．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0.14 B ．若A ，B 互斥，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0.14 C ．若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0 D ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.24，P(AB)=0.06解：对于A ，如果B ⊆A ，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＝0.7，P （AB ）＝P （B ）＝0.2，A 错误；对于B ，如果A 与B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.7+0.2＝0.9，P （AB ）＝0，B 错误； 对于C ，如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.7×0.2＝0.14，C 错误；对于D ，如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=(1−0.7)(1−0.2)=0.24，P(AB)=(1−0.7)×0.2=0.06，D 正确． 故选：D ．5．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，则（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →是a →⊥(b →−c →)的充要条件C ．若a →=(1，−1)，b →=(2，−3)，c →=(−3，4)，则{a →+b →，c →}可以作为基底D ．若a →，b →，c →两两的夹角相等，且|a →|=1，|b →|=1，|c →|=3，则|a →+b →+c →|=2 解：对于选项A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →， 但a →，c →的方向不能确定，故选项A 错误； 对于选项B ，若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →⇔a →⋅(b →−c →)=0⇔a →⊥(b →−c →)， 则选项B 正确；对于选项C ，∵a →+b →=(3，−4)=−c →， ∴a →+b →，c →共线，∴{a →+b →，c →}不可以作为基底，故选项C 错误；对于选项D ，|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2a →⋅c →+2b →⋅c →，因为a →，b →，c →两两的夹角相等， 所以夹角有两种情况， 当夹角为120°时，|a →+b →+c →|=√12+12+32+2×1×1×(−12)+2×1×3×(−12)+2×1×3×(−12)=2，当夹角为0°时，|a →+b →+c →|=√12+12+32+2×1×1+2×1×3+2×1×3=5， 故选项D 错误． 故选：B ．6．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW •h 之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（ ）A ．小区用电量平均数为186.5，极差为300B ．小区用电量中位数为171，众数为175C ．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5D ．小区用电量不小于250kW •h 的约有380户 解：对于A ，极差为300，小区用电量平均数为50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225 +50×0.0024×275+50×0.0012×325＝186，故A 错误； 对于B ，小区用电量众数为150+2002=175，因为50×（0.0024+0.0036）＝0.3，50×（0.0024+0.0036+0.0060）＝0.6， 故小区用电量中位数在[150，200），设为m ， 则0.3+（m ﹣150）×0.0060＝0.5，解得m =5503，故B 错误； 对于C ，因为50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044）＝0.82＜0.85， 50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024）＝0.94＞0.85， 故估计小区居民月用电量的85%分位数在[250，300），设为x ， 则0.82+（x ﹣250）×0.0024＝0.85，解得x ＝262.5，故C 正确；对于D ，样本中小区用电量不小于250kW •h 的频率为0.0024×50+0.0012×50＝0.18， 所以小区用电量不小于250kW •h 的约有2000×0.18＝360户，故D 错误．故选：C ．7．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ）A ．√3128πa 3B ．√364πa 3C ．√332πa 3D ．√316πa 3解：依题意，设圆锥底面半径为R ，高为H ，圆柱底面半径为r ，高为h ， 则2πR =12×2πa ，则R =12a ，故H =√a 2−R 2=√32a ， 所以由ℎH =R−r R，得ℎ=√32a −√3r =√32(a −2r)，所以圆柱的侧面积S =2πr ℎ=√32π×2r ×(a −2r)≤√32π×(2r+a−2r 2)2=√38πa 2， 当且仅当2r ＝a ﹣2r ，即r =a4时，等号成立，此时ℎ=√32(a −2×14a)=√34a ，圆柱的体积为V =πr 2ℎ=π×(a 4)2×√34a =√364πa 2． 故选：B ．8．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，则该坐标系中M（x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ解：因为该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）， 所以OM →=x 1e 1→+y 1e 2→，ON→=x 2e 1→+y 2e 2→，则MN →=ON →−OM →=(x 2−x 1)e 1→+(y 2−y 1)e 2→， 所以|MN →|=√[(x 2−x 1)e 1→+(y 2−y)1e 2→]2=√(x 2−x 1)2e 1→2+(y 2−y 1)2e 2→2+2(x 2−x 1)(y 2−y 1)e 1→⋅e 2→=√(x 2−x 1)2|e 1→|2+(y 2−y 1)2|e 2→|2+2(x 2−x 1)(y 2−y 1)|e 1→|⋅|e 2→|cosθ =√(x 1−x 2)2×12+(y 1−y 2)2×12+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)×1×1×cosθ =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ， 即该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为： √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知复数z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），z 2＝cos θ+i sin θ（θ∈R ），则（ ） A ．（z 1+z 2）2＝|z 1+z 2|2B ．复平面内z 22对应的点的集合是单位圆C ．z 1+z 2=z 1+z 2D ．复平面内满足|z 1﹣i |＝1的点的集合是线段解：取z 1＝i ，θ＝0，z 2＝1，则(z 1+z 2)2=（i +1）2＝2i ，|z 1+z 2|2=|i +1|2=2， 则（z 1+z 2）2≠|z 1+z 2|2，故A 错误；设复平面内z 22对应的点的坐标为（m ，n ），z 22=（cos θ+i sin θ）2＝cos 2θ﹣sin 2θ+i •2sin θcos θ＝cos2θ+i sin2θ，∴m ＝cos2θ，n ＝sin2θ，∴m 2+n 2＝1，则复平面内z 22对应的点的集合是单位圆，故B 正确； ∵z 1+z 2＝x +cos θ+i •（y +sin θ），z 1+z 2=x +cos θ﹣i •（y +sin θ）， z 1+z 2=x ﹣yi +cos θ﹣i sin θ＝x +cos θ﹣i •（y +sin θ）， ∴z 1+z 2=z 1+z 2，故C 正确；由|z 1﹣i |＝1得|x +（y ﹣1）i |＝1，即x 2+（y ﹣1）2＝1，表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，故D 错误．故选：BC．10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件A＝“两次记录的数字之和为偶数”，事件B＝“第一次记录的数字为偶数”；事件C＝“第二次记录的数字为偶数”，则（）A．P（A）＝P（B）＝P（C）B．P（AB）＝P（BC）＝P（AC）C．P（A）P（B）P（C）=116D．P（ABC）=14解：依题意，连续抛掷这个正四面体木块两次，所得总的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16件，其中事件A包含的基本事件有（1，1），（1，3），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共8件，事件B包含的基本事件有（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共8件，事件C包含的基本事件有（1，2），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），共8件，事件AB包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件BC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件AC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件ABC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，所以P（A）＝P（B）＝P（C）=12，P（AB）＝P（BC）＝P（AC）=14，P（A）P（B）P（C）=18，P（ABC）=14，故ABD正确，C错误．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x，则（）A．函数f（x）的图象关于x=π4对称B．函数f（x）的图象关于点（−3π8，0）对称C．函数f（x）在区间[−π8，3π8]上单调递减D ．函数f （x ）满足f （x +π2）=1f(x)解：f （x ）＝cos 4x ﹣2sin x cos x ﹣sin 4x ＝（cos 2x +sin 2x ）（cos 2x ﹣sin 2x ）﹣2sin x cos x ＝cos2x ﹣sin2x =√2cos （2x +π4），由2x +π4=k π，k ∈Z ，解得x =−π8+kπ2，k ∈Z ，令−π8+kπ2=π4，得k =34∉Z ，故A 错误； 由2x +π4=π2+kπ，k ∈Z 得，x =π8+kπ2，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−3π8， 则函数f （x ）关于点（−3π8，0）对称，故B 正确； 当2x +π4∈[2k π，π+2k π]，k ∈Z ，即x ∈[−π8+k π，3π8+k π]，k ∈Z 时，f （x ）单调递减，令k ＝0，则函数f （x ）在区间[−π8，3π8]内单调递减，故C 正确；取x ＝0，则f （0+π2）＝f （π2）=√2cos(x +π4)=−√2cos π4=−1，又因为1f(0)=√2cos π4=1，所以f （0+π2）≠1f(0)，故D 错误． 故选：BC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是线段AB 、A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥CD 1B ．直线EF 与BC 1所成的角为60° C ．直线EF 与平面ABC 1所成的角的正弦值为√36D ．直线B 1D 与平面A 1BC 1的交点是△A 1BC 1的重心解：对于A ，记CD 的中点为G ，连接EG ，AC 交于O ，连接D 1O ，AD 1，易得O 同时是EG 与AC 的中点，EO ∥AD ，EO =12AD ，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，FD1∥AD，FD1=12AD，所以EO∥FD1，EO＝FD1，所以四边形FD1OE是平行四边形，则EF∥D1O，不妨设AB＝2，则在△ACD1，易得AD1=AC=CD1=2√2，则△ACD1是正三角形，因为O是AC的中点，易得∠OD1C＝30°，所以D1O与CD1不垂直，则EF与CD1不垂直，故A错误；对于B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，又EF∥D1O，所以∠AD1O是直线EF与BC1所成的角（或补角），因为△ACD1是正三角形，O是AC的中点，所以∠AD1O＝30°，故B错误；对于C，连接A1D，如图，由选项B可知平面ABC1与平面ABC1D1是同一个面，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，而A1D⊂平面AA1D1D，则AB⊥A1D，在正方形AA1D1D中，易得AD1⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1，又F是A1D1的中点，所以F到平面ABC1D1的距离是A1到平面ABC1D1的距离的一半，记F到平面ABC1D1的距离为h，则ℎ=12×12A1D=√22，而易得EF=√12+12+22=√6，记直线EF与平面ABC1所成的角为θ，则sinθ=ℎEF=√22×1√6=√36，故C正确；对于D，不妨设直线B1D与平面A1BC1的交点为M，连接B1D1，如图，易得A1B=BC1=A1C1=2√2，又A1B1＝B1C1＝BB1＝2，所以三棱锥B1﹣A1BC1是正三棱锥，故要证M是△A1BC1的重心，只需要证B1M⊥面A1BC1，即B1D⊥面A1BC1即可，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，而A1C1⊂平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，在正方形A1B1C1D1中，易得B1D1⊥A1C1，又DD1∩B1D1＝D1，DD1，B1D1⊂平面DD1B1，所以A1C1⊥平面DD1B1，而B1D⊂平面DD1B1，故A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，A1C1，A1B⊂平面A1BC1，所以B1D⊥面A1BC1，所以直线B1D与平面A1BC1的交点是△A1BC1的重心，故D正确．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z等于﹣1+√3i（答案不唯一）．（写出一个即可）解：设z＝a+bi（a＜0，b＞0），由|z|＝2，得√a2+b2=2，即a2+b2＝4，令a＝﹣1，b=√3，则z＝﹣1+√3i．故答案为：﹣1+√3i（答案不唯一）．14．已知|a→|＝6，e→=（0，1），当向量a→，e→的夹角θ等于30°时，向量a→在向量e→上的投影向量为3√3e→．解：|a→|＝6，e→=（0，1），向量a→，e→的夹角θ等于30°时，故向量a→在向量e→上的投影向量为|a→|cos30°×e→=3√3e→．故答案为：3√3e→．15．如图，长方体木块ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝BB1＝1，AB＝2，E，F，G分别是线段AB1，B1C1，DC 的中点，平面A1B1C1上存在点P，满足DP∥平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为32．解：如图，连接EG，EF，GF，A1D，A1C1，DC1，∵A1E∥DG，A1E＝DG，∴A1EGD为平行四边形，∴A1D∥EG，∵A 1D ⊄平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，∴A 1D ∥平面EFG ， 又DP ∥平面EFG ，A 1D ∩DP ＝D ，A 1D ，DP ⊂平面A 1DP ， ∴平面A 1DP ∥平面EFG ，又平面A 1DP ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1P ，平面EFG ∩平面A 1B 1C 1D 1＝EF ， ∴A 1P ∥EF ，∵E ，F 分别是线段AB 1，B 1C 1的中点，∴A 1C 1∥EF ，则点P 在A 1C 1上， ∴点D 与满足题意的点P 构成的平面截长方体所得截面为△DA 1C 1， ∵DA 1=√2，A 1C 1＝DC 1=√5，△DA 1C 1的等腰三角形， 边DA 1上的高为h =√(√5)2−(√22)2=3√22， ∴S △DA 1C 1=12DA 1⋅ℎ=12×√2×3√22=32． 故答案为：32．16．如图，已知直线l 1∥l 2，A 是直线l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，B ，C 分别为直线l 1，l 2上的动点，且满足∠BAC ＝120°，则△ABC 面积的最小值为√33h 1h 2 ．解；依题意，当点B ，C 在过点A 垂直于l 1的直线DE 同侧时，∠BAE +∠CAD ＝60°， 设∠BAE ＝30°+θ（﹣30°＜θ＜30°），则∠CAD ＝30°﹣θ，在Rt △ABE ，Rt △ACD 中，AB =ℎ1cos(30°+θ)，AC =ℎ2cos(30°−θ)，因此△ABC 的面积S △ABC =12AB •AC sin120°=12•ℎ1cos(30°+θ)•ℎ2cos(30°−θ)•√32=√3ℎ124(√32cosθ−12sinθ)(√32cosθ+12sinθ)=√3ℎ1ℎ23cos 2θ−sin 2θ=√3ℎ1ℎ24cos 2θ−1， 而√32＜cos θ≤1，即34＜cos 2θ≤1，√33h 1h 2≤S △ABC ＜√32h 1h 2，当且仅当cos θ＝1，即θ＝0°取等号， 当B 与E 重合时，∠CAD ＝60°，AC ＝2h 2，S △ABC =12h 1•2h 2sin120°=√32h 1h 2， 当C 与D 重合时，∠BAE ＝60°，同理S △ABC =√32h 1h 2，当B ，C 在过点A 垂直于l 1的直线DE 两侧时，则有60°＜∠CAD ＜90°，AC ＞2h 2，AB ＞h 1，或60°＜∠BAE ＜90°，AB ＞2h 1，AC ＞h 2，S △ABC =12AB •AC sin120°＞√34•2h 1h 2=√32h 1h 2， 所以△ABC 面积的最小值为√33h 1h 2． 故答案为：√33h 1h 2． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）将函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数f （x ）的图象．（1）解不等式g （x ）≥﹣1，x ∈[0，π4]；（2）证明：tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）＝2f （x ）．解：（1）∵x ∈[0，π4]，则2x +π3∈[π3，5π6]，因为tan （2x +π3）≥﹣1，则2x +π3∈[π3，π2）∪[3π4，5π6]，解得x ∈[0，π12）∪[5π24，π4]；证明：（2）函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，解析式变为h （x ）＝tan （x +π3），再向右平移π3个单位长度，则f （x ）＝tan x ，所以tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）=tan x 2+tan π41−tan x 2tan π4+tan x 2−tan π41+tan x 2tan π4=1+tan x 21−tan x 2+tan x 2−11+tan x 2=(1+tan x 2)2−(1−tan x 2)21−tan 2x 2=4tan x21−tan 2x 2=2tan x ＝2f （x ）， 故原等式成立．18．（12分）如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A ，B 两点间的距离，在A ，B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，并且在C ，D 两点分别测得∠ACB ＝60°，∠ACD ＝45°，∠BDC ＝30°，∠BDA ＝75°， （1）求A ，B 两点间的距离；（2）设AC 与BD 相交于点O ，记△AOD 与△BOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2．解：（1）在△ACD中，∠ADC＝∠BDA+∠BDC＝105°，∠ACD＝45°，所以∠CAD＝30°，又CD＝a，所以由CDsin30°=ADsin45°，得AD=asin45°sin30°=√2a，在△BCD中，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝45°，又sin105°=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√6+√24，所以由BDsin105°=CDsin45°，得BD=asin105°sin45°=√3+12a，在△ABD中，∠BDA＝75°，cos∠BDA=cos(45°+30°)=√22(√32−12)=√6−√24，所以AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos75°=2a2+2+√32a2−2×√2a×√3+12a×√6−√24=4+√32a2，则AB=√8+2√32a．（2）在△COD中，∠ACD＝45°，∠BDC＝30°，则∠COD＝105°，由OCsin30°=ODsin45°=CDsin105°，得OC=CDsin30°sin105°=6+2，OD=CDsin45°sin105°=√26+2=(√3−1)a，所以在△AOD中，∠BDA＝75°，sin75°=sin105°=√6+√2 4，则S△AOD=12AD⋅OD⋅sin75°=12×√2a2√26+√2×√6+√24=a22，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠COD＝75°，BO=BD−DO=√3+12a−(√3−1)a=3−√32a，则S△BOC=12OC⋅BO⋅sin75°=12×2√6+√2×3−√32a×√6+√24=3−√38a2，所以S1−S2=S△AOD−S△BOC=a22−3−√38a2=1+√38a2．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝2，AA1＝3，点P，Q分别为线段AB1，CC1的中点．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）求多面体B1PCQ的体积．解：（1）证明：取AB的中点D，连接PD，CD，在△ABB1中，因为P，D分别为AB1，AB中点，所以PD∥BB1，且PD=12BB1，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，CC1＝BB1，因为Q为棱CC1的中点，所以CQ∥BB1，且CQ=12BB1，于是PD∥CQ，PD＝CQ，所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ∥CD，又因为CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，所以PQ∥平面ABC；（2）取BC的中点E，连接AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以BB1⊥AE，又BC∩BB1＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，点P为线段AB1的中点，则点P到平面BCC1B1的距离d=12AE=√32，则多面体B1PCQ的体积V B1−PCQ =V P−B1CQ=13S△B1CQd=13×12×32×2×√32=√34．20．（12分）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．（1）若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；（2）若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．解：（1）设A k＝“一年内需要维修k次”，k＝0，1，2，3，事件A0，A1，A2，A3两两互斥，因为一年内需要维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%，所以P（A1）＝0.15，P（A2）＝0.06，P（A3）＝0.04，P（A0）＝1﹣（0.15+0.06+0.04）＝0.75，P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.25，P（B）＝P（A0∪A1）＝P（A0）+P（A1）＝0.9；（2）这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次，则两台均未维修或1台维修0次另1台维修1次，或1台维修0次另1台维修2次，或2台各维修1次，所以这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率为：P＝0.75×0.75+0.75×0.15×2+0.75×0.06×2+0.15×0.15＝0.9．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E 为CD的中点，P A＝PB=√2，∠P AD＝∠PBC，（1）证明：平面POE⊥平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面P AB与底面ABCD所成二面角的大小．解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，由正方形ABCD，得AD＝BC，而PA=PB=√2，∠PAD=∠PBC，则△P AD≌△PBC，有PD＝PC，又E为CD的中点，OD＝OC，于是PE⊥CD，OE⊥CD，而PE∩OE＝E，OE⊂平面POE，PE⊂平面POE，因此CD⊥平面POE，又CD⊂平面ABCD，所以平面POE⊥平面ABCD．（2）在四棱锥P﹣ABCD中，延长EO交AB于F，连接PF，如图，由于正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD的中点，则F为AB的中点，有EF⊥AB，PF⊥AB，于是∠PFE是侧面P AB与底面ABCD所成二面角，令∠PFE＝θ，由（1）知CD⊥平面PFE，而CD⊂平面PCD，则平面PFE⊥平面PCD，在平面PFE内过F作FH⊥PE于H，而平面PFE∩平面PCD＝PE，于是FGH⊥平面PCD，又AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，则AB ∥平面PCD ，因此点A 到平面PCD 距离等于点F 到平面PCD 的距离FH ， 由PA =√2，AF =1，得PF =√PA 2−PF 2=1， 而EF ＝2，在△PEF 中，由余弦定理得：PE 2＝PF 2+EF 2﹣2PF •EF cos θ＝5﹣4cos θ， 又S △PEF =12PF ⋅EF ⋅sinθ=12PE ⋅FH ，即有2sin θ＝PE •FH ，则FH 2=4sin 2θPE2=4−4cos 2θ5−4cosθ=16−(4cosθ)24(5−4cosθ)， 令5﹣4cos θ＝t ，显然﹣1＜cos θ＜1， 则1＜t ＜9，FH 2=16−(5−t)24t =14[10−(t +9t )]≤14(10−2√t ⋅9t )=1，当且仅当t =9t，即t ＝3时取等号， 当t ＝3时，(FH)min =1，cosθ=12， 而0＜θ＜π， 从而θ=π3，所以当点A 到平面PCD 距离最大时，侧面P AB 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3．22．（12分）某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A 等品，小于10的为B 等品．厂家将A 等品售价定为160元/件，B 等品售价定为140元/件．如表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：经计算得x =116∑x i =9.9716i=1，s 2=116∑ 16i=1(x i −x)2=116∑x i 2−x 2i=1=0.045，其中x i 为抽取的第i 件产品的工艺质量指标值，i ＝1，2，⋯，16．为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．（1）若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）（2）根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．解：（1）改进后该厂的年收益增加了，理由如下： 依题意，可知原生产线生产A 等品的概率为816=12，生产B 等品的概率为12，所以原生产线一天的收益为200×12×160+200×12×140=30000（元），即3万元， 改进后的生产线随机抽取的16件产品的工艺质量指标值为：则改进后的生产线生产A 等品的概率为1316，生产B 等品的概率为316，所以改进后的生产线一天的收益为200×1316×160+200×316×140=31250（元），即3.125万元， 则改进后该厂的年收益比原来的多（3.125﹣3）×365﹣30＝15.625（万元）． 所以改进后该厂的年收益增加了．（2）因为原来随机抽取的16件产品的工艺质量指标值的平均数为x =9.97和方差为s 2＝0.045， 而且改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05， 所以估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数为x +0.05=10.02，改进后方差s 12=116∑(x i +0.05−x −0.05)16i=1=116∑(x i −x)16i=1=s 2，所以方差不变，仍为0.045．。
2024届广东省广州荔湾区广雅中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
2024届广东省广州荔湾区广雅中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>2．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．163．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．4C ．223 D ．2034．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．15．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( )A ．32B ．12C ．-32D ．-126．已知tan 2α=，则22sin sin 23cos ααα+-的值为（ ） A ．25B ．1C ．45D ．857．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（ ） A ．2张恰有一张是移动卡 B ．2张至多有一张是移动卡 C ．2张都不是移动卡D ．2张至少有一张是移动卡8．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）A ．定B ．有C ．收D ．获9．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．12y x =B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12log xy =D ．1y x=10．已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒，则·DA DC =（ ） A ．23-B ．23C ．2-D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省广州市荔湾区2024届数学高一第二学期期末复习检测试题含解析
广东省广州市荔湾区2024届数学高一第二学期期末复习检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=2．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且1n n n b a a +=-（*n ∈N ），若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．0B ．3C ．8D ．113．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π4．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点且APB β∠=，02πβ<<，则图中阴影区域面积的最大值为（ )A ．cos ββ+B ．sin ββ+C ．22cos ββ+D ．44sin ββ+5．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3c =，45A =︒，75B =︒，则a =（ ）A ．2B 3C ．1D ．36．ABC ∆中，3,,4sin sin 3a Ab Bc C π===，则cos C （ ）A ．32B ．32-C ．32-或32D ．07．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ). A ．B ．C ．D ．8．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)9．设函数()113cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =( )A ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线6x π=对称 B ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线6x π=对称 D ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称10．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩则z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．044．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−155．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．1636．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．237．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为6511．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ ．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ ．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 ．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 个零点．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间．18．（12分）在△ABC中，cosB=1，c＝8，b＝7．2（1）求sin C；（2）若角C为钝角，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝CC1＝2．（1）证明：直线CM⊥平面AA1B1B；（2）求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小．20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图．（1）求图中a的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）21．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，BC ＝2，BE ＝CE =√2． （1）若平面CDE ∩平面ABE ＝l ，证明：AB ∥l ；（2）若面EBC ⊥面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}解：由B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}＝{x |﹣2＜x ＜3}，A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，所以A ∩B ＝{﹣1，2}， 故选：B ．2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）解：z =2+i i =(2+i)⋅(−i)i⋅(−i)=−2i−i 21=1−2i ，故复平面内z 对应的点的坐标为（1，﹣2）．故选：A ．3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．04解：由题意知：选取的6个个体编号依次为08，02，14，07，11，04， ∴选出来的第5个个体的编号为11． 故选：C ．4．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−15解：由题意可知：cosα=35，sinα=−45， 所以cosα−sinα=35+45=75， 故选：C ．5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．163解：因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球半径为r =√22+22+222=√3，所以正方体外接球的体积为43πr 3=43π×(√3)3=4√3π，又因为这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π， 所以这个“牟合方盖”的体积为√3π3√3π×4=163． 故选：D ．6．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．23解：设A ，B ，C ，D 四位爸爸的小孩分别是a ，b ，c ，d ， 则交谈组合有9种情况，分别为：（Ab ，Ba ，Cd ，Dc ），（Ab ，Bd ，Ca ，Dc ），（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Ba ，Cd ，Db ），（Ac ，Bd ，Ca ，Db ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Ba ，Cb ，Dc ），（Ad ，Bc ，Ca ，Db ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ）， A 的小孩与D 交谈包含的不同组合有3种，分别为：（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ），∴A 的小孩与D 交谈的概率是P =39=13． 故选：A ．7．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：对于A ，∵y =|x|√4−x 2=√x 2(4−x 2)≤√(x 2+4−x 22)2=2（当且仅当x 2＝4﹣x 2，即x =±√2时取等号），∴y =|x|√4−x 2在（﹣2，2）上的最大值为2，与图象不符，A 错误； 对于B ，当x ∈（﹣2，0）时，y =x√4−x 2＜0，与图象不符，B 错误； 对于C ，∵y =√−x 2+2|x|=√−(|x|−1)2+1，∴当x ＝±1时，y max ＝1； 又y =√−x 2+2|x|过点（﹣2，0），（2，0），（0，0）；由﹣x 2+2|x |≥0得：|x |（|x |﹣2）≤0，解得：﹣2≤x ≤2，即函数定义域为[﹣2，2]； 又√−(−x)2+2|−x|=√−x 2+2|x|，∴y =√−x 2+2|x|为定义在[﹣2，2]上的偶函数，图象关于y 轴对称；当x ∈[0，2]时，y =√−x 2+2x =√−(x −1)2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减；综上所述：y =√−x 2+2|x|与图象相符，C 正确；对于D ，由﹣x 2+2x ≥0得：0≤x ≤2，∴y =√−x 2+2x 不存在x ∈（﹣2，0）部分的图象，D 错误． 故选：C ．8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6解：将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）＝sin （2x +π3）的图象， 故g （x ）的周期为π，且g （x ）的最大值为1，最小值为﹣1， 若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），所以 g （x 1）和 g （x 2）是函数g （x ）的最大值和最小值，令2x +π3=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π6，k ∈Z ， 所以|x 1+x 2|2|＝|kπ2−π6|，k ∈Z ，当k ＝0时，|x 1+x 2|2|取得最小值为π6．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β解：对于A ，平面α，β可能相交，A 错误， 对于B ，平面α，β可能平行或斜交，B 错误． 对于C ，因为l ⊂α且l ⊥β，则必有α⊥β，C 正确． 对于D ，因为α∥β，则必有l ∥β，D 正确， 故选：CD ．10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为65解：对于A ，∵20人中，75分出现的次数最多，∴这20人数学成绩的众数为75，A 正确； 对于B ，A 组8位同学数学成绩的平均数为x A =38×60+28×65+38×70=65， ∴方差s A 2=38×(60−65)2+28×(65−65)2+38×(70−65)2=754，B 正确；对于C ，这20人数学成绩的平均数x =320×60+220×65+320×70+520×75+420×80+220×85+120×90=2954，C 错误；对于D ，∵20×25%＝5，∴这20人数学成绩的25%分位数为65+702=67.5，D 错误．故选：AB ．11．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →解：∵BC →=a →，CA →=b →，∴AD →=AC →+CD →=−CA →+12CB →=−b →−12a →，故选项A 正确，BE →=BC →+CE →=BC →+12CA →=a →+12b →，故选项B 正确，AB →=AC →+CB →=−b →−a →，CF →=CA →+AF →=CA →+12AB →=b →+12(−b →−a →)=−12a →+12b →，故选项C 正确，EF →=12CB →=−12a →，故选项D 错误．故选：ABC ．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 解：对于A ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，AC ，BC 1，AD 1，∵F ，G ，P ，M 分别为CC 1，BC ，DD 1，AD 中点，∴FG ∥BC 1，PM ∥AD 1， 又AD 1∥BC 1，∴PM ∥FG ，∵PM ⊂平面PMN ，FG ⊄平面PMN ，∴FG ∥平面PMN ；∵E ，G ，M ，N 分别为AB ，BC ，AD ，CD 中点，∴EG ∥AC ，MN ∥AC ，∴EG ∥MN ， ∵MN ⊂平面PMN ，EG ⊄平面PMN ，∴EG ∥平面PMN ； ∵EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面PMN ， ∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面PMN ，A 正确； 对于B ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，CE ，由A 知：FG ∥PM ，∴直线PM 与EF 所成的角即为直线FG 与EF 所成角，即∠EFG （或其补角）， ∵EG =FG =√12+12=√2，EF =√CE 2+CF 2=√12+22+12=√6，∴cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =26×2=√32，∴∠EFG =π6，即直线PM 与EF 所成的角为π6，B 错误；对于C ，连接PE ，ME ，NE ，∵S △EMN =12S ▱AEND =12×2×1=1，PD ＝1，∴V P−EMN =13S △EMN ⋅PD =13； ∵MP =MN =NP =√12+12=√2，∴S △PMN =12×√2×√2sin π3=√32， 设点E 到平面PMN 的距离为d ， 则V E−PMN =V P−EMN =13S △PMN ⋅d =√36d =13，解得：d =2√33，C 正确； 对于D ，取BC 中点G ，由A 知：平面EFG ∥平面PMN ，则平面EFG 即为平面α， 可作出截面如下图阴影部分所示，其中点H ，Q ，S 分别为AA 1，A 1D 1，C 1D 1中点，∵EH =EG =FG =FS =QS =QH =√2，EF =√6，∴六边形EGFSQH 是边长为√2的正六边形，又∠EGF =π−2∠EFG =2π3， ∴六边形EGFSQH 的面积S =2S △EFG +S ▱EHFS =√2×√2sin 2π3+√2×√6=3√3， 即平面α截该正方体得到的截面面积为3√3，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ −725． 解：∵cosα=−35，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(−35)2−1=−725． 故答案为：−725．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ 2 ．解：∵100＞0，∴f （100）＝lg 100＝2lg 10＝2． 故答案为：2．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 (√3，0) ． 解：因为a →=(√3，3)，b →=(−2，0)， 所以a →⋅b →=−2√3，|b →|2=4 故所求向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|⋅b→|b →|=a →⋅b→|b →|2⋅b →=−2√34(−2，0)=(√3，0)． 故答案为：(√3，0)．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 0.54 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 0 个零点．解：cos1≈1−12!+14!−16!=1−12+124−1720=1324−1720≈0.54， 由于函数y =e x ，y =−1x 在(23，1)单调递增， 所以f(x)=e x −1x 在(23，1)单调递增， 由于f （23）=e 23，所以f(x)=e x −1x ＞0在(23，1)恒成立， 故f(x)=e x −1x在区间(23，1)内无零点． 故答案为：0.54；0．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 解：（1）若选①因为f （x ）＝2sin （x +φ），所以f(x −π3)=2sin(x −π3+φ)，又函数f(x −π3)为奇函数， 则−π3+φ=kπ，k ∈Z ，结合0＜φ＜π2，则有φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． 若选②f(π6)=2sin(π6+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，则π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，则φ=2kπ+π3，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2， 则k ＝0时，φ=π3； 所以f(x)=2sin(x +π3)．若选③f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0， ∴2π3+φ=kπ，k ∈Z ，∴φ=−2π3+kπ，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2，则k ＝1时，φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． （2）令−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ，k ∈Z ，所以f(x)=2sin(x +π3)的单调递增区间为[−5π6+2kπ，π6+2kπ]，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]时，令k ＝0，得0≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤2π，所以函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]和[7π6，2π]． 18．（12分）在△ABC 中，cosB =12，c ＝8，b ＝7． （1）求sin C ；（2）若角C 为钝角，求△ABC 的周长． 解：（1）∵B ∈（0，π），cosB =12， ∴sinB =√1−cos 2B =√32，由正弦定理得：sinC =csinB b =8×√327=4√37；（2）∵C 为钝角，∴cosC =−√1−sin 2C =−17，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+49+2a ＝64，即a 2+2a ﹣15＝0， 解得：a ＝﹣5（舍）或a ＝3，∴△ABC 的周长为a +b +c ＝3+7+8＝18．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，AC ＝CB ＝CC 1＝2．（1）证明：直线CM ⊥平面AA 1B 1B ；（2）求直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小．（1）证明：因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以A1A⊥CM，因为M是AB的中点，AC＝CB，所以CM⊥AB，又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，所以直线CM⊥平面AA1B1B；（2）解：连接A1C，由（1）知，直线CM⊥平面AA1B1B，所以∠CA1M即直线A1C与平面AA1B1B所成角，因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC，又因为AC＝CC1＝2，所以在正方形AA1C1C中，A1C=2√2，因为∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝2，所以CM⊥AB，∠BAC=π4，所以CM=√2，因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B，所以CM⊥A1M，在直角三角形△A1CM中，sin∠CA1M=CMA1C =√222=12，又因为0＜∠CA 1M ＜π2，所以∠CA 1M =π6， 即直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小为π6；20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A ，B ，C ，D ，E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图． （1）求图中a 的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）解：（1）∵（0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005）×10＝1， ∴a ＝0.03；（2）∵原始分在[60，70）和[70，80）的频率之比为0.015：0.03＝1：2，∴抽取的6人中，原始分在[60，70）的人数为6×13=2，记为A ，B ；原始分在[70，80）的人数为6×23=4，记为a ，b ，c ，d ；则从6人中抽取2人所有可能的结果有：（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15个基本事件， 其中抽取的2人原始分均在[70，80）的结果有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6个基本事件，∴2人均在[70，80）的概率p=615=25；（3）由题意知：C，D，E等级排名占比为35%+13%+2%＝50%，则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级），∵（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，（0.010+0.015+0.015+0.03）×10＝0.7，∴中位数位于[70，80）之间，设中位数为x，则0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5，解得x≈73，∴原始分不少于73分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）．21．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC＝2，BE＝CE=√2．（1）若平面CDE∩平面ABE＝l，证明：AB∥l；（2）若面EBC⊥面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的侧面积．解：（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE，因为AB⊂平面ABE，平面CDE∩平面ABE＝l，所以AB∥l；（2）因为平面EBC⊥平面ABCD，交线为BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE，同理可得CD⊥平面BCE，因为BE⊂平面BCE，所以AB⊥BE，同理可得CD⊥CE，因为BE=CE=√2，所以S△ABE=S△CDE=12×2×√2=√2，又BE2+CE2＝BC2，由勾股定理逆定理得BE⊥CE，故S△BCE=12BE⋅CE=1，由勾股定理得AE=DE=√22+(√2)2=√6，又AD＝2，取AD中点F，连接EF，则EF⊥AD，故EF=√AE2−AF2=√5，所以S△ADE=12AD⋅EF=√5，四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积为2√2+1+√5．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围． 解：（1）由于f （x ）的图象的对称中心为（﹣1，c ）， 则f （﹣1+x ）+f （﹣1﹣x ）＝2c ，即(x −1)−6x−1+1+(−x −1)−6−x−1+1=2c ， 整理得﹣2＝2c ，解得：c ＝﹣1， 故f （x ）的对称中心为（﹣1，﹣1）； （2）函数f （x ）在（0，+∞）递增；设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1−6x 1+1−x 2+6x 2+1=(x 1−x 2)+6(x 1−x 2)(x 2+1)(x 1+1)=(x 1−x 2)[1+6(x 2+1)(x 1+1)]，由于0＜x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，6(x 2+1)(x 1+1)＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0⇒f （x 1）＜f （x 2）， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增；（3）由已知，g （x ）的值域为f （x ）值域的子集，由（2）知f （x ）在[1，5]上递增，且f （1）＝﹣2，f （5）＝4，故f （x ）的值域为[﹣2，4]， 于是原问题转化为g （x ）在[0，2]上的值域A ⊆[﹣2，4]， 当m 2≤0即m ≤0时，g （x ）在[0，1]递增，注意到g （x ）＝x 2﹣mx +m 的图象恒过对称中心（1，1）， 可知g （x ）在（1，2]上亦单调递增，故g （x ）在[0，2]递增，又g （0）＝m ，g （2）＝2﹣g （0）＝2﹣m ，故A ＝[m ，2﹣m ]， 所以[m ，2﹣m ]⊆[﹣2，4]，∴m ≥﹣2且2﹣m ≤4，解得﹣2≤m ≤0， 当0＜m2＜1即0＜m ＜2时，g （x ）在(0，m2)递减，在(m2，1）递增，又g （x ）过对称中心（1，1），故g （x ）在(1，2−m2)递增，在(2−m2，2]递减， 故此时A ＝[min {g （2），g(m2)}，max {g （0），g(2−m 2)}]，欲使A ⊆[﹣2，4]，只需{g(2)=2−g(0)=2−m ≥−2g(m 2)=−m 24+m ≥−2且{g(0)=m ≤4g(2−m 2)=2−g(m 2)=m 24−m +2≤4， 解不等式得：2−2√3≤m ≤4，又0＜m ＜2，此时0＜m ＜2， 当m 2≥1即m ≥2时，g （x ）在[0，1]递减，在（1，2]上递减，由对称性知g （x ）在[0，2]上递减，于是A ＝[2﹣m ，m ]， 则[2﹣m ，m ]⊆[﹣2，4]，故{2−m ≥−2m ≤4，解得：2≤m ≤4，综上：实数m 的取值范围是[﹣2，4]．。
高一下学期期末数学考试试卷(含答案)——广东省广州市
广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2} 5．若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）A．B．C．D．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≠|b|，则a2≠b2D．若a＞b，则a﹣b＜07．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4 B．3 C．2 D．9．若cos2α=，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4 B．2 C．2 D．11．已知点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为（）A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣612．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为．16．设f（x）=sinxcosx+cos2x，则f（x）的单调递减区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q（q≠1），证明：S n=．18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n=S n（n=1，2，3，…）．+1（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【考点】G2：终边相同的角．【分析】与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，作出直线x﹣2y+4=0的图形，分析可得原点在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，作出直线x﹣2y+4=0，分析可得：原点（0，0）在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4可得，x﹣2y+4＞0，故不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的右下方；故选：D．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r=|OP|=5，则cosα==﹣，故选：C．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣5）＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＞0可化为（x+2）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：D．5．若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（+α）的值．【解答】解：∵sinα=﹣，α是第四象限角，∴cosα==，则cos（+α）=cos cosα﹣sin sinα=﹣•（﹣）=，故选：B．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≠|b|，则a2≠b2D．若a＞b，则a﹣b＜0【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据题意，由不等式的性质易得A正确，利用特殊值法分析可得B、C、D错误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a＞|b|，则有|a|＞|b|＞0，则a2＞b2，故A正确；对于B、当a=1，b=﹣2时，a2＜b2，故B错误；对于C、当a=﹣1，b=1时，满足a≠|b|，但有a2=b2，故C错误；对于D、若a＞b，则a﹣b＞0，故D错误；故选：A．7．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=3sin2x图象向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，故选：C．8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】9A：向量的三角形法则．【分析】根据向量的三角形的法则和平行四边形的性质即可求出答案【解答】解：∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，∴=+，=+，=+，=+，∵M是平行四边形ABCD对角线的交点，∴=﹣，=﹣，∴+++=+++++++=4，故选：A9．若cos2α=，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得sin2α和cos2α 的值，可得sin4α+cos4α的值．【解答】解：∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴cos2α=，∴sin2α=1﹣cos2α=，则sin4α+cos4α=+=，故选：A．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4 B．2 C．2 D．【考点】3W：二次函数的性质；7F：基本不等式．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为x，则另一条为（4﹣x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可．【解答】解：设该三角形的一条直角边为x，则另一条为（4﹣x），则其面积S=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（x＞0）分析可得：当x=2时，S取得最大值，此时S=2；故选：C．11．已知点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为（）A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣6【考点】8E：数列的求和．【分析】点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，的a n=2n﹣13，a1=﹣11，=n2﹣12n由二次函数性质，求得S n的最小值【解答】解：∵点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则a n=2n﹣13，a1=﹣11=n2﹣12n∵n∈N+，∴当n=6时，S n取得最小值为﹣36．故选：B12．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】设三个角分别为﹣A，， +A，由正弦定理可得m==，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．【解答】解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=，A+C=，可设三个角分别为﹣A，， +A．故m====．又＜A＜，∴＜tanA＜．令t=tanA，且＜t＜，则m=在[，]上是增函数，∴+∞＞m＞2，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为4．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（4，2），=（8，x），∥，∴，解得x=4．故答案为：4．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（0，4）．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由二次函数的性质可知：△＜0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围．【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则△＜0，∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4，∴实数m的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，），C（2，﹣1），在△ABC中满足z=2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3．故答案为：3．16．设f（x）=sinxcosx+cos2x，则f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】推导出f（x）=sin（2x+）+，由此能求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+cos2x==sin（2x+）+，∴f（x）的单调递减区间满足：，k∈Z，∴，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q（q≠1），证明：S n=．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由，得，利用错位相减法能证明S n=．【解答】证明：因为，…所以，…qS n=，…所以（1﹣q）S n=，…当q≠1时，有S n=．…18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得|+|=的值．（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k+）•（k﹣）=k2•a2﹣=0，由此求得k的值．【解答】解：（1）||=1，||=2，若与的夹角θ=120°，则=1•2•cos120°=﹣1，∴|+|====．（2）∵（k+）⊥（k﹣），∴（k+）•（k﹣）=k2•﹣=k2﹣4=0，∴k=±2．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由三角形面积公式及余弦定理可求b2的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由c=acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA．…在△ABC中，C=π﹣A﹣B，所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．…由以上两式得sinA=cosA，即tanA=1，…又A∈（0，π），所以A=．…（2）由于S△ABC=bcsinA=bc，…由a=2，及余弦定理得：4=b2+c2﹣2bccosB=b2+c2﹣，…因为b=c，所以4=2b2﹣b2，即b2==4，…故△ABC的面积S=bc=b2=．…20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）a n+1=S n+1﹣S n=S n，整理为=2．即可证明．（2）由（1）得：=2n，即S n=n•2n．可得b n====﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】（1）证明：因为，a n+1=S n+1﹣S n=S n，所以=2，又a1=2，故数列{}是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得：=2n，即S n=n•2n．所以b n====﹣，故数列{b n}的前n项和T n=++…+=1﹣=．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ABC中利用余弦定理求出AB．【解答】解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°，∴AC=CD=，在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，由正弦定理得：，∴BC===．在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB=3+（）2﹣2••=5，∴AB=．故施工单位应该准备电线长为=5km．22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）依题意有sinA=2sinBsinC，从而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC ＞0，能推导出tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．（2）推导出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC 的最小值为8．【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意有sinA=2sinBsinC．…在△ABC中，A=π﹣B﹣C，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．…因为△ABC为锐角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，所以tanB+tanC=2tanBtanC，…所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．…（2）在锐角△ABC中，tanA=tan（π﹣B﹣C）=﹣tan（B+C）=﹣，…即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，…由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥，…整理得tanAtanBtanC≥8，…当且仅当tanA=4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8．…。