同济大学高等数学课件D122可分离
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高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2
版高等
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
高等数学同济件 微分方程总结PPT课件
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
第15页/共21页
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
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1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
《同济版高数》课件
数学是一门美丽而强大的学 科，它存在于生活的方方面 面，深深影响着我们的世界。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
最新同济大学《高等数学(下册)》修订版PPT课件
来度量, 对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角.
14
第五 章 向量与空间解析几何
1、向量的投影及投影定理
通过空间一点 A 作 u 轴的垂直平面（见图 5-9），该平面与u 轴的交点 A 称
为点 A 在 u 轴上投影.
A
A＇
u
图5-9
15
第五 章 向量与空间解析几何
1、向量的投影及投影定理
C(x,0,z)
z
B(0,y,z)
r
M
O
x
y
Q(0,y,0)
P(x,0,0)
A(x,y,0)
图5-6
9
一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
设 M1 x1, y1, z1 、 M2 x2 , y2 , z2 为空间两个点（见图 5-7），通过M1 、 M 2 各作
三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M1 、 M 2 为对角线的长
在 zOx 平面上： y 0 ，故对应点的坐标为C(x, 0, z) .
在 x 轴上： y z 0 ，点的坐标为 P(x, 0, 0) ；
R(0,0,z)
在 y 轴上： z x 0 ，点的坐标为Q(0, y, 0) ；
在 z 轴上： x y 0 ，点的坐标为 R(0, 0, z) .
如果向量 AB 的始点 A 与终点 B 在 u 轴上的投影分别为 A 、B（ 见图 5-10），
则 u 轴 上 的 有 向 线 段 AB 的 值 A B 称 为 向 量 AB 在 u 轴 上 的 投 影 ， 记
作 Pr ju AB AB ， u 轴称为投影轴.
注 值 AB 是指其绝对值等于 AB 的
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
同济大学第七版高等数学第七章可分离
例2. 解初值问题
y(0) 1
解: 分离变量得 d y
y
1
x x2
d
x
两边积分得
即 y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 1 u sin2 u 即
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M ( 0)
M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M
t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件,得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
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思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量
y 1 y2 dy
x 1 x2 dx
函数, G( y) F( x) C 为微分方程的解.
2021/3/11
2
例1.求微分方程
的通解.
解:分离变量得 d y 3x2d x y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
即
令C
eC1
ln y x3 ln C
( C为任意常数 )
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x yd x ( x2 1) d y 0
第二节
可分离变量微分方程
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可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
dy
4
2x2 y5
y
y(0) 1
解: 分离变量得 d y
y
1
x x2
d
x
两边积分得
即 y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 1 u sin2 u 即
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M ( 0)
M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M
t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件,得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
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思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量
y 1 y2 dy
x 1 x2 dx
函数, G( y) F( x) C 为微分方程的解.
2021/3/11
2
例1.求微分方程
的通解.
解:分离变量得 d y 3x2d x y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
即
令C
eC1
ln y x3 ln C
( C为任意常数 )
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x yd x ( x2 1) d y 0
第二节
可分离变量微分方程
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可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
dy
4
2x2 y5
y
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hr
100cm
o hdh
即
dV0 .62 2 ghdt
设在
内水面高度由 h 降到 h dh(dh0 ),
编辑ppt
9
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对应下降体积
dVr2dh
r10 20 (10 h 0 )2 20h 0h2
d V (2h 0 h 0 2)d h
h
因此得微分方程定解问题:
hr
100cm
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 uxy1,则
故有
1usi2n u
即
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ( ) x C ( C 为任意常数 )
编辑ppt
5
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练习:
解法 1 分离变量
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
编辑ppt
13
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o hdh
将方程分离变量:
dt
13
(2h 020 h2)d h
0 .62 2g
编辑ppt
10
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两端积分, 得
h
t
0.62
2g
1
3
(20h0 2h2)dh
hr
100cm
(
400h
3 2
2
5
h2
)
C
o hdh
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得 C 14105 h t0 100
v
mg k
k 编辑ppt
8
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例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
编辑ppt
3
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xydx(x21)dy0 例2. 解初值问题 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x211
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4
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第二节
第十二章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x )N 2 (y )d y 0
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
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1
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分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
dMM(0)
解: 根据题意, 有 dt Mt0M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 lM n t lC n ,即 MCet
M
利用初始条件, 得 CM0
M0
故所求铀的变化规律为 MM 0et. o
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t
7
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量 1yy2dy1xx2dx
(2) 方程变形为 y 2co xssiyn lntayn2sixnC 2
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14
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作业
P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6
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第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 已知曲线积分 L F (x ,y )[y sx id x n cx o d y ]s
与路径无关, 其中 F C 1,F(0,1)0,求由 F(x,y)0
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
0.622g 15
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
(7 15 0 13h 0 3 2 3 h 5 2)
4 .65 2g
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g (( x ) ( ) x ) d x f( x ) d x
两边积分, 得
f(x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
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2
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 lnyx3C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定同解 变形, 因此可能增、 减解.
即 令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 )
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v mg kv dt
初始条件为 vt0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此 m g 处 k v 0 )
利用初始条件, 得 C1ln(mg)
t 足够大时
代入上式后化简, 得特解kvmg(1em k t )
解法 2 令 uxy,
故有 积分
u1eu
(1eu)eu
1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.