高等数学同济大学数学系第七版上册

高等数学同济大学数学系第七版上册随着高等数学学科的不断发展,人们越来越重视它的应用价值和实际意义,特别是在教育教学中更重要。人们往往认为高等数学是一门理论性很强的学科。但事实上,高等数学本身也能在很大程度上成为一门实际应用学科,只是由于数学学科的特点才导致其应用价值和实际意义受到了严重的制约。例如,数学中有关数学模型和应用数论等知识已成为解决实际问题的重要手段。因此,与其他学科相比,高数有很强的实用性和普遍通用性。在教学中我们应根据不同基础学生情况和学习实际情况对其进行分层教学,因材施教,努力使每个学生所学知识与实际情况相适应。为使高数学习过程更加具有针对性和有效性,还应采取多种方式引导学生进行个性化学习,如设计一些情景演示、多媒体教学、讨论小组等进行实践教学,使他们在实践中得到知识和技能,进而提高他们运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

1、高等数学课程性质和作用

高等数学专业主干课程,具有非常重要的理论基础和应用价值,是培养应用数学人才的重要途径之一。高等数学是大学课程体系中重要的基础课,具有重要而特殊的地位。高等数学课程体系由高等数学课程和高等数学专业主干课程组成。课程体系的主要内容是对数学理论及数学模型进行分析方法和技术的训练。高数培养具有坚实的数学理论基础、熟练的数学应用能力和一定的科学研究能力及开拓创新精神的高等数学专业人才。高等数学课程体系中开设有:概率论与数理统计、线性代数、概率论与数理统计、高等微分方程、应用数学基础(高等数学)等课程以及高等数学基础课(一般为一年级)等组成课程分支。高等数学专业主干课程相衔接。高等数学课程涵盖基础数学和专业数学两大领域。高等数学是数学系专业选修科目中最为重要,同时也是重要考研和出国学科背景的必修课之一;高等数学是专业基础知识中比较重要且系统学习内容;高数课程可作为一门通识课程直接开设;本门课程是一门选修课程;本课可作为通识课程与其他各门课程结合进行学习;本课是一门专业选修课。

2、课程内容的安排

课程安排在《高等数学》系列课程(高数一)后。为了使同学们对课程内容能够比较系统地掌握其基本理论知识,同时能够熟练地进行综合运用,在学习过程中根据学生情况,开设有专题课。本课程包括三个阶段的内容:第一阶段是通识教育阶段(从概率论、数理统计到线性代数);第二阶段是专业基础阶段(从数理统计到概率论代数);第三阶段是专业综合课程(从线性代数到交叉统计)。其中第一阶段分为“概率论”和“线性代数”两部分组成。第一阶段内容中包含了:概率论和数理统计两个部分。概率论主要是研究线性代数、矩阵代数以及函数概念与性质之间互斥不变量之间的关系;同时也涉及到矩阵分解、向量分解及微分几何中所涉及到的一些概念和性质;向量分解是应用数学理论来研究微分几何中有关向量和函数概念之间关系的一种算法;微分几何是应用数学理论来研究函数性质和微分几何中有关函数关系的一种算法;微分几何是研究函数概念和性质之间关系的学科;向量分解可称为线性代数中应用范围最广、内容最丰富、难度最大的数学问题之一。这三个理论部分相互交织形成一个有机整体。该部分内容贯穿在高等数学整个学习过程中。学生对其有较强兴趣且较为全面地掌握了该知识内涵要求!

3、课程内容的安排(略)

《高等数学》是研究平面几何和空间几何,并以此为基础进行抽象、综合、演绎、定理等数学理论与方法的一门课程。课程主要内容有:代数几何分析、代数方程和集合理论、空间几何学(包括数组)、立体几何与解析几何等、概率论及数理统计。高等数学课程是一门以数学和计算机科学知识为基础的高等数学专业基础课程,以培养学生数学基础知识技能为目标。高数作为一门实用科学而受到人们的普遍重视。随着科学技术与经济社会的飞速发展,其应用范围和容量都在不断扩大。在国家综合实力进一步增强的背景下,我国高等数学学科面临着新的机遇与挑战:数学应用向宽广度发展;数学知识向系统化发展;数学工具向自动化发展;数学方法向实用化发

展;理论思想向实践化发展;现代科技与经济社会需要更广泛地运用数学知识。而对于高校里本科生来说尤其是数学专业方向的本科生来说需要进一步学习并掌握高等数学在一些领域(如空间与复杂系统、金融经济等)更好地运用。

4、教学目标与进度

◆本学期教学目标为:①通过本学期的教学可以使学生掌握高等数学的基本理论、基本概念如表1所示。②了解高数在世界各国的研究状况,通过对高数教学大纲的了解,在世界各国高数中的应用。③了解我国现代高数发展及我国高数的基本研究成果并有实际应用。④了解不同学科对本知识点学习要求存在差异的原因以及在课堂上应采取的策略。⑤了解我国高数教材编写的特点及其在全国范围内高数师资队伍中的作用。⑥了解中国传统文化对高数课程本身的影响和对高数课程在本教材中所起到的作用。⑦了解我国高等数学基础课程培养方案(2014年修订版)内

容和知识体系。

5、教学手段的运用与优化,以及教师在课堂中的主导作用

现代教学技术的发展使教学手段不断更新,特别是多媒体、网络视频等新媒体技术已逐渐被教师和学生所接受。多媒体教学不仅能调动学生积极性、主动性、创造性,提高课堂的学习效率,还能激发学生学习兴趣,增强学生对知识的理解与掌握。另外,教师可以利用网络视频教学平台为学生创设情境并提出问题,从而调动学生学习的积极性和主动性。网络视频具有较高的互动性,这也是高数课堂教学中运用得比较多的技术,如网络会议形式、教师评价系统、同学评价系统等。同时利用电脑制作成适合于不同专业和不同层次学生使用的教材。为了提高高数课堂教学效果,教师应努力将自己作为一个学习者去培养、开发并利用各种资源和方法对学有余力的一些“弱势”知识进行拓展与巩固。通过多个项目(如小组合作等)解决某个具体问题。使他们在实践中得到知识和技能,从而提高课堂教学质量。

6、结束语

因此,我们要将数学思想和方法渗透到理论知识体系中,充分发挥数学知识的实际作用、综合运用,这样才能培养出适应社会需要的复合型人才。综上所述,随着数学教育理念和课程改革的不断深入,未来的高等数学一定会越来越具有实用性和通用性。数学的教学一定要在内容安排上遵循因材施教的原则,既要关注那些接受能力强的中学生,又要重视那些没有接受能力的中学生。随着信息时代和计算机技术的飞速发展,各种新型教育模式应运而生,它们在一定程度上满足了新时代对于新型人才的要求,但与此同时,新型教育模式也对数学教师提出了新要求与挑战。因此我们要做好新型数学教育模式下高等数学专业人才培养质量的研究与探索,从而提高我国高数教育科学化水平与核心竞争力。

高等数学同济大学数学系第七版上册

高等数学同济大学数学系第七版上册随着高等数学学科的不断发展,人们越来越重视它的应用价值和实际意义,特别是在教育教学中更重要。人们往往认为高等数学是一门理论性很强的学科。但事实上,高等数学本身也能在很大程度上成为一门实际应用学科,只是由于数学学科的特点才导致其应用价值和实际意义受到了严重的制约。例如,数学中有关数学模型和应用数论等知识已成为解决实际问题的重要手段。因此,与其他学科相比,高数有很强的实用性和普遍通用性。在教学中我们应根据不同基础学生情况和学习实际情况对其进行分层教学,因材施教,努力使每个学生所学知识与实际情况相适应。为使高数学习过程更加具有针对性和有效性,还应采取多种方式引导学生进行个性化学习,如设计一些情景演示、多媒体教学、讨论小组等进行实践教学,使他们在实践中得到知识和技能,进而提高他们运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 1、高等数学课程性质和作用 高等数学专业主干课程,具有非常重要的理论基础和应用价值,是培养应用数学人才的重要途径之一。高等数学是大学课程体系中重要的基础课,具有重要而特殊的地位。高等数学课程体系由高等数学课程和高等数学专业主干课程组成。课程体系的主要内容是对数学理论及数学模型进行分析方法和技术的训练。高数培养具有坚实的数学理论基础、熟练的数学应用能力和一定的科学研究能力及开拓创新精神的高等数学专业人才。高等数学课程体系中开设有:概率论与数理统计、线性代数、概率论与数理统计、高等微分方程、应用数学基础(高等数学)等课程以及高等数学基础课(一般为一年级)等组成课程分支。高等数学专业主干课程相衔接。高等数学课程涵盖基础数学和专业数学两大领域。高等数学是数学系专业选修科目中最为重要,同时也是重要考研和出国学科背景的必修课之一;高等数学是专业基础知识中比较重要且系统学习内容;高数课程可作为一门通识课程直接开设;本门课程是一门选修课程;本课可作为通识课程与其他各门课程结合进行学习;本课是一门专业选修课。 2、课程内容的安排 课程安排在《高等数学》系列课程(高数一)后。为了使同学们对课程内容能够比较系统地掌握其基本理论知识,同时能够熟练地进行综合运用,在学习过程中根据学生情况,开设有专题课。本课程包括三个阶段的内容:第一阶段是通识教育阶段(从概率论、数理统计到线性代数);第二阶段是专业基础阶段(从数理统计到概率论代数);第三阶段是专业综合课程(从线性代数到交叉统计)。其中第一阶段分为“概率论”和“线性代数”两部分组成。第一阶段内容中包含了:概率论和数理统计两个部分。概率论主要是研究线性代数、矩阵代数以及函数概念与性质之间互斥不变量之间的关系;同时也涉及到矩阵分解、向量分解及微分几何中所涉及到的一些概念和性质;向量分解是应用数学理论来研究微分几何中有关向量和函数概念之间关系的一种算法;微分几何是应用数学理论来研究函数性质和微分几何中有关函数关系的一种算法;微分几何是研究函数概念和性质之间关系的学科;向量分解可称为线性代数中应用范围最广、内容最丰富、难度最大的数学问题之一。这三个理论部分相互交织形成一个有机整体。该部分内容贯穿在高等数学整个学习过程中。学生对其有较强兴趣且较为全面地掌握了该知识内涵要求! 3、课程内容的安排(略) 《高等数学》是研究平面几何和空间几何,并以此为基础进行抽象、综合、演绎、定理等数学理论与方法的一门课程。课程主要内容有:代数几何分析、代数方程和集合理论、空间几何学(包括数组)、立体几何与解析几何等、概率论及数理统计。高等数学课程是一门以数学和计算机科学知识为基础的高等数学专业基础课程,以培养学生数学基础知识技能为目标。高数作为一门实用科学而受到人们的普遍重视。随着科学技术与经济社会的飞速发展,其应用范围和容量都在不断扩大。在国家综合实力进一步增强的背景下,我国高等数学学科面临着新的机遇与挑战:数学应用向宽广度发展;数学知识向系统化发展;数学工具向自动化发展;数学方法向实用化发

高等数学同济大学数学系第七版上册

高等数学(同济人学数学系-第七版)上册 高等数学(同济大学数学系第七版)上册 第三章:微分屮值定理与导数的应用课后习题答案 微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间[于打]上的止确性. 证函数/(x)=lnsinx^[y^]匕连续•在(卡•乎)内可导■又4f) = ,nsin 6 =,n \ /(T)= ,n,in T=,n T* 即4才)唧认卜灯⑷在[:・丫]上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・(H (:、罟卜仙'(§)"•乂 JS二瓷令厂(丫)“得""T +于 (w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・)・ JR 兀=0 w (? •普)・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻]上是正确的• & 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何[0,1]上的正确性. it 匪数/(尤)=4“・5/在区河卫・1上连缤■金(0.1)內叫导,故/(・丫)在0」上满足拉格朗H中值定理条件,从而至少存在一点f e(0J).使门小斗护二仝严 “ 又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G(0J) JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八 5P r・2徃区何0」;上是正确的. "i"及化X)’ + cos X在IX间|o,y]j;验让柯內中值定理的正确性. 证旳数"+0*在区1叫0,;]上连续皿(0.;)內可品. M住卩•寸)内=1 -MOX ZO.故.心)屮(兀)满足柯两中值定理条件•从而至 55

/ 1. 高等数学(同济人学数学系•第七版)上册 55 / 2. 高等数学(同济人学数学系•第七版)上册55 / 3. 高等数学(同济大学数学系-第七版)上册. 55 / 4. 高等数学(同济人学数学系•第七版)上册.

高等数学同济第七版教材上下册

高等数学同济第七版教材上下册高等数学是大多数理工科专业学生都需要学习的一门重要课程,它是数学的一个分支,包括微积分、极限、导数、积分等内容。同济大学出版社出版的《高等数学同济第七版教材》是一本经典教材,在许多大学都被广泛采用。本文将对该教材的上下册进行简要介绍。 上册主要讲解微积分的基础知识和方法。第一章是导言部分,介绍了微积分的起源和发展,以及微积分在科学和工程问题中的重要性。第二章从实数的相关概念开始,包括实数的性质、大小比较、数列的极限等内容。第三章介绍了函数的概念和性质,如函数的定义域、值域、单调性等。第四章主要讲解极限的概念和运算法则,以及极限存在的判定方法。第五章是导数的基本概念和计算方法,包括导数的定义、四则运算、复合函数求导等。第六章讲解了微分的概念和性质,以及微分中值定理。第七章介绍了一元函数的应用问题,如最值、曲线的凹凸性、函数的图象等。 下册主要讲解积分和微分方程等内容。第八章以不定积分为开始,讲解了不定积分的基本性质和运算法则,以及常见的求积方法。第九章是定积分的概念和计算,包括定积分的定义、性质、几何应用等。第十章讲解了定积分的几何应用,如平面图形的面积、旋转体的体积等。第十一章介绍了反常积分的概念和计算方法。第十二章是微分方程的基本概念和解法,包括一阶常微分方程和高阶常微分方程。第十三章讨论了线性微分方程、二阶齐次线性微分方程以及常系数线性齐

次微分方程。第十四章是常微分方程的应用,如生物学模型、电路模 型等。 整本教材的特点是理论与实践相结合,理论部分系统而严谨,实例 部分丰富而具体。教材内容全面,涵盖了高等数学的各个方面,既有 基础的原理和知识点,也有实际应用的例子和题目。教材中的例题和 习题都有详细的解答和推导过程,方便学生理解和掌握知识点。此外,教材还附带有学习指导和练习辅导,帮助学生进行自主学习和巩固复习。 总之,同济大学出版社的《高等数学同济第七版教材》是一本经典 的高等数学教材,内容丰富、系统、深入浅出。它不仅适用于高校的 高等数学教学,也可供自学和考研使用。无论是对于初学者还是对于 想要深入理解高等数学的人来说,这本教材都是一本不可多得的参考书。

高等数学同济第七版上册课后习题答案

高等数学同济第七版上册课后习题答案 【注意:以下是根据题目需求给出的格式,仅供参考。具体格式请根据实际情况自行调整。】 第一章函数与极限 1.1 函数的概念与性质 1.(1)解: 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2,则有: f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -1 1.(2)解: 设函数g(x) = 2x - 1,则有: g(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 1.(3)解: 将x = 3代入f(x) = x^2 + g(x)中,得: f(3) = 3^2 + g(3) = 9 + 5 = 14 1.(4)解: 由f(x) = 2x + g(2)可得: g(2) = f(x) - 2x = 2x + g(x) - 2x = g(x) 1.(5)解:

f(g(-1)) = f(2(-1) - 1) = f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) - 2 = 9 - 9 - 2 = -2 1.(6)解: 海伦公式中,设a = BC = 3,b = AC = 4,c = AB = 5,则有: p = (a + b + c) / 2 = 6 S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6(3)(2)(1)] = √[36] = 6 2.极限与连续性 2.(1)解: 根据极限的定义,当x趋于2时,有: lim(x->2)(x^2 + 3x - 2) = 2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 8 2.(2)解: 根据极限的性质,当x趋于2时,有: lim(x->2)(2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 2.(3)解: 由题意得,当x趋于3时,有: lim(x->3)(x^2 + 2x) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15 2.(4)解: 在x = 2处,f(x)不连续。因为lim(x->2)(x^2 + 3x - 2) = 8,

高等数学同济七版教材上册

高等数学同济七版教材上册 高等数学是大部分理工科专业的重要课程之一,同济大学出版社的 七版教材被广泛使用。本文将对《高等数学同济七版教材上册》进行 综合评述,介绍其内容概述、章节划分以及特点等方面内容。 一、内容概述 《高等数学同济七版教材上册》是高等数学的入门教材,主要内容 包括数列、极限、函数与连续、导数与微分、微分学应用、积分与不 定积分等。全书共分为六章,每章均涵盖了该主题的核心概念和内容。该教材注重基础知识的梳理,为学生打下坚实的高等数学基础。 二、章节划分 1. 第一章:数列 该章节介绍了数列的概念、性质和分类,重点讲述了等差数列和等 比数列的求和公式及应用。通过大量的例题和习题,帮助学生理解数 列的概念和运算规律。 2. 第二章:极限 极限是高等数学的重要概念之一,这一章节详细介绍了极限的定义、性质和运算法则。其中包括函数极限、数列极限和无穷小量等内容, 以及极限的四则运算和夹逼定理等重要概念。 3. 第三章:函数与连续

这一章节介绍了函数的概念和性质,包括函数的定义域、值域和图 像等内容。同时,还讲述了函数的连续性及其判定方法,引入了导数 的概念和初等函数的导数公式。 4. 第四章:导数与微分 导数是微积分学中的重要概念,这一章详细介绍了导数的定义、计 算方法和性质。包括常见初等函数的导数、复合函数的导数以及隐函 数的导数等内容。此外,还介绍了微分的定义和计算方法。 5. 第五章:微分学应用 这一章主要介绍了微分学在实际问题中的应用,包括函数的单调性 与极值、曲线的凹凸性、最值问题以及泰勒公式等内容。通过典型例题,培养学生把数学方法应用于实际问题的能力。 6. 第六章:积分与不定积分 积分是微积分学的重要内容,该章节讲述了积分的概念和性质,以 及基本积分公式和换元积分法等计算方法。同时还介绍了不定积分的 概念和初步应用。 三、特点 1. 知识梳理清晰:《高等数学同济七版教材上册》通过章节的划分,将课程内容划分为六个主题,有助于学生理清知识点之间的逻辑关系,便于学习和记忆。

高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案

高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极 限课后答案 高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案 1. 函数的概念 1.1 什么是函数 在数学中,函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映 射到另一个集合中的唯一元素。函数可以用各种形式表示,例如数学 公式、图表或者一种操作规则。 1.2 函数的分类 根据函数的性质和表达方式,函数可以分为代数函数、三角函数、 指数函数、对数函数等等。每种类型的函数都有其独特的性质和特点。 2. 极限的概念与性质 2.1 极限的定义 在数学中,当自变量趋近于某个特定值时,函数的值可能会趋近于 一个常数或无限大。这种趋近的过程被称为极限。极限可以用数学符 号进行表示。 2.2 极限的性质 极限具有一些重要的性质,例如唯一性、局部性以及四则运算法则。这些性质对于研究函数的性质和行为至关重要。

3. 函数的连续性与间断点 3.1 函数的连续性 连续性是函数的重要性质之一,它表示函数在某个区间内没有突变 或间断。一个函数可以是连续的,也可以是不连续的。 3.2 间断点的分类 根据函数在某个点处的性质,间断点可以分为可去间断点、跳跃间 断点和无穷间断点。每种类型的间断点都有其特定的定义和判断条件。 4. 导数与微分 4.1 导数的定义 在数学中,导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。导数可以通 过极限的概念来定义,并且具有一些重要的性质。 4.2 微分的概念与计算 微分是导数的一个重要应用,它可以用于计算函数在某一点处的近 似值。微分也可以用于解决最优化问题和求解方程的近似解。 5. 函数的凸性与极值 5.1 函数的凸性 凸性是函数曲线的重要性质之一,它表示函数曲线在某个区间内的 凸凹形态。凸性可以通过函数的二阶导数来判断。 5.2 极值的概念与求解

高等数学同济第七版上下册教材

高等数学同济第七版上下册教材高等数学是大学数学的重要学科之一,也是理工科等专业的基础课 程之一。同济大学出版社出版的《高等数学同济第七版上下册教材》 是一本经典的教材,被广泛应用于各高校的高等数学教学中。本文将 对这本教材的内容和特点进行介绍。 《高等数学同济第七版上下册教材》分为上下两册,涵盖了大部分 高等数学的重要知识点和应用。第一册主要介绍了函数、极限、微分 学基础等内容,而第二册则涵盖了定积分、无穷级数、多元函数等知识。整本教材内容丰富,涵盖面广,对于学生全面掌握高等数学知识 具有重要的意义。 本教材的特点之一是理论与实践相结合。在每一章节的学习过程中,教材既提供了严谨的数学理论推导,又通过大量的例题和习题,帮助 学生将理论知识运用到实际问题中。这样的设计能够让学生更好地理 解数学原理,并增强他们的解决实际问题的能力。 其次,教材注重思维方法的培养。在每个章节的学习中,教材都会 引导学生思考、分析并解决问题的方法和思路。通过这种方式,学生 不仅能够获得知识,更能够培养独立思考和问题解决的能力。这种思 维训练对于学生的终身发展都具有积极的影响。 同时,教材的编写注重知识之间的逻辑联系。每个章节的内容都有 明确的引导,旨在将前面所学的知识与后面的内容有机地连接起来。 这种编排方式不仅能够加深学生对知识的理解,还能够帮助学生全面 把握高等数学的体系结构。

另外,本教材还提供了详细的讲解和解题思路。每个章节都有清晰的表述和明确的定义,为学生理解和掌握知识提供了良好的依据。同时,教材中的例题和习题设计也非常贴近实际应用场景,并且给出了详细的解题思路和步骤,帮助学生更好地理解和应用数学知识。 总之,《高等数学同济第七版上下册教材》具有丰富的内容、注重实践应用、培养思维能力和具备良好的逻辑性等特点。无论是作为高校的教材还是个人的自学资料,这本教材都是一本不可多得的宝贵资源。希望广大学生和教师都能够充分利用这本教材,通过学习高等数学,提高数学素养和解决实际问题的能力。

高等数学同济大学第七版上册答案

高等数学同济大学第七版上册答案 选择题: 1. 在平面直角坐标系中,异于原点的一组直线的斜率之积为 -1,则这组直线的方程分别是() A. y = x, y = -x B. y = x, y = 1/2x C. y = x, y = 2x D. y = -x, y = -1/2x 2. 若函数 y = f(x) 具有二阶导数,且有 f''(x) > 0,则函数 y = f(x) A. 在 x = 0 处取得极大值 B. 在 x = 0 处取得最小值 C. 在 x = 0 处取得拐点 D. 无法确定 3. 一阶行列式 |a b| = -3, |c d| = 2,行列式 |A| = |2a c| + |2b d| 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某圆锥的高为 12cm,底面直径为 8cm,底面圆的半径为 4cm,则该圆锥的侧面积为 A. 48π cm^2 B. 32π cm^2 C. 16π cm^2 D. 8π cm^2 5. 如果一组 n 个数据的算术平均值为 x¯,它们的总和为 S,那么这组数据中至少有一个数据小于或等于

A. x¯-S/n B. x¯-(S/n-1)/n C. x¯-(S/n+1)/n D. x¯+S/n 填空题: 1. 设函数 y = x^3 - 3x + 2,则它的导数 y' = _________ 2. 将 x = 1/2e^(t/2) 代入 y = (x + 1)e^x,则 y = _________ 3. 设 2sin x - 3cos x = 5,则tan(x + π/6) = _________ 解答题: 1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的单调增区间和单调减区间。 2. 已知 f(x) = sin x + cos x,求 f'(x) 和 f''(x)。 3. 已知一物体沿直线运动的速度为 v(t) = e^(2t-1) (m/s),起点位 于原点,求物体在 t = 0 到 t = 1 上的位移。 应用题: 1. 某员工的工资由底薪和绩效工资组成,底薪为 3000 元,绩效工资 以当月月末业绩为基础计算,当月业绩营业额大于等于 10000 元并小 于 15000 元时,绩效工资为业绩的 5%;业绩营业额不小于 15000 元时,绩效工资为业绩的 10%。已知该员工当月业绩为 12000 元,求该 员工当月绩效工资。 2. 在三角形 ABC 中,AD 是 BC 边上的高,E、F、G 分别是 AB、AC、AD 上的点,且满足 BE : EA = 3 : 1,CG : GD = 1 : 2。若 S1、S2、S3、S4 分别表示三角形 AEF、BEF、AFG、CDG 的面积,求 S1 : S2 : S3 : S4。 证明题: 1. 若三角形 ABC 中,角 A 的对边为 a,角 B 的对边为 b,角 C 的 对边为 c,则a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4√3S。其中 S 表示三角形 ABC 的面积。 2. 设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续,在区间 (a,b) 内可导,且导 数 f'(x) 在 (a,b) 内单调递增,证明:对于 a < x < y < z < b, 有以下不等式成立:[f'(x) - f'(y)]/[x - y] ≤ [f'(z) - f'(y)]/[z - y] ≤ [f'(z) - f'(x)]/[z - x]

高等数学同济第七版上册

高等数学同济第七版上册 简介 《高等数学同济第七版上册》是中国著名的高等教育教材之一,广泛应用于大学高等数学课程中。本书由来自同济大学的杨传辉等人编写,旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念和方法。 目录 1.函数与极限 2.导数及其应用 3.微分中值定理与导数的应用 4.不定积分 5.定积分及其应用 6.微分方程与其应用 7.空间解析几何

8.多元函数微分学 9.重积分 10.曲线积分与曲面积分 11.空间向量与空间直线 12.平面及其方程 13.空间曲面及其方程 内容概要 1. 函数与极限 本章介绍了函数的概念以及一些常见的函数类型,如多项式函数、指数函数和对数函数。同时,重点介绍了极限的定义和相关性质,帮助学生理解极限的概念和运算法则。 2. 导数及其应用 本章主要讲述了导数的概念和性质,以及如何利用导数解决实际问题。具体内容包括导数的定义、导数的计算方法、高阶导数、隐函数求导、相关变化率与极值问题等。

3. 微分中值定理与导数的应用 本章介绍了微分中值定理及其应用。主要内容包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等内容。同时,通过实际问题的例子,帮助学生理解微分中值定理的意义和应用。 4. 不定积分 本章主要介绍了不定积分的概念、性质和计算方法。包括基本不定积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等。同时,引入了定积分的概念,并简要介绍了与不定积分的关系。 5. 定积分及其应用 本章深入讲解了定积分的概念和性质。主要内容包括定积分的定义、计算方法、定积分的几何意义、平均值定理、牛顿-莱布尼茨公式等。同时,介绍了定积分在物理学、经济学等领域的应用。 6. 微分方程与其应用 本章介绍了常微分方程的基本概念和求解方法。主要内容包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、常系数线性齐次微分

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总 结 第一章函数与极限 一.函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设lim f(x) 0, limg(x) 0 且lim 丄凶l g(x) (1) l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[ g(x)],称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2) l工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3) l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当x f 0时 a f I - COS L X---------- A' sin x ~ x,tan x ~ x,arcsinx ~ x,arccosx ~ x, 1- cos x ~ x A2/2 ,e x-1 ~ x,ln(1 x) ~ x,(1 x) 1~ x 求极限的方法 1 •两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若lim g(x) A, lim h(x) A,则lim f (x) A 2 •两个重要公式 sin x 彳 公式1 lim 1 x 0x 公式2lim (1 x)1/x e x 0 3 •用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4•用泰勒公式 当x 0时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次

sin x cosx 2 X 3 X 2! 3! 3 5 X X 3! 5! 2 4 X X 2! 4! x ...( x 1 ...( 2 n x / n. o(x ) n! n x 2n1 2n 1 1T!o(X ) ln(1 x) 3 f...( (1 x) (1) 2! arcta n x 5 •洛必达法则 定理1 (1) (2) (3) 2n 1)氏 / 2n o(x ) 1) x 2 n n 1 x / n o(x ) n (1)...( (n 1))、,n 入 n! 2n 1 n 1 X / 2n 1、 1) o(x ) 2n 1 f(x)、F(x)满足下列条件: o(x n ) 设函数 lim f (x) 0, lim F(x) 0 ; x XD X x) f(x)与F(x)在X o 的某一去心邻域内可导,且 f (x)存在(或为无穷大),则im 少 X X 。F(x) f (X) 存在时,lim 竺也存在且等于lim 丄3 x x o F (x) x x )F (x) lim x x0 F (x) F (x) 0 ; f (x) lim —— x x 0 F (x) 这个定理说明:当 f (x) 为无穷大时, lim x xo F (x) lim x 冷 F (x) lim 妙也是无穷大. x xo F (x) ;当 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则. 一型未定式 定理2设函数f(x)、 lim f(x) X X 。 f(x)与F(x)在X o 的某一去心邻域内可导,且F(x) 0 ; lim 丄~凶存在(或为无穷大),则lim 上凶 x X 0 F (X ) x x 0 F (x) (1) (2) (3) F(x)满足下列条件: ,lim F(x) ; X X o 注:上述关于X x 0时未定式-型的洛必达法则,对于x f (x) lim x x 0 F (x) 时未定式一型 同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点: (1)洛必达法则只能适用于“ 0”和“一”型的未定式,其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“一”型才能运用该法则;

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称:高等数学一 课程编号: 学分:4 适用对象: 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程,它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性,对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础,也是培养理性思维的重要载体,在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 (二)教学目标 通过本课程的学习,逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力,尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力,一是为后继课程提供必需的基础数学知识;二是传授数学思想,培养学生的创新意识,逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 (三)基本要求 1、基本知识、基本理论方面:掌握理解极限和连续的基本概念及其应用;熟悉导数与微分的基本公式与运算法则;掌握中值定理及导数的应用;掌握不定积分的概念和积分方法;掌握定积分的概念与性质;掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面:掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法,培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念,了解函数的几种特性(有界性),掌握复合函数的概念及其分 解,掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念,掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系,了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性, 10、了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理), 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法(极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性)。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1− cos x ~ 2/2^x , x e −1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3))()(lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→;当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) () (lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 注:上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点: (1)洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则; ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学同济第七版上册课后答案

高等数学同济第七版上册课后习题答案 L 求下列函数的自然定义域: ⑴ y = J3K +2; ⑶ y = —Vi- x 2 ; X (5) y=sin (7)y = arcsin(x-3); (9)jV = ln(x + l); 解: (1)3AI + 2>0=>X >-2 3 (2)1 -厂工 0 = JCH ±1, 即定义域为(-8, -1) U (-1/)D (1, +8) (3)/ = 0且1一/ 之0=4工0且产仔1 即定义域为[-1R)D (0,1] (2)y = 1 - JC (4);y -1 , A /4-JT (6)y = tan(x + 1); (8)J=V3 -x + arctan JL; x (10)y = e e \ ,即定义域为「一 2,+0?

(4)4-犬>。二>卜|<2即定义域为(—2,2) (5)x2 0,即定义域为[0, +oc) 71 (6)x +1 / kjr + 一 (% £Z), \ 2 1 即定义域为x xe R^x^(k+ )兀一1k eZ

(7)|x-3|< 1= 2 WxW 4,即定义域为[2,4] (8)3—冗2 0且4工0,即定义域为(一8,0) u(0,3] (9)x + 1 >0=>x> -1 即定义域为(-1,+8) (10)工工0,即定义域为(一双0) u (0, +oo) 2,下列各题中,函数/(x)和g(x)是否相同?为什么?(1)/U) = 1g g(x) =21gx (2)/U) = x, g(x)=岳 (3)/(%) = #(f-丁), g(x) = (4)/(x) = l,g(x) =sec'x — tarrx 解; (1)不同,因为定义域不同( (2)不同,因为对应法则不同,g(M= 1—= x.x>0 < 0 (3)相同,因为定义域,对应法则均相同 (4)不同,因为定义域不同

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