同济大学高等数学课件310共21页
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同济高等数学课件(完整版)详细
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
《同济大学高等数学》PPT课件
p t q t dt
而在整个时间段 在整个时间段
内T1，,T销2售量为
T2 qt dt T1
T内1，,T销2 售收入为
T2 pt qt dt T1
则整个时间段
T内1，,T销2 售商品的平均价格为
T2 pt qt dt p T1 T2 qt dt
T1
将此平均价格称为价格函数 关于权p函t数 在时间
k1的, 加k2权,平均,值kn。
特别，当 ki 1 i 1时, 2，, 加权,平n均值即为
算术平均值。
如果用函数 p来反t映商品一个时间段
内的
销售价格的变化情况，函数 来反映q单t位时间内的
销售量，那么在小时间段
内t，,t销售d量t为
T1,T2
q t dt
在小时间段 t,t内，d销t售收入为
二、加权平均值
在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算 术平均值，而是加权平均值.
下面的例子就说明了加权平均值的作用.
设某商店销售某种商品，以每单位商品售价 元，销
p1
售了 q个1单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价 p2 元，销售了 个q单2位的商品，则在整个销售过程中，
所销售商品的平均价格为
则可以用
1
n
n i1
yi
1 n
n i1
f
xi
来近似表示函数 在f 区x间 上的算a术,平b均值.
自然地，称极限
y lim y0 y1
n
n
为函数 f 在x区间 上的a算,b术平均值.
yn1
若 f 在x 上a可,b积，则
y lim y0 y1 yn1
n
n
i t 周期性非恒定电流 的有效值是这样规定的： T i t R 如果在一个周期 内， 在负荷电阻 上消耗的平均
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
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本节要点
本节以定积分为工具,建立起连续函数在一个区间上的 三中不同的平均值的概念. 一、函数的算术平均值 二、函数的加权平均值 三、函数的均方根平均值
一、函数的算术平均值
我们知道，n 个数 y1,y2,L,yn的算术平均值为
yy1y2Lyn
n
1n ni1yi.
在自然科学与科学技术中，有时还要考虑一个连续函数
y i fx ii 1 ,2 ,L ,n .
则可以用
1n n i1
yi
1 n n i1
f
xi
来近似表示函数 f x 在区间 a , b 上的算术平均值.
自然地，称极限
ylimy0y1Lyn1
n
n
为函数 f x 在区间 a , b 上的算术平均值.
若 f x 在 a , b 上可积，则
f x 在区间 a , b 上所取得的“一切值”的平均值. 今
讨论平均值的求法.
定义 f x 在区间 a , b 上定义，将区间 n 等分，
分点为
a x 0 x 1 x 2 L x n b ,
各小区间的长度为 xi b na,i1,2,L,n.
函数 f x 在各个端点处的取值记为
而在整个时间段 T1,T2 内，销售量为
T2 q t dt T1
在整个时间段 T1,T2 内，销售收入为
T2 ptqtdt T1
则整个时间段 T1,T2 内，销售商品的平均价格为
T2 p t q t dt p T1 T2 q t dt
T1
将此平均价格称为价格函数 p t 关于权函数q t 在时
特别，当 ki1i1 ,2,L,n时，加权平均值即为
算术平均值。
如果用函数 p t 来反映商品一个时间段 T1,T2 内的
销售价格的变化情况，函数q t 来反映单位时间内的
销售量，那么在小时间段t,t dt内，销售量为
q t dt
在小时间段 t,t dt内，销售收入为
ptqtdt
所销售商品的平均价格为
q1 p1 q2 p2（元）. q1 q2
这是能够反映销售水平的平均价格，称为售价的加权平
均值，将q 1 , q 2 称为权数。
一般，设 y1,y2,L,yn为实数，k1,k2,L,kn0,称 k1y1k2y2 Lknyn k1k2 Lkn
为 y1,y2,L,yn关于权数 k1,k2,L ,kn 的加权平均值。
ylimy0y1Lyn1
n
n
limy0y1Lyn1ba
n
ba
n
所以，将
lim 1
n
f
nbai1
xi1 xi.
b
1 a
b
a
f
xdx.
y
1 bba af来自xdx.称为可积函数 f x 在区间 a , b 上 的算术平均值。
例 求函数 y sin x 在区间 0 , 上的平均值.
区间间 T1,T2 上的加权平均值。
一般情况下，将
f
b
a
f x w xdx
b
a
w
x
dx
称为函数 f x 关于权函数w x 在 a , b 上的加权平均值。
三、函数的均方根平均值
问题 非恒定电流（如正弦交流电）是随时间的变化 而变化的，但一般我们所使用的非恒定电流的电器上却 标明着确定的电流值。这个电流是一种特定的平均值， 习惯上称为有效值.
周期性非恒定电流 i t 的有效值是这样规定的： 如果在一个周期T 内，i t 在负荷电阻 R 上消耗的平均
功率等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率时，
则称这个 I 值为 i t 的有效值.
今来计算 i t 的有效值.
固定值为 I 的电流在 R 上消耗的功率为 I 2 R ,
0 2 Im 2sin 2
td t 2
0 2 Im 2sin 2
tdt
Im 2
4
t
12sint02
Im . 2
即：正弦交流电的有效值为它的峰值的 1 . 2
若函数 fxCa,b,在数学上把
1 b f 2 tdt
ba a
称为函数 f x 在区间 a , b 上的均方根平均值。
（简称为均方根）.
电流 i t 在 R 上消耗的功率为 utiti2tR,
它在 0 , T 上的平均值为
因此，
1 T i2 t Rdt.
T0
I2R1Ti2tR dtRTi2tdt,
T0
T0
从而
I2 1 Ti2tdt.
T0
即
I 1 T i2 tdt. T0
例如正弦波itImsint的有效值为
2
I 2
解 由公式，得
y1
sinxdx
2.
0
二、加权平均值
在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算 术平均值，而是加权平均值.
下面的例子就说明了加权平均值的作用.
设某商店销售某种商品，以每单位商品售价p 1 元，销
售了 q 1 个单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价
p 2 元，销售了q 2 个单位的商品，则在整个销售过程中，
谢谢！
本节以定积分为工具,建立起连续函数在一个区间上的 三中不同的平均值的概念. 一、函数的算术平均值 二、函数的加权平均值 三、函数的均方根平均值
一、函数的算术平均值
我们知道，n 个数 y1,y2,L,yn的算术平均值为
yy1y2Lyn
n
1n ni1yi.
在自然科学与科学技术中，有时还要考虑一个连续函数
y i fx ii 1 ,2 ,L ,n .
则可以用
1n n i1
yi
1 n n i1
f
xi
来近似表示函数 f x 在区间 a , b 上的算术平均值.
自然地，称极限
ylimy0y1Lyn1
n
n
为函数 f x 在区间 a , b 上的算术平均值.
若 f x 在 a , b 上可积，则
f x 在区间 a , b 上所取得的“一切值”的平均值. 今
讨论平均值的求法.
定义 f x 在区间 a , b 上定义，将区间 n 等分，
分点为
a x 0 x 1 x 2 L x n b ,
各小区间的长度为 xi b na,i1,2,L,n.
函数 f x 在各个端点处的取值记为
而在整个时间段 T1,T2 内，销售量为
T2 q t dt T1
在整个时间段 T1,T2 内，销售收入为
T2 ptqtdt T1
则整个时间段 T1,T2 内，销售商品的平均价格为
T2 p t q t dt p T1 T2 q t dt
T1
将此平均价格称为价格函数 p t 关于权函数q t 在时
特别，当 ki1i1 ,2,L,n时，加权平均值即为
算术平均值。
如果用函数 p t 来反映商品一个时间段 T1,T2 内的
销售价格的变化情况，函数q t 来反映单位时间内的
销售量，那么在小时间段t,t dt内，销售量为
q t dt
在小时间段 t,t dt内，销售收入为
ptqtdt
所销售商品的平均价格为
q1 p1 q2 p2（元）. q1 q2
这是能够反映销售水平的平均价格，称为售价的加权平
均值，将q 1 , q 2 称为权数。
一般，设 y1,y2,L,yn为实数，k1,k2,L,kn0,称 k1y1k2y2 Lknyn k1k2 Lkn
为 y1,y2,L,yn关于权数 k1,k2,L ,kn 的加权平均值。
ylimy0y1Lyn1
n
n
limy0y1Lyn1ba
n
ba
n
所以，将
lim 1
n
f
nbai1
xi1 xi.
b
1 a
b
a
f
xdx.
y
1 bba af来自xdx.称为可积函数 f x 在区间 a , b 上 的算术平均值。
例 求函数 y sin x 在区间 0 , 上的平均值.
区间间 T1,T2 上的加权平均值。
一般情况下，将
f
b
a
f x w xdx
b
a
w
x
dx
称为函数 f x 关于权函数w x 在 a , b 上的加权平均值。
三、函数的均方根平均值
问题 非恒定电流（如正弦交流电）是随时间的变化 而变化的，但一般我们所使用的非恒定电流的电器上却 标明着确定的电流值。这个电流是一种特定的平均值， 习惯上称为有效值.
周期性非恒定电流 i t 的有效值是这样规定的： 如果在一个周期T 内，i t 在负荷电阻 R 上消耗的平均
功率等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率时，
则称这个 I 值为 i t 的有效值.
今来计算 i t 的有效值.
固定值为 I 的电流在 R 上消耗的功率为 I 2 R ,
0 2 Im 2sin 2
td t 2
0 2 Im 2sin 2
tdt
Im 2
4
t
12sint02
Im . 2
即：正弦交流电的有效值为它的峰值的 1 . 2
若函数 fxCa,b,在数学上把
1 b f 2 tdt
ba a
称为函数 f x 在区间 a , b 上的均方根平均值。
（简称为均方根）.
电流 i t 在 R 上消耗的功率为 utiti2tR,
它在 0 , T 上的平均值为
因此，
1 T i2 t Rdt.
T0
I2R1Ti2tR dtRTi2tdt,
T0
T0
从而
I2 1 Ti2tdt.
T0
即
I 1 T i2 tdt. T0
例如正弦波itImsint的有效值为
2
I 2
解 由公式，得
y1
sinxdx
2.
0
二、加权平均值
在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算 术平均值，而是加权平均值.
下面的例子就说明了加权平均值的作用.
设某商店销售某种商品，以每单位商品售价p 1 元，销
售了 q 1 个单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价
p 2 元，销售了q 2 个单位的商品，则在整个销售过程中，
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