第九章 压杆稳定
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
解:钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一形心轴的惯 性矩都相同，均为
I πd 4 π 100 4 10 12 m4 0.049 10 4 m4
64
64
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在各
纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以应取较大的值，即失稳发生
上式通常称为欧拉公式。式中的μ称为压杆的长度因数，它与杆端
约束有关，杆端约束越强，μ值越小；μl称为压杆的相当长度，它是
Fra Baidu bibliotek
压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆的挠曲线形
状）所对应的杆长度。表9.1列出了四种典型的杆端约束下细长压杆
的临界力，以备查用。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
设压杆任意横截面m-m的挠度为 y。挠度的正负号规定为：与y轴正向 一致的挠度为正，反之为负。利用截 面法，可求得横截面m-m上的内力：
Fcr x
Fcr
M (x) =Fcry
l
m x
m y
x
y
O
O
y
y
Fcr
(a)
(b)
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
轴向压力Fcr和弯矩M(x)=Fcry（如图）。规定轴向压力Fcr总为正值。 由于挠度y亦为正值，故弯矩M(x)为正。在Oxy坐标系中，
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
a——与材料有关的常数，单位为MPa。例如，Q235钢：
cr=2350.00668 2 ；16锰钢： cr=3430.00142λ2。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
当F＝Fcr时
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
3）当压力F超过Fcr，杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最后造 成弯折破坏（如图）。
当F＞Fcr时
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
临界力Fcr是压杆保持直线形状平衡状态所能承受的最大压力， 因而压杆在开始失稳时杆的应力，仍可按轴向拉、压杆的应力公式
A
令
l
i
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
则欧拉公式可改写为
cr
π 2E
2
称为压杆的柔度或长细比。柔度综合地反映了压杆的杆端约束、
杆长、杆横截面的形状和尺寸等因素对临界应力的影响。 越大，
临界应力越小，使压杆产生失稳所需的压力越小，压杆的稳定性越
差。反之， 越小，压杆的稳定性越好。由上式，欧拉公式的适用
设钢的许用应力为=196MPa，则按轴向拉、压杆的强度条件，钢
尺能够承受的轴向压力为
F=A=20×1×10-6m2×196×106Pa=3920 N
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
但若将钢尺竖立在桌 面上，用手压其上端，则 不到40N的压力，钢尺就 会突然变弯而失去承载能 力(如图)。这时钢尺横截 面上的正应力仅为2MPa， 其承载能力仅为许用承载 能力的1/98。这个实验说 明:细长压杆丧失工作能力 并不是由于其强度不够， 而是由于其突然产生显著 的弯曲变形、轴线不能维 持原有直线形状的平衡状 态所造成的。
Fcr
2EI
l2
上式为两端铰支细长压杆临界力的计算公式。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
9.2.2 其他杆端约束下细长压杆的临界力
仿照两端铰支细长压杆临界力的推导方法,可以求得其他杆端约 束下细长压杆的临界力。各种细长压杆的临界力可用下面的统一公 式表示：
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
解: 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端在各个方向的 约束都相同（都是铰支）。因为临界力是使压杆产生失稳所需要的 最小压力，所以 I 应取Imin=Iy，其值为：
Iy
140 803 12
mm 4
597.3 104 mm4
597.3 108 m4
故临界力为：
Fcr
π2EIy
(l)2
平衡状态，求出此时所需的最小压力即为压杆的临界力。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念 由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发生
的，所以往往造成严重的事故。例如在1907年，加拿大长达548m的 魁北克大桥在施工中突然倒塌，就是由于两根受压杆件的失稳引起 的。因此,在设计杆件(特别是受压杆件)时，除了进行强度计算外， 还必须进行稳定计算，以满足其稳定性方面的要求。本章仅讨论压 杆的稳定计算问题。
式中：A、B——待定常数。根据压杆的杆端约束情况，它有两个边
界条件，即
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
x=0， y=0 x=l， y=0 将第一个边界条件代入微分方程的解，得B=0；再将第二个边界条 件代入得
Asinkl=0
由上式推出A=0或sinkl=0。如果A=0，则y=0，这与压杆处于微弯形 状平衡状态的假定相矛盾。故A≠0，而必须
力cr与柔度 的关系曲线，
称为欧拉曲线，如图所示。 图中欧拉曲线上B点以右部分 是适用的，B点以左部分是不 适用的。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p的值仅与压杆的材料有关。例如由Q235钢材制成的压杆，E、
p的平均值分别为206 GPa与200 MPa，代入 p的计算公式得
采用上述中心受压直杆的力学模型后： 1）在压杆所受的压力F不大时，若给杆一微 小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干 扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到原来的直 线形状的平衡状态（如图），我们把压杆原有直 线形状的平衡状态称为稳定的平衡状态。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
当F＜Fcr时
目录
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
9.2 细长压杆临界力的欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
首先考虑两端铰支细长压杆的临
x
界力计算。假定在临界力Fcr作用下 压杆处于微弯形状的平衡状态 (图a), 并假设中心受压直杆失稳时只发生平 面弯曲变形。这样,通过建立并求解 压杆挠曲线的近似微分方程就可以确 定临界力Fcr。
d2 dx
y
2
为负,因此压杆挠曲线的近似微分方程为
EI
d2 y dx 2
M
x
Fc r
y
x Fcr
上式等号右边添加负号是为了保持等号两 边的符号一致。
M (x) =Fcry
上两边同除以EI，并令 Fcr k EI
移项后得到
d2 y dx 2
k
2
y
0
x
y
O
y
Fcr
此微分方程的通解为 y=Asinkx+Bcoskx
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念 为了研究上的方便，我们将实际的压杆抽象为如下的力学模型：
即将压杆看作轴线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆， 称为中心压受直杆或理想柱。而把杆轴线存在的初曲率、压力作用 线稍微偏离轴线及材料不完全均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯 曲变形的微小的横向干扰。
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第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
【学习要求】 1．理解压杆稳定的概念 2．掌握压杆的柔度计算，失稳平面的判别，压杆 的分类和临界力、临界应力计算公式。 3．掌握用折减因数法对压杆进行稳定计算。 4. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
9.1 压杆稳定的概念
在轴向拉伸及压缩一章中，我们认为当压杆横截面上的应力超 过材料的极限应力时，压杆就会因强度不够而引起破坏。这种观点 对于始终保持其原有直线形状的粗短杆(杆的横向尺寸较大，纵向尺 寸较小)来说是正确的。但是，对于细长的杆(杆的横向尺寸较小， 纵向尺寸较大)则不然，它在应力远低于材料的极限应力时，就会突 然产生显著的弯曲变形而失去承载能力。让我们来看一个简单的实 验。取一根长为300mm的钢板尺，其横截面尺寸为20mm×1mm。
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
受压杆件的破坏不仅会由于强度不够而引起，也可能会由于稳 定性的丧失而发生。因此在设计受压杆件时，除了进行强度计算外， 还必须进行稳定计算以满足其稳定条件。本章将对压杆的稳定问题 作简要介绍。
9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长压杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的适用范围和经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
1 42 m2
0.6 106 N 600kN
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第十章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式 【例9.2】图示一两端铰支的细长木柱，己知柱长l=3 m，横截
面为80 mm×140 mm的矩形，木材的弹性模量E = 10 GPa。求此木 柱的临界力。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
p≈100。对于木压杆， p≈110。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
在欧拉公式的推导中使用了压杆失稳时挠曲线的近似微分方程，
该方程只有当材料处于线弹性范围内时才成立，这就要求在压杆的
临界应力cr不大于材料的比例极限的情况下，方能应用欧拉公式。
下面具体表达欧拉公式的适用范围。
将欧拉公式改写为
cr
Fcr A
π 2EI
A( l)2
π 2E
(l i )2
式中：i I ——压杆横截面的惯性半径。
第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
2）增大压力F至某一极限值Fcr时，若再给杆 一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形， 则在干扰撤去后，杆不再恢复到原来直线形状的 平衡状态，而是仍处于微弯形状的平衡状态（如 图），我们把受干扰前杆的直线形状的平衡状态 称为临界平衡状态，压力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态， 因为此时杆一经干扰后就不能维持原有直线形状 的平衡状态了。由此可见,当压力F达到临界力Fcr 时,压杆就从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡 状态,这种现象称为丧失稳定性，简称失稳。
在杆端约束最弱的纵向平面内。由已知条件，钢压杆在xy平面内的
杆端约束为两端铰支， =1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一 端固定， =0.7。故失稳将发生在xy平面内，应取 =1进行计算。
临界力为
Fcr
π 2 EI
( l)2
π2 200109 Pa 0.049104 m4
计算，即
cr
Fcr A
式中：A——压杆的横截面面积；
cr——压杆的临界应力。
显然,为了保证压杆能够安全地工作,应使压杆承受的压力或杆的
应力小于压杆的临界力Fcr或临界应力cr。因此,确定压杆的临界力 和临界应力是研究压杆稳定问题的核心内容。
临界力Fcr也是压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力，由 此我们得到确定压杆临界力的一个方法：假定压杆处于微弯形状的
表9.1 四种典型细长压杆的临界力
应当指出：工程实际中压杆的杆端约束情况往往比较复杂，应
对杆端支承情况作具体分析，或查阅有关的设计规范，定出合适的
长度因数。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式 【例9.1】 一长l = 4 m，直径d = 100 mm的细长钢压杆，支承
情况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为为一端铰支、 一端固定。已知钢的弹性模量E = 200 GPa，求此压杆的临界力。
sinkl=0
由此得
kl nπ 或 k nπ (n 1,2,3 ) l
代入 Fcr k 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
(n 1,2,3 )
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
因为临界力Fcr是使压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力 (但Fcr不能等于零)，所以上式中的n应取n=1，于是得到
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
令
p
π2E
p
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
为了直观地表示欧拉公 式的适用范围，绘出临界应
2 10109 Pa 597.310-8m4
(1 3)2 m2
655102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发生失稳。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3.1 欧拉公式的适用范围
第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
解:钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一形心轴的惯 性矩都相同，均为
I πd 4 π 100 4 10 12 m4 0.049 10 4 m4
64
64
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在各
纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以应取较大的值，即失稳发生
上式通常称为欧拉公式。式中的μ称为压杆的长度因数，它与杆端
约束有关，杆端约束越强，μ值越小；μl称为压杆的相当长度，它是
Fra Baidu bibliotek
压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆的挠曲线形
状）所对应的杆长度。表9.1列出了四种典型的杆端约束下细长压杆
的临界力，以备查用。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
设压杆任意横截面m-m的挠度为 y。挠度的正负号规定为：与y轴正向 一致的挠度为正，反之为负。利用截 面法，可求得横截面m-m上的内力：
Fcr x
Fcr
M (x) =Fcry
l
m x
m y
x
y
O
O
y
y
Fcr
(a)
(b)
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
轴向压力Fcr和弯矩M(x)=Fcry（如图）。规定轴向压力Fcr总为正值。 由于挠度y亦为正值，故弯矩M(x)为正。在Oxy坐标系中，
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
a——与材料有关的常数，单位为MPa。例如，Q235钢：
cr=2350.00668 2 ；16锰钢： cr=3430.00142λ2。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
当F＝Fcr时
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
3）当压力F超过Fcr，杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最后造 成弯折破坏（如图）。
当F＞Fcr时
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
临界力Fcr是压杆保持直线形状平衡状态所能承受的最大压力， 因而压杆在开始失稳时杆的应力，仍可按轴向拉、压杆的应力公式
A
令
l
i
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
则欧拉公式可改写为
cr
π 2E
2
称为压杆的柔度或长细比。柔度综合地反映了压杆的杆端约束、
杆长、杆横截面的形状和尺寸等因素对临界应力的影响。 越大，
临界应力越小，使压杆产生失稳所需的压力越小，压杆的稳定性越
差。反之， 越小，压杆的稳定性越好。由上式，欧拉公式的适用
设钢的许用应力为=196MPa，则按轴向拉、压杆的强度条件，钢
尺能够承受的轴向压力为
F=A=20×1×10-6m2×196×106Pa=3920 N
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
但若将钢尺竖立在桌 面上，用手压其上端，则 不到40N的压力，钢尺就 会突然变弯而失去承载能 力(如图)。这时钢尺横截 面上的正应力仅为2MPa， 其承载能力仅为许用承载 能力的1/98。这个实验说 明:细长压杆丧失工作能力 并不是由于其强度不够， 而是由于其突然产生显著 的弯曲变形、轴线不能维 持原有直线形状的平衡状 态所造成的。
Fcr
2EI
l2
上式为两端铰支细长压杆临界力的计算公式。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
9.2.2 其他杆端约束下细长压杆的临界力
仿照两端铰支细长压杆临界力的推导方法,可以求得其他杆端约 束下细长压杆的临界力。各种细长压杆的临界力可用下面的统一公 式表示：
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
解: 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端在各个方向的 约束都相同（都是铰支）。因为临界力是使压杆产生失稳所需要的 最小压力，所以 I 应取Imin=Iy，其值为：
Iy
140 803 12
mm 4
597.3 104 mm4
597.3 108 m4
故临界力为：
Fcr
π2EIy
(l)2
平衡状态，求出此时所需的最小压力即为压杆的临界力。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念 由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发生
的，所以往往造成严重的事故。例如在1907年，加拿大长达548m的 魁北克大桥在施工中突然倒塌，就是由于两根受压杆件的失稳引起 的。因此,在设计杆件(特别是受压杆件)时，除了进行强度计算外， 还必须进行稳定计算，以满足其稳定性方面的要求。本章仅讨论压 杆的稳定计算问题。
式中：A、B——待定常数。根据压杆的杆端约束情况，它有两个边
界条件，即
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
x=0， y=0 x=l， y=0 将第一个边界条件代入微分方程的解，得B=0；再将第二个边界条 件代入得
Asinkl=0
由上式推出A=0或sinkl=0。如果A=0，则y=0，这与压杆处于微弯形 状平衡状态的假定相矛盾。故A≠0，而必须
力cr与柔度 的关系曲线，
称为欧拉曲线，如图所示。 图中欧拉曲线上B点以右部分 是适用的，B点以左部分是不 适用的。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p的值仅与压杆的材料有关。例如由Q235钢材制成的压杆，E、
p的平均值分别为206 GPa与200 MPa，代入 p的计算公式得
采用上述中心受压直杆的力学模型后： 1）在压杆所受的压力F不大时，若给杆一微 小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干 扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到原来的直 线形状的平衡状态（如图），我们把压杆原有直 线形状的平衡状态称为稳定的平衡状态。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
当F＜Fcr时
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
9.2 细长压杆临界力的欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
首先考虑两端铰支细长压杆的临
x
界力计算。假定在临界力Fcr作用下 压杆处于微弯形状的平衡状态 (图a), 并假设中心受压直杆失稳时只发生平 面弯曲变形。这样,通过建立并求解 压杆挠曲线的近似微分方程就可以确 定临界力Fcr。
d2 dx
y
2
为负,因此压杆挠曲线的近似微分方程为
EI
d2 y dx 2
M
x
Fc r
y
x Fcr
上式等号右边添加负号是为了保持等号两 边的符号一致。
M (x) =Fcry
上两边同除以EI，并令 Fcr k EI
移项后得到
d2 y dx 2
k
2
y
0
x
y
O
y
Fcr
此微分方程的通解为 y=Asinkx+Bcoskx
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念 为了研究上的方便，我们将实际的压杆抽象为如下的力学模型：
即将压杆看作轴线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆， 称为中心压受直杆或理想柱。而把杆轴线存在的初曲率、压力作用 线稍微偏离轴线及材料不完全均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯 曲变形的微小的横向干扰。
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第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
【学习要求】 1．理解压杆稳定的概念 2．掌握压杆的柔度计算，失稳平面的判别，压杆 的分类和临界力、临界应力计算公式。 3．掌握用折减因数法对压杆进行稳定计算。 4. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
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9.1 压杆稳定的概念
在轴向拉伸及压缩一章中，我们认为当压杆横截面上的应力超 过材料的极限应力时，压杆就会因强度不够而引起破坏。这种观点 对于始终保持其原有直线形状的粗短杆(杆的横向尺寸较大，纵向尺 寸较小)来说是正确的。但是，对于细长的杆(杆的横向尺寸较小， 纵向尺寸较大)则不然，它在应力远低于材料的极限应力时，就会突 然产生显著的弯曲变形而失去承载能力。让我们来看一个简单的实 验。取一根长为300mm的钢板尺，其横截面尺寸为20mm×1mm。
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
受压杆件的破坏不仅会由于强度不够而引起，也可能会由于稳 定性的丧失而发生。因此在设计受压杆件时，除了进行强度计算外， 还必须进行稳定计算以满足其稳定条件。本章将对压杆的稳定问题 作简要介绍。
9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长压杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的适用范围和经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
1 42 m2
0.6 106 N 600kN
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第十章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式 【例9.2】图示一两端铰支的细长木柱，己知柱长l=3 m，横截
面为80 mm×140 mm的矩形，木材的弹性模量E = 10 GPa。求此木 柱的临界力。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
p≈100。对于木压杆， p≈110。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
在欧拉公式的推导中使用了压杆失稳时挠曲线的近似微分方程，
该方程只有当材料处于线弹性范围内时才成立，这就要求在压杆的
临界应力cr不大于材料的比例极限的情况下，方能应用欧拉公式。
下面具体表达欧拉公式的适用范围。
将欧拉公式改写为
cr
Fcr A
π 2EI
A( l)2
π 2E
(l i )2
式中：i I ——压杆横截面的惯性半径。
第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
2）增大压力F至某一极限值Fcr时，若再给杆 一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形， 则在干扰撤去后，杆不再恢复到原来直线形状的 平衡状态，而是仍处于微弯形状的平衡状态（如 图），我们把受干扰前杆的直线形状的平衡状态 称为临界平衡状态，压力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态， 因为此时杆一经干扰后就不能维持原有直线形状 的平衡状态了。由此可见,当压力F达到临界力Fcr 时,压杆就从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡 状态,这种现象称为丧失稳定性，简称失稳。
在杆端约束最弱的纵向平面内。由已知条件，钢压杆在xy平面内的
杆端约束为两端铰支， =1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一 端固定， =0.7。故失稳将发生在xy平面内，应取 =1进行计算。
临界力为
Fcr
π 2 EI
( l)2
π2 200109 Pa 0.049104 m4
计算，即
cr
Fcr A
式中：A——压杆的横截面面积；
cr——压杆的临界应力。
显然,为了保证压杆能够安全地工作,应使压杆承受的压力或杆的
应力小于压杆的临界力Fcr或临界应力cr。因此,确定压杆的临界力 和临界应力是研究压杆稳定问题的核心内容。
临界力Fcr也是压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力，由 此我们得到确定压杆临界力的一个方法：假定压杆处于微弯形状的
表9.1 四种典型细长压杆的临界力
应当指出：工程实际中压杆的杆端约束情况往往比较复杂，应
对杆端支承情况作具体分析，或查阅有关的设计规范，定出合适的
长度因数。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式 【例9.1】 一长l = 4 m，直径d = 100 mm的细长钢压杆，支承
情况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为为一端铰支、 一端固定。已知钢的弹性模量E = 200 GPa，求此压杆的临界力。
sinkl=0
由此得
kl nπ 或 k nπ (n 1,2,3 ) l
代入 Fcr k 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
(n 1,2,3 )
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
因为临界力Fcr是使压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力 (但Fcr不能等于零)，所以上式中的n应取n=1，于是得到
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
令
p
π2E
p
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
为了直观地表示欧拉公 式的适用范围，绘出临界应
2 10109 Pa 597.310-8m4
(1 3)2 m2
655102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发生失稳。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3.1 欧拉公式的适用范围