第九章 压杆稳定
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材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
《建筑力学》第九章压杆稳定
cr 为临界应力的许用值，其值为：
（9－13）
cr
cr
K
（9－14）
式中 K 称为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在
确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并 非理想的轴向压杆这一情况。比如，在制造过程中杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在 初曲率)；外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)；还必需 考虑杆件的细长程度等等，这些都应在稳定安全系数中加以考虑。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
压杆的临界应力。
5、临界应力总图 综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，计算各自临界应力的方法也不相
同。当 ≥ p 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算；当 s < < p 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用直线经验公式来计算； s 时，压杆为短
4 1 0.566 103 20
113
4
AC
lAC i
4 1 0.8 103 20
160
(3)由表 9－3 查得折减系数为：
AC 0.272
AB
0.536
(0.536
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。
②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。
③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。
④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。
⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。
3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。
原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。
这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。
随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。
19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。
例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。
弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。
从此稳定问题才在工程中得到高度重视。
§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。
（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。
（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。
（4）桁架结构的某些杆件。
（5）建筑物中的柱。
2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。
建筑力学第9章压杆稳定
• 压杆失稳时的压力比引起强度不足而破坏的压力要小得多，并且失稳 破坏是突然的，因此，对细长压杆必须进行稳定性计算。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
第九章 压杆稳定
外，最小根是
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
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计算，即
cr
Fcr A
式中：A——压杆的横截面面积；
cr——压杆的临界应力。
显然,为了保证压杆能够安全地工作,应使压杆承受的压力或杆的
应力小于压杆的临界力Fcr或临界应力cr。因此,确定压杆的临界力 和临界应力是研究压杆稳定问题的核心内容。
临界力Fcr也是压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力，由 此我们得到确定压杆临界力的一个方法：假定压杆处于微弯形状的
p≈100。对于木压杆， p≈110。
目录
第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
平衡状态，求出此时所需的最小压力即为压杆的临界力。
目录
第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念 由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发生
的，所以往往造成严重的事故。例如在1907年，加拿大长达548m的 魁北克大桥在施工中突然倒塌，就是由于两根受压杆件的失稳引起 的。因此,在设计杆件(特别是受压杆件)时，除了进行强度计算外， 还必须进行稳定计算，以满足其稳定性方面的要求。本章仅讨论压 杆的稳定计算问题。
d2 dx
y
2
为负,因此压杆挠曲线的近似微分方程为
EI
d2 y dx 2
M
x
Fc r
y
x Fcr
上式等号右边添加负号是为了保持等号两 边的符号一致。
M (x) =Fcry
上两边同除以EI，并令 Fcr k EI
移项后得到
d2 y dx 2
k
2
y
0
x
y
O
y
Fcr
此微分方程的通解为 y=Asinkx+Bcoskx
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
a——与材料有关的常数，单位为MPa。例如，Q235钢：
cr=2350.00668 2 ；16锰钢： cr=3430.00142λ2。
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第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
【学习要求】 1．理解压杆稳定的概念 2．掌握压杆的柔度计算，失稳平面的判别，压杆 的分类和临界力、临界应力计算公式。 3．掌握用折减因数法对压杆进行稳定计算。 4. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
9.1 压杆稳定的概念
在轴向拉伸及压缩一章中，我们认为当压杆横截面上的应力超 过材料的极限应力时，压杆就会因强度不够而引起破坏。这种观点 对于始终保持其原有直线形状的粗短杆(杆的横向尺寸较大，纵向尺 寸较小)来说是正确的。但是，对于细长的杆(杆的横向尺寸较小， 纵向尺寸较大)则不然，它在应力远低于材料的极限应力时，就会突 然产生显著的弯曲变形而失去承载能力。让我们来看一个简单的实 验。取一根长为300mm的钢板尺，其横截面尺寸为20mm×1mm。
第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定
受压杆件的破坏不仅会由于强度不够而引起，也可能会由于稳 定性的丧失而发生。因此在设计受压杆件时，除了进行强度计算外， 还必须进行稳定计算以满足其稳定条件。本章将对压杆的稳定问题 作简要介绍。
9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长压杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的适用范围和经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
上式通常称为欧拉公式。式中的μ称为压杆的长度因数，它与杆端
约束有关，杆端约束越强，μ值越小；μl称为压杆的相当长度，它是
压杆的挠曲线为半个正弦波（相当于两端铰支细长压杆的挠曲线形
状）所对应的杆长度。表9.1列出了四种典型的杆端约束下细长压杆
的临界力，以备查用。
目录
第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
表9.1 四种典型细长压杆的临界力
应当指出：工程实际中压杆的杆端约束情况往往比较复杂，应
对杆端支承情况作具体分析，或查阅有关的设计规范，定出合适的
长度因数。
目录
第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式 【例9.1】 一长l = 4 m，直径d = 100 mm的细长钢压杆，支承
情况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为为一端铰支、 一端固定。已知钢的弹性模量E = 200 GPa，求此压杆的临界力。
设压杆任意横截面m-m的挠度为 y。挠度的正负号规定为：与y轴正向 一致的挠度为正，反之为负。利用截 面法，可求得横截面m-m上的内力：
Fcr x
Fcr
M (x) =Fcry
l
m x
m y
x
y
O
O
y
y
Fcr
(a)
(b)
目录
第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
轴向压力Fcr和弯矩M(x)=Fcry（如图）。规定轴向压力Fcr总为正值。 由于挠度y亦为正值，故弯矩M(x)为正。在Oxy坐标系中，
目录
第九章 压杆稳定\细长压杆临界力
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
首先考虑两端铰支细长压杆的临
x
界力计算。假定在临界力Fcr作用下 压杆处于微弯形状的平衡状态 (图a), 并假设中心受压直杆失稳时只发生平 面弯曲变形。这样,通过建立并求解 压杆挠曲线的近似微分方程就可以确 定临界力Fcr。
第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
2）增大压力F至某一极限值Fcr时，若再给杆 一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形， 则在干扰撤去后，杆不再恢复到原来直线形状的 平衡状态，而是仍处于微弯形状的平衡状态（如 图），我们把受干扰前杆的直线形状的平衡状态 称为临界平衡状态，压力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态， 因为此时杆一经干扰后就不能维持原有直线形状 的平衡状态了。由此可见,当压力F达到临界力Fcr 时,压杆就从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡 状态,这种现象称为丧失稳定性，简称失稳。
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
令
p
π2E
p
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
为了直观地表示欧拉公 式的适用范围，绘出临界应
1 42 m2
0.6 106 N 600kN
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第十章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式 【例9.2】图示一两端铰支的细长木柱，己知柱长l=3 m，横截
面为80 mm×140 mm的矩形，木材的弹性模量E = 10 GPa。求此木 柱的临界力。
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
在欧拉公式的推导中使用了压杆失稳时挠曲线的近似微分方程，
该方程只有当材料处于线弹性范围内时才成立，这就要求在压杆的
临界应力cr不大于材料的比例极限的情况下，方能应用欧拉公式。
下面具体表达欧拉公式的适用范围。
将欧拉公式改写为
cr
Fcr A
π 2EI
A( l)2
π 2E
(l i )2
式中：i I ——压杆横截面的惯性半径。
sinkl=0
由此得
kl nπ 或 k nπ (n 1,2,3 ) l
代入 Fcr k 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
(n 1,2,3 )
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
因为临界力Fcr是使压杆处于微弯形状平衡状态所需的最小压力 (但Fcr不能等于零)，所以上式中的n应取n=1，于是得到
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
解:钢压杆的横截面是圆形，圆形截面对其任一形心轴的惯 性矩都相同，均为
I πd 4 π 100 4 10 12 m4 0.049 10 4 m4
64
64
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在各
纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以应取较大的值，即失稳发生
在杆端约束最弱的纵向平面内。由已知条件，钢压杆在xy平面内的
杆端约束为两端铰支， =1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一 端固定， =0.7。故失稳将发生在xy平面内，应取 =1进行计算。
临界力为
Fcr
π 2 EI
( l)2
π2 200109 Pa 0.049104 m4
2 10109 Pa 597.310-8m4
(1 3)2 m2
655102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发生失稳。
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第九章 压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.3.1 欧拉公式的适用范围
采用上述中心受压直杆的力学模型后： 1）在压杆所受的压力F不大时，若给杆一微 小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干 扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到原来的直 线形状的平衡状态（如图），我们把压杆原有直 线形状的平衡状态称为稳定的平衡状态。
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第九章 压杆稳定\压杆稳定的概念
当F＜Fcr时
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式中：A、B——待定常数。根据压杆的杆端约束情况，它有两个边
界条件，即
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第九章 压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
x=0， y=0 x=l， y=0 将第一个边界条件代入微分方程的解，得B=0；再将第二个边界条 件代入得