中考数学中二次函数压轴题分类总结

二次函数的压轴题分类复习
一、抛物线关于三角形面积问题
例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=4
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,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
练习：
1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；
y
x
O
B
N
A
M
E
F
2. 如图，已知抛物线42
1
2++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；
（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．
二、抛物线中线段长度最小问题
例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点
A 的坐标为（－3，0）． （1）求点
B 的坐标；
（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
O
A
B
P E
Q
F
x
y
E
N M
D
C
B
A
O
y
x
练习：
1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线22
3
y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52
x =上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．
三、抛物线与线段和最小的问题
例题 如图，已知抛物线()()()1
20y x x a a a
=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．
（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．
练习：
1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP
2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－
4，0）、B （2，0），与y 轴交于点
C ，顶点为
D ．
E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于
F 、
G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．
四、抛物线与等腰三角形
例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为
（0，3）它的对称轴是直线
1
2 x=-
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过
A、O、B三点，连接OA、O
B、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

五、抛物线与直角三角形
例题如图，抛物线2
=++经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
y ax bx c
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．
2 如图，抛物线y ＝mx 2―2mx ―3m (m ＞0)与x 轴交于A 、B 两点， 与y 轴交于C 点. （1）请求抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A ，B 两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM 与△ABC 的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明由.
六、抛物线与四边形
例题 1. 如图，抛物线经过A （－1，0），B （5，0），C （0，－52
）三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；
（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两
x
M
A
B C
y
O
y
x
O
A
B
C。