北师大版 高考数学总复习 函数的极值 课时作业16

课时作业(十六)
一、选择题
1．函数y＝f(x)在某一点两侧的导数值异号是此点为极值点的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：只有点两侧的导数值异号且此点的导数值为0，这点才是极值点．答案：B
2．如图是导函数y＝f′(x)的图象，在图中标记的点处，函数y＝f(x)有极大值的是()
A．x2B．x3
C．x1D．x4
解析：f(x)在x0处有极大值，则在x0左侧f′(x)为正，在x0右侧f′(x)为负，故选B.
答案：B
3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()
A.
1
ln 2B．－
1
ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
解析：y′＝x·2x·ln 2＋2x＝2x(x·ln 2＋1)．
令y′＝0，解得x＝－1
ln 2.
答案：B
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()
A ．－1＜a ＜2
B ．－3＜a ＜6
C ．a ＜－3或a ＞6
D ．a ＜－1或a ＞2
解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由题设知f ′(x )有两个零点．令f ′(x )＝0，则Δ＝(2a )2－4×3(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6.
答案：C
5．设函数f (x )＝x e x ，则( )
A ．x ＝1为f (x )的极大值点
B ．x ＝1为f (x )的极小值点
C ．x ＝－1为f (x )的极大值点
D ．x ＝－1为f (x )的极小值点
解析：求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．
答案：D
6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，
由函数f (x )在x ＝1处有极值，
可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，
12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，
由题意知a ，b 都是正实数，
所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫622＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取到等号，故选D.
答案：D
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
Δ＝36a2－36(a＋2)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
∴Δ＞0，解得a＜－1或a＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－1
2)上是增加的；
(2)函数y＝f(x)在区间(－1
2，3)上是减少的；
(3)函数y＝f(x)在区间(4,5)上是增加的；
(4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
(5)当x＝－1
2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．
解析：由导函数的图象知：
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的；当x∈(－2,2)时，f′(x)＞0，f(x)是增加的；
当x∈(2,4)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增加的；x＝－2时，f(x)取极小值；
x＝2时，f(x)取极大值；
x＝4时，f(x)取极小值．
所以只有(3)正确．
答案：(3)
9．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是________．
解析：易求出x＝－1时有y极大值＝2，当x＝1时有y极小值＝－2，由函数y ＝x3－3x的图象可知，若直线与函数图象有三个不同的交点，则y极小值＜a＜y极大值，所以－2＜a＜2.
答案：(－2,2)
三、解答题
10．设函数f(x)＝ax3＋3
2(2a－1)x
2－6x(a∈R)．
(1)当a＝1
3时，求f(x)的极大值和极小值．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，－3)上是增加的，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1
3时，
f(x)＝1
3x
3－12x2－6x，f′(x)＝x2－x－6.
令f′(x)＝0解得，x＝－2或x＝3.
∴f(x)在(－∞，－2)上是增加的，在(－2,3)上是减少的，在(3，＋∞)上是增
加的，∴f(x)的极大值为f(－2)＝22
3
，
f(x)的极小值为f(3)＝－27 2.
(2)f′(x)＝3ax2＋3(2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)．
①若a＝0，则f(x)＝－3
2x
2－6x，此函数在(－∞，－2)上是增加的．∴满足要求．
②若a ≠0，则令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝1a .
∵f (x )在(－∞，－3)上是增加的，即x ＜－3时，f ′(x )≥0恒成立，
∴a ＞0时，则1a ＞－3恒成立，即a ＞0.
a ＜0时，不合题意．
综上所述，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．
11．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．
(1)求函数f (x )的解析式．
(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4. 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，
依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
∴f (x )＝x 3－3x .
(2)证明：∵f (x )＝x 3－3x ，
∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．
当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间[－1,1]上是减少的， f (x )max ＝f (－1)＝2，f (x )min ＝f (1)＝－2.
∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，
都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝|2－(－2)|＝4.
12．试确定函数f (x )＝13x 3－x －a 的零点个数．
解：函数f (x )＝13x 3－x －a 零点个数即为方程13x 3－x ＝a 解的个数，可转化为
函数g(x)＝1
3x
3－x与函数y＝a图象交点个数．函数y＝a的图象为平行于x轴的
直线，下面研究g(x)＝1
3x
3－x的图象．
由题意知，g′(x)＝x2－1，
令g′(x)＝x2－1＝0，
解得x＝1或x＝－1.
∴当x＞1或x＜－1时，g′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，g′(x)＜0.
∴x＝1为极小值点，x＝－1为函数的极大值点，
极大值g(－1)＝2
3，极小值g(1)＝－2
3
，函数g(x)的草图如右图．
当a＞2
3或a＜－2
3
时，图象有1个交点；
当a＝2
3或a＝－2
3
时，图象有2个交点；
当－2
3＜a＜2
3
时，图象有3个交点．
综上所述，①当a＞2
3或a＜－2
3
时，函数有1个零点；
②当a＝2
3或a＝－2
3
时，函数有2个零点；
③当－2
3＜a＜2
3
时，函数有3个零点．。