近世代数判断题

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近世代数期末考试题库——2022年整理

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

近世代数考试复习

<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。

近世代数复习

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。

2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。

4、偶数环是的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。

8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。

近世代数2

第九章特殊的代数系统习题1. 判断下列运算关于自然数集合是否构成半群：⑴},max{b a b a = ； ⑵b b a = ；⑶ab b a 2= ；⑷b a b a -= 。

解 ⑴是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，,,,N c b a ∈∀有(){}{}c b a c b a c b a ,,m ax ,m ax == ，而(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群；⑵是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群；⑶是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ，()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。

⑷不是半群。

虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是对于5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。

2 在实数集R 上的二元运算定义为：),(R b a ab b a b a ∈++=试判断下列论断是否正确：⑴>< ,R 是一个代数系统； ⑵>< ,R 是一个半群； ⑶>< ,R 是一个独异点。

近世代数题库

群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab _____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有，G 的子群有个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A I .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:=οο，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ο”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.35. 群中元素a 的阶为n 3，k a 的阶为n ，则)3,(n k = .36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1为 ; 存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为群.50. n 阶循环群有个生成元,有且仅有个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为群.55. n 元置换)(21k i i i Λ的阶为，=-12121)])([(m k j j j i i i ΛΛ .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++=οο:，这里k 为G 中固定的常数,那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y 满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4)3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（）个。

近世代数,第一章,基本概念,练习题

第一章基本概念练习题一、填空：1、若A 中有个m 元素,B 中有个n 元素,则A ×B 中有个元素.2、设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A .3、D B A 到⨯的映射叫做D B A 到⨯的一个 .4、若A A A 到是⨯ 的代数运算，则称是A 的，也称A 对是封闭的.5、设是A 的代数运算.若对任意A c b a ∈，，，有)()(c b a c b a =，则称适合 .6、A 到A 的映射φ叫做A 的一个 .7、建立实数集R 到正实数集R +的映射，:2x x σ，R 的运算为数的加法，R +的运算为数的乘法，该映射（是或不是）R 到正实数集R +的一个同态映射．8、建立正实数集R +到实数集R 的映射，:ln xx σ，R +的运算为数的乘法，R 的运算为数的加法，该映射________（是或不是）R +到R 的一个同态映射．9、若存在映射φ是A 到A 的一个时，则对于，来说，称A 与A 同态．10、集合上满足反身性、对称性和的一个关系叫做等价关系．二、判断题1、A={所有不等于零的实数}，是普通除法,则这个代数运算不适合结合律．( )2、A={所有实数}，定义代数运算：2a b a b =+，则这个代数运算不适合结合律．( )3、设,Z A =“ ”是整的减法，则“ ”在Z 中不满足结合律． ( )4、设,Z A =“ ”规定如下：3a b b =，则该代数运算不满足结合律． ( )5、设,Z A =“ ”规定如下：2a b b =，则该代数运算不满足结合律． ( )6、一个有限集与它的真子集之间不可能有一一映射。

( )7、当A 与A 是无限集时，它们之间可能存在一一映射。

( ) 8、设，分别是集合A A ,的代数运算，A A →:φ是一个映射。

若A b a ∈∀,，有 )()()(b a b a φφφ =，则称φ是A 到A 的一个同构映射。

优秀的近世代数期末考试总复习

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是( )乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

1、设集合；，则有--—--———-。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--—--———.3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个-——--—。

4、偶数环是—-—-———-—的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个--———--—。

6、每一个有限群都有与一个置换群--—————-。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是————--—.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么------—-—。

9、一个除环的中心是一个——-—---。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

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判断题 1.整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 2.主理想环不一定是欧氏环,但主理想环一定是唯一分解环。( ) 3.若G是60阶群,则G有14阶子群。( ) 4.在多项式环R[x]中，两个多项式积的次数等于两个多项式的次数的和。( ) 5.设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。 ( ) 6.偶数环2Z是整环。( ) 7.若NH,HG，则NG。( ) 8.在5S中，(12)(345)的阶是3。 ( ) 9.在整数环Z中，(-3)是极大理想。( ) 10.有限群都同构于一个置换群。( ) 11.实数集R关于数的乘法成群。（）

12.设G和G都是群，GG, GN, N=1(N)，则NG,且NGNG//。（） 13. 偶数环是有单位元的环。（） 14. 设整环ZbabaI,3, 则4在I中是唯一分解元。（） 15. 3次对称群3S是循环群。（） 16. 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条： A）G对于这个乘法运算是封闭的； B）a,b,cG，都有（ab）c=a(bc)成立； C）存在erG，使得aG，都有aer=a成立； D）aG，都存在a1G，使得a1a=er成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。（） 17. 任何一个有限群都与一个循环群同构。（） 18.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（） 19.若是群G到G的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是G的不变子群，且NG)(NG 。 ( ) 20.设R是一个环，则下列三条是相互等价的。（） A）R中无零因子； B）R的乘法适合左消去律； C）R的乘法适合右消去律； 21．p（p为质数）阶群G是循环群．（） 22．任意群都同构于一个变换群．（） 23．剩余类环是一个整环（） 24．整环（R，＋，）若对乘法成群，则这个整环是域（） 25．若f(x)F[x], g(x)F[x], f()=g()=0,F, f(x)|g(x)。（） 26.素数阶的群G一定是循环群.( ) 27.一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( ) 28.若是群G到G的同态满射,N是G的一个不变子群,1(N)表示N的原

象,则1(N)是G不变子群,且GN1GN。( ) 29无零因子环R的特征或是零或是一个素数。( ) 30.没有非平凡理想的环是除环。( ) 31.如果是A到A的一一映射,则1[(a)]=a。( ) 32.在整环中,左理想一定是理想。( ) 33.无零因子环的特征一定是素数。( ) 34.在5次对称群5S中，(15)(234)的阶是6.( ) 35.设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果 (1). G对乘法运算是封闭的; (2). 乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。( ) 36.任意有限群都与一个交换群同构。（） 37.设G是60 阶群，则G有40阶子群。（） 38.群之间的同态关系是等价关系。（） 39.环R的主理想(a)={ra|rR} 。（） 40.在整环中，素元的相伴元是素元。（） 41. 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条： (A) G对于这个乘法运算都是封闭的； (B)a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立； (C) 存在elG，使得aG，都有ela=a成立； (D)aG，都存在a1G，使得aa1=el成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。 ( ) 42. 若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|n。 ( )

43. 若N1是群G的不变子群,N2是群N1的不变子群,则N2是G的不变子群。( ) 44. 若是群G到G的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是G的不变子群,且GN~GN()。 ( ) 45. 若(R,+,•)是一个环,且(R,•)也构成一个群,则(R,+,•)是一个除环。 46.设1N≤G，N2≤1N，则N2≤G 。（） 47.集合A的所有的一一变换作成一个变换群。（） 48.设环（R·,+ ·）{0},则R的零元0也是环R的单位。（） 49.若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。 ( ) 50.设I是一主理想环，则I是一欧氏环。（） 51、在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,b∈Z)，则“”是Z的一个二元运算。（） 52、集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（） 53、设G是群，φ≠H，若对任意a,b∈H可推出ab∈H，则H≤G. （） 54、若NN，HG那么NHG。（） 55、4阶群一定是交换群。（） 56、4阶群一定是循环群。（） 57、设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab(),(,,QQba则)构成一个群。（） 58、设G是群，a, b∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。（） 59、14阶交换群一定是循环群。（） 60、若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。（） 61、设H是群G的一个非空子集，则HHHGH1。（） 62、设H是群G的一个非空子集，则HHHGH1。（） 63、设H≤G，K≤G，则HK≤G。（） 64、阶为81的群G中，一定含有3阶元。（） 65、在4次对称群S4中，6=（12）（324）的阶为6。（） 66、设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。（） 67、循环群一定是交换群。（）

68、设G是有限群，H≤G，则||||||HGHG。（） 69、当m≤n 时，一定有Zn ~ Zm。（） 70、设f 是群G到群G的同态映射，HG，则 f(H) G。（） 71、设f 是群G到群G的同态映射， H≤G 则 f(H)≤G。（） 72、因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（） 73、6阶群是交换群。（） 74、有理数加群Q是循环群。（） 75、阶为100的群一定含25阶元。（） 76、阶为100的群一定含25阶子群。（） 77、实数域R上的n阶矩阵环Mn(R)有非平凡的理想。（） 78、环2Z与环3Z是同构的,(ZkkZZkkZ|33,|22)。（） 79、在Z[x]中，(-3, x)是极大理想。（） 80、在 Z[x] 中，(x)是素理想。（） 81、在环R=4Z中，)16(R是域。（） 82、在整环R中，既约元一定是素元。（） 83、在交换环R中，极大理想一定是素理想。（） 84、若R是环，Ra，则（a）=｛ra|rR｝（） 85、商环)21(][iiZ的特征是2。（）

86、设f是环R到环'R的环同态，I是R的一个理想，则f (I)是'R的一个理想。（） 87、商环)1(][2xxxZ是一个域。（）

88、商环)2(][iiZ是一个域。（） 89、含2个元素的环是域。（） 90、含7个元的环是交换环。（） 91、一个有单位元的交换环的商环是有单位元的交换环。（） 92、设R是一个主理想环，I是R的一个素理想，I≠｛0｝，则R/I是一个域。（） 93、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（） 94、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（） 95、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（）

96、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（） 97、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（） 98、群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（） 99、如果环R的阶2，那么R的单位元01。（） 100、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（）

101、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（）

102、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与pZ同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。（） 103、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（） 104、除环中的每一个元都有逆元。（） 105、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（）

106、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（） 107、域是交换的除环。（）

108、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。（） 109、设f：GG是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f (a)的阶相同。（） 110、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（） 111、循环群的子群也是循环群。（） 112、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。（） 113、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（） 114、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（） 115、如果环R的阶2，那么R的单位元10。（） 116、指数为2的子群不是不变子群。（） 117、在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（） 118、两个单位和的乘积也是一个单位。（） 119、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（） 120、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（） 121、整环必是唯一分解环。（） 122、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。（） 123、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（） 124、整数环Z和环Qx都是主理想环。（）

125、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。（） 126、整数环Z、数域P上的一元多项式环Px和Gauss整环Zi都是欧氏环。（） 127、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（）