排列与组合优秀课件
延伸· 拓展
5. 从-3，-2，-1，0，1，2，3，4八个数字中任取 3个 不重复的数字构成二次函数y=ax2+bx+c.试问： (1)共可组成多少个不同的二次函数? (2) 在这些二次函数图象中，以 y 轴为对称轴的有多少 条?经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条?
【解题回顾】实际问题数学化，文字表述代数化是解 决实际背景问题的常规思想方法.
3 1 3. 若 x 2 的展开式中只有第6项的系数最大，则 x
不含x的项为( C ) (A) 462 (B) 252
能力· 思维· 方法
1. 有 4 名男生、 5 名女生，全体排成一行，问下列情
形各有多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.
【解题回顾】本题集排列多种类型于一题，充分体 现了元素分析法(优先考虑特殊元素)，位置分析法 (优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、
夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加 180 一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是____.
5.不大于1 000的正整数中，不含数字3的正整数的 个数是( B )
（A）72
（C）729
（B）648
（D）728
【解题回顾】解法1先分类再分步，解法2分步结合 排除法.可见对同一问题有时既可按元素性质分类思 考，也可从事件过程分步思考.
第3节 二项式定理(一)
要点· 疑点· 考点
1. 二项式定理
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 a b C a C a b C a b n n n
n 1 n 1 nn C ab C b n n
k n k k 2. 二项式展开的通项：T C x y k 1 n
5. 某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位同 学的考试成绩 f(i)∈{86,87,88,89,90}，且满足f(1)＜ f(2)≤f(3)＜f(4)，则四位同学的成绩可能情况有( C ) (A)5种 (B)12种
(C)15种
(D)10种
能力· 思维· 方法
1. 有 9名同学排成两行，第一行 4人，第二行5人，其 中甲必须排在第一行，乙、丙必须排在第二行，问有 多少种不同排法?
课前热身
a x 9 3 1. 已知 的展开式中，x 的系数为 ，则 2 4 x 常数a的值为______. 9
5
9
1 x -2 x-51 2 的展开式中，常数项为15 2. 在 4 __. x
2
【解题回顾】在不影响结果的前提下，有时只要写 出二项展开式的部分项，此可称为“局部运算法”.
n
【解题回顾】展开式中有理项的特点是字母x的
3r 3r 指数 4 - Z 即可，而不需要指数 4 - Z 4 4
1 3. 求 x 4 的展开式中，系数的绝对值最 2 x
大的项和系数最大的项.
n
【解题回顾】由于这个二项式的第二项分母中有 数字 2 ，所以展开式中的系数不是二项式系数， 因此不能死背书上结论，以为中间项系数最大.
【解题回顾】以上解法体现了先选后排的原则，分步 先确定两排的人员组成，再在每一排进行排队.这是处 理限制条件较多时的行之有效的方法.
2. 某单位拟发行体育奖券，号码从000001到999999， 购买时揭号兑奖，若规定：从个位数起，第一、三、 五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数时为中 奖号码，则中奖面约为多少?(精确到0.01%).
6.央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单 位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的 服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装， 且相邻两个区域的颜色不同， 不相邻区域颜色相 同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多 少种?
【解题回顾】当某种元素的不同限制条件对其他 元素产生不同的影响时，应以此元素的不同限制 条件作为分类的标准进行讨论.
延伸· 拓展
1 1 4. 求证 x 及 x 的展开式中不能同 x x
5. 时含有常数项.
n 1
n
【解题回顾】二项式定理解题活动中，涉及到 的很多问题都是关于整数的讨论，要注意其中 的字母取整数这一隐含条件的应用.
5. (1)求证：kCkn=n· Ck-1n-1; (2)等比数列{an}中，an＞0，试化简 A=lga1-C1nlga2+C2nlga3-…+(-1)nCnnlgan+1.
8 条不同的线 2.下图为一电路图，从A到B共有 _____ 路可通电.
3.语、数、外三科教师都布置了作业，在同一时刻4
名学生都做作业的可能情形有(
（A）43种 （C）A34种
B )
（B）34种 （D）C34种
4.现从某校5名学生干部中选出4个人分别参加宿迁
市“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营，要 求每个
1 2
3
4
3. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴 中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不 同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择， 则餐厅至少还需准备不同的素菜 _____ 种 7 .( 结果用数值 表示)
【解题回顾】由于化为一元二次不等式 n2-n-40≥0 求解 较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等 式时，常用估算法.
误解分析
问题 将三本不同的书分成三堆，每堆一本，有多少种 不同的分法.
误解 C13· C12· C11＝6. 正解 三本不同书平均分成三堆，显然只有一种方法.误 解的原因在于忽视了平均三堆的无序性.正确答案是： 1 1 C3 C2 C 11 A33 这显然是一个很简单的情形，但揭示了这一类问题的解 题特征.
课前热身
1.若(2x+ 3 )3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2的值 为( A) (A)-1 (B)1 (C)0 (D)2
2. 2C02n+C12n+2C22n+C32n+…+2C2k2n+C2k+12n+…+C2n-12n +2C2n2n=________ 3· 22n-1 .
1 3. 若 x x 4 的展开式中含有x4的项，则n的 x
一个值是( (A)11 (C)9
B
n
) (B)10 (D)8
y 4. 2 x 的展开式中系数大于-1的项共有( B ) 2
(A) 5项 (C) 3项 (B) 4项 (D) 2项
5
5.如果(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.那么 a1+a2+…+a7等于( A ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
第2节 排列与组合(二)
要点· 疑点· 考点r n- Nhomakorabea 1. C C n n
m m m 1 2. C C C n 1 n n
课前热身
1 (A)14 (C)13
7 7 8 C C C n 1 n n ,那么n是( A )
(B)12 (D)15
2.用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一 区域涂一种颜色，相邻区域不能同色， 那么涂色方法 共有 240 种.
4. 有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名
日语翻译员，另两名英、日语都精通， 从中找出8 人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英 文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问 这样的分配名单共可开出几张?
【解题回顾】首先注意分类方法，体会分类方法在 解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文 人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有 C45C46+C35C12C45+C25C22C44＝185种.
【解题回顾】不仅要掌握二项式的展开式，而 且要习惯二项展开式的逆用，即应用二项式定 理来“压缩”一个复杂的和式，这一解题思想 方法是很重要的.
误解分析
在本节里，容易出错的就是二项展开式的结
构，要注意 (a+b)n 展开式里，系数 a 的指数、 b 的
指数的演变，正确写出展开式，同时通项Tr+1=Crn
an-rbr是第 r+1项，容易被认为是第r项.
第4节 二项式定理(二)
要点· 疑点· 考点
1. Ckn= Cn-kn；
2. Ckn=Ckn-1+Ck-1n-1；
3. C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n， C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1； 4. 二项式系数最大项是展开式的中间一项(n为偶数时) 或中间两项(n为奇数时).
3. 从4名男生，3名女生中选出3名代表.
(1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同选法共有多少种?
【解题回顾】选举问题是一种典型的组合问题，常 见的附加条件是分类选元.在解(2)、(3)时易犯的错 误是重复选，如解(2)为C13C26＝45种，解(3)为C13 C14C15＝60种.
误解分析
问题1：是排列还是组合? 假期中全班40名同学都分别给同学写一封信，则共 有多少封信? 开学时，同班同学见面分别握一次手， 共握手多少次? 误解 都是C240 正解 前者讲次序，是排列问题，答案为A240，后者 不讲次序，是组合问题，答案为C240.
问题2：在100件产品中有次品3件，正品97件，从 中抽取4件，问至少抽得一件次品的方法数是多少? 误解 从3件次品中抽取1件，再从余下来的2件次品 和97件正品(共99件)中任意抽取3件，即C13· C399. 正解 上述解法是一种正确的“操作”，但得到的是 错误的答案，因为抽法违背了分类、分步原则，因 而不符合计数原理，从而不能使用由计数原理推得 的组合数公式.正确的答案是： C13C397+C23C297+C33C197. 这是将方法数分成3类：抽取1件、2件、3件次 品；然后每一类分两步：先抽次品，再抽正品得到 的.
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人教版三年级数学上册《排列组合》PPT课件
穿法二
穿法三
穿法四
穿法五
穿法六
2×3﹦6（种）
要求：小组中一人记录，其他同学陈述自己的点。
用1，2，3可以组合成哪些两位数？
B
A
小组合作讨论二：
12
13
21
23
31
32
十位
十位
十位
个位
个位
个位
猜一猜：
我今年读九年级了，我的班级是由1、2、3这三个数字组成的一个三位数，请你猜一猜我读的是多少班？
有的问题需要考虑到顺序，也就是结果和顺序有关，例如组成几位数这样的问题等
今后我们在遇到这些问题的时候一定要认真审题，看清楚问题的“隐含条件”
这节课我们学了什么
作业：
同学们回家后仔细观察周围环境中可搭配和组合的实物，自己搭配和组合。
123
132
213
231
312
321
考考你：饮料和点心只能各选一样，有几种不同的搭配方式？
3×2=6（种）
⑥
①
②
③
④
⑤
下
M
能组成哪几个不同的两位数呢？
48 96 98
28
26
46
43
93
从宁波到北京一共有几种走法？
北京 上海 火车 火车 8种
轮船
宁波
飞机
火车
飞机
汽车
我们知道了：
有的问题不用考虑到顺序，也就是说结果和顺序无关，例如握手、比赛等问题
排列与组合
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。
学习目标：
01
我能找出简单事物的组合数。
02
我能用排列与组合的知识解决生活中的实际问题。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
排列与组合优秀课件
备用课堂训练
1.(2019·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
()
A.144
B.120
C.72
D.24
解析 “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人
不相邻的坐法种数为 A34＝4×3×2＝24. 答案 D
2.(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有________种(用数字作答). 解析 法一 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C12C24 ＝12 种；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C14＝4 种.根据分类加法 计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 12＋4＝16 种. 法二 从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20 种，从 6 人中任选 3 人都是男生， 不同的选法有 C34＝4 种，所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16 种. 答案 16
答案 (1)B (2)D
课堂小结
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排； (4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)正难则反，等价条件.
反思总结
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少” 与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解， 通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
第2节排列与组合课件
训练2 (1)(202X·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，
其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发
言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( B )
A.15
B.30
C.35
D.42
解析 甲企业有 2 人，其余 5 家企业各有 1 人，共有 7 人，所以从 7 人中任 选 3 人共有 C37种情况，发言的 3 人来自 2 家企业的情况有 C22C15种，所以发言 的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 C37－C22C15＝30(种).
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； 解 分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排， 有 A44种方法，共有 A37·A44＝5一起； 解 (捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种方法，
再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44·A44＝576(种).
训练 1 (1)从 3，5，7，11 这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为 a，
b，则共可得到ba的不同值的个数为( C )
A.6
B.8
C.12
D.16
解析 ab的值的个数即为从 3，5，7，11 这四个数中任选 2 个数的排列数，A24
＝4×3＝12.
(2)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
排方法共有C( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
解析 先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆，有 C16种选法；
再从剩余的 5 名同学中选 2 名安排到乙场馆，有 C25种选法；
高中数学排列与组合课件
P(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即 n×(n-1)×...×3×2×1。
3
排列的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=P(n-1,m-1)+P(n1,m)。
排列的计算方法及应用
计算方法
根据排列的公式，将具体的n和m 代入公式进行计算。
应用
排列在组合数学、概率论、统计 学等领域有广泛的应用，如排列 组合问题、概率计算等。
高中数学排列与组合 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 排列与组合的基本概念 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的综合应用 • 练习题与答案解析
01 排列与组合的基本概念
排列的定义与性质
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n ），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取
02
区别
排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
03
应用场景
在实际问题中，需要根据具体情境选择使用排列或组合 来描述和解决问题。
02 排列的计算方法
排列的公式与性质
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
排列的公式
进阶练习题2
题目内容涉及排列与组合与其他数学知识的结合，如概率论 、统计学等。答案解析：详细解释了如何将其他数学领域的 知识与排列与组合相结合，以解决更为复杂的实际问题。
综合练习题
综合练习题1
题目内容涉及排列与组合的多个知识点，要求考生具备较高的数学综合能力。答 案解析：详细解释了如何综合运用排列与组合的多个知识点解决实际问题，并提 供了多种解题思路。
3
排列的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=P(n-1,m-1)+P(n1,m)。
排列的计算方法及应用
计算方法
根据排列的公式，将具体的n和m 代入公式进行计算。
应用
排列在组合数学、概率论、统计 学等领域有广泛的应用，如排列 组合问题、概率计算等。
高中数学排列与组合 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 排列与组合的基本概念 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的综合应用 • 练习题与答案解析
01 排列与组合的基本概念
排列的定义与性质
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n ），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取
02
区别
排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
03
应用场景
在实际问题中，需要根据具体情境选择使用排列或组合 来描述和解决问题。
02 排列的计算方法
排列的公式与性质
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
排列的公式
进阶练习题2
题目内容涉及排列与组合与其他数学知识的结合，如概率论 、统计学等。答案解析：详细解释了如何将其他数学领域的 知识与排列与组合相结合，以解决更为复杂的实际问题。
综合练习题
综合练习题1
题目内容涉及排列与组合的多个知识点，要求考生具备较高的数学综合能力。答 案解析：详细解释了如何综合运用排列与组合的多个知识点解决实际问题，并提 供了多种解题思路。
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
排列组合—组合(初等数学课件)
（2） Cnm1 是从 n 1 个元素中取出 m 个元素的组合数，另一方面，设a 是
n 1个相异元素中的某一特定元素，对 a 而言，这些组合可以分为两类：一类
组合 含有 a
，其组合数为 Cnm-1
，另一类不含a
，其组合数为
Cnm
，
故有∴
C
m n 1
＝
C
m n
+
C
m 1 n
。
例题讲解
例 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1张，则不同取法共有多少种？
解 从 16 张卡片中任取 3 张共有C136 种取法，其中 3 张颜色相同的取法有
4C43 种，3 张中有 2 张是红色的有 C42C112 种取法，故共有 C136 - 4C43 C42C112 472 种 取法。
初等数学研究
相异元素的无重复组合
相异元素的无重复组合
定义 从 n 个不同元素中，不重复地任取 m m n 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组．合．数．。
用符号 Cnm 表示。
定理 1
C
m n
Anm m!
n! m!(n m)!
通常 规定Cn0 1
相异元素的无重复组合
定理2 组合数的性质： （1） Cnm Cnnm ；
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
相异元素的无重复组合
上述性质可以这样解释：
（1）从 n 个相应元素中取出一个 m 个元素组合的同时，必留下一个n m
个元素的组合，二者一一对应，故有Cnm Cnnm ；
n 1个相异元素中的某一特定元素，对 a 而言，这些组合可以分为两类：一类
组合 含有 a
，其组合数为 Cnm-1
，另一类不含a
，其组合数为
Cnm
，
故有∴
C
m n 1
＝
C
m n
+
C
m 1 n
。
例题讲解
例 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1张，则不同取法共有多少种？
解 从 16 张卡片中任取 3 张共有C136 种取法，其中 3 张颜色相同的取法有
4C43 种，3 张中有 2 张是红色的有 C42C112 种取法，故共有 C136 - 4C43 C42C112 472 种 取法。
初等数学研究
相异元素的无重复组合
相异元素的无重复组合
定义 从 n 个不同元素中，不重复地任取 m m n 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组．合．数．。
用符号 Cnm 表示。
定理 1
C
m n
Anm m!
n! m!(n m)!
通常 规定Cn0 1
相异元素的无重复组合
定理2 组合数的性质： （1） Cnm Cnnm ；
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
相异元素的无重复组合
上述性质可以这样解释：
（1）从 n 个相应元素中取出一个 m 个元素组合的同时，必留下一个n m
个元素的组合，二者一一对应，故有Cnm Cnnm ；
人教A版数学选修2-31.2排列与组合课件
取1个元素，不同方法的种数
mn
是
.
5.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不
同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的
放法?
(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那
么有多少种不同的放法?
答案：(1)665280;
A.
B.
C.
D.
D
A.
B.
C.
D.
4.求证：
(1)
)
(2
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现
要停故4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法?
答案：
1680.
排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m
已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意
解: (1)
(2)
(3)
B
A.
B.
C.
D.
C
A.
B.
C.
D.
B
A.
B.
C.
D.
150
A
A.
B.
C.
D.
A
A.
B.
C.
D.
1.先计算，然后用计算工具检验
。(1)
(2)
(3)
)
答案：(1)15;
(2)36;
(3)20;
(4)148.
(4
2.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业
？
1.某省中学生足球赛预选赛每组有6 支队，每支队都要与同组
的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比
mn
是
.
5.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不
同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的
放法?
(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那
么有多少种不同的放法?
答案：(1)665280;
A.
B.
C.
D.
D
A.
B.
C.
D.
4.求证：
(1)
)
(2
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现
要停故4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法?
答案：
1680.
排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m
已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意
解: (1)
(2)
(3)
B
A.
B.
C.
D.
C
A.
B.
C.
D.
B
A.
B.
C.
D.
150
A
A.
B.
C.
D.
A
A.
B.
C.
D.
1.先计算，然后用计算工具检验
。(1)
(2)
(3)
)
答案：(1)15;
(2)36;
(3)20;
(4)148.
(4
2.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业
？
1.某省中学生足球赛预选赛每组有6 支队，每支队都要与同组
的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的