数学实验：怎样计算圆周率

怎样计算

：

学号

班级：数学与应用数学4班

实验报告

实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。

实验环境：Mathematica软件

实验基本理论和方法：

方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）

其具体容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限的部分G是一个扇形，

由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一

扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值：

n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。

方法二：泰勒级数法

其具体容是：利用反正切函数的泰勒级数

计算。

方法三：蒙特卡罗法

其具体容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G的面积S 在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形。将落在扇形的点的个数m与所投

的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0，1]均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是

Random[ ]

产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形的一点P，它落在正方形每一个位置的机会均等。P落在扇形的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。

实验容、步骤及其结果分析：

问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。

分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。

与有关的定积分很多，比如的定积分就比的定积分更容易计算，更适合用来计算。

梯形公式：设分点，…，将积分区间[a,b]分成n等分，即，。所有的曲边梯形的宽度都是h=（b-a）/n。记，则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。将所有这些梯形面积加起来就得到

这就是梯形公式。

辛普森公式：仍用分点（）将区间[a,b]分成n等分，直线x=（）将曲边梯形分成n个小曲边梯形，再做每个小区间的中点。将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)（x）近似的看作经过三点（x,f(x)）(x=,,)的抛物线段，则可求得，其中。于是得到

这就是辛普森公式。

取n=1000，10000，用梯形公式和辛普森公式计算

=和=

的近似值(取20位有效数字)。将所得的结果与的准确值相比较。

其步骤是：（1）打开Mathematica软件；

（2）分别输入下列语句：

运行后结果如下图：

结果分析：从上面结果可以看出，所得到的结果与的准确值非常接近。问题2：将x=1带入方法二的级数中得到

。

在上面的级数中取n=20000计算的近似值，观察所得的结果和所花的时间。

其步骤是：（1）打开Mathematica软件；

（2）分别输入下列语句：

运行后，结果如下图：

结果分析：根据实验结果，花费的时间很长，结果准确性较差。

问题3：取n=1000，10000，50000，按方法三所说的随机投点的方法来计算的近似值；对不同的n，观察所得结果的精确度，你发现什么规律？并将精确度与数值积分法作比较。

其步骤是：（1）打开Mathematica软件；

（2）分别输入下列语句：

运行后，结果如下图：

结果分析：对不同的n，当n的值越大时，所得到的结果越精确，越接近的近似值。而此方法显然没有数值积分法及泰勒级数法精确。

附录（源程序）

以下所示的程序在实验中是按顺序进行的。

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．