高考数学大一轮复习 第五章 数列 第4课时 数列求和课件 理 北师大版

考点二 错位相减法求和
[例2]
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn＝a
2 n
＋3an＋
2，且a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，n∈N＋，证明：3Tn＋1＝
(2)等比数列的前n项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqnq≠1.
2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求， 如 等比 数列的前n项和公式就是用此法推导的．
2．(2014·高考湖南卷)已知数列
a
n
的前n项和Sn＝
n2＋n 2
，n∈
N＋. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列bn的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－n－12＋2 n－1＝n.
故数列an的通项公式为an＝n.
[基础自测]
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝n＋11n＋2，则S8等于
2
1
7
5
A.5
B.30
C.30
D.6
解析：∵an＝n＋1 1－n＋1 2，
()
∴S8＝12－13＋13－14＋…＋19－110＝12－110＝25.
答案：A
2．(2016·太原模拟)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且
1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2
＋…＋a10＝( )
A．15
B．12
C．－12
D．－15
解析：记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等
差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10
＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A. 答案：A
解 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p ＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2 ＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋2 1.
非等差、非等比数列求和的最关键步骤是“转化”，即根据 通项公式的特点，利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列 的和或差，再进行求和运算．
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列bn的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝211－－222n＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n， 故数列bn的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A.n42＋74n
B.n32＋53n
C.n22＋34n
D．n2＋n
解析：∵a
2 3
＝a1·a6即(2＋2d)2＝2(2＋5d)解得d＝
1 2
或d＝
0(舍)，∴Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝2n＋nn－ 2 1×12＝n42＋74n. 答案：A
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和． 5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加 减．
6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋ (98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第4课时 数列求和
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
数列求和的常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na12＋an＝ na1＋nn－ 2 1d ；
答案：120
考点一 分组转化法与公式法求和 [例1] 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋， p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求： (1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式． 审题视点 第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解； 第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2
5．数列{an}的通项公式是an＝
1 n＋____．
解析：∵an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1
令 n＋1－1＝10得n＝120.
4．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，
则Sn等于______．
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1.②
①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝
21－2n 1－2
－n·2n
＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2，
3．数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前n项和Sn
的值为( )
A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n2－1
D．n2－n＋1－21n
解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋
1 2n
，则Sn＝[1＋3＋
5＋…＋(2n－1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n.故选A. 答案：A