初中数学竞赛专题讲座因式分解

因式分解

【内容综述】

本讲主要介绍因式分解的概念，方法和技巧。

【要点讲解】

1．因式分解的概念和基本要求

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解的基本方法有：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法，难点是如何灵活的运用这些基本方法。在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：

(1)如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式。

(2)分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(3)因式分解过程的每一步必须都是恒等变形。

这一部分中，通过一系列的由易到难的题目的解决过程的讲解，同学们不但要体会因式分解的基本方法的灵活运用，而且还将学习到拆项法、添项法等其它的因式分解方法。

2．例题选讲

★★例1. 分解因式。

思路 1 用平方差公式。

解法1 原式

思路2 因为也可改写成，所以也可考虑用立方差公式。

解法2 原式=

说明这题启发我们形如是整数，且在因式分解时，要通过合适变形后，利用公式法来分解因式，请同学们自己试着分解因式。

★★例2 分解因式。

思路：观察题目的特征可看出不能直接利用公式或分组分解，这时可先把原式展开进行重新组合。

解：原式

★★★例3 分解因式

思路1 拆常数项2为1+1，再用公式。

解法1 原式

思路2拆常数项2为3-1，再分组分解。

解法2 原式

思路3拆再分组分解。

解法3 原式

思路4同思路3。

解法4 原式

说明：由于合并同类项的结果是唯一的，而反过来的拆项方法则不是唯一的，这就是拆项、添项困难和方法灵活多样的一个原因。

★★★★例4 分解因式。

思路：直接无法分解，观察到原式可变形为，故考虑添上中间项，添成完全平方公式。

解：原式

说明：添项法也是一种重要的因式分解方法。

例5分解因式

思路1直接无法分解，把常数项2折成3-1，然后进行分组分解。

解法1 原式

思路2 拆一次项

解法2 原式

思路3 添二次项，再进行分组分解。

解法3 原式

说明：若多项式不能直接进行因式分解时，这时就要对这个多项式进行适当的变形，拆项法、添项法是比较常见的方法。

★★★★例6 分解因式

分析若把原式全部展开，则会出现次数高、项数多，从而使我们难于处理，观察到原式中有1+4=2+3，从而得如下的：

解：原式

说明本题中把看作一个整体，运用十字相乘法来因式分解。

★★★★例7 求所有满足的，的整数值。

解：

由、是整数，经讨论共有四个解：

★★★例8 分解因式

分析注意到这是轮换对称式，可考虑使用因式定理及待定系数法。

解：记，

，可见都是多项式的因式，又因这是轮换对称式，可知也是原多项式样的因式，故可令

原式。

分别取a=0,b=1,c=-1,可解得k=-1，于是原式=-(a-b)(b-c)(c-a)

★★★例9 分解因式

分析这是三次多项式的因式分解，可考虑因式定理。

解：是30的因数，经检验可知

故可是多项式因子，令＝k(x+2)(x+3)(x-5)，可解得，

故原式。

又∵a, b都是整数，

A 级

★★1．分解因式=___________。

★★2．分解因式= ___________。

★★★3．a, b, c是△ABC的三条边，则代数式的值=

_________。（填大于0，小于0或等于0）。

★★★4．分解因式。

B 级

★★5．方程的整数解的个数有_______个。

★★6．若能被60与70之间的两个整数整除，则这两个数是_____。

★★★7．分解因式=________。

★★★★8．求证：有无穷多个自然数a，使得数对于任意自然数n均为合数。

★★9．分解因式。

参考答案

A级

1．。

提示：原式=

2．。

提示：原式

=

3．小于0。

提示：原式=，由a, b, c是△ABC的三条边知，故，所以原式的值小于0。

4．

简解：原式

=

B级

5．4个。

提示：

∵x, y是整数,

解得

6．63与65。

提示：

∴这两上数分别为65和63。

7．，

提示：原式=

8．设（k为自然数），则

由k（k为自然数）的任意性，可知有无穷多个自然数a，使Z为合数。

9．注意这是关于a, b, c的四次轮换多项式，显见是它的三个一次因式，且另外一个因式应是，故令

且，可解得，于是