FFT 谐波分析

电能质量作业

学生姓名：王朝斌李洋刘佳滢王诗清

学号： 23、58、93、123 作业题目： FFT谐波分析

2013 年 6月6日

1.作业内容：

通过构建谐波源，对系统中出现的谐波电流进行分析，计算0~63次谐波电流含有率THDi 。

2.理论分析

2.1傅立叶变换

设有周期信号分f(t)，它的周期是T ，角频率2=2F T

π

πΩ=

，它可分解为 0

1212()cos()cos(2)sin()sin(2)2

a f t a t a t

b t b t =

+Ω+Ω+⋅⋅⋅+Ω+Ω+⋅⋅⋅ 011

cos()sin()2n n n n a a n t b n t ∞

∞

===+Ω+Ω∑∑ （1） 式中的系数n a ，n b 称为傅立叶系数。考虑到正、余弦函数的正交条件，可得傅立叶系数：

222()cos()T

T n a f t n t dt T -=Ω⎰， n=0，1，2⋅⋅⋅

22

2()sin()T

T n b f t n t dt T -=Ω⎰, n=1，2⋅⋅⋅

傅立叶系数n a 和n b 都是n （或n Ω）的函数，其中n a 是n 的偶函数，即n n a a -=；而n b 是n 的奇函数，即n n b b -=-。

将式（1）中同频率项合并，可写成如下形式：

1122()cos()cos(2)2

A f t A t A t ϕϕ=

+Ω++Ω++⋅⋅⋅ 01

cos()2n n n A A n t ϕ∞==+Ω+∑ （2） 式中 00A a =

n A = n=1，2⋅⋅⋅

arctan(

)n

n n

b a ϕ=- 将式（2）的形式化为式（1）的形式，它们系数之间的关系为 00a A =

cos n n n a A ϕ=， n=1，2⋅⋅⋅ sin n n n b A ϕ=-

式（2）表明，任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦（或正弦）分量。其中第一项

2

A 是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项11cos()A t ϕΩ+称为基波，它的频率与原周期信号相同，1A 是基波振幅，1ϕ是基波初相角；式中第三项22cos(2)A t ϕΩ+称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，2A 是基波振幅，2ϕ是基波初相角。以此类推，还有三次、四次、

⋅⋅⋅谐波。

2.2时域取样定理

一个频谱在区间（m ω-，m ω）以外为零的频带有限信号()f t ，可唯一的由其在均匀间隔1

()2s s m

T T f <

上的样点值()s f nT 确定。 为了能从取样信号()s f t 中恢复原信号()f t ，需满足两个条件： ① ()f t 必须是带限信号，其频谱函数在m ωω>各处为零；

② 取样频率不能过低，必须满足2s m f f >（即2s m ωω>），或者说取样间隔不能

太长，必须满足1

2s m

T f <

，否则将会发生混叠。 通常把最低允许取样频率2s m f f =称为奈奎斯特（Nyquist ）频率，把最大允

许取样间隔1

2s m

T f =称为奈奎斯特间隔。

2.3各次谐波电流有效值计算

傅立叶算法是以傅立叶级数为基础的，对于任何输入量为周期函数的信号

()u t 、()i t 都可以分解为含有直流分量0U 、0I 及各种谐波分量的傅氏级数：

0111

1

()cos()sin()nc ns n n i t I I n t I n t ωω∞

∞

===++∑∑

0111

1

()cos()sin()nc ns n n u t U U n t U n t ωω∞∞

===++∑∑

式中 n —n 次谐波，n=1，2⋅⋅⋅；

nc I 、nc U 、ns I 、ns U —n 次谐波的余弦分量、正弦分量电流、电压值。

由cos n t ω、sin n t ω （n=1，2⋅⋅⋅）组成的正交函数组做样品函数，分别用

{}1cos sin cos2sin 2t t t t ωωωω⋅⋅⋅、

、、、正交函数集中的各项与()i t 或()u t 想成，可相应得到各次谐波分量。例如，需要得到基波分量电流，则用sin n t ω和cos n t ω分别与()i t 相乘，从任一时刻0t 积分一周期T ，利用正交函数的特性即可消去直流分量和各次谐波，从而得到：

002()sin t T

r t I i t tdt T ω+=⎰

002()cos t T

i t I i t tdt T

ω+=

⎰ 002()sin t T

r t U u t tdt T ω+=⎰

00

2()cos t T

i t U u t tdt T ω+=

⎰ 设每个工频周期采样N 次，对上式用梯形数值积分来代替，从而可求得

12

2sin N

r k k I i k

N N π==

∑ i 1

22cos N

k k I i k

N

N

π==

∑

122sin N

r k

k U u

k

N N π==

∑ i 1

22cos N

k k U u k

N

N

π==

∑ 从而可以求出电流、电压有效值为

22

2r i I I I +=

tan i i

r I I ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 22

2

r i U U U +=

tan i u

r U U ϕ⎛⎫

= ⎪⎝

⎭ u i ϕϕϕ=-

也可以简单求得功率为

()1

2r r i i P U I U I =

+ ()1

2i r r i Q U I U I =-

1/2来自于：式中的

r U i U r I i

I 都是幅值，而计算功率时，应该用有效值这就出现

了2*2，出现1/2。

3.构造谐波源

图1 测试实验主电路