理论力学 第二章 平面任意力系解析
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理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
m F1 OA F2 OB F1 ( OB OA) F1 AB
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
第二章 平面力系(H)
得
F
FBC FBA 2sin
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
得
FM
FCB
cos
F 2
cot
第二章 平面力系
FBA B F
B
FBC
FBC
FCB
C
FNC
FM
A
F
C M
FC B
§2-3 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
B
F
第2章 平面力系
※ 平面汇交力系 ※ 平面力对点之矩 平面力偶 ※ 平面任意力系的简化 ※ 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 ※ 物体系的平衡 静定和超静定问题 ※ 平面简单桁架的内力计算
第二章 平面力系
引言
力系——作用在物体上力的总称（力的集合） 平面力系
根据力的作用线是否共面可分为： 空间力系
F
M
第二章 平面力系
★ 在同平面内的两个力偶， 如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。
推论1：力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。
推论2：只要保持力偶矩的大小 和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变力偶对刚体 的作用。
M
M
§2-5 平面力偶系的合成与平衡
M Fd 力偶矩
（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。
第二章 平面力系
（2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
2.平面力偶的等效定理
F0
F1
F d
C F0
理论力学第二章(力系的等效与简化)
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
2019年4月16日星期二
力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
27
《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
哈工大理论力学 I 第8版_02_平面力系
12
三.力偶和力偶矩 1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组
成的力系称为力偶，记作 F , F
13
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩
M F d 2ABC
F n F n M n M O ( F n )
F R F i F i
M O M i M O ( Fi )
主矢 F R Fi
主矩 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
F R x ' F ix ' F ix F x
18
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
19
五.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M 1 , M 2 , M n ;
任选一段距离d
M1 d
F1
M 1 F1d
M2 d
F2
M 2 F2d
Mn d
Fn
M n Fnd
=
=
20
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
第二章 平面力系
1
§2-1பைடு நூலகம்平面汇交力系
一.多个汇交力的合成
力多边形规则
2
FR1 F1 F2
3
FR2 FR1 F3 Fi i 1
n
FR Fi Fi i 1
力多边形 力多边形规则
3
二.平面汇交力系平衡的几何条件
理论力学 第二章
扭矩扳手
2-3 平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点的矩（力矩） 力对点的矩（力矩）
M O ( F ) = ± F ⋅ d ，单位N•m或KN•m 单位N KN•
→
→
① ②
是代数量。 M O ( F ) 是代数量。
M O ( F ) 正负判定： 正负判定：
→
→
M O (F ) (F
+
→ →
-
③ 当F=0或d=0时， O (F ) =0。 =0或 =0时 M =0。 点O为矩心，d为力臂。 为矩心， 为力臂。 角 形面积，或是矢量积的模。 面积，或是矢量积的模。 ④ M O (F ) = ± 2⊿AOB= r × F 2⊿AOB= 力对点0矩的大小等于2 力对点0矩的大小等于2倍三
Fx = X i , F y = Y j
F = X +Y
2 2
→
→ →
→
X cos α = F
Y cos β = F
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 力沿轴的分力和力在两轴上的投影 • 分力是矢量，投影是代 分力是矢量， 数量，二者性质不同。 数量，二者性质不同。 • 在直角坐标系中，投影 在直角坐标系中， 的大小与分力的大小相 但在斜角坐标系中， 同，但在斜角坐标系中， 二者不等。 二者不等。
∑F = 0 ix
− FBA + F cos60 − F2 cos30 = 0 1
o o
∑F =0 iy
FBC − F cos30 − F cos60 = 0 1 2
o o
F = F2 = P 1
解得： FC = 27 32kN 解得： B .
理论力学课件-02第二章静力学(2)
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
3
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 平面力对点之矩的概念及计算 §2–4 平面力偶
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系的合成
1.两个共点力的合成
力偶矩矢量有关.
45
力偶在任何轴上的投影为零，本身又不平衡。
y
F
d
F'
x
力偶不能合成为一个力，不能用一个力来等效 替换；力偶也不能用一个力来平衡，只能由力偶来 平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
46
力偶对平面内任意一点的矩： MO (F , F ) MO(F ) MO(F) F(x d) F x
力对刚体可以产生 移动效应—用力矢度量 转动效应—用力对点的矩度量
F
O—矩心
h —力臂
o
h
MO(F) F h
+-
37
B
F o rA
h
MO(F) F h
2AOB
说明：① M O (F )是代数量，逆时针为正
②单位N·m，工程单位kgf·m。
38
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和
力的平行四边形法则或力三角形
5
2. 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
R F1 F2 F3 F4 即：R Fi
结论： 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
的作用线通过各力的汇交点。
6
F2
F3
R1
例：起重机的挂钩。
3
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 平面力对点之矩的概念及计算 §2–4 平面力偶
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系的合成
1.两个共点力的合成
力偶矩矢量有关.
45
力偶在任何轴上的投影为零，本身又不平衡。
y
F
d
F'
x
力偶不能合成为一个力，不能用一个力来等效 替换；力偶也不能用一个力来平衡，只能由力偶来 平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
46
力偶对平面内任意一点的矩： MO (F , F ) MO(F ) MO(F) F(x d) F x
力对刚体可以产生 移动效应—用力矢度量 转动效应—用力对点的矩度量
F
O—矩心
h —力臂
o
h
MO(F) F h
+-
37
B
F o rA
h
MO(F) F h
2AOB
说明：① M O (F )是代数量，逆时针为正
②单位N·m，工程单位kgf·m。
38
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和
力的平行四边形法则或力三角形
5
2. 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
R F1 F2 F3 F4 即：R Fi
结论： 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
的作用线通过各力的汇交点。
6
F2
F3
R1
哈工大理论力学课件第二章
n FR Fi i 1
M ( F ) M ( F ) O R O i
§2-4 平面力偶理论
1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组 成的力系称为力偶，记作 F , F
力偶对平面内任一点的矩
m F ,F ') m F )m F ') c( C( C( F BC F AC Fd
力偶矩
M ( F , F ) F d 2 ABC
力偶等效条件
( F F ) , (P.P' ' ) m ( F F ' ) , m ( P ' ) .P
证明：
推论
只要保持力偶矩不变
a) 力偶可以在面内自由移动、转动。
b) 可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短。
x
(F F )cos 0 AB BC
F 0
y
( F F )sin P 0 AB BC
P F F AB BC 2 sin
取BC杆为研究对象
P F F BC BC 2 sin
取压块C为研究对象
F 0
x
cos F F BC G 0
平面力偶系的合成和平衡条件
m ,m , m M 1 2 n
平衡
ห้องสมุดไป่ตู้
M mi
i 1
n
M mi 0
i1
n
例2-4
已知：M M 10 N m , M 20 N m , l 200 m ; m 1 2 3
求： 光滑螺柱 AB 所受水平力.
处的约束力 . O ,B
解：取轮为研究对象,画受力图.
M ( F ) M ( F ) O R O i
§2-4 平面力偶理论
1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组 成的力系称为力偶，记作 F , F
力偶对平面内任一点的矩
m F ,F ') m F )m F ') c( C( C( F BC F AC Fd
力偶矩
M ( F , F ) F d 2 ABC
力偶等效条件
( F F ) , (P.P' ' ) m ( F F ' ) , m ( P ' ) .P
证明：
推论
只要保持力偶矩不变
a) 力偶可以在面内自由移动、转动。
b) 可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短。
x
(F F )cos 0 AB BC
F 0
y
( F F )sin P 0 AB BC
P F F AB BC 2 sin
取BC杆为研究对象
P F F BC BC 2 sin
取压块C为研究对象
F 0
x
cos F F BC G 0
平面力偶系的合成和平衡条件
m ,m , m M 1 2 n
平衡
ห้องสมุดไป่ตู้
M mi
i 1
n
M mi 0
i1
n
例2-4
已知：M M 10 N m , M 20 N m , l 200 m ; m 1 2 3
求： 光滑螺柱 AB 所受水平力.
处的约束力 . O ,B
解：取轮为研究对象,画受力图.
理论力学教学材料-第二章
3 . 固定端支座
固定端（插入端）约束 : 既不能移动，又不能 转动的约束
FAx 固定端约束简图 FAy
4 . 简化结果分析 合力矩定理
● F′ =0，MO≠0 R ● F′ ≠ 0，MO=0 R
● F′ ≠ 0，MO ≠0 R
● F′ =0，MO=0 R
1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形
MO＝0
力 偶
平 衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
8. 力在空间直角坐标轴上的投影
z
直 接 投 影 法
二次投影法
O F z
y
O
F
Fxy
y
x
X F cos Y F cos Z F cos
x
X F sin cos Y F sin sin Z F cos
例题3
在长方形平板的O， A，B，C点上分别作用有四 个力：F1=1 kN，F2=2 kN， F3=F4=3 kN（如图），试求 以上四个力构成的力系对O点 的简化结果，以及该力系的最 后合成结果。
y
F2 A
60°
B
F3
2m
F1
C
F4
30°
x 3m
O
解：(1)求向O点简化结果
1).求主矢 FR 。
§2-3 平面任意力系向一点简化
1.力的平移定理
F′ F B d A F′′ M B A F′
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A 的力F平行移到同一刚体上 的任意点B，但必须同时附 加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力F对新作 用点B的矩。
理论物理第二章平面力系20191
力多边形
第二章 平面力系
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法 公理一的引伸：
共点力系可以合成为一个合力 普遍的矢量合成法则，满足加法交换律 分矢与合矢之别？ 合力与合矢之别？
第二章 平面力系
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法
二、汇交力系平衡的几何条件 推理2：三力平衡汇交定理
上节回顾
弄清几个概念 主动力和约束反力 作用力与反作用力 内力和外力 二力构件 三力汇交
第二章 平面力系
平面汇交力系
力
平面力系 平面力偶力系（平行）
系
平面任意力系
分
类
空间汇交力系
空间力系
空间力偶力系（平行）
空间任意力系
第二章 平面力系
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2-3平面力对点之矩的概念及计算 §2-4平面力偶系 §2-5平面任意力系 §2-6物系平衡问题 §2-7简单桁架
C 已知:一压紧机构,压力
Q 缸 直 径 D=120mm, 压 力
A
p=600104 N/m2 ,
求:=30时滑块C上所
D
产生的压紧力Q
解：
E
第二章 平面力系
§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-3：解：压力P=pD2/4= FAD
销钉A:
FBA
CFN
FAB
B
A
Q Fxi =0:
第二章 平面力系
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法
F1
A1
A2
F2
F1
力的可传性 F
F2
A
F An A3