速度与位移关系

例5.有一个做匀变速直线运动的质点它在最初两端 连续相等的时间内通过的位移分别为24m和64m,连 续相等的时间为4s,求质点的加速度和初速度？
解法1:由匀变速直线运动的位移公式求解。 解法2：用平均速度公式求解。
解法3：用推论公式△x=at2求解。
所以： x
2
x1 aT , x3 x2 aT ,
A
B
C
D
得
故：
பைடு நூலகம்
t AB
2d a
A
B
C
D
t BC
2 2d 2d 2d t AC t AB ( 2 1) a a a
2 3d 2 2d 2d tCD t AD t AC ( 3 2) a a a
tAB : tBC : tCD : 1:( 2 1):( 3 2):
(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比
x1 : x2 : x3 : 1 : 4 : 9 :
(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比
x ：x ＝ 1 ： 3 ： 5 Ⅰ Ⅱ：xⅢ ：
(4)通过连续相等位移所用时间之比
t AB : tBC : tCD : 1: ( 2 1)( 3 2 ) :
推论2 匀变速直线运动的平均速度
v 0 vt v 2
推论3 匀变速直线运动的中间时刻瞬时速度
t 时间内的平均速度等于t/2时刻的
瞬时速度
v v0 v 2 vt
2
注意：此公式只适用于匀变速直线运动
推论4：在匀变速直线运动重，某段位移中间位置的 瞬时速度vx/2与这段位移的初速度v0和末速度v之间的 关系：
2 2 2 2
x4 x3 aT , x5 x4 aT ,
结论：匀变速直线运动，在连续相同相邻时 间内的位移之差是定值，即
x aT
2
例7：汽车刹车做匀减速直线运动，加速度大小为 1m/s2。 求汽车停止前最后1s内的位移？
推论6 逆向思维法： 末速度为零的匀
减速直线运动可看成初速度为零，加速度 大小相等的匀加速直线运动。
总结
匀变速直线运动主要规律 一、两个基本公式：
速度与时间关系式： v
v0 at
1 2 x v t at 0 位移与时间关系式： 2
二、六个个推论
1. v v 2ax
2 t 2 0
2和3
v
v0 v 2
vt
2
4.
Vx
2
V02 V 2 2
2
5. x2 x1 x3 x2 aT 6.
必修1 第二章 直线运动专题
追及和相遇问题
“追及和相遇”问题
两个物体同时在同一条直线上（或互相平行的直线上）做直线 运动，可能相遇或碰撞，这一类问题称为“追及和相遇”问题。
“追及和相遇”问题的特点：
（1）有两个相关联的物体同时在运动。 （2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一位置。
[例1]：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时 汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆 自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。 试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过 多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ x汽
△x
x自
方法一：物理分析法
x汽 当汽车的速度与自行车的速 度相等时，两车之间的距离 最大。设经时间t两车之间的 距离最大。则 x自 v自 6 t s 2s v汽 at v自 a 3
△x
1 2 1 xm x自 x汽 v自t at 6 2m 3 2 2 m 6m 2 2 [探究]：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车 的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？ 1 2 2v自 1 2 4 s v汽 aT 12m / s s汽 2 aT ＝24 m v自T aT t 2 a
当t=2s时两车的距离最大
6 tan 3 t0
t0 2s
汽车
6
1 xm 2 6m 6m 2
o
α
自 行 车
动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车 的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变 化规律
t0
t/s
方法三：二次函数极值法
设经过时间t汽车和自行 车之间的距离Δx，则
推导：由v2-v02=2ax 及vx/22-v02=2a(x/2) 可得
Vx
2
V02 V 2 2
例4．一物体由静止沿光滑斜面匀加速下滑距离为 l 时， l 速度为 v，当它下滑距离为 时，速度为多少？ 2
推导一下 V t 和V x 谁大谁小
2 2
可以证明：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动， 都有唯一的结论，即：
解：以子弹射出枪口时速度v方向为正方向
又由速度公式： v＝ v 由位移公式：
2 2 v v 2ax 0 可得：
0+at
v 2ax v 2 5 10 0.64 0m / s 800m / s
2 0 5
一、匀变速直线运动位移与速度的关系
v v0 v v0 at t a
Vt Vx
2 2
推论5、匀变速直线运动利用打点纸带求加速 度公式
0
·x1 · x2 · x3
1
2
3
· x4
4
· x5
5
·
上图为物体运动时,打点计时器打出 的纸带。设相邻两测量点间的时间 间隔为T，打0号测量点时瞬时速度 为 v0
1 x1 v0T aT 2
则有：
2
1 1 2 3 2 2 x2 v0 2T a(2T ) v0T aT v0T aT 2 2 2
逆向思维法
四个比例式：物体做初速为零的匀加速直 线运动，几个常用的比例式：
• • • • • • • （1）1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比
v1 : v2 : v3 : 1: 2 : 3 :
(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比 x1 : x2 : x3 : 1 : 4 : 9 :
1 2 x v0t at 2 2 2 v0 v v0 a v v0 v 2 v0 x 2 a 2 a 2a 2 2 v v0 2ax
推论1：v v 2ax
2 2 0
注意 1.该公式只适用匀变速直线运动 2.该公式是矢量式，有大小和方向 3.因为υ0、v、α、x均为矢量，使用公式时应先规定正 方向。（一般以υ0的方向为正方向）若物体做匀加速 运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值.
[例2]某飞机着陆时的速度是216km/h,随后匀减
速滑行，加速度的大小是2m/s2,机场的跑道至少要 多长飞机才能停下来？
答案：x 900m
[例3]汽车以10m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小 为3m/s2,求它向前滑行12.5m,后的瞬时速度？
解：以汽车的初速度方向为正方向，则：
v0=10m/s, a=-3m/s2, x=12.5m 由v2-v02=2ax得 v2=v02+2ax=102+2×(-3) ×12.5=25 所以v1=5m/s 或v2=-5m/s(舍去) 即汽车向前滑行12.5m后的瞬时速度大小为5m/s,方 向与初速度方向相同。
练习2
物体从静止开始作匀加速直线运动， 则其第1s末的速度与第3秒末的速度之比 是 1：3 ；第3s内的位移与第5s内的位移 之比是 5：9 ； 若第1s的位移是3m，则 15 m。 第3s内的位移是
解 题 技 巧
练习3：某物体从静止开始做匀加速直线 运动，经过4s达到2m/s，然后以这个速度运 动12s最后做匀减速直线运动，经过4s停下来。 求物体运动的距离。 v/m· · s-1
（1）1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比 由速度公式
v1 a 1 (m/s) v2 a 2 (m/s)
v3 a 3
v v0 at at
(m/s)
v1 : v2 : v3 : 1: 2 : 3 :
(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比 1 1 2 由位移公式 x v0t at at 2 2 2 1 2 x1 a 1 2
方法二：图象法
解;画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其 图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图 线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中 矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角 形的面积之差最大。 v/ms-1 V-t图像的斜率表示物体的加速度
复习 1.匀变速直线运动的位移公式
1 2 x v0t at 2
2.匀变速直线运动的速度公式
v v0 at
公式的适应范围---匀变速直线运动
[例1]射击时,燃气膨胀推动弹头加速运动。若把子 弹在枪筒中的运动看做匀加速直线运动，设子弹的 加速度a=5×105m/s2，枪筒长x=0.64m，求子弹射出 枪口时的速度。
四.一个解题技巧---图像法
点拨：
①运动学公式较多，故同一个题目往往有不同求 解方法。
②为确定解题结果是否正确，用不同方法求 解是一有效措施。 ③一般应该先用字母代表物理量进行运算， 得出用已知量表达未知量的关系式，然后 再把数值代入。 这样做能够清楚地看出未知量与已知 量的关系，计算也比较简便。
故
(m)
(m)
x ：xⅡ：xⅢ ： ＝ 1 ： 3： 5 Ⅰ
(4)通过连续相等位移所用时间之比
如图,物体从A点开始做初速为零的匀 加速直线运动, AB、BC、CD……距离 均为d，求物体通过AB，BC，CD…… 所用时间之比
由
1 2 x at 2
2x 2d t a a
v0 v 2
vt
2
4.
Vx
2
V02 V 2 2
2
5. x2 x1 x3 x2 aT 6.
逆向思维法
三.4个常用比例式。
• • • • • • • （1）1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比
v1 : v2 : v3 : 1: 2 : 3 :
1 2 x2 a 2 2 1 2 x3 a 3 2
故 x1 : x2
: x3 : 1 : 4 : 9 :
(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比
1 2 x ＝ a 1 第一秒内位移 Ⅰ 2
(m)
1 1 3 2 2 第二秒内位移 xⅡ＝ a 2 a 1 a 2 2 2 1 1 5 2 2 第三秒内位移 xⅢ ＝ a 3 a 2 ＝ a 2 2 2
(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比 x ：xⅡ：xⅢ ： ＝ 1 ： 3 ： 5 Ⅰ
(4)通过连续相等位移所用时间之比
tAB : tBC : tCD : 1:( 2 1):( 3 2):
练习1：一物体做初速为零的匀加速直线运 动。求：
x汽
△x
1 2 3 2 x v自t at 6t t x自 2 2 6 62 当t 2s时 x m 6m 3 3 2 ( ) 4 ( ) 2 2 [探究]：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多 大?汽车运动的位移又是多大？
2
x = 1/2（ 12+20 ）×2 = 32 m
0
4 8 12 16 20
t/s
总结
匀变速直线运动主要规律 一、两个基本公式：
速度与时间关系式： v
v0 at
1 2 x v t at 0 位移与时间关系式： 2
二、六个个推论
1. v v 2ax
2 t 2 0
2和3
v
1 1 5 2 2 2 x3 v0 3T a(3T ) v0 2T a(2T ) v0T aT 2 2 2
1 1 7 2 2 2 x4 v0 4T a(4T ) v0 3T a(3T ) v0T aT 2 2 2