应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第五章1
关系： η = a + bx+ε, ε ～N ( 0 , σ 2 )
求η对x的线性回归方程。
Solution. 数据计算：Σ xi = 30.3， Σ xi 2= 115.11， Σ yi = 91.1， Σ xi yi =345.09，
x
=
查表（p536）得 t 的临界值：t1－α/2(n－2)= t1－0.025(7)=2.3646. |t| = 19.5883 > 2.3646 = t1－α/2(n－2)
即观测值大于临界值，在拒绝域之内，拒绝H0. 采纳H1: b≠0, 即回归模型
yˆ = aˆ + bˆx = 0.2568 + 2.9303 x
(1). t 检验法 使用公式
| t |=
n
1 −
bˆ l xx 2 ( l yy −
bˆ
l2 xx
)
≥
t1−α ( n 2
−
2)
16
t=
2.9303 13 .0980
1 (114 .5198 − 2.9303 2 × 13 .0980 )
7
= 10 .6051 = 19 .5883 . 0 . 5414
F
= (n − 2)SR Se
≥ F1−α (1, n − 2 ),
即 b ≠ 0 , y与 x 有显著线性关系
接受H0, 当
F
=
(n − 2)SR Se
<
F1−α (1, n − 2 ),
即b = 0, y与x 没有显著线性关系13
2. t-test
H0成立时， b = 0, bˆ ≈ 0 ,
bˆ < c
=
Se
残差平方和
(随机平方和）
Error sum of squares
+
SR
回归平方和
Regression sum of squares
y
η
{ ST : yi − y
·
●
●
●●● ●●
yˆ
=
aˆ
+ bˆx
}· ● yˆ i − y : SR
} yi − yˆ : Se
x
0
(x i , y i )
11
1. 正规方程组、回归参数的估计
(xi , yi )
l2
●
●
●
●
●
●
l1
偏差总量 Q (a, b) = ∑ [yi − (a + bx i )]2
●
随 a , b 而变
● ● ( x1, y1 )
最小二乘估计: aˆ bˆ
使 Q ( aˆ , bˆ ) = min Q ( a , b )
令偏导数为零求最小值:
式
of y
Error sum of squares
+ ∑ ( yˆ i − y ) 2
+
SR
回归平方和
Regression sum of square1s0
1. F-Test
平 方
∑ ( yi − y)2
和
ST
分 总偏差平方和
解
公 Total variation 式 of y
= ∑ ( yi − yˆ ) 2 + ∑ ( yˆ i − y ) 2
7
Example 1. 测得某种物质在不同温度下吸附另一种物 质的重量如下表所示：
xi (℃) 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0
yi (mg) 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3 由目测可知 y 近似是 x 的三倍。如果描出这些数据的散点图，
经验回归方程：
y = 0.2568 + 2.9303 x
9
三、线性回归效果的显著性检验
The significance test of efficiency of linear regression
经验回归方程: yˆ = aˆ + bˆ x
Linear model: η = a + bx + ε
20
D bˆ = 1 σ 2
l xx
D aˆ
=
⎛ ⎜ ⎝
1 n
+
x2 lxx
⎞ ⎟
σ
⎠
2
6
Regression Function: ~y = a + bx
回归函数的估计:
yˆ = aˆ + bˆx
无偏？有偏？两边求数学期望：
E( yˆ ) =E(aˆ + bˆx) = a + bx = ~y
经验回归方程是回归函数的无偏估计。 The empirical regression equation is an unbiased estimation of the the regression function.
Test: H 0 : b = 0(无线性关系 (no linearity) )
H 1 : b ≠ 0(Exists linearity)
1. F-Test
平 方
∑ ( yi − y)2
=
∑ ( yi − yˆ ) 2
和
ST
=
Se
分
总偏差平方和
残差平方和
解
(随机平方和）
公 Total variation
工学硕士学位课程CAI课件
应用数理统计 （第五、六章）
Applied Mathematical Statistics-V.VI
课件制作 杨玉峰 王亮 杜丽霞
配套教材 庄楚强《应用数理统计基础》
1
第五章 回归分析
Regression Analysis
2
5.1 一 元 线 性 回 归
Linear Regression of One Variable
bˆ
=
∑ xi yi ∑ (xi
− −
nxy x )2
=
l xy l xx
∑ ∑ 其中
xi , yi 为观测值
,x = 1 n
xi ,
y
=
1 n
yi
经验回归方程 (Empirical Regression Equation):
yˆ = aˆ + bˆx
Theorem 2. E bˆ = b
E aˆ = a
F = (n−2)SR = (9−2)112.4706 =384.2384.
Se
2.0490
查表 (p544（351）)得F 临界值：
F1－α(1, n－2)= F1－0.05(1,7) = 5.59 F = 384.2334 > 5.59= F1－α(1, n－2)
18
查表 (p544（351）)得F 临界值： F1－α(1, n－2)= F1－0.05(1,7) = 5.59 F = 384.2334 > 5.59= F1－α(1, n－2)
η1 = a + bx1 + ε1
η 2 = a + bx2
+ε 2
…………
η = a + bx + ε
n
n
n
ε 1,ε
2,ε
3 ,...,
ε
相互独立，都服从
n
η .......
x
N (0,σ 2 )
为定出直线的确切位置，须探讨 a=? b=?
4
二. 未知参数的估计 Estimation of Unknown parameters
y
η
{ ST : yi − y
·
●
●
●●● ●●
yˆ
=
aˆ
+ bˆx
}· ● yˆ i − y SR
} y i − yˆ Se
x
0
(x i , y i )
SR 直线倾斜性基本代表了 数据的 波动性 Se 直线倾斜性之外，还有 相当大 的 波动
线性关系不代表主要波 动,不可信
H0 真
无线性关系
回归平方和 随机平方和
z 一元线性回归模型 Linear Regression Models of one Variable
η = a + bx + ε , ε ~ N ( 0 , σ 2 )
（5.1）
随 机 变
.. 量
常 系 数
可 控 变 量
随 机 误 差
未
知 参
η
数
.. . 未知参数： a,b,σ 2待估计 . . 两边求数学期望(Mathematical Expectation) :
∂Q ∂a
=
2∑ [ yi
− (a
+ bx i )]( − 1) =
0
∂Q ∂b
=
2∑ [ yi
−
(a
+
bx i )]( − xi )
=
0
解方程组求a, b ( Solve the equation system for a, b): 5
得a, b 的最小二乘估计 (The least-squares estimator)： aˆ = y − bˆx
回归效果是否显著（α=0.05）.
Solution. H 0 : b = 0 ( 无线性关系 ( no linearity) ) H 1 : b ≠ 0 ( Exists linearity)
检验过程中使用例1求回归系数时使用过的参数：
lxx = Σ xi 2－9x 2 = …=13.0980,
应用数理统计讲义(PPT77张)
则 称 X , ,X 是 相 互 独 立 的 。 1 n
定 理 1 如 果 ｛ X i ,i=1, ,n｝ 是 一 族 独 立 的 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 P ( X t1 x1 , , X tn x n )
P(X
i 1
n
ti
xi ) , n.
其 中 x i 是 X ti 的 任 意 可 能 值 ， i 1, 则 f ( x1 , , xn )
Chapter 1 预备知识
§1 概率空间
一、随机试验
具有下列三个特征的试验称为随机试验： (1)可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且 预先知道所有可能的结果。称所有可能 的结果组成的集合为样本空间，记作Ω； (3)每次试验前不能确定那个结果会出现。
二、随机事件
样本空间Ω的元素称为基本事件或样 本点，Ω的子集称为事件。
2
, E Y ,则
2 2 2 2
[E ( X Y )] E X E Y 7 .单 调 收 敛 定 理 若 0 X n X ,则 lim E X n E X .
n
§4 常用分布族
一 、 分 布 族 定 义1 若 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 1 x x e , x 0, f ( x ; , ) ( ) 0 , x 0.
二、分布函数的性质
(1)F(x)↗； (2)F(－∞)=0，F(∞)=1，F(X)∈[0,1]； (3) F(x)右连续，即F(X＋0)＝F(x)。
三、n维随机变量
定义 2 设 ( ,F ,P )为概率空间， X ( ) （ X 1 ( ),
应用统计-5PPT课件
直接关联。因此，对于水平不等的总体、单位不同的标志，
不能直接以标准差数值大小而论其变异程度高低。
标准差系数( 以Vσ表示 )是标准差与算术平均数的比值，克
服了标准差在比较中的局限，可直接用于不同标志值数列的
变异程度的对比或评价。其计算公式为
V
100% X
2021/3/12
8
标准差系数计算举例
甲组日产量（件）：60、65、70、75、80 乙组日产量（台）： 2、 5、 7、 9、12
当
事
第五章 变异与均衡指标
实 改
变
一、变异指标
时 ，
二、偏度峰度
我 就
三、均衡指标
改 变
主
凯意
恩。
斯你
呢
？
2021/3/12
1
一、变异指标
一个班学生的经济学成绩视为一组数据的话，他们的成绩水 平如何（是高是低），我们用这组数据的平均指标来描述和 判定；他们的成绩差异如何（是整齐还是不整齐，是学生之 间成绩差异大还是差异小），我们用这组数据的变异指标来 描述和判定。
全距（极差）：R = Xmax - Xmin 四分位距（四分位差）: Qr = Q3 - Q1 例如，有两组工人日产量(件)资料如下：
甲组 10 11 11 12 12 12 12 13 13 14
乙组 4 4 6 9 12 13 15 17 20 20
甲乙两组的全距分别为 甲组R＝14 - 10＝4(件) 乙组R＝20 - 4＝16(件)
的规律，分布曲线与正态分布曲线完全一致，为正态峰度，
又称为标准峰度；当数据的频数更离散分布于众数左右，使
分布曲线较正态分布曲线更为平坦，为平顶峰度。
2021/3/12
应用数理统计课件
SPSS在统计中的应用
数据输入与管理
SPSS提供了数据编辑器，方便用户输入和 管理数据。
描述性统计
SPSS可以进行描述性统计，包括频数、均 值、标准差等计算。
高级统计分析
SPSS支持多种高级统计分析方法，如回归 分析、因子分析、聚类分析等。
报告生成
SPSS可以将分析结果导出为各种格式的报 告，方便用户进行汇报和交流。
季节性指数
计算时间序列的季节性指数，通过比较不同时间段的数据，了解季 节性变化对整个序列的影响程度。
季节性图
绘制时间序列的季节性图，直观地展示时间序列的季节性规律和变 化趋势。
08 统计软件应用
Excel在统计中的应用
描述性统计
Excel提供了丰富的函数和工具，可以 进行平均数、中位数、众数、方差、标
应用数理统计课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 概率论基础 • 统计推断 • 回归分析 • 方差分析 • 多元统计分析 • 时间序列分析 • 统计软件应用
01 引言
什么是应用数理统计
定义
应用数理统计是一门将数学原理和统 计方法应用于实际问题求解的学科。 它利用概率论和数理统计的理论，通 过对数据的收集、整理、分析和推断 ，为决策提供依据。
03 统计推断
点估计
总结词
点估计是一种用确定的数值对未知参数进行估计的方法。
详细描述
点估计的基本思想是用一个数值来近似表示未知参数的值。常见的点估计方法包括最大似然估计和最小二乘估计 等。这些方法通过构造适当的统计量，使得估计的参数值尽可能地接近真实值。
区间估计
总结词
区间估计是一种给出未知参数可能取值范围的方法。
核心概念
应用数理统计 叶慈南 第五章1
应用数理统计叶慈南第五章1应用数理统计叶慈南第五章1第五章回归分析§5.1 一元线性回归在自然界的现象中，同一过程中的各种变量之间往往存在着一定的关系，这种关系大致可以分为两类：例如电路中的电压V 、电阻R 和电流I 三者之间服从欧姆定律V=IR只要知道其中两个变量的值，另一个变量的值就唯一确定了．例如人的年龄、身高、体重和血压之间也存在一定的关系，一般来说年龄大的、体重重的人血压也要相应的高一些，但这种关系并不是确定的，因为即使年龄和体重都相同的人，其血压也不一定相同．又如在土地和耕作条件相同的条件，每亩的施肥量、播种量与农作物的产量之间也存在一定的关系，一般来说施肥量、播种量适当时产量较高，同样这种关系也不是确定的，具有某种随机性，变量之间这种不确定性关系在社会现象和自然现象中普遍存在，其原因主要是由于一些随机因素的干扰和测量上的误差，我们称变量之间的这种不确定关系为相关关系．回归分析就是分析和处理这些具有相关关系的变量之间关系的一种有效方法．在研究具有相关关系的变量之间的关系时，往往要考虑一些变量的变化对另一些变量的影响，这其中的一些变量就相当于通常函数中的自变量，对它们能赋予一个需要的值（如施肥量、播种量）或能取到一个可观测但不能人为控制的值（如年龄、身高），这类变量称为自变量（预报变量），而因自变量变化而变化的这类变量称为因变量（响应变量）．“回归”一词是英国统计学家高尔顿（P.Galton 1882-1911）在1889年发表的关于遗传的论文中首先应用的．他在研究前辈与后代身高之间的关系时，发现儿子的身高介于父亲身高与种族（父辈）平均身高之间，有回归于种族平均身高的趋势．后来他的朋友，英国著名统计学家K.Pearson 等人搜集了上千个家庭成员的身高数据，分析出儿子的身高y 与父亲的身高x 大致可归结为以下关系：y = 0.516 x +33.73 (英寸)从而进一步证明了Galton 的回归定律．这就是“回归”一词最早在遗传学上的含义．发展到今天，回归的现代意义要比原始的意义广泛的多．在回归分析中要研究的主要问题是：(1) 确定因变量（响应变量）和自变量（预报变量）之间的定量关系表达式即建立回归模型．(2) 对回归模型进行检验．(3) 从众多的自变量中选择出对因变量影响显著的自变量． (4) 利用所建立的回归模型进行预测和控制．§5.1 一元线性回归我们先从最简单的情况开始讨论，只考虑一个因变量y 和一个自变量x 之间的关系．一．一元线性回归模型我们先看一个例子．例5.1.1为研究某种物质在水中的溶解度（y ）和温度（x ）的关系，独立作了11组试验，记录数据如下：为了直观起见，可以x 为横坐标，y 为纵坐标，作上述数据的平面散点图（图5-1），每一数据对（x i ，y i ）为x -y 坐标系中的一个点，(i =1，2，…，11) ．从图上可以看出①溶解度（y ）基本随温度（x ）升高而增加；②点分布在某一直线两侧，不全在直线上，从而可以认为y 与x 大致成直线关系，这些点与直线的偏离是由其他一些不确定的因素的影响所造成的．因此可以假设y 与 x满足以下关系：y = β0 +β1x +ε （5.1.1）其中β0+β1x 为y 随x 线性变化的部分，β0 和β1是未知待估计的参数；ε是许多不可控或不了解的随机因素的总和，所以是不可观测的随机变量，但为了估计上的方便，通常假定E ε= 0 D ε= σ2＜∞ 未知（5.1.2） y 是可观测的随机变量．一般，称由（5.1.1）和（5.1.2）所确定的模型为一元线性回归模型．记为⎧y =β0+β1x +ε（5.1.3）⎧2⎧E ε=0, D ε=σ未知参数β0为常数项，β1称为回归系数，自变量x 称为回归变量．显然有E y = β0 +β1x （5.1.4）（5.1.4）称为回归函数．注意：这里我们说一个模型是线性的，是指它关于参数（β0和β1）是线性的，模型中自变量的最高次幂为该模型的阶，如y = β0 +β1x +β2x 2+ε是一个二阶（x 的）线性（对β0，β1，β2）回归模型．若利用试验数据求出β0和β1的估计值β和β，于是有y =β+βx （5.1.5）y 为由估计值β和β确定后对给定的x 值相应y 的回归值（预10（5.1.5）称为回归方程（预报方程）．其对应的直线称为回归直线（预报直线）．二．β0和β1的最小二乘估计及其性质设有n 组独立的样本观测值（x i ，y i ）(i = 1,2,…, n) ，由（5.1.3）有⎧y i =β0+β1x i +εii = 1,2, …, n ，ε1, ε2, , εn 相互独⎧2⎧E εi =0, D εi =σ立．（5.1.6）称为样本回归模型． 1．β0和β1的最小二乘估计如何利用样本数据求出β0和β1的估计值β和β呢？一个10最直观的想法就是在散点图上确定一条直线l ：β0+β1x ，使得所有的点总的看来最接近这条直线．这时将直线l 的截距β0的取值与斜率β1的取值，作为β0和β1的估计值β和β是比较合适10的．所谓所有的点总的看来最接近这条直线的含义即可以认为是Q (β0，β1) =∑εi =∑(y i -E y i )=∑(y i -β0-β1x i )达到最小．求出使函数Q (β0，β1) 达到最小的β0，β1 的值，作为β0和β1的估计值β和β．即β和β应满足Q (β，β)=min Q (β0, β1) 10ββ∈R则称β和β为β0和β1的最小二乘估计（L.S 估计）．由Q (β0，β1) 是β0，β1的二元函数，要使Q 达到最小值，必要条件是β0，β1满足=-2∑(y i -β0-β1x i ) =0⎧i =1∂β⎧0⎧ n ∂Q ⎧=-2∑(y i -β0-β1x i ) x i =0∂β⎧i =1⎧1⎧n β0+n x β1=n y ⎧n n （5.1.9）⎧⎧2⎧n x +=y ββ∑∑ ⎧x x i i0⎧⎧i =1⎧1i =1i ⎧y ，=（5.1.9）称为正规方程组．∑x i ∑y i ，n i =1n i =1由正规方程组解得⎧β1=l xy /l xx（5.1.10）⎧=y -x ββ1⎧0其中l xx =∑(x i -x ) ，l xy =∑(x i -x ) (y i -y ) ，因为Q ⎧⎧∂∂⎧ββ⎧⎧n 2∂Q ∂Q 2－ =－2n ×2= －-4 nl xx ∑2n x x i 22i =1∂β0∂β1所以（5.1.9）的解β，β使Q 取到最小值．于是β0和β1的10最小二乘估计为⎧β1l xy l xx（5.1.11）⎧∧∧由（5.1.11）式可得 y =∧+∧x ，说明由最小二乘估计得到的回归直线过样本均值(x , y ) ．下面我们利用（5.1.11）式来计算例5.1.1中的回归直线．由表5.1.1的数据算得∑x i =275，x =25，∑x i =9625，∑y i = 258.1，y =23.4636，∑x i y i =7552.5l xx = ∑(x i -x ) =∑x i －11x = 9625-6875=2750i =1i =1l xy =∑(x i -x ) (y i -y ) =∑x i y i －11x y =7552.5-6452.49=1100∧=/=1100/2750=0. 4⎧β1l xy l xx ⎧⎧β=y -βx =23. 4636-0. 4⨯25=13. 46y =13. 46+0. 4x2．最小二乘估计的统计性质性质1. β和β分别是y 1, y 2, , y n 的线性组合．l xy l xx∑(x i -x ) (y i -y )∑(x i -x )∑(x i -x )∑(x i -x ). y i =∑b i y i（5.1.12）其中b i =∑(x i -x )n 1n n 1nβ= y －βx =∑y －x ∑b i y i =∑(-x b i ) y i =∑c i y i10n i =1i i =1n i =1i =1（5.1.13）其中c i =∑(-x b i )2. E (β) = β0，E (β) = β1（5.1.14）D (β) = σ(+) ，D (β) = ，Cov (β, β)=－x1100n l xx l xx l xx证：由模型（5.1.3）知 E ε= 0 D ε= σ2则有E （y i ）= β0 +β1x i D（y i ）=σ2 再由性质（1）有E β= E （∑b i y i ）= E （i =1∑(x i -x ) y i）= i =1∑(x i -x )(β0+β1x i )β0∑(x i -x ) β1∑(x i -x ) x i β1∑(x i -x )i =1i =1（注意到：∑(x i -x ) x i =∑(x i -x )(x i -x ) ）∧E β= E （y －βx ）= E y －x E β=∑(β0+β1x i ) －x β1 n i =1= β0+x β1－x β1=β0-x ) (x y ∑∑(-x ) 2x i i ⎧i =1⎧i =1i ∧2σ D (β) = D ⎧σ= ⎧=21l xx l xx l xx ⎧⎧⎧⎧D (β) = D (y －βx )= D y +2D (β) －2x Cov (y , β)=σ2+x 2σ2=σ2(+)n l xx n l xx由此性质可得：（1）E y = E y 即预报值y 的均值等于相应的观测值y 的均值．（2）β0与β1的估计值波动的大小不仅与y 的方差σ2有关，而且还与预报变量x 取值的离散程度有关，x 取值分散，则β与β10作为β0与β1估计值较精确，反之，若x 在x 的一个较小范围内取值，则β与β作为β0与β1估计值精确度较差．因此若x 是可控10变量时，则在安排实验时x i (i = 1,2, …, n ) 应取得尽可能的分散，并且n 不能太小．3．σ2的无偏估计由于β与β作为β0与β1估计值的精确度与y 的方差σ2有10关，而σ2是未知的，所以下面给出σ2的无偏估计记 e i = y i -y = β-βx i 称为残差，∑e i 为残差平方和或剩i 10i =1余平方和，记作Q e =∑e i ．∧Q e i =1=，则σ2为σ2的无偏估计． n -2n -2因为在模型（5.1.3）下，∑e i 有性质E （Q e ）=（n -2）σ2 （5.1.15）证Q e =∑e i =∑(y i -y ) =∑(y i -β-βx i ) =∑[y i -(y +β(x i -x )]011i i =1i =1i =1i =1=∑(y i -y ) - 2 β∑(x i -x ) (y i -y ) +β2∑(x i -x ) 1i =11i =1i =1=∑(y i -y ) - 2 βl xy +β2l xx 11i =1 =∑(y i -y ) - β2l xx 1i =1E （Q e ）= E∑(y i -y ) - l xx E (β2)= E (∑y i -n ) -l xx E (β2)= ∑E (y i ) -nE () -l xx E (β2)= ∑D (y i ) +E (y i )i =1n n]]-n [D () +[E () ]]-l∧⎧2⎧⎧∧⎧⎧D (β1) +⎧E (β1) ⎧⎧+(β0+β1x ) ⎧－l xx = ∑σ+(β0+β1x i ) －n ⎧i =1⎧n ⎧+β⎧1⎧ ⎧l xx ⎧=（n -2）σ+∑(β0+β1x i ) －n (β0+β1x ) －l xx β1=（n -2）σ2+β1(∑x i -n x 2) －l xx β1=（n -2）σ2E（Q e ）= E （i =1）=σ2= i =1为σ2的无偏估计． n -2n -2三. 回归方程的显著性检验1．方程的显著性检验若变量x ，y 之间存在线性关系y = β0 +β1x +ε，则β1≠0 ，因此检验变量x ，y 之间是否真正存在线性关系的问题可化为对假设H 0：β1= 0； H 1：β1≠0作显著性检验，若拒绝H 0，则认为变量x ，y 之间存在线性关系，所求出的回归方程有意义；若不拒绝H 0，则认为变量x ，y 之间不存在线性关系，自然也就不能用一元线性回归模型来描述，所得回归方程也就无意义．为了进行检验，首先对模型（5.1.3）进一步假定ε～N (0，σ2) ，于是模型（5.1.6）改为⎧y i =β0+β1x i +εii = 1,2,…, n ，ε1, ε2, , εn 相互独立⎧2⎧εi ～N (0, σ)（5.1.16）在模型（5.1.16）下有如下定理定理5.1.1（1）β～N (β0 ，σ(+) ) （5.1.17）0n l xx（2）β～N (β1σ ，) （5.1.18）～χ（n －2）（5.1.19）（4）y ，β，∑e i 相互独立．证：由性质1，β和β分别是服从正态分布的随机变量y 1, y 2, y n 的线性组合，故β和β服从正态分布，再由性质2即得到（1）与（2）．由式（5.1.16）可得y i ～N (β0+β1x i , σ2) (i = 1,2,…, n)将上式写成矩阵形式为Y ～N (β0I +β1X , σ2I n ) 其中 I = (1, 1, , 1)Y = (y 1, y 2, , y n )X = (x 1, x 2, , x n )为n 阶单位阵． I n构造n 阶正交矩阵A ，其中第1，2行分别为 (x 1-x l xxx 2-x l xxx n -x l xx作正交变换Z = A Y Z = (z 1, z 2, , z n ) ’ 则有Z ～N (β0AI +β1AX ,σ2I n )其中β0AI +β1AX =（n (β0+β1x ), β1l xx , 0, , 0）’ 因此z 1, z 2, , z n 相互独立，且有z 1～N (n (β0+β1x ) , σ2) ，z 2～N (β1l xx , σ2)z i ～N (0, σ2) (i = 3,4,…, n)1n ∧z z 又因 1= n y ，2=∑(x i -x ) y i =l xx βl xx i =1∑e i =∑(y i -y ) －βl xx = ∑y i －(n y ) －(l β)xx 11i =1i =1i =1=∑z i －z 1－z 22=∑z ii =1i =3故有 i =1～χ（n －2）由于z 1, z 2, , z n 相互独立，且z 1=∑e i =∑z in y ，z 2=l xx β，则有y ，β，∑e i 相互独立．为引入合适的检验统计量，介绍如下平方和分解公式：l yy = U +Q e （5.1.20）l yy = ∑(y i -y ) 称为总偏差平方和U = ∑(y -y ) 称为回归平方和．Q e = ∑(y i -y ) 称为残差平方和．恒等式 y i -y =（y i -y ）+（y -y ）的几何意义如图4-2，∑(y i -y ) =∑[(y i -y i ) +(y i -y )]=∑(y i -y i ) +∑(y i -y ) +2∑(y i -y i )(y i -y )=∑(y i -y ) +∑(y -y )i i i =1i =1∑(y i -y i )(y i -y ) =∑[(y i -y ) -(y i -y )](y i -y )=∑[(y i -y ) -β1(x i -x )]β1(x i -x )=βl xy －β2l xx = βl xy －βl xy l xx平方和分解公式（5.1.20）说明总的偏差平方和l yy 可以分∧为两个部分，一部分是Q e ，是由实际观测值y i 与回归值y 的偏差即残差所引起的，另一部分U 是由回归直线所引起的．当U 越大时Q e 就越小，则y 与 x之间的线性关系就越显著，反之y 与 x之间的线性关系不显著．因此，可考虑当U/Q e 的值较大时, 则认为y 与 x之间的线性关系较显著．σ事实上，当H 0成立时，由定理5.1.1知β～N (0，) ，～N (0，1) ，从而有β1l xx σ由定理5.1.1又知 i =1～χ（n －2），且U 与Q e 独立，独立．因此，由F -分布的定义知，当H 0成立时，～F （1，n -2）（5.1.21）Q e /(n -2)由前面的分析可知，当F 值较大时，则认为y 与 x之间的线性关系较显著，即应拒绝H 0，则由（5.1.22）式，可给出如下判别法则：对给定的显著性水平α，当F ＞F 1-α(1, n -2) 时，拒绝H 0，否则就不能拒绝H 0．在实际作检验时，通常将此检验过程用表5.1.2的形式给出，表5.1.2称为方差分析表．表5.1.2一元正态线性模型的方差分析表若经过检验拒绝了H 0，也可称回归系数β的效果是显著的；否则，称回归系数β的效果不显著．此时y 与 x的关系可能有如下几种情况：（1）x 对y 无显著影响，应丢弃x 这个自变量，进而考虑其它自编量；（2）x 对y 有显著影响，但这种影响不是线性的，应考虑非线性回归；（3）除了x 外还有其它自变量对y 有显著影响，从而减弱了x 对y 的影响程度，这时应考虑采用多元线性回归．2．样本相关系数和判定系数（拟合优度）若拒绝了H 0，即y 与 x之间的线性关系是显著的，我们可用样本相关系数l xy xx yy（5.1.22）来刻划y 与 x之间的线性关系的密切程度．比较（5.1.23）式与β=l xy l xx，得r 与β的符号一致。
概率论与数理统计第五章ppt课件
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8
定理1 (切贝谢夫定理)设1,2,...,是相互独立的随机 变量序列，各有数学期望E1,E2,...及方差D1,D2,... 并且对于所有i=1,2,...Di M,M与i无关，则任给0
limP n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
1
此 定 理 表 明 n 个 独 立 随 机 变 量 的 平 均 值 n 1i n 1 i 依 概 率 收 敛 于 其 数 学 期 望 n 1i n1Ei
E
E (x E 2 )2 (x )d x E (x E 2 )2 (x )d x
(xE)2 2
(x)dx
D 2
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3
例 1设 是 掷 一 颗 骰 子 所 出 现 的 点 数 ， 若 给 定 ＝ 1， 2， 实 际 计 算 P(|-E|),并 验 证 切 贝 谢 夫 不 等 式 成 立 。
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23
例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。
解 ： 5 0 0 发 炮 弹 中 命 中 飞 机 的 数 目 服 从 二 项 分 布
n=500 p=0.01
np 5
npq 2.225
(1)直接计算
P ( 5 ) C 5 5 0 00 .0 1 5 0 .0 9 4 9 5＝0.17635
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
切贝谢夫不等式： 设 随 机 变 量 有 期 望 值 E 与 方 差 D 。 对 任 给 >0,有 P(|E|)D 2 P(|E|)1D 2
证 ： 若 是 离 散 型 随 机 变 量 ,
数理统计第五章1
一元线性回归模型Linear Regression Models of one Variable两边求数学期望(Mathematical Expectation) :待估计未知参数：2,,σb a 5.1 一元线性回归Linear Regression of One Variable........ηεεη ,++=bx a ~),0(2σN （5.1）随机变量常系数可控变量随机误差未知参数二. 未知参数的估计Estimation of Unknown parameters1. 正规方程组、回归参数的估计最小二乘估计:aˆb ˆ令偏导数为零求最小值:0)1)](([2=-+-=∂∂∑i i bx a y aQ随a , b 而变偏差总量[]2)(),(∑+-=i i bx a y b a Q ),(min )ˆ,ˆ(b a Q b aQ =使0))](([2=-+-=∂∂∑i i i x bx a y bQ●●●),(11y x ),(i i y x l 1l 2●●●●●●三、线性回归效果的显著性检验经验回归方程:x b a yˆˆˆ+=Linear model:εη++=bx a 1. F -Test平方和分解公∑∑∑-+-=-222)ˆ( )ˆ( )(y y yy y yi i iRe T S S S +=总偏差平方和残差平方和回归平方和(随机平方和）Total variation Error sum of Regression sumThe significance test of efficiency of linear regressionTest:)linearity) no ((0:0无线性关系=b H (0:1≠b H Exists linearity)。
应用数理统计课件
目录
• 引言 • 基础知识 • 描述性统计方法 • 推断性统计方法 • 实验设计与数据分析案例
目录
• 质量控制与可靠性评估方法 • 总结与展望
01
引言
数理统计简介
01
定义
数理统计是应用概率论对数据 进行收集、整理、分析和推断
的数学学科。
02
发展历程
介绍数理统计的历史背景、发 展过程和重要里程碑。
假设检验原理及应用举例
01
原假设与备择假设
明确待检验的假设，设定原假设 和备择假设。
03
拒绝域与显著性水平
设定拒绝域和显著性水平，判断 原假设是否成立。
02
检验统计量
根据原假设选择合适的检验统计 量，如Z检验、t检验、χ²检验等
。
04
应用举例
通过实际案例展示假设检验的应 用，如检验两种不同教学方法的
01
数据清洗
去除异常值、缺失值和重复值，确 保数据质量。
推论性统计
运用假设检验、方差分析等方法， 推断实验结果的可靠性和有效性。
03
02
描述性统计
计算均值、中位数、标准差等指标 ，以描述数据的基本特征。
可视化展示
利用图表直观展示数据分布和趋势 ，便于理解和分析。
04
实际案例展示与讨论
案例一
某种新药的临床试验。通过 随机双盲对照实验，比较新 药与安慰剂对病患的疗效差 异，并运用统计方法进行数
效果是否有显著差异。
方差分析与回归分析简介
01
方差分析
02
回归分析
研究不同因素对观测变量影响的显著性，判断因素之间是否存在交互 作用。例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响。
应用数理统计课件第5章(1)
相关系数(意义)
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例：不良贷款，各项贷款余额，累计应收贷款， 贷款项目个数，固定资产投资额之间的相关系数
(三) 相关关系的显著性检验(t 检验) 1、目的：检验两个变量之间是否存在线性相 关关系 相关 2、R.A.Fisher提出的 t 检验步骤 (1) 提出假设：H0： ；H1： 0 (2) 检验的统计量：
1、原模型： y 与 x1 , x2, … xp 的真实关系
y =f(x1 , x2, … xp ) + e * f(x1 , x2, … xp )反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化； • 误差项 e 是随机变量，反映了除 x 和 y 之间的 关系之外的随机因素对 y 的影响，是不能由 x 和 y 之间的关系所解释的变异性
n 2 n
ˆx －残差 ˆb ˆ i yi ei yi y i
i 1 i 1
ˆx ˆ b ˆ i yi Q yi y i
＊Q的计算 Q
n
2
－残差平方和
＊残差及其平方和，其意义是 y 不被 x 解释的那一部份
ˆx ) b ˆx Q yi ( y b i Q yi y
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
(2)相关系数（测度变量之间的线性关系）
应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第六章1
3各自的样本：ξ11=μ1+ε11,…, ξ17=μ1+ε17ξ21=μ2+ε21,…, ξ25=μ2+ε25ξ31=μ3+ε31,…, ξ38=μ3+ε38ξ41=μ4+ε41,…, ξ46=μ4+ε46理论上总平均：μ= （7μ1+5μ2+8μ3+6μ4）A 1的效应α1=μ1－μ，A 2的效应α2=μ2－μ，A 3的效应α3=μ3－μ，A 4的效应α4=μ4－μ，4个样本：单因素4水平的统计模型261（双下标71637.3076168016621636.251568.33168016801680168016801680 16801662 1662 1662166216621636.251636.251636.251636.251636.251636.251636.251636.251568.331568.331568.331568.331568.331568.33A 1A 2A 3A 41 2 3 4 5 6 7 8 寿命灯ξij 泡灯丝ξξi8（A 的）组间偏差平方和：2)(∑∑−=ijiA S ξξ(纵向偏差=灯丝不同带来误差+试验误差)2()ri i in ξξ=−∑222)1680(...)1680()1680(ξξξ−++−+−=(7项22)1662(...)1662(ξξ−++−+（522)25.1636(...)25.1636(ξξ−++−+（822)3.1568(...)3.1568(ξξ−++−+（（抹平了横向波动，只剩下纵向波动）10Theorem 2.在一个因素的方差分析模型中，有E (S A ) = (r －1)σ2+ ∑n i αi 2 E (S e ) = (n －r)σ2Theorem 3.在一个因素的方差分析中，组内误差与总体方差之比服从χ2 分布，即S e / σ2～χ2(n －r )Theorem 4.在一个因素的方差分析中，当假设H 0 成立时有：(1) S A/σ2～χ2 (r －1)(2) S e 与S A 相互独立，因而)()1(r n S r S F e A −−=～F (r －1, n －r )13eA S S F =AT e S S S −=rn −rn S e−方差来源平方和S自由度ƒ均方和F 值显著性因素A误差e总和表6-3 一个因素差分析表(394页)∑=•−=ri i iA n TT n S 12211−r S Ar －1∑∑−=i jij T n TS 22ξn －1∑∑∑===•==rin j ri n j ji iji T T 111,ξξ其中14表6-4 例1 的计算表（p395)灯丝使用寿命T i•T 2i•A 1A 2A 3A 416001610 1650 1680 1700 1720 18001580 1640 1640 1700 175014601550 1600 1620 1640 1740 1660 18201510 1520 1530 1570 1680 16001176083101309094101382976006905610017134810088548100,4=r 126,rii n n===∑∑∑===ri n j iji112;69895900ξ()2212941013090831011760261.1+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑=ri i T n n T ()==2642570269700188.461554.19571146.6970018869895900 =−=T S 7.44360 46.697001882.69744549 46.69700188 1 14122241=−=−=−=∑∑=••=i i ii i i A T n nTT n S 8. 151350=−=A T e S S S ()().15.222/8.1513503/7.44360/1/==−−=r n S r S F e A 0.10,F α=查分布表得()()(),22 ,3 35.215.2 35.222 ,3 ,1 10.0110.0111−−−−=<===−−=F F F r n r F F a α16在这个问题中，四个总体均值的点估计分别为：1680ˆ11==ξμ1662ˆ22==ξμ25.1636ˆ33==ξμ1568ˆ44==ξμ习题六---4, 5; Prep: §6.2将上述计算结果列成方差分析表：表6-5 例1的方差分析表方差来源平方和S 自由度ƒ均方和F 值显著性因素A 影响误差e 44360.7151350.832214786.96879．592．15(F 1−α=2.35)无显著影响195711.5425总和似乎配方1好，但方差分析表明各方案差别不算大.17。
研究生《应用数理统计基础》庄楚强 四五章部分课后答案
4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α）（参考数据：）4-45. 解：数据的顺序统计量为：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82所以 6131.0][)()1(51)(=-=-+=∑k k n k k x x aL ， 又 5264.10=x ， 得38197.0)(1112=-∑=i ix x故 984.0)(11122=-=∑=i ix xLW ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0<<W W ， 从而 接受正态假设，亦即 零件直径服从正态分布。
4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标波动的情况，从这两个在05.0=α下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合”。
（参考数据：） 4-47. 解： 在05.0=α下， 检验假设 )()()()(211210x F x F H x F x F H ≠=：；：由上表知：2,11==-+n n ，13=+=⇒-+n n n查 13=n ，05.0=α的符号检验表， 得 临界值5.2=αS ， 而 2},min{==-+n n S ， 即：αS S <， 故 拒绝0H 即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同．4-51. 对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单位：小时）如下表所示：在显著性水平05.0=α下，用游程检验法（两种方法）检验这两种维修方案是否有一种维修方案显著地优于另一种方案？ （参考数据：） 4-51. 解：（１）基于游程总个数R 的检验法设 甲仪器失效时间ξ服从分布)(1x F ，乙仪器失效时间η服从分布)(2x F 。