中考数学复习突破与提升专题练习最值问题(瓜豆原理与隐形圆问题专题练习)(无答案)
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题
（瓜豆原理与隐形圆问题专题练习）
1.如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （
2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．
2. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC
=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．
3. 如图，正方形ABCD
中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．
4. △ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点
O A B C D
E
F
O ，则线段AO 的最大值为_____________．
5. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．
6. 如图，已知点A
是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．
7. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y
A
B C
D
E O
A
轴上运动时，求OP 的最小值．
4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．
9. 如图，在反比例函数2
y x =-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长
交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x
=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为________．
10. 如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．
G
A B C
D
E F
11. 如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，
连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．
12. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．
13.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．
A B C
D P
A B
C P A
B C E F
P
14. 已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．
15. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．
16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．
17. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，求Q 点轨迹.
E F
A B C
D P
P
A
B C
F E
D
C B A
18. 如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，求Q点轨迹.。
2019中考数学复习.隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)
2019 中考数学复习隐形圆问题大全定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的2.应用：（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=，2 BC=1，AB∥ CD，求BD的长。
简析：因AB=AC=AD=，知2 B、C、D 在以A为圆 2 为半径的圆上，由AB∥ CD得DE=BC=1，易求BD= 15。
（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6， E 是AB边的中点， F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′ F，连接B′ D，则B′D 的最小值是.简析： E 为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为2 10。
（3）Δ ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在Δ ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为.简析：先确定A、 B 点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2 为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45 度并1：√ 2 缩小而得，所以把圆A旋转45 度再1：2 缩小即得O点路径。
如下图，转化为求定点A到定圆 F 的最长路径，即AF+FO=3 2 。
二 定线 +定角1. 依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
（ 2）如图，∠XOY = 45 °，等边三角形 ABC 的两个顶点OY 上移动，AB = 2 ，那么OC 的最大值为 .2. 应用：（ 1）矩形 ABCD 中， AB=10， AD=4，点 P 是 CD 上的动点，当∠APB=90°时简析： AB 为定线，∠ APB 为定角（ 90°）， P 点路径为以AB 为弦（直径）A 、B 分别在 OX 、简析：AB 为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3 +1+ 23）已知A（2，0），B（4，0）是x 轴上的两点，点C是y 轴上的动点，ACB最大时，则点C的坐标为．简析：作Δ ABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y 轴相切时∠ACB最大。
专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .
中考专题08 瓜豆原理-最新中考数学二次函数压轴题核心考点突破
A
B
C
M
O
E
D
连接 AM 并延长与圆 M 交点即为所求的点 O，此时 AO 最大，根据 AB 先求 AM， 再根据 BC 与 BO 的比值可得圆 M 的半径与圆 A 半径的比值，得到 MO，相加即 得 AO．
A
B
C
M
O
E
D
此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当 A、C、A’共线时，可得 AO 最大值．
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中物理
瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一— —求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．
今天继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目
或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、 Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，
A
D
F
G
B
E
C
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值，可以将 F 点看成是由点 B 向点 A 运动，由此作出 G 点轨迹：
考虑到 F 点轨迹是线段，故 G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，
初始时刻 G 点在 G1 位置，最终 G 点在 G2 位置（ G2 不一定在 CD 边），G1G2 即为 G
A
N
α
M α
B
C
【2017 姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点 P 从点 E 出发沿
EA 方向运动，连结 PD，以 PD 为边，在 PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点
P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是________．
2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 (含答案)
2024成都中考数学二轮微专题利用隐形圆解决最值问题专项训练模型一定点定长作圆模型分析如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A 为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．模型应用1.如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF 所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法)第2题图模型二直角对直径模型分析(1)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．模型应用3.如图，已知线段A B.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.第3题图4.如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.第4题图模型三定弦对定角(非90°)模型分析固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧．(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；(2)如图②，若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O 的ACB ︵上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则点C 在优弧上运动；等于90°，则点C 在半圆上运动；大于90°，则点C 在劣弧上运动)模型应用5.如图，已知线段AB .(1)请在图①画出线段AB 上方使∠APB ＝60°的所有点P ；(2)请在图②中画出线段AB 上方使∠APB ＝45°的所有点P .第5题图6.如图，已知四边形ABCD .(1)如图①，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠APB ＝30°的所有点P ；(2)如图②，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝60°的所有点P ；(3)如图③，在正方形ABCD 中，请在正方形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝45°的所有点P ；(4)如图④，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝45°的所有点P .第6题图模型四四点共圆模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．模型应用7.在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误．．的是()A.CD＝2MEB.ME∥ABC.BD＝CDD.ME＝MD8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值．第8题图模型五点圆最值模型分析已知，在平面内一定点D和⊙O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示DE的最大值________________________此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值________________________此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合连接OD交⊙O于点E模型应用9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．第9题图10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．第10题图模型六线圆最值模型分析1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．(1)如图①，点C在优弧AB︵上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB最大；的最大距离，此时S△ABC(2)如图②，点C在劣弧AB︵上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．2．如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d ＋r(如图④)．推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．模型应用11.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB︵上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB ＝60°，求△ABC面积的最大值．第11题图12.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求△CDF面积的最小值．第12题图参考答案1.解：如解图所示：第1题解图2.解：如解图所示：第2题解图3.解：如解图，⊙O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点．第3题解图4.解：如解图，点P1、P2即为所求点．第4题解图5.解：(1)如解图①，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；(2)如解图②，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)．第5题解图6.解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求；(4)如解图④所示，点P1、P2即为所求．图①图②图③图④第6题解图7.A【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB ＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(选项C正确)，∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM ＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(选项D正确)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(选项B正确)．假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵无法确定∠DCM的大小，故选项A错误．第7题解图8.解：如解图，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，∴A、P、B、C四点共圆，∵AB为⊙O直径，圆心为AB的中点O，∴点P在⊙O上运动，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∠A ＝∠CPB ，∴△ABC ∽△PQC ，∴QC PC ＝BC AC ＝34，∴CQ ＝34PC ，要使得CQ 最大，只需PC 最大，当PC 为⊙O 的直径时，PC 取得最大值，∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∴PC 的最大值为5，∴CQ 的最大值为154.第8题解图【模型分析】d ＋r ，2r ，d ＋r ，r －d ，0，d －r9.6【解析】如解图，在⊙O 上任取一点E ，连接OE 、CE ，则CE ≤CO ＋OE ，当C 、O 、E 三点共线时，CE 取得最大值，即要求CE 的最大值，则求CO 的最大值．连接AC ，∵CO ≤AC ，∴当点O 与点C 重合时，CO 取得最大值时．在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，∴OC 最大＝5，∴CE 最大＝OC 最大＋OE ＝6.∴点C 到⊙O 上的点的距离的最大值为6.第9题解图10.13【解析】如解图，连接OC ，OM ，∵∠AOB ＝90°，AB ＝10是定值，M 是AB 的中点，∴A 、O 、B 三点一直在以点M 为圆心，AB 长为直径的圆上，∵在△OMC 中，OM ＋CM ≥OC ，∴当O 、M 、C 三点共线时，即OC 过圆心M 时，OC 的长度最大．∵AB ＝10，∴OM ＝12AB ＝5，又∵CM ＝8，∴当OC ＝CM ＋OM ＝8＋5＝13时，OC 取得最大值，即点C 到点O 的最大距离为13.第10题解图11.解：如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE 、BE ，则AE ＝BE ，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12AB ·h ，易得当C 与E 重合时，h 取得最大值，即DE 的长，此时△ABC 的面积也取得最大值，即△ABE 的面积．∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°，∴△ABE 为等边三角形．∴∠EAB ＝∠AEB ＝60°.∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∴DE ＝OE ＋OD ＝4＋2＝6.此时S △ABE ＝12AB ·DE ＝12×43×6＝123.第11题解图12.解：由折叠的性质可知，MF ＝BM ，∵点M 是AB 的中点，AB ＝10，∴BM ＝5，∴点F 在以点M 为圆心，5为半径的AB ︵上运动，如解图，过点F 作FG ⊥CD 于点G ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ，则MH ≤MF ＋FG ，∴当点M 、F 、G 三点共线，即点G 与点H 重合时，FG 取得最小值，最小值即为MH －MF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴MH ＝AD ＝12，∴FG 最小＝MH －MF ＝7，∴S △CDF 最小＝12CD ·FG 最小＝12×10×7＝35.第12题解图。
中考数学压轴题：瓜豆原理最值模型，常考题型专练17道题
中考数学压轴题：瓜豆原理最值模型，常考题型专练17道题在中考数学，还有平时的期中期末考试中，有一类几何最值问题，比如求某线段的最小值，一个点是定点，另一个点是动点，怎么求这条线段的最小值？初学的同学，往往都觉得，这类考题有难度。
那么有没有解题技巧呢？有的，就是先找到这个动点的运动轨迹。
如何找动点的运动轨迹？就是这个专题要讲的内容：瓜豆原理。
何谓瓜豆原理？一个数学题，为什么叫这样一个厉害的名字？这其实都是一些民间爱好者，给一些常见数学题型，归纳总结后，给取得浪漫的名字。
什么手拉手模型啊，多么生动形象而有趣啊。
那瓜豆原理的题型，又有什么特征呢？俗话说，种瓜得瓜，种豆得豆。
那么这类考题，一般有一个已知的主动点的轨迹，再去找从动点的运动轨迹。
这样，就形象地取了“瓜豆原理”的名字。
那么，如何去找这个从动点的运动轨迹？一般常用的方法，是构造三角形全等，或者三角形相似，或者利用起点和终点的方法，来确定从动点的运动轨迹。
所以，这几道题，大家可以先认真做一做，找到相对应的方法，总结归纳解题思路和技巧，以后遇到这类考题，那就得心应手了。
所以，初中数学，你说难吗？只要把基础的定义，性质定理，判定定理，烂熟于心，就是基础常考题型非常熟练，平时做题，扎实写好详细步骤，几何推理语言描述清晰准确，根本不难。
对于一些常考的几何模型，压轴题的解题思路和技巧，学会总结和归纳，也非常的熟练。
举一反三，你说中考数学还有什么难的？学习，没有捷径可言，必须扎实一步一个脚印去做，去积累，时间一长，自然会有收获。
三天两头，一棒子下去，是不可能出成绩的。
但是，学习是有方法和技巧的，方法得当，事半功倍。
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2020年中考复习 单线段最值-瓜豆最值(PDF版无答案)
单线段最值—瓜豆问题一．种豆得豆（单线段最值）1．如图，正方形ABCD的边长为6，EF为正方形ABCD的对称轴，交BC于F点，点G 是对称轴EF上的一个动点，连接GC，将线段GC绕点C逆时针旋转90°得到HC，连接HF，则在点G运动过程中，HF的最小值是（）A．B．2C．2D．32．（2018•桓台县一模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．3．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．4．（2015•莆田模拟）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是．5．（2018春•泰兴市校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，CD⊥AB 于D，点P是线段CD上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角△PBE，连接DE，则DE的最小值为．6．（2019•东莞市模拟）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．二．种瓜得瓜（单线段最值）1．（2018•周村区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．2．如图，已知点A（3，0），C（0，﹣4），⊙C的半径为，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值＝．3．（2019秋•邗江区校级月考）如图，点O为原点，⊙O的半径为1，点A的坐标为（2，0），动点B在⊙O上，以AB为边作等边△ABC（顺时针），则线段OC的最小值为．4．（2018•镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A．B．C．D．5．（2017•徐州）如图，已知二次函数y＝x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝．6．如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A（2﹣，0），B（2+，0）两点，D 是劣弧AB上一点，且＝．（1）求⊙M的半径；（2）P是⊙M上一个动点，若以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形，求∠PAD的度数；（3）如图2，点Q是⊙M上一个动点，点N为OQ的中点，连接CN，当点Q在⊙M上运动时，CN的最大值为多少？7．（2018•南通）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．8．（2019•铜山区一模）已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R．（1）b＝；c＝；（2）当△EFR周长最大时．①求此时点E点坐标及△EFR周长；②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，直接写出HQ的最大值为；（3）连接CE、BE，当△ERC∽△BRE时，求出点E点坐标．。
2024年中考数学考点必备方法必备05 压轴大题几何中的最值问题(原卷版)
方法必备05压轴大题几何中的最值问题（5种题型40题专练）题型一：圆中的最值问题（9题）题型二：胡不归模型（11题）题型三：阿氏圆模型（5题）题型四：瓜豆原理（4题）题型五：将军饮马模型（11题）题型一：圆中的最值问题（9题）1．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆O 中，直径10AB ，点C ，D 在半圆O 上运动，弦5CD ．（1）如图1，当 AC BD时，求证：CAB DBA ；（2）如图2，若22.5DAB ，求图中阴影部分（弦AD 、直径AB 、弧BD 围成的图形）的面积；（3）如图3，取CD 的中点M ，点C 从点A 开始运动到点D 与点B 重合时结束，在整个运动过程中：点M 到AB 的距离的最小值是．2．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点(,0)A r ，(,0)B r ．点P 为平面内一点（不与点A ，点B 重合），若ABP 是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为线段AB 的直点．（1）若1r ，①在点111(,22P ，2(0,1)P ，3(1,1)P 这三个点中，点是线段AB 的直点；②点P 为线段AB 的直点，点(1,1)C ，求CP 的取值范围；（2）点D 在直线1y x 上，若点D 的横坐标D x 满足24D x ，点P 为线段AB 的直点，且1DP ，直接写出r 的取值范围．3．（2022•舟山二模）如图，已知6AC cm ，90GAC ，AD 是GAC 的平分线．动点N 从点C 出发，以1/cm s 的速度沿CA 水平向左做匀速运动，与此同时，动点M 从点A 出发，也以1/cm s 的速度沿AG 竖直向上做匀速运动．连接MN ，交OD 于点E ．经过A ，M ，N 三点作圆，交AD 于点F ，连接FM 、FN ．设运动时间为()t s ，其中06t ．（1）用含t 的代数式表示线段MN 的长，并求MN 的最小值．（2）求四边形AMFN 的面积．（3）是否存在实数t ，使得线段AE 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．4．（2022•常州模拟）如图，半圆O 的直径4AB ，以长为2的弦PQ 为直径，向点O 方向作半圆M ，其中P 点在AQ 上且不与A 点重合，但Q 点可与B 点重合．（1）计算：劣弧PQ 的长；（2）思考：点M 与AB 的最大距离为，此时点P ，A 间的距离为；点M 与AB 的最小距离为．（3）探究：当半圆M 与AB 相切时，求 AP 的长．（注：结果保留 ，cos353 ，cos55)35．（2022•灞桥区校级三模）问题提出：（1）如图①，已知点C到直线AB的距离是5，以C为圆心、2为半径作圆，则C上一点到直线AB的最小距离为．问题探究：（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则求CG的最小值．问题解决：（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD，10，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E，连ED，AD mAB m，20过点A 作AF ED ，交DE 于点F ，在FD 上截取3FP AF ，连接PB 、PC ；现需在PBC 的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：3 1.7)6．（2023•南海区一模）如图1，在矩形ABCD 中，12AD ，8AB ，点E 在射线AB 上运动，将AED 沿ED 翻折，使得点A 与点G 重合，连接AG 交DE 于点F ．（1）【初步探究】当点G 落在BC 边上时，求BG 的长；（2）【深入探究】在点E 的运动过程中，BG 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，点P 为BG 的中点，连接AP ，点E 在射线AB 上运动过程中，求AP 长的最大值．7．（2023•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，ON ．的半径为1，M为O上一点，点(0,2)对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90 ，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P 的“对应点”．（1）如图，已知点(0,1)P，点Q为点P的“对应点”．M，点(4,0)①在图中画出点Q；②求证：OQ ；（2）点P在x轴正半轴上，且(1)OP t t，点Q为点P的“对应点”，连接PQ，当点M在O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积（用含t的式子表示）．8．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M ，N 可以重合）使得2AM BN ，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系．（1）如图1，点C 0)，(0,1)D ，(0,1)E ，点P 在线段CE 上运动（点P 可以与点C ，E 重合），连接OP ，DP ．①线段OP 的最小值为，最大值为；线段DP 的取值范围是；②在点O ，点D 中，点与线段DE 满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，O 的半径为1，线段FG 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点F ，G ，且//FG EC ，若线段FG 与O 满足限距关系，求点F 横坐标的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r ，点H ，K 是O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，2为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H，K，H都满足限距关系，直接写出r的取值范围．和K9．（2022•雁塔区校级二模）问题提出：（1）如图1，点B、C在O于点E，连接BE、CE，，交BC于点A，交O上且2BC ，过点O作OE BC若30，则线段AE的长度为．CBE问题探究：（2）如图2，在ABC，求边AC长度的最大值；中，2BACBC ，45问题解决：AD、CD和绿（3）如图3，某城市拟在河流m、n所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB、化带BC四部分构成．其中B、C两定点间的距离为2000米．根据规划要求，A、D两点间的距离为600米，A、与D两点到直线BC的距离相等， AD的中点E到BC的距离比点A到BC的距离多米；若修建时需保证B的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值．若不存在，请说明理由．（结C果保留)题型二：胡不归模型（11题）1．（2023•湘潭县三模）如图，抛物线23(0)y ax bx a 与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为y 轴上一个动点，连接BP ，求10BP 的最小值；（3）连接AC ，在x 轴上是否存在一点P ，使得45PCO ACO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•徐州二模）抛物线23y x bx 与直线1y x 相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在x 轴的负半轴上．（1）求抛物线的函数表达式及顶点D 的坐标；（2）如图1，直线AB 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PH AB 于点H ，求垂线段PH 的最大值；（3）如图2，当点P 运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP ，交抛物线的对称轴于点M ，当5AM 最小时，直接写出此时AP 的长度．3．（2022•仁寿县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连接BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求13HF FP PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，13HF FP PC 取得最小值时，把点P 个单位得到点Q ，连接AQ ，把AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度(0360) ，得到△A OQ ，其中边A Q 交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得Q Q OG ？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021•津南区一模）已知抛物线22y x x c 交x 轴于A ，B 两点，且点B 的坐标为(3,0)，其对称轴交x 轴于点C ．（Ⅰ）求该抛物线的顶点D 的坐标；（Ⅱ）设P 是线段CD 上的一个动点（点P 不与点C ，D 重合）．①过点P 作y 轴的垂线l 交抛物线（对称轴右侧）于点Q ，连接QB ，QD ，求QBD 面积的最大值；②连接PB ，求PD 的最小值．5．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a 与y 轴相交于点(0,2)C ，与x 轴分别交于点(3,0)B 和点A ，且tan 1CAO ．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在一点Q ，使得BAQ ABC ，若存在，请求出点Q 坐标，若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴交x 轴于点D ，在y 轴上是否存在一个点P ，PD 值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．6．（2021•惠山区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点A 的坐标为(1,0) ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）填空：a ，点B 的坐标是；（2）连接BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MNF 的周长取得最大值时，求12FP PC 的最小值；（3）在（2）中，当MNF 的周长取得最大值时，12FP PC取得最小值时，如图2，把点P 向下平移3个单位得到点Q ，连接AQ ，把AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度(0360) ，得到△A OQ ，其中边A Q 交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得GQ OG ？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•红桥区模拟）已知抛物线2(y ax bx a ，b 为常数，0)a 与x 轴的正半轴交于点A ，其顶点C 的坐标为(2,4)．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求PAC 面积的最大值；（Ⅲ）点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA ，求QC 的最小值．8．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线2y 交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y 经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．（1）求A，B两点的坐标；（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM的最小值及此时点M的坐标；（3）连接BC，当AOM相似时，求出点M的坐标．与ABC9．（2021•青山区模拟）已知抛物线2412y ax ax a 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且32OC OA ．设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点(,)E m n 为抛物线上的一点，且06m ，连接AE ，交对称轴于点P ．点F 为线段BC 上一动点，连接EF ，当2PA PE 时，求1210EF BF 的最小值．（3）如图2，过点M 作MQ CM ，交x 轴于点Q ，将线段CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围．10．（2021•番禺区一模）如图，ABC 中，120A ，AB AC ，过点A 作AO AC 交BC 于点O ．（1）求证：13BO BC ；（2）设AB k ．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA ．连接DP ，求CPD S ．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ ，在点Q 运动过程中，求2AQ OQ 的最小值．11．（2023•南山区三模）如图，在ACE中，CA CE，30CAE，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当12CD OD的最小值为6时，求O的直径AB的长．题型三：阿氏圆模型（5题）1．（2023•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，90C，过点C作//CD AB交过点B的直线于点D，30ABD，直线BD交AC于H．（1）如图1，若2AB ，求BD的长；（2）如图2，过点A作AG BD交BD于点G，交BC的延长线于E，取线段AB的中点F，连接GF，求证：GF BH．（3）在（2）的条件下，过点D作DP AB交AB于点P，若点M是线段GF上任一点，连接BM，将BGM沿BM折叠，折叠后的三角形记为△BG M ，当2AG DG取得最小时，直接写出tan PDG的值．2．（2022•成都模拟）在ABC中，90CAB，AC AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90 得到BE ，连接CE ，交AB 于点F ．（1）如图1，若75ABE ，4BD ，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H ．若30ABD ，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4AB ，D 为AC 的中点，将ABD 绕点B 旋转得△A BD ，连接A C 、A D ，当2A D A C 最小时，求A BC S ．3．（2022•市中区校级模拟）如图，在ABC 与DEF 中，90ACB EDF ，BC AC ，ED FD ，点D 在AB 上．（1）如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D 与点A 重合，且AC 4DE ，将DEF 绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG 的最小值；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME ，请直接写出ND CN 的值．4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，ADE 为等边三角形．（1）若点E 为BD 的中点，4AD ，5CD ，求BCE 的面积；（2）如图2，若BC CD ，点F 为CD 的中点，求证：2AB AF ；（3）如图3，若//AB CD ，90BAD ，点P 为四边形ABCD 内一点，且90APD ，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ ．当AB ，AD tan 2ABC 时，求10CQ BQ 的最小值．5．（2022•从化区一模）已知，AB 是O 的直径，AB ，AC BC ．（1）求弦BC 的长；（2）若点D 是AB 下方O 上的动点（不与点A ，B 重合），以CD 为边，作正方形CDEF ，如图1所示，若M 是DF 的中点，N 是BC 的中点，求证：线段MN 的长为定值；（3）如图2，点P 是动点，且2AP ，连接CP ，PB ，一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，到达点B 后停止运动，求点Q 的运动时间t 的最小值．题型四：瓜豆原理（4题）1．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个点M ，N 满足PM 且90MPN ，则称点P 是图形W 的关联点．已知点(A 0)，(0,2)B ．（1）在点1(P 1) ，2(P ，3)，3(P 2) 中，是线段AB 的关联点；（2）T 是以点(,0)T t 为圆心，r 为半径的圆．①当0t 时，若线段AB 上任一点均为O 的关联点，求r 的取值范围；②记线段AB 与线段AO 组成折线G ，若存在4t ，使折线G 的关联点都是T 的关联点，直接写出r 的最小值．2．（2022•沈阳）【特例感知】（1）如图1，AOB 和COD 是等腰直角三角形，90AOB COD ，点C 在OA 上，点D 在BO 的延长线上，连接AD ，BC ，线段AD 与BC 的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的COD 绕着点O 顺时针旋转(090) ，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若8AB ，点C 是线段AB 外一动点，AC ，连接BC ．①若将CB 绕点C 逆时针旋转90 得到CD ，连接AD ，则AD 的最大值是；②若以BC 为斜边作Rt BCD(B ，C ，D 三点按顺时针排列），90CDB ，连接AD ，当30CBD DAB 时，直接写出AD 的值．3．（2023•崖州区一模）若4AC ，以点C 为圆心，2为半径作圆，点P 为该圆上的动点，连接AP ．（1）如图1，取点B ，使ABC 为等腰直角三角形，90BAC ，将点P 绕点A 顺时针旋转90 得到AP ．①点P 的轨迹是（填“线段”或者“圆”)；②CP 的最小值是；（2）如图2，以AP 为边作等边APQ （点A 、P 、Q 按照顺时针方向排列），在点P 运动过程中，求CQ 的最大值．（3）如图3，将点A 绕点P 逆时针旋转90 ，得到点M ，连接PM ，则CM 的最小值为．4．（2021秋•武昌区期末）如图1，在ABC 中，BE 平分ABC ，CF 平分ACB ，BE 与CF 交于点D ．（1）若74BAC ，则BDC ；（2）如图2，90BAC ，作MD BE 交AB 于点M ，求证：DM DE ；（3）如图3，60ABC，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，，80BAC连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90 得GN，NG MG的，连接DN，当DN最短时，直接写出MGC度数．题型五：将军饮马模型（11题）1．（2023•巧家县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点(0,)A a 在y 轴正半轴上，点(,0)B b 在x 轴正半轴上，AB AD 且AB AD ，2|4|(3)0a b ．（1）求线段AB 的长；（2）若点P 为y 轴上的一个动点，则当PB PD 最小时，点P 的坐标为．2．（2023•陕西模拟）如图，ABC 的顶点坐标为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C ．（1）画出ABC 关于y 轴对称的△111A B C （点1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对应点）；（2）在x 轴上找一点Q ，使QA QB 的值最小．3．（2023•南关区校级模拟）图①、图②均是77 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①的线段AC上画一点D，使得:2:3AD DC ；（2）在图②中，画ABC的高BE；（3）在图②中，若点P、Q分别为线段BE、AB上的动点，连接PA、PQ，当PA PQ取最小值时，画出点P、Q的位置．4．（2023•广阳区二模）探索与发现．小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：如图，在边长为6的正方形ABCD的AB边上取定点E，使2AE ，在AD边上设置动点P，连接PE，以PE为边在AB的上方作正方形PEFG，连接AF，BF．（1）小张同学通过观察发现图中APE FEB，请给出证明；（2）探索过程中发现，在点P的运动过程中，AFB的面积是个定值，请证明并求出这个定值；（3）进一步探索后发现，随着点P的运动，AFB的周长会随着点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出AFB周长的最小值．5．（2022•内黄县二模）如图，在ABC，以AB为直径作O，交AC于点D，过BAC，30中，90ABC点D作O的切线DM交BC于点M．（1）求证：CM BM．（2）若AD ，P为AB上一点，当PM PD为最小值时，求AP的长．6．（2023•卧龙区二模）综合与实践问题提出（1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA PB的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；思维转换（2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，6MN ，连接ME，的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN看作静线段，NE，求ME NE则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME NE的最小值；拓展应用（3）如图③，在矩形ABCD中，22，AD AB，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE AF分别过点E、F作EM BD，FN BD周长的最小，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出AMN值．7．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．8．（2022•碑林区校级一模）（1）如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP BP的值最小；（不需要说明理由）（2）如图②，60的周长是否内一定点，5OP ，点E，F分别在OA，OB上，PEF ，点P为AOBAOB存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；OC ，点H为OA边上的一点（3）如图③，已知四边形OABC中，90BC ，，2A CB，1503且4的周长是OH ，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，EFP否存在最小值？若存在，请求出EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由．9．（2022•安国市一模）[问题提出]初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识 常可利用它们来解决“最值问题”．[简单运用]（1）如图1，在ABC 中，6AB ，60A ，45B ，在BC 上取一点D ，则AD 的长的最小值是．[综合运用]（2）如图1，在ABC 中，6AB ，60A ，45B ，在BC 、AB 、AC 上分别取点D 、E 、F ，使得DEF 的周长最小．画出图形确定D 、E 、F 的位置，并直接写出DEF 的周长的最小值．[拓展延伸]（3）图2是由线段AB 、线段AC 、 BC组成的图形，其中60A ，6AB ，3AC ， BC 为60 ，分别在 BC 、线段AB 和线段AC ．上取点D 、E 、F ，使得DEF 的周长最小，画出图形确定D 、E 、F 的位置，并直接写出DEF 的周长的最小值．10．（2022•西山区一模）如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知点(3,0)A ，抛物线的最低点的坐标为(1,4) ．（1）求出该抛物线的函数解析式；（2）如图1，线段BC 绕点C 逆时针旋转90 得到线段CD ，CD 与抛物线相交于点E ，求点E 的坐标．（3）如图2，点M ，N 是线段AC 上的动点，且MN ，求OMN 周长的最小值．11．（2022•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线2132y x 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，过点B 作BC 的垂线，交对称轴于E ．（1）如图1，点P 为第一象限内的抛物线上一动点，当PAE 面积最大时，在对称轴上找一点M ，在y 轴上找一点N ，使得OM MN NP 最小，求此时点M 的坐标及OM MN NP 的最小值；（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D ，点A的对应点A ，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将FBC沿BC翻折，使点F落在点F 处，在平面上找一点G，使得以A 、D 、F 、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D 的坐标．。
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题(瓜豆原理与隐形圆问题专题练习)(无答案)
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题（瓜豆原理与隐形圆问题专题练习）1.如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．2. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．3. 如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．4. △ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于O A B C DEF点O ，则线段AO 的最大值为_____________．5. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．6. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点BAB CDE OA在y 轴上运动时，求OP 的最小值．4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．9. 如图，在反比例函数2y x =-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为________．10. 如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．GA B CDE F11. 如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．12. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．13.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A CD PA BC P AB C E FP14. 已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．15. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．17. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，求Q 点轨迹.E FA B CD PPAB CF EDC B A18. 如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，求Q点轨迹.。
2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析
重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。
1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。
2020中考数学复习专题：用瓜豆原理解决最值问题
2020中考数学复习专题：用瓜豆原理解决最值问题在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q 之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．一.轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？A OQP【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．PQA MO【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】1.如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．2.如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．3.如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．4.△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二.轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）1.如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P 在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．3.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GABCDEF【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三.轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．1.如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。