在探究中激发学生的运算潜能——记一道高考题的教学功能
唯有源头活水来——数学高考试题与教材探究
唯有源头活水来——数学高考试题与教材探究教材中的例题、课后习题是高考试题的重要来源之一。
纵观近几年数学高考试题，大多都是课本中的例题、习题或者例题、习题的改编，源于课本而高于课本。
因此我们在教学中要善于利用课本资源，引导学生对课本中的例题、习题进行深入探究，从而提高学生高考应试能力。
下面通过一些例子说明全国各地每年高考试题无论形式还是方法上很多都来源于课本。
一、高考试题与教材的若干探究例1.（2012年高考数学全国卷理科第8题）已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在双曲线C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）。
A. B. C. D.（人教版数学选修2-1第57页习题）已知F1、 F2为双曲线3x2-5y2=15的两个焦点，点A 在双曲线上，且△F1AF2的面积等于22，求∠F1AF2的大小。
这两个题目都要用双曲线的定义及标准方程和解三角形中的余弦定理来解决，考查内容和考查方法一样。
例2.（2015年高考数学广东卷理科第3题）若变量满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=（）。
A.8B. 7C. 6D. 5（人教版数学必修5第91页习题）求z=2x+y的最大值，使满足约束条件。
这两个题目的题干内容一样，只是课本习题只求最大值，而高考题要求计算最大值与最小值之差，求解思路和过程一致。
二、数学高考复习的几点建议1.立足课本，回归基础。
目前很多教师在进行高考复习时都有一个误区就是：在复习课中偏爱各类参考资料，而将课本抛在一边，结果导致学生对课本中的概念、基本属性、思想、方法模糊不清，基本公式的来龙去脉不甚知晓，对通性通法不熟练，从而导致不必要的失分。
因此，教师在复习中首先要以课本为主，各类参考资料为辅。
这样，才能引导学生回归课本，重视课本，减少因课本不熟而丢分。
2.要以《考试说明》为向导，使知识体系框架化、网络化。
《考试说明》规定了考试的性质、内容和对每一部分内容要求的程度，以及考试的形式和试卷结构。
教师做高考题对教学的帮助
教师做高考题对教学的帮助
教师做高考题对教学有着多方面的帮助，这包括提高教学质量、促进学生学习、了解考试趋势等方面的影响：
1.了解考试重点：通过做高考题，教师可以更好地了解考试的命题思路、题型分布和考察知识点的重点。
这有助于教师调整教学计划，更有针对性地教授相关知识，提高学生的应试能力。
2.评估教学效果：高考题目往往对学科知识有全面的覆盖，教师可以通过自己做题目的方式，评估学科知识的掌握程度，并根据评估结果调整和改进教学方法，提高教学效果。
3.培养解题思维：教师通过做高考题，不仅能够熟悉题型，还能够深入理解解题思路。
这有助于教师培养学生的解题思维，引导他们更好地应对各类考试题目。
4.为学生提供示范：教师做高考题可以为学生提供解题的示范过程，展示正确的解题思路和方法。
这有助于学生理解解题的逻辑，提高他们的解题技能。
5.及时纠正错误观念：在做高考题的过程中，教师可能会发现一些学科知识点或解题思路上的错误观念。
及时纠正这些错误观念对于提高学生的学科素养非常重要。
6.激发学生兴趣：通过教师的热情参与，将高考题目融入教学中，可以激发学生对学科的兴趣。
这有助于提高学生的学科自觉性和主动性。
总的来说，教师做高考题对于提高教学质量、引导学生学科学习、促进解题能力等方面都具有积极的帮助作用。
教学中“一题多解”对数学核心素养的培养———以2022_年高考数学比大小为例
教学中 一题多解 对数学核心素养的培养以２０２２年高考数学比大小为例周宗全㊀闫化宇(莘县第一中学ꎬ山东聊城２５２４００)摘㊀要: 一题多解 是培养数学能力的一种行之有效的方法.将 一题多解 恰当地融入高中数学教学中ꎬ从多角度探讨解题规律ꎬ有助于学生掌握解题技巧ꎬ提高解题能力.关键词:一题多解ꎻ多解一题ꎻ不等式ꎻ泰勒公式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３３－００２１－０３收稿日期:２０２３－０８－２５作者简介:周宗全(１９８３.３－)ꎬ男ꎬ山东省潍坊人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究ꎻ闫化宇(１９９５.１０－)ꎬ男ꎬ河南省濮阳人ꎬ研究生ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２２年高考试卷考点分布合理ꎬ总体难度有所增加ꎬ但未出现偏㊁难㊁怪的题目ꎬ以«普通高中数学课程标准»为依据ꎬ以«中国高考评价体系»为最高原则ꎬ发挥出了数学科目选拔人才的作用.要求考生立足于教材ꎬ不拘泥于教材ꎬ活用教材ꎬ注重知识点之间的关联㊁融合㊁升华ꎬ搭建知识体系ꎬ渗透数学思想方法[１].以常规解法为基础ꎬ充分运用一题多解.文章通过对２０２２年高考数学卷中比大小类型的题目进行分析和整合ꎬ培养学生发散思维和通性通法解题的能力.１真题再现２０２２年全国新高考数学Ⅰ卷７题ꎬ设ａ＝０.１ｅ０.１ꎬｂ＝１９ꎬｃ＝－ｌｎ０.９ꎬ比较大小.２解法展示比大小题目为高考常规题目ꎬ为了考查学生对于函数的综合运用能力ꎬ题目基本告别了 三段式 的结论ꎬ要求学生需具备构造函数㊁利用导数㊁函数放缩等多方面的解题方法和能力[２].２.１常规解法比大小ꎬ一般采取作商㊁作差的方法ꎬ其中会用到构造函数的思想.以真题为例.其具体步骤如下:细审题ꎬ发现ａꎬｂꎬｃ的共性ꎬ都与０.１有关联.巧构造ꎬ利用构造函数判断其单调性ꎬ利用导数法和初等函数的单调性进行判断.构造函数ｕ(ｘ)＝ｘｅｘ(０<ｘɤ０.１)ꎬｖ(ｘ)＝ｘ１－ｘ(０<ｘɤ０.１)ꎬｗ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)(０<ｘɤ０.１)ꎬ则当０<ｘɤ０.１时ꎬｕ(ｘ)>０ꎬｖ(ｘ)>０ꎬｗ(ｘ)>０.首先设ｆ(ｘ)＝ｌｎ[ｕ(ｘ)]－ｌｎ[ｖ(ｘ)]＝ｘ＋ｌｎ(１－ｘ)(０<ｘɤ０.１)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｘ１－ｘ<０在(０ꎬ０.１]上恒成立ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递减ꎬ则ｆ(０.１)<０＋ｌｎ(１－０)＝０ꎬ即ｌｎ[ｕ(０.１)]<ｌｎ[ｖ(０.１)]ꎬ又因ｌｎｘ在(０ꎬ¥)上单调递增ꎬ所以ｕ(０.１)<ｖ(０.１)ꎬ则０.１ｅ０.１<０.１１－０.１＝１９ꎬ即ａ<ｂꎬ排除Ｂ.接下来ꎬ我们需比较ａꎬｃ的大小ꎬ可采取作差法进行比较.设ｇ(ｘ)＝ｕ(ｘ)－ｗ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ｌｎ(１－ｘ)(０<ｘɤ０.１)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ－１１－ｘ(０<ｘɤ０.１)ꎬ再设ｈ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ－１(０<ｘɤ０.１)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝(１－２ｘ－ｘ２)ｅｘ>０在(０ꎬ０.１]上恒成立ꎬ即ｈ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递增的ꎬ所以ｈ(ｘ)>(１－０２)ˑｅ０－１＝０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ０.１]上恒成１２立ꎬ所以ｇ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递增ꎬ所以ｇ(０.１)>０ˑｅ０＋ｌｎ(１－０)＝０ꎬ即ｕ(０.１)－ｗ(０.１)>０ꎬ则ａ>ｃ.综上所述ꎬ可判断ｃ<ａ<ｂ.在判断ａꎬｂ大小时ꎬ可采用作商法ꎬ判断比值与１的大小关系ꎬ具体解法不再赘述.２.２放缩法高中阶段常见放缩公式有:ｅｘȡｘ＋１>ｘ>ｘ－１ȡｌｎｘ>１－１ｘ１２(ｘ－１ｘ)<ｌｎｘ<２(ｘ＋１)ｘ＋１ꎬ(０<ｘ<１)２(ｘ－１)ｘ＋１<ｌｎｘ<１２(ｘ－１ｘ)ꎬ(ｘ>１)三角函数放缩:ｔａｎｘ>ｘ>ｓｉｎｘ(０<ｘ<π２)ꎬｓｉｎｘȡｘ－１２ｘ２ꎬ１－１２ｘ２ɤｃｏｓｘɤ１－１２ｓｉｎ２ｘ以真题为例ꎬ其具体步骤如下:先比较ｂꎬｃꎬ先进行一些变形ꎬｂ＝１９＝１０９－１ꎬｃ＝－ｌｎ９１０＝ｌｎ１０９ꎬ根据公式ｘ－１ȡｌｎｘꎬ可得出ｂ>ｃ.再比较ａꎬｂꎬ先将ａꎬｂ扩大十倍分别变为ｅ０.１ꎬ１０９ꎬ再同时取其倒数１ｅ０.１＝ｅ－０.１ꎬ９１０＝－０.１＋１ꎬ根据ｅｘȡｘ＋１ꎬ得ｅ－０.１>－０.１＋１ꎬ则ａ<ｂ.最后比较ａꎬｃꎬ根据公式ｅｘ＋１ȡｘ＋１ꎬｌｎｘ<１２(ｘ－１ｘ)ꎬ(ｘ>１)ꎬ则ａ＝０.１ｅ０.１>０.１(０.１＋１)＝０.１１ꎬｃ＝ｌｎ１０９<１２(１０９－９１０)<０.１１ꎬ则ａ>ｃ.前两种方法较为常规ꎬ但不难看出前两种方法需要学生具备较强的逻辑能力ꎬ考场压力下会消耗大量时间ꎬ所以在平常的训练中还是推荐通法ꎬ但课下还是可以了解一下其他解法和原理.我们知道对于非特殊的指数和对数一般很难算出它们的值ꎬ但我们可借助高等数学和其他领域的知识ꎬ从而快速求解这类题目.接下来我们将采取 泰勒公式 和 帕德逼近 方法求解此题.２.３帕德逼近泰勒展开是一种很好的逼近方法ꎬ对许多函数都有很好的效果ꎬ然而ꎬ有时泰勒展开对某些带极值的函数逼近的效果不尽如人意ꎬ本质原因是因为多项式级数的局限性.为此ꎬ我们可以考虑用分式来逼近函数ꎬ也就是所谓的分式逼近ꎬ一种常用的分式逼近方法为帕德逼近ꎬ帕德近似(Ｐａｄｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ)是一种特殊的有理数逼近的一种方法ꎬ是一种非线性近似方法[３].帕德近似往往比截断的泰勒级数准确ꎬ而且当泰勒级数不收敛时ꎬ帕德近似往往仍然可行ꎬ以下列举了两种对数和指数的转换方式.这种方法比泰勒展开收敛速度更快.主要应用于计算机数学领域ꎬ但对于高中函数方面有一定的作用ꎬ学生和教师可以适当地了解一下ꎬ拓展自己的知识领域.ｌｎ(１＋ｘ)ʈ３ｘ２＋６ｘｘ２＋６ｘ＋６ｘɪ(－１ꎬ１)ꎬｅｘʈｘ２＋６ｘ＋１２ｘ２－６ｘ＋１２ｘɪ(－１ꎬ１)以第一题为例ꎬ其具体步骤如下:通过计算可得ａ＝０.１ｅ０.１＝０.１ˑ０.１２＋６ˑ０.１＋１２０.１２－６ˑ０.１＋１２ʈ０.１１０５１７０９ｃ＝－ｌｎ０.９＝－３ˑ(－０.１)２＋６ˑ(－０.１)(－０.１)２＋６ˑ(－０.１)＋６ʈ０.１０５３６０４.２.４背数法在高中数学阶段ꎬ熟记一些常见的特殊值也是必不可少的ꎬ对于一些题目的解答会带来不错的效果.下面根据题目进行变换ꎬ利用一些常见的数值带入比较其大小.常见的对数有:ｌｎ２ʈ０.６９３ꎬｌｎ３ʈ１.０９８ꎬｌｎ５ʈ１.６０９以真题为例ꎬ其具体步骤如下:对于ｃ:进行转变－ｌｎ０.９＝－ｌｎ９１０＝ｌｎ１０－ｌｎ９＝ｌｎ２＋ｌｎ５－２ｌｎ３ʈ０.１０６ꎬ对于ａꎬｂ我们易知都是大于０.１１ꎬ如何比较ａꎬｂ?因为ａ中出现了ｅꎬ我们可以考虑同取对数ꎬｌｎａ＝ｌｎ(０.１ｅ０.１)＝ｌｎ０.１＋ｌｎｅ０.１＝ｌｎ１１０＋１１０＝１１０－ｌｎ１０＝０.１－ｌｎ２－ｌｎ５ʈ－２.２０２ꎬｌｎｂ＝ｌｎ１９＝－２ｌｎ３ʈ－２.１９６ꎬ故ｌｎｂ>ｌｎａꎬ因为ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ在定义域中单调递增ꎬ所以ｂ>ａ.综上:ｂ>ａ>ｃ.２２背数法固然可行ꎬ但对于有些题目无法化简成特殊数的形式ꎬ所以此方法适合一部分题目ꎬ不适合全部比较大小的题目.３一题多解的意义通过观察可以看出比大小题目类型多ꎬ方法不唯一ꎬ每种方法都有优缺点ꎬ所以一题多解的应用意义重大.现阶段高中数学教学中ꎬ存在教学方法不合理的情况ꎬ从而限制了学生思维的开发ꎬ也不利于学生学习高中数学.比如题海战术ꎬ该学习的方式是让学生通过做大量的习题来熟悉并掌握相关知识ꎬ但这种学习方式却给学生造成了很大的学习负担和时间压力ꎬ甚至导致部分学生厌恶学习数学ꎬ认为数学是一门既浪费时间ꎬ又收获不大的科目.学生机械性地去做老师布置的题目ꎬ没有时间对其所做的题目进行认真思考和总结ꎬ导致对需要掌握的知识不深入不具体.此外ꎬ很多学生受到此类教学方法的影响ꎬ导致学生的学习方法也会有一定的限制.很多学生只寻求一种解题方法ꎬ就认为已经满足自己对此模块知识的掌握要求ꎬ并未认真考虑是否有其他简便快捷的解题方式[４].因此ꎬ一题多解的教学思路应当在高中数学教学阶段普及ꎬ同时让学生从中获得更大的收获.４一题多解ꎬ发散思维ꎬ提高能力高中数学新课标指出ꎬ培养学生的数学思维能力是全面培养数学能力的主要途径ꎬ数学是思维的体现ꎬ解决问题是学习数学的目的.发散思维是一种不依常规㊁寻求变异㊁从多方面寻求答案的思维方式.这种思维方式ꎬ不受现代知识的局限ꎬ不受传统知识的束缚ꎬ与创造力有着直接联系ꎬ是创造性思维的核心.培养发散思维能力既是培养学生创造力的重要环节ꎬ也是发展其个性的有效手段.在数学科目上ꎬ一题多解是训练㊁培养学生思维能力的一种行之有效的教学方式ꎬ是让学生跳出单一思维模式ꎬ多种角度㊁多个方位地审视㊁分析问题ꎬ从而达到解决问题的目的.它能充分调动学生自行解决问题的主动性㊁积极性ꎬ让学生全方位地思考解题的多种方法ꎬ不断开发解题潜能.用问题促进思维的发展即通过合理设计疑问ꎬ以促进学生自身思维多方向㊁多角度的发展.在训练发散思维时ꎬ教师要注意使设计的问题既达到了激疑目的ꎬ又具有一定的开放性.用变化求得发散思维.在课本习题的基础上ꎬ通过变式进行训练ꎬ努力挖掘教材知识的深度和广度ꎬ寻求思维的发散点ꎬ结合已学和拓展的知识ꎬ从不同角度出发ꎬ寻找题目的最优解.教师需精心设计每一堂课ꎬ通过一步步的变式探究ꎬ一步步的引导ꎬ使学生在课堂上处于一种探究㊁探索的状态ꎬ通过多角度探究达到训练学生发散思维的目的.教师需转变教学思路ꎬ注重学生讨论环节.在很多情况下ꎬ学生之间具有互相启发的作用ꎬ他们之间的相互交流沟通ꎬ可使解题思路得到有效的分享.为了促进学生学习进步ꎬ教师应当采用学生分组合作学习的方式ꎬ小组成员之间共同探讨㊁交流解答教师所布置的任务以及有几种方法可以解答题目等ꎬ将多个学生的思维整合到一起ꎬ再以小组为单位展开探讨.这种方式既能烘托学习氛围ꎬ又能激发学生的求知欲望ꎬ学生学习数学的热情高涨ꎬ从而提高学生的学习效率ꎬ达到全体学生相互帮助㊁相互促进学习的目的ꎬ同时加深学生对一题多解的学习方式ꎬ逐渐使其养成良好的学习习惯[５].总而言之ꎬ熟练运用一题多解和多解一题是学生高中阶段不可或缺的能力ꎬ教师需提高自身教学能力和教学水平ꎬ丰富自身知识领域ꎬ从而优化学生综合素质ꎬ提高解题效率.参考文献:[１]都亦.高中数学 一题多解 的学习心得[Ｊ].中国校外教育ꎬ２０１６(３５):４１－４２.[２]何长斌.例谈高中数学习题课中的 一题多变㊁一题多解 教学策略[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０１５(１１):２６.[３]赵鲁辉.高中数学教学中 一题多解 对学生思维能力的培养[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(１９):８６－８７. [４]秦曾复ꎬ朱学炎.数学分析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ１９９１.[５]蒋翠云.ｐａｄé逼近方法[Ｊ].阜阳师范学院学报(自然科学版)ꎬ１９９７(０４):４２－４４ꎬ２９.[责任编辑:李㊀璟]３２。
新课标新教材新高考背景下的高中数学教学研究
新课标新教材新高考背景下的高中数学教学研究【摘要】在当前新时代的背景之下，高中新课程改革正在进入一个新的阶段，2022 年前全国普通高中将全面实施新课程、新教材。
这一改革政策的实施，必将对高中学校教育教学管理提出新的要求，带来新的挑战。
面对这一影响深远的高考制度改革，作为高中一线教师应该如何应对变革，是目前亟待解决的重要问题。
【关键词】新课标；新高考；高中数学；教学研究新高考政策的出台与实施，对高中教师提出了全新的挑战，教师要不断调整教学方式，以满足新高考要求和高中生的学习需求。
对于数学教师来说，其所面临的挑战更多，新高考的实施以及新教材的编写要求教师更加注重对学生学科核心素养的培养，要不断创新教学方法，逐步提高学生的数学能力与核心素养，帮助学生从容应对高考。
针对此，笔者在本文详细阐述了如何在新课程、新教材与新高考背景下开展数学课堂教学活动。
一、高中数学教学的现状和不足(一)课程内容实用性不强长期以来，高中数学教学内容注重教材内容，围绕高考大纲，大多数是以单纯的理论知识讲解为主，辅助一定的习题练习来完成。
存在教学内容与实际运用之间脱节的问题。
在即将到来的新高考时代，这样的教学模式在教学内容和整体思路上存在明显的僵化和滞后。
同时，数学教学与其他学科之间的沟通联系很少，没有很好地体现数学作为基础性学科的作用。
(二)教学方式创新性不强传统的课堂以教师讲授、学生接受为主，整个教学过程中，教师直接掌控课堂的内容和教学的进行，学生只是被动接受，师生的互动交流很少。
而对于数学这种理论性、抽象性很高的学科，这种一边倒的单向知识传输方式，很容易让学生产生疲劳厌倦情绪，进而逐步降低学习数学的兴趣和动力。
(三)训练方式灵活性不强目前的数学学科课后训练主要以题海战术为主，用大量的习题训练实现教学内容的巩固提高。
但这种机械性和重复性太强的训练方式，容易造成学生学习积极性和主动性的减弱，也会制约学生创造性思维的发展。
二、新课标新教材新高考背景下的高中数学教学研究(一)注重问题探究高中数学题目难度比较大、逻辑性比较强，学生仅仅依靠死记硬背公式、定理是无法灵活解决数学问题的，而是需要有技巧、有方法地分析数学问题，由此，教师需要注重问题探究，以此来激发学生的自主思考能力，养成良好的探究、思考习惯。
学习数学史 欣赏数学美——基于新课程数学教师提升“数学文化”素养的策略管见
Teachinginnovation 教学创新Cutting Edge Education 教育前沿 223学习数学史 欣赏数学美——基于新课程数学教师提升“数学文化”素养的策略管见文/段尔超摘要：《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出教师要注重在数学教学中数学文化的渗透，不断引导学生认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
数学拥有璀璨而漫长的历史，站在历史的角度学习数学文化，教师将更能领悟会数学文化的本质；站在审美的角度学习数学文化，教师将更能感悟数学的文化价值、欣赏数学的美学价值。
关键词：数学史；数学文化；高中数学《普通高中数学课程标准（2003年版》中首次提出了高中数学教学要体现数学的文化价值的课程基本理念。
《普通高中数学课程标准(2017年版)》中进一步强调：数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。
要引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；培育学生的科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养；要注重在数学教学中数学文化的渗透，不断引导学生认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
并且首次在数学课程标准中提出了数学文化的概念：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。
由以上可以看到高中数学教育理念的新变化：高中数学教学将越来越注重数学文化的渗透，并且把数学文化的考查纳入考试范畴，因此要不断加强引导学生崇尚数学的理性精神，认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和美学价值。
以此发挥和落实数学课独特的育人功能，改变目前教师只为考试教，学生只为考试学的现状，从而落实立德树人的根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。
显然，这样的数学教育要求，对数学教师特别是高中数学教师的自身专业素质提出了很高的要求。
一题激起千层浪——一道历史高考题引发的教学反思
中图分类号：G633．5一题激起千层浪——一道历史高考题引发的教学反思孟庆武(邳州市炮车中学江苏·邳州1221327)文献标识码：A文章编号：1672—7894(2012)08—0117—02摘要2011年江苏省高考历史试卷第22题突出了新课程的理念，对考生的理解能力、思维能力、语言表达能力等综合能力进行全面考查．注重思维结果和思维过程的并重．这势必将促进高中历史教学更关注培养学生的学习能力和人文素养。
作者希望通过对此题的分析．明确高考方向，发现学生答题存在的问题．反思我们的历史课堂．加强教学的针对性和实效性．提高历史复习效率和质量．促进学生全面健康发展。
关键词江苏高考试题试题评析课堂反思O ne Pr obl e m A r i s es L a ye r of W ave：R efl ect i ons o n a C o-H eg e E n t r an ce E xam i nat i onProbl em o n H i s t or y／／M eng Q i ngw uA bs t r act Q ues t i on22i n201l J i angs u col l ege e n t ra nce e x a m—i nat i on hi st or y st r esse s o n t he c on c e pt of new cur r i cul um r ef or m．I t t est s s t udent s’com prehens i ve abi l i t y of und er s t andi ng abi l i t y，t hi n ki ng abi l i t y，l a ngua ge ski l l s，and ot he r com pr eh ens i ve abi l i t y，w h i ch w i l l na t ur al l y a r ouse t he at t ent i on t he cuhi vat—i on of st udent s’l ea rni ng abi l i t y and hum ani s t i c qual i t y i n hi gh s chool hi st or y t eachi n g．T hr ou gh t he anal ysi s of t he pr obl em，t he w r i t er hop es t o m ake cl ea r t he di r ec t i on of col l ege e n t r a nce exam，f i nd out t he pr obl em s i n st udent s’answ e ri ng，and r ef l ect s ou r pre s ent hi st or y cl ass，SO t o sⅡ℃n昏hen t he or i ent at i o n and ef f e ct i venes s of t ea chi ng，i m prove t he ef f i ci enc y and qual i t y of hi st or y r e vi e w，and pr om ot e st ude nt s’al l—r ound de ve l opm ent．K ey w or ds J i a ngsu col l ege e n t r ance e xam i na t i on pa pe r；pa pe r as ses sm e nt；c l as s r ef l ect i onA ut hor’S addr es s Paoche M i d dl e School of Pi z hou C i t y，221327，P i zhoudi angs u，C hi na1试题简析2011年的江苏高考第22题，首先提供历史学家陈旭麓的一段话做题序，在此基础上，试题呈现了三段文字材料，最后提出三个问题，其中第(3)问运用上述材料，结合所学知识，论证陈旭麓先生提出的观点。
合情推理数学发现的源泉——由一道高考题谈起
32十7擞-7(2008年第7期高中版)复习参考．合情推理：数学发现的源泉——由一道高考题谈起365400福建省宁化第一中学邱云著名数学教育家波利亚认为“合情推理是数学发现与创造的源泉”．在教育观念悄然发生变革的今天，合情推理已走进了高中数学新课程．《课标》指出：“合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．”那么，如何引导学生进行合情推理呢?在日常教学中，经常会遇到具有探究价值的小问题，教师若能及时捕捉，启发学生运用归纳l、类比、猜想的思维方法，将问题横向联系、纵向拓展、小题大做，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程，对激发学生兴趣、提升学习能力、挖掘学习潜能是很有帮助的，本文以一道高考题为例，感悟合情推理在问题探究中的魅力．1试题引思。
探寻问题本质(2007年高考湖南卷(理)第20题)已知双曲线善2一y2=2的左、右焦点分别为E、R，过点R的动直线与双曲线相交于A、曰两点．(1)若动点肘满足，，膪=一^+E雪+Fl D(其中D为坐标原点)，求点肘的轨迹方程：(2)在石轴上是否存在定点C，使翻C舀为常数?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．筒析(1)略．(2)是一个具有探究价值的开放性问题，对学生的思维和运算能力有一定的挑战性，经分析探求，在膏轴上存在定点C(1，0)，使翻C雪为常数一1．其实，此性质的获得并不依赖于双曲线的具体常数，运用的是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法．若学习者仅满足于此问题的解决，数学视野和思维局限于一个狭窄的空间，便不能揭示问题的本质．《课标>提出：要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式的海洋里．本题研究的是一种特殊双曲线的一个定点、定值性质．这种性质能否辐射到一般的双曲线，甚至其他圆锥曲线，是需要学习者追根溯源、挖掘探求的．2纵向拓展．归纳一般结论归纳推理是由个别事实概括出一般结论的有力工具，其主要的思维形式是观察、分析、猜想．将试题性质纵向拓展，推广到一般双曲线，可得猜想：猜想1已知双曲线与一告=l(口>o，6>o)的左、右焦点分别为E、R，过点E的动直线与双曲线相交于A、口两点，则在聋轴上存在定点C，使“曲为常数．波利亚认为“合情推理的结论在严密的逻辑论证前是冒险的”．以下是对猜想l的验证：由条件知R(c，0)，c2=口2+62，设A(茗l，，，1)，口(茹：，儿)，C(m，0)．当A曰不与髫轴垂直时，设过点R的直线他的方程为，，=_|}(石一c)(I|}≠±』L)，r，，=蠡(髫一c)，由净吾-t，得(62一口2蠡2)菇2+2口2尼2c石一口2c2后2一口262：O，则茗。
高中数学专题复习课教学模式探究及实践——以“椭圆中的定值定点问题”为例
Educational Practice and Research在高中数学教学中，专题复习课教学能够根据学生的实际情况，解决学生的真问题。
专题复习课以充分了解相关教学内容、学生学情为基础，将一类数学问题的知识、方法进行建构，挖掘其蕴含的思想方法，使学生在原有认知上有新的升华，发展学生的数学核心素养。
在近几年的全国各省市高考数学试卷中，椭圆的定值定点问题多次出现，考查多个知识点，对分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力都有较高要求。
教师在日常教学中应重视该专题内容的系统整理，形成解题策略，提升学生综合运用的能力，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。
下面以“椭圆中的定值定点问题专题复习课”的教学过程为例，说明如何进行专题复习课的教学。
一、分析学生学情，明确教学目标学生已经学习了椭圆的定义、几何性质等基本知识，以及直线与椭圆的位置关系相关内容，具备了一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的运算能力。
但是学生对该专题内容———椭圆中的定值定点问题缺乏理解与认识，无法形成解题策略及思维网络，同时处理该专题内容需要有较强的问题分析能力、几何直观能力和运算能力，学生比较欠缺这些能力。
根据学生实际学情，明确本节专题课的教学目标：1.通过核心问题及问题串，引导学生经历———以“椭圆中的定值定点问题”为例温绍雄，尹兰（河北正定中学，河北石家庄050800）摘要：高中数学专题复习课是围绕课程主线设计，整体把握专题内容结构及学生认知，旨在解决学生真问题的一种教学模式。
以“椭圆中的定值定点问题”的教学实践为例，探讨如何在教学中设计、落实专题复习课，帮助教师深入理解核心素养背景下的高中数学教学，促进学生发展数学思维，提升数学核心素养。
关键词：教学模式；专题课；教学实践；定值定点问题中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2021）35-0044-05直观感知、操作确认，概括出椭圆中的定值定点问题的解题策略，提升学生数学抽象、逻辑推理核心素养。
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该高考题 的第 （ １ Ｉ ） 、 （ １ １ １ ） 两小题都是在
特定条件下的结论 ， 通常都可以加 以推广和 引申， 得出问题的更具一般性的结论 ， 所以本 节课 的中心任务有两个 ： 通过问题的探究 ， 激 发 学生 的学 习兴 趣 ， 得 出一些 重 要 的优 美结 论； 通过这些优美结论 ， 引发学生急于求证的 目的， 从而达到使他们“ 要” 运算的目的．
－ －
１ 十 ２ 一研
又
’ ｚ ｌ Ｘ ２ 一—
’
１ ， 所以 ６ 一士 ．
ｙ ］ Ｙ ２ ＝（ ｋ ｘ ｌ ＋６ ） （ ｋ ｘ ２ ＋６ ） ，
√２
故 ｏ － ｏ Ｐ・ ＝ｚ １ ２ ＋ １ ２
一 １ ２ ＋忌 。 Ｘ １ ２ ＋ｋ ｂ （ ｘ １ ＋ｚ ２ ） ＋６ ，
学生运算能力的校本研究” 的主持人 ， 不能只 停留在理论研究上， 而要通过实践来检验研 究成果的实效性． 这节示范课 ， 学生的探究热
（ １ Ｉ ） 设斜率为 １的直线 ｚ 交Ｃ 于 Ｐ， Ｑ 两点， 若ｚ 与圆 ＋ 。 一１ 相切 ， 求证 ： Ｏ Ｐ 上
Ｏ Ｑ；
（ ｎ １ ） 设椭圆 Ｃ ２ ： ４ ｚ 。 ＋ 一１ ， 若 Ｍ， Ｎ分
完成 ， 要求同学们运算尽可能都不失误 （ 巡查 中， 发现正确率高 ， 展示一学生 的答案 ， 并迅
速点评） ．
检验结论的正确性 ， 由此消除他们惧怕运算
的心理 ， 逐步适应烦难运算的问题． 在问题的
选择上 ， 笔者选 中了 ２ ０ １ ２ 年上海市 的一道高
考解几题 ：
教师 ： 请同学们再思考第 （ Ｕ） 题， 迅速画
在平面直角坐标系 ｘ Ｏ ｙ中， 已知双曲线
Ｃ ｌ ： ２ ｚ 一 。 一１ ．
（ Ｉ） 过 Ｇ 的左顶点引 Ｃ １ 的一条渐近线 的平行线 ， 求该直线与另一条渐近线及 ｚ轴
围成 的三 角形 的面积 ；
错率非常高． 究其原因， 主要是学生的运算能 力较弱， 他们 “ 怕” 运算 ， 稍微烦一点 的运算 ， 就不想做 ； 简单 的运算又容易错 ， 这就严重地 制约着他们在解几题上 的得分率． 针对此， 我 校高三数学备课组要求笔者上一节有关解几 运算教学方面的示范课 ， 原 因是笔者为盐城 市教育科学“ 十二 ・ 五” 规划课题“ 提高高中
来研究一道高考解几题 ， 我期望通 过学 习能 对 同学们 今后 的解几 学 习有所 帮助 ， 请看
的教学思路 ： 选择一道方法不太难 的解几题 ， 但它却有较强的探究功能 ， 在教师的引导下 ，
让学生发现问题的背景， 发现更一般更优美
的结论， 在教师鼓励下， 使他们满怀信心地去
２ ０ １ ２ 年上海市高考第 ２ ２ 题（ 投影展示） ． 教师 ： 第（ Ｉ ） 题 比较简单 ， 请大家在下面
＿（ １
－ －
当 ６ 一 时 ， 由 ｊ 【 ｚ ２ ＋ ２ ， 得
－ ｙ 一 ｌ，
）・
・
＋６ ２
ｚ２ —２ ｚ一 ３— ０ ．
设Ｐ （ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， Ｑ（ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则
ｌ
０，
＋Ｘ ２ ＝ ＝ ＝ ２ √ ２， Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝ －３ ，
２ ２
数学教学研究
第３ ２卷第 ２ 期
２ ０ １ ３年 ２ 月
在探究 中激发学生的运算潜能 记一道高考题的教学功能
— —
崔志荣
（ 江苏 省东 台市安丰 中学 ２ ２ ４ ２ ２ １ ）
解析几何作 为一种重要 的数学 思想方
法， 一直都是高考的重点和热点 ， 这部分内容 也格外受到老师和学生 的重视． 但一个不容 否认的事实是 ， 老师们往往感到这部分 内容 的教学效果不如人意 ， 学生似懂非懂 ， 解题 出
＝ ： １ Ｉ 】 ｂ ２ ＝ｋ ２ ・
直线与双曲线方程 ， 可得出根与系数的关系 ， 最后计算数量积 ・
而得 到 ０Ｐ上０ Ｑ．
， 按理说应为 ｏ ， 从
教师 ： 很好 ！学生 １ 的思路非常清晰， 请
大 家完 成证 明过 程． （ 教 师巡查 后 展示 学生 作
业）
２ 课 堂实践
情较高 ， 都能积极投入到运算中去 ， 也得到了
组 内同事的高度评价． 现将教学过程及课前 、 课 后 的一些思 考整理 成 文 ， 与读者 交流 ．
１ 课前 准备
由于解几题运算量大 ， 学生“ 怕” 运算 ， 怎 样激发他们的运算要求呢？笔者设计了这样
教师： 同学们 ， 今天这节课我打算和大家
联 立 ｛
．
， 得
－ｂ ｚ 一】
（ ２ 一忌 。 ） 。 一２ 忌 ６ ｚ一 ６ 。 一１ —０ ．
设 Ｐ（ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， Ｑ（ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则
２ ｋ ｂ
学生 ２ 的解答 ： 设直线 Ｐ Ｑ 的方程是 Ｙ
—
＋６ ， 且直线 Ｐ Ｑ与圆 ｚ 。 － － ［ － ｙ 。 一１ 相切， 故
所以 Ｏ Ｐ上０Ｑ ．
教师 ： 学生 ６的解题思路是不错的， 但我
又 １ ２ 一（ Ｘ ｌ ＋√ ２ ） （ ｘ ｚ ＋√ ２ ） 一 １ ｚ ２ ＋√ ２ （ １ ＋ｚ ２ ） ４ － ２ －３ ．
们还要来审视一下他 的解答过程 ， 看看有没
有什么瑕疵？
故 － ｏ － Ｐ・ － 一 １ ｚ ２ ＋ １ Ｙ ２ ＝ｏ ， Ｏ Ｐｌ ＿ Ｃ ￣．
图并理清０ １ ３年 ２月
数学教学研究
２ ３
学生 １ ： 直线 ｚ 的斜 率 为 １ ， 并与圆 Ｘ 。 ＋ Ｙ 一１ 相切 ， 可 具体 求 出直 线 方 程 ， 然后 联 立
学 生 ６的 解 答 ： 设直线 Ｐ Ｑ 的 方 程 为 ｙ＝ｋ ｘ ＋６ ， 由直 线与 圆相 切 ， 所 以