勾股定理9种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图） 【证法1】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形,

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等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A 、E 、 C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上. v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF, ••• / AHE = / BEF. v / AEH + / AHE = 90o,

• / AEH + / BEF = 90o.

• / HEF = 180o — 90o= 90o.

•四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于

c 2

.

v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE, • / HGD = / EHA. v / HGD + / GHD = 90o, • / EHA + / GHD = 90o. 又v / GHE = 90o,

• / DHA = 90o+ 90o= 180o. • ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于

2 1 2

（a +b f = 4 汉一ab +c 2

• 2 .

【证法2】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 们拼成如图那样的一个多边形，使

D E 、F 在一条直线上. 占P 八、、■・ v D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, • / EGF = / BED v / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90 ° , / BEG =18（b — 90o= 90 o.

AB = BE = EG = GA = c , ABEG 是一个边长为c 的正方形. / ABC + / CBE = 90o.

Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, / ABC = / EBD. / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 9Gb. 又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o ,

BC = BD = a.

• BDPC 是一个边长为a 的正方形.

a 2

b 2 =

c 2

则每个直角三角形的面积

B 三点在一条直线

上, B 、

F 、

D b G ----------- ------------ yr

C -D-

\ c

\ _________________

A a E a

\

c

\ 计

F

c

a b 2. a 、b ，斜边长为c. 过C 作AC 的延长线交 a b H a 把它 DF 于 D F C

A

H E a

E B P b b G

同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCB 的面积为S,则

2 2

1

a b 二 S 2 ab, 2

c 2 = S 2 -ab

2 a 2 b 2

c 2

【证法3】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直

角边长分别为

c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 直线上

. 过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点

B 作BM L PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为N. v / BCA = 90o , QP// B

C ••• / MPC = 90o ,

v BM 丄 PQ

• / BMP = 90o ,

• BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.

v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , • / QBM = / ABC 又 v / BMP = 90o ,/ BCA = 90o , BQ = BA = c , • Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA. 同理可证Rt △ QNF 幻Rt △ AEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 在一条直线上，连结

BF CD.过 C 作 CL L DE

交AB 于点M 交DE 于点 L.

v AF = AC , AB = AD, / FAB = / GAD • △ FAB 坐△ GAD

-a 2

v △ FAB 的面积等于2

△ GAD 勺面积等于矩形ADLM 的面积的一半， •矩形ADLM 的面积二a 2

a 、

b (b>a ) E 、A ，斜边长为 C 三点在一条 C

H 、C B 三点

K

D

L c E

同理可证，矩形 MLEE 的面积 v 正方形ADEB 勺面积

=矩形ADLM 勺面积+ /. c 2 a 2 b 2，即 a 2 - 【证法5】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （b>a ）,斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC AF 交GT 于F , AF 交DT 于 R.过B 作BP 丄AF,垂足为 E , DE 交 AF 于 H.

v / BAD = 90o ,Z PAC = 90o ,

••• / DAH = / BAC.

又 v / DHA = 90o ,Z BCA = 90o ,

AD = AB = c ,

• Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA. • DH = BC = a , AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形， 所以 Rt △ APB 坐 Rt △ BCA.即 PB = CA = b , AP= a ,从 v Rt △ DGT 坐 Rt Rt △ DHA 坐 Rt • Rt △ DGT 坐 Rt • DH = DG = a , 又 v / DGT = 90o , =b 2 矩形MLEB 勺面积 b 2 =c 2 P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 PH = b — a. △ BCA , △ BCA. △ DHA . / GDT = / HDA . / DHF = 90o ,

/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o ,

• DGFH 是一个边长为a 的正方形.

• GF = FH = a . TF 丄AF , TF = GT — GF = b — a .

• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,

咼 FP=a + (b —a ). 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为

2

c = S 1 S 2 S 3 S 4 S 5

①

S 8 • S 3 S 4 = 1 b 亠 ib 「a 丨・ a 亠 ib 「a 1 v 2

S 5 =

S 8 ' S 9

2 1 • S

3 +2 二b

—2ab —S 8 二 b^S^S 8 . 把②代入①，得

c 2 =S 1 S 2 b 2 -S^S 8 S 8

S 9

=b 2 S 2 S 9 = b 2 a 2.

• a 2+b 2=c 2

b 2「^ab

2

,

②

【证法6】（李锐证明）