2020-2021学年福建省宁德市高一上学期期末考试数学试题及答案
宁德市2020—2021学年度第二学期期末高一质量检测 数学参考答案
宁德市2020—2021学年度第二学期期末高一质量检测数学参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．1．B 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C二、多项选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．(全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9．ACD 10．AC 11．BC 12．BC二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分．13．1 14． 1 15．3π 16． 4- 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（1）解：,所以2a = ……………………………………………………2分所以cos 114a b a b π⋅=⋅==…………………………………………………4分 .（2）解：因为()a b b +⊥,所以()=0a b b +⋅，…………………………………………………6分 所以20a b b ⋅+=,所以1a b ⋅=-.………………………………………………………8分 所以1cos 2a b a b θ⋅-===，因为[0,]θπ∈,所以34πθ=……………10分 18.(1) 方法一:证明：连接1A C ，交1AC 于O ，连接OD ,因为OD 是1CA B ∆的中位线…………………………………2分所以 1//OD A B又OD ⊂平面1ADC ，1AB ⊄平面1ADC所以1//AB 平面1ADC .………………………………6分(1,1)a =方法二：取11B C 的中点N ，连接1A N ，BN ……………………………………………………1分 因为DN 是平行四边形11CC B B 的中位线.所以11//,DN CC DN CC =，所以四边形1A NDA 是平行四边形.所以1//A N AD ，又1A N ⊄平面1ADC ，AD ⊂平面1ADC所以1//A N 平面1ADC ……………………………………………………………………3分 因为111//,2C N DB C N DB BC == 所以四边形1C NBD 是平行四边形所以1//C D BN ，又1C D ⊂平面1ADC ，BN ⊄平面1ADC所以//BN 平面1ADC ……………………………………………………………………5分 又11,,A N NB N BN A N =⊂平面1A NB所以平面1A NB //平面1ADC ，1A B ⊂平面1A NB所以1//A B 平面1ADC ……………………………………………………………………6分（2） 因为平面11ABB A ⊥平面ABC ,平面11ABB A 平面ABC AB =，1AA AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，所以 1AA ⊥平面ABC ………………………………………………………………8分 因为 1111112=12ABC A B C V -=⨯⨯⨯……………………………………………………9分 11111=1123226C ADC V -⨯⨯⨯⨯⨯=……………………………………………………10分 所以 111111115=1-=66ABD A B C ABC A B C C ADC V V V ---=-…………………………………12分 19.解:(1)因为频率123450.1,0.2,0.45,0.2,0.05,f f f f f =====12340.95f f f f +++=;1230.75,f f f ++=………………………………1分 所以，80%分位数一定位于[)76,86内,：潍坊高中数学所以0.8-0.7576100.2+⨯……………………………………………………………2分 0.05=761078.50.2+⨯=. 所以估计样本数据的80%分位数约为78.5.……………………………………………4分 (2)510.1610.2710.45810.2910.0570x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………7分所以()(),60,80x s x s -+=，又()6260,80∈ 可知该产品属于一等品.…………………………………………………………8分(3)记三件一等品为,,A B C ，两件二等品为,a b ， 这是古典概型，摸出两件产品总基本事件共10个，分别为 :()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b …………10分 方法一：记:A 摸出两件产品中至少有一个一等品，A 包含的基本事件共9个，分别是: ()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b B C B a B b C a C b所以9()10P A =……………………………………………………………………12分 方法二：记事件:A 摸出两件产品中至少有一个一等品，A 包含的基本事件共9个，…………10分 :A 摸出两个产品，没有一个一等品，基本事件共一个(,)a b 。
2020-2021学年福建省宁德市高一数学上学期期末综合复习试卷(二)
2020-2021学年高一上数学期末综合复习卷（二）第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“21x >”是“24x -<-”的（ ） A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件2．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．3y x x =+B ．24y x =-C ．y x =D ．1y x =+3．sin15cos15︒-︒的值等于（ ） A ．22-B ．62-C ．62D ．224．函数()1()lg x f x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设0a >，0b >，若33是3a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ） A ．2B ．83C ．3D ．326．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,+∞7．已知函数1f x mx 的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1(,1)(,)2-∞-⋃-+∞8．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若4πx =-是()f x 图象的一条对称轴，π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，则（ ） A ．21()k k ω=+∈NB ．43()k k ω=+∈NC ．41()k k ω=+∈ND ．2()k k ω=∈*N二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多个个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9．若将函数)6sin(π+=x y 的图像向左平移π个单位长度，则平移后的函数图像（ ）A ．关于直线3π=x 对称B ．关于直线6π=x 对称C ．关于点)0,3(π对称D ．关于点)0,3(π对称10．若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0)()(<b f a f ，则存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fB ．若0)()(>b f a f ，则不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fC ．若对任意的实数0)(],,[≠∈c f b a c ，则0)()(>b f a fD ．若对任意的实数0)(),,(=∈c f b a c ，则0)()(<b f a f11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)1(+x f 为偶函数，若2)1(=f ，则（ ）A ．)()2(x f x f =+B ．)()4(x f x f =+C ．2)3(-=fD ．2)5(-=f12．已知函数⎩⎨⎧>≤=x x x xx x x f cos sin ,cos cos sin ,sin )(，下列四个结论中正确的是（ ）A ．)(x f 是以π为周期的函数B ．当且仅当)(Z k k x ∈+=ππ时，)(x f 取得最小值1-C ．)(x f 图像的对称轴为直线)(4Z k k x ∈+=ππD ．当且仅当)(222Z k k x k ∈+<<πππ时，22)(0≤<x f 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．tan570︒=__________．14．已知函数2x y a =-定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．15．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则20ax bx c -+>的此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号解集为_____． 16．已知函数)(1)(为常数a ae ex f x x +=，若)(x f 为偶函数，则实数=a ；若对任意的1)(,>∈x f R x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合37A x x ，210B x x ，C x x a ，（1）求AB ， （2）若AC ⊆，求a 的取值范围．18．（12分）设22332100064lg42lg5a =⨯+++． （1）化简上式，求的值； （2）设集合，全集为，B A N =R，求集合中的元素个数．19．（12分）已知函数．（1）当时，在给定的直角坐标系内画出的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数．20．（12分）已知函数2()45()f x x x x =-+∈R ．（1）求关于x 的不等式()2f x <的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）函数()2()23cos 2sin cos 30f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）的条件下，求方程()(02)g x t t =<<在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内所有实根之和．22．（12分）已知函数()()ππsin 3cos 022x xf x m m m =+≠． （1）若，求不等式的解集；（2）若，对于任意的，都有，求的取值范围．2020-2021学年高一上数学期末复习卷（二）答 案 第Ⅰ卷一、单选题：1-5:DBABC 6-8:CBA二、多选题：9. AD 10. AC 11. BC 12. CD第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3314．【答案】0a ≤ 15．【答案】122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭16．【答案】1 ， ),41[+∞四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）210A Bx x ；（2）7a ≥．【解析】（1）如图，由数轴可知210A B x x ．（2）如图，由数轴以及A C ⊆，可知7a ≥． 18．【答案】（1）218；（2）个．【解析】（1）原式22332100064lg42lg5=⨯+++．（2），{}|218RA x x =≤，，所以中元素个数为．19．【答案】（1）图像见解析，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）①当或14a >时，函数零点的个数1个，②当或14a =时，函数零点的个数2个，③当104a <<时，函数零点的个数3个．【解析】（1）当时，()()()()()1,11,1x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则函数的图象如图所示，由图易知函数在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（2）函数零点的个数等价于函数的图象与直线的交点个数，由（1）得①当或14a >时，函数零点的个数1个，②当或14a =时，函数零点的个数2个， ③当104a <<时，函数零点的个数3个．20．【答案】（1）{}13x x <<；（2）(2,4)．【解析】（1）由()2f x <，得2430x x -+<，即13x <<，所以()2f x <的解集为{}13x x <<．（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，由22()45(2)1f x x x x =-+=-+，得()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<， 所以实数m 的取值范围为(2,4)．21．【答案】（1）32ω=；（2）单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）40π9．【解析】（1）函数()223cos 2sin cos 33cos2sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=+-=+=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=， 32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象．由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+， 故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦、10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）在（2）的条件下，()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为4π3，故()32si 6πn 2g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有2个周期，()g x t -在80,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有4个零点，设这4个零点分别为1x ，2x ，3x ，4x ，由函数()g x 的图象特征可得124π29x x +=，344π4π293x x +=+，123440π9x x x x ∴+++=． 22．【答案】（1）()14,413k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）或．【解析】（1）()πππsin3cos 2sin 22π23x x x f x m m m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 当时，()π2sin 23πx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以π2sin 123πx⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即π1sin 22π3x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 所以()π5π2π2π623ππ6x k k k +≤+≤+∈Z ，所以()14413k x k k -≤≤+∈Z ，故原不等式的解集为()14,413k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）当时，，当时，则π5π,236π3πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin ,1232πx ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以．综上，或．。
高一上学期期末数学考试卷及答案
2020～2021学年度上学期高一年级期末考试卷数 学 试 卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}, 则(C U A)∩B= ( )A.{－1}B.{0,1}C{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则（ ）A．B．C．6D．74．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（ ）A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<βD．α<a<β<b5．是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使的的范围是（ ）A．B．C． D．6．已知，，且，则（ ）A．B．C．D．7．函数的定义域是（ ）A．B．C．D．8．函数的零点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题是“，”的表述方法的是（）A．有一个，使得成立B．对有些，使得成立C．任选一个，都有成立D．至少有一个，使得成立10．下列命题中是真命题的有（ ）A．幂函数的图象都经过点和B．幂函数的图象不可能过第四象限C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．12．已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（ ）A．B．若，则C．D．函数有四个零点三、填空题 （每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的解析式为___________.14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝________.15．已知函数，若，则____.16．已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）.18．（12分）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0且a≠1).(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.20.（12分）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并给予证明；（2）求函数在，的最大值和最小值．21．（12分）已知函数（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）设函数，解不等式.22．（12分）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值;（2）若,试判断的单调性（不需证明），并求使不等式恒成立的t的取值范围;（3）,求在上的最小值.数 学 试 卷 参考答案1 A 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C9．ABD 10．BD 11．AB 12．ABC13． 14．0.25 15．1或-2 16．17．（1）原式；（2）原式.18． 的图象如图所示．(1) 在和上是增函数，在上是减函数，∴单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)∵，，∴在区间上的最大值为.19． 解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.综上可得：当时，x的取值范围为.当时，x的取值范围为.20（1），函数在上是增函数，证明：任取，，且，则，，，，，即，在上是增函数；（2）在上是增函数，在，上单调递增，它的最大值是，最小值是．21．（1）在恒成立，即在恒成立， 分离参数得：，∵，∴从而有：.（3）令，得，，因为函数的定义域为，所以等价于（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是（2）当，即时，原不等式的解集是（3）当，即时，原不等式的解集是（4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是22．（1） ∵是定义域为R的奇函数，∴ f（0）＝0，∴ 1－（k－1）＝0，∴ k＝2， （2）单减，单增，故f（x）在R上单减 ，故不等式化为∴，解得令∵在上为递增的 ∴∴设∴.即在上的最小值为.。
2020-2021学年福建省宁德市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知复数z满足z=i(1+i)，则z−是()A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i2.掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为()A. A与B互斥B. A与B对立C. A与B独立D. A与B相等3.如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是()A. 甲户比乙户大B. 乙户比甲户大C. 甲、乙两户一般大D. 无法确定哪一户大4.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为()A. 0°B. 45°C. 60°D. 90°5.已知m，n是两条直线．α，β是两个平面，下列说法正确的是()A. 若m//n，n//α，则m//αB. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC. 若m//α，n⊂α，则m//nD. 若m⊂α，m⊥β，则α⊥β6.已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204978171935263321947468579682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A. 15B. 310C. 25D. 457. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )A. 56B. 23C. 13D. 168. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34a⃗ +12b ⃗ B. 1225a⃗ +1625b ⃗ C. 613a⃗ +913b ⃗ D. 27a⃗ +37b ⃗ 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设向量a ⃗ =(1,−1),b ⃗ =(2,0)，则( )A. |a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |B. (a ⃗ −b ⃗ )//a ⃗C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗D. a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为(1,0)10. 任何一个复数z =a +bi(其中a 、b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成：z =r(cosθ+isinθ)的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n =[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ)(n ∈N +)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )A. 当r =1,θ=π3,n =1时，z −=12−√32iB. (12+√32i)3=1C. |z 4|=|z|4D. (√32+12i)10在复平面内对应的点的坐标为第三象限11. 已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M 、N ，若线段MN 的最小值为2√6，则( )A. 正四面体的外接球的表面积为96πB. 正四面体的内切球的体积为8√6πC. 正四面体的棱长为12D. 线段MN 的最大值为3√612. 新冠肺炎期间，某社区规定：若任意连续7天，每天不超过6人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该社区没有发生群体性发热的为( )A. 中位数为4，众数为3B. 均值小于1，中位数为1C. 均值为2，标准差为√3D. 均值为3，众数为4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知z =1+2i1−2i ，则|z|=______． 14. 在△ABC 中，若b =1，c =√3，∠C =2π3，则a =______．15. 如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB 为杯底直径，现以点B 为支点将水杯倾斜，使AB 所在直线与桌面所成的角为π6，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于______．16. 菱形ABCD 的边长为2，∠A =60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ =(1,1)，|b ⃗ |=1．(1)若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角θ为π4，求a ⃗ ⋅b ⃗ ； (2)若(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，D是BC的中点．(1)求证：A1B//平面ADC1；(2)若面ABB1A1⊥面ABC，AA1⊥AB，AA1=2，求几何体ABD−A1B1C1的体积．19.某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差(质量差=生产的产品质量−标准质量，单位mg)的样本数据统计如下：(1)求样本数据的80%分位数；(2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在(x−−s,x−+s)范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中x−,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．①若产品的质量差为62mg，试判断该产品是否属于一等品；②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．20. 现给出两个条件：①2bsinA =atanB ，②a(sinA −sinC)=bsinB −csinC ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．(选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若_____． (1)求B ；(2)若点D 是边AC 靠近A 的三等分点，且BD 长为1，求△ABC 面积的最大值．21. 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为13，乙丙每人面试合格的概率都是14，且三人面试是否合格互不影响．求：(1)恰有一人面试合格的概率；(2)至多一人签约的概率．22.在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC．(1)从三棱锥P−ABC中选择合适的两条棱填空．若______⊥______，则该三棱锥为“鳖臑”；(2)已知三棱锥P−ABC是一个“鳖臑”，且AC=1，AB=2，∠BAC=60°，①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=i(1+i)=−1+i，∴z−=−1−i．故选：B．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B均错误；P(A)=36=12，P(B)=36=12，P(AB)=36×36=14，∵P(AB)=P(A)P(B)，A与B独立，故C正确；事件A与事件B不相等，故D错误．故选：C．事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件；P(A)=36=12，P(B)=36=12，P(AB)=36×36=14，由P(AB)=P(A)P(B)，得A与B独立；事件A与事件B不相等．本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件、独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由饼状图，甲户的旅游支出占25%；由柱状图，乙户的旅游支出占 1.21.2+2+1.2+1.6=1.26=20%<25%．故选：A．由柱状图计算出乙户的旅游支出占比，再与甲的比较即可．本题考查柱状图的数据分析，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE−CMFB，∵CD//BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：D．把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE−CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由m，n是两条直线．α，β是两个平面，知：对于A，若m//n，n//α，则m//α或m⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故B错误；对于C，若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．对于A，m//α或m⊂α；对于B，m与β相交、平行或m⊂β；对于C，m与n平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】B【解析】解：根据10组随机数：204978171935263321947468579682，表示三次投篮恰有两次命中的事件是204，171，263，共3件；所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P=310．故选：B．找出10组随机数中三次投篮恰有两次命中的事件，计算所求的概率值．本题考查了随机数表法求概率的应用问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，基本事件总数n=3×3=9，分别为：田忌的上等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的下等马对阵齐王的中等马，田忌的下等马对阵齐王的下等马，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为P=39=13．故选：C．基本事件总数n=3×3=9，利用列举法求出田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，由此能求出田忌的马获胜的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23×23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴139AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =613a⃗ +913b ⃗ ．故选：C ．利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：因为a ⃗ =(1,−1),b ⃗ =(2,0)，所以a ⃗ −b ⃗ =(−1,−1)， 对A ：|a ⃗ −b ⃗ |=√2，|a ⃗ |=√2，所以|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |，故A 正确；对B ：因为1×(−1)−(−1)×(−1)=−2≠0，所以a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ 不平行，故B 错误； 对C ：(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+1=0，所以(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，故C 正确；对D ：a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |=22=1，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为(1,0)，故D 正确；故选：ACD ．根据平面向量数量积的运算性质逐一进行判断即可本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的垂直、平行的判断，向量投影的求法等，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：对于A 选项，当r =1,θ=π3,n =1 时，z =cos π3+sin π3i =12+√32i ，z −=12−√32i ，故A 选项正确，对B 选项，(12+√32i)3=(cos π3+sin π3i)3=cosπ+sinπi =−1，故B 选项错误，对于C 选项，∵z =r(cosθ+isinθ)，∴z 4=r 4(cos4θ+isin4θ)，则|z 4|=r 4，|z|4=r 4，∴|z 4|=|z|4，故C 选项正确，对于D选项，(√32+12i)10=(cosπ6+sinπ6i)10=cos106π+sin106πi=12−√32i，即在复平面对应的点为(12,−√32)位于第四象限，故D选项错误．故选：AC．根据已知条件，结合复数z的三角形式和共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数z的三角形式和共轭复数的概念，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：设这个四面体的棱长为a，四面体可看作棱长为√22a的正方体截得的，故四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体体对角线长，2R外=(√22=√62a，∴R外=√64a，四面体的高ℎ=√63a，根据等体积法，13S⋅ℎ=4×13S⋅r内，解得r内=√612a，依题意得R外−r内=√64a−√612a=2√6，∴a=12，故C正确；正四面体外接球的半径3√6，则正四面体外接球的表面积为4π×54=216π，故A错误；正四面体内切球的半径为√6，则内切球的体积V=43π×6√6=8√6π，故B正确；线段MN的最大值为：R外+r内=3√6+√6=4√6，故D错误．故选：BC．设这个四面体的棱长为a，利用分割补形法求其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解a，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查正四面体的内切球和外接球的关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：由题意，设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a，b，c，d，e，f，g，且0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，依次分析选项：对于A ，a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 依次取3，3，3，4，5，5，7，则满足中位数为4，众数为3，但是第7天的人数为7>6，不符合题意；对于B ，若g ≥7，中位数为1，则有17(a +b +c +d +e +f +g)>17g ≥1，与均值小于1矛盾，可以判定该社区没有发生群体性发热，符合题意；对于C ，若均值为2，标准差为√3，则有17(a +b +c +d +e +f +g)=2，17[(a −2)2+⋯+(g −2)2]=3，变形可得a +b +c +d +e +f +g =14，(a −2)2+⋯+(g −2)2=21，若g ≥7，则(g −2)2≥25，与标准差为√3矛盾，可以判定该社区没有发生群体性发热，符合题意；对于D ，a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 依次取0，1、2，3，4，4，7，满足均值为3，众数为4，但是第7天的人数为7>6，不符合题意； 故选：BC ．根据题意，假设设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，且0≤a ≤b ≤c ≤d ≤e ≤f ≤g ，由此依次分析选项，可得答案．本题考查数据的众数、中位数、平均数、方差的理解和应用，注意众数、中位数、平均数、方差的定义，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：∵z =1+2i1−2i =(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−35+45i ， ∴|z|=√(−35)2+(45)2=1． 故答案为：1．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：在△ABC 中由正弦定理得1sinB = √3sin 2π3，∴sinB =12，∵b <c ， 故B =π6，则A =π6 由正弦定理得asinA =bsinB∴a =bsinBsinA =1 故答案为：1先根据b ，c ，∠c ，由正弦定理可得sin B ，进而求得B ，再根据正弦定理求得a ． 本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．15.【答案】π3【解析】解：如图，以点B 为支点将水杯倾斜，使AB 所在直线与桌面所成的角为π6，∠ABD =π6，水面所在直线EF//桌面所在直线CD ，∠ABF =π2，∴∠CBF =π3，∴圆柱母线与水面所在平面所成的角∠EFB =∠CBF =π3． 故答案为：π3．作出图形，数形结合能求出结果．本题考查线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．16.【答案】−4【解析】解：设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为x ，则BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅x ， 当x 最小时，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值， 结合图形可知当N 点与A 点重合时x 最小， 所以(BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=−(2×2×12+12×22)=−4． 故答案为：−4．设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为x ，结合图形可知当N 点与A 点重合时x 最小，所以(BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得答案．本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查投影的几何意义，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(1)a ⃗ =(1,1)，所以|a ⃗ |=√2，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos π4=√2×1×√22=1，(2)因为(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ +b⃗ )⋅b ⃗ =0， 所以a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，所以a⃗ ⋅b ⃗ =−1， 所以cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=−1√2=−√22， 因为θ∈[0,π]，所以θ=3π4．故a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为3π4．【解析】(1)根据平面向量数量积运算公式求解即可；(2)由(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ 得(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，进而求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，再根据平面向量夹角公式求解即可．本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量夹角公式，考查数学运算的核心素养，属于基础题．18.【答案】(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OD ，∵OD 是ΔCA 1B 的中位线，∴OD//A 1B ， 又OD ⊂平面ADC 1，AB 1⊄平面ADC 1， ∴AB 1//平面ADC 1；(2)解：∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，平面ABB 1A 1∩平面ABC =AB ， AB ⊥AA 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1， ∴AA 1⊥平面ABC ，∵AB ⊥AC ，AB =AC =1，且AA 1=2，∴V ABC−A 1B 1C 1=12×1×1×2=1，V C 1−ADC =13×12×12×1×1×2=16，故V ABD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V C 1−ADC =1−16=56．【解析】(1)连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OD ，可得OD//A 1B ，再由直线与平面平行的判定得AB 1//平面ADC 1；(2)由平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB ⊥AA 1，利用平面与平面垂直的性质可得AA 1⊥平面ABC ，再由已知求得三棱锥ABC −A 1B 1C 1与三棱锥C 1−ADC 的体积，作差可得几何体ABD −A 1B 1C 1的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)因为频率f 1=0.1，f 2=0.2，f 3=0.45，f 4=0.2，f 5=0.05，f 1+f 2+f 3+f 4=0.95；f 1+f 2+f 3=0.75， 所以，80%分位数一定位于[76,86)内， 所以76+0.8−0.750.2×10=76+0.050.2×10=78.5．所以估计样本数据的80%分位数约为78.5．(2)①x −=51×0.1+61×0.2+71×0.45+81×0.2+91×0.05=70， 所以(x −−s,x −+s)=(60,80)，又62∈(60,80) 可知该产品属于一等品．②记三件一等品为A ，B ，C ，两件二等品为a ，b ， 这是古典概型，摸出两件产品总基本事件共10个，分别为： (A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)， (B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)， 方法一：记A ：摸出两件产品中至少有一个一等品，A 包含的基本事件共9个，分别是： (A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)， (B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)， 所以P(A)=910． 方法二：记事件A ：摸出两件产品中至少有一个一等品，A −：摸出两个产品，没有一个一等品，基本事件共一个(a,b)．所以P(A)=1−P(A −)=910．【解析】(1)求出频率f 1=0.1，f 2=0.2，f 3=0.45，f 4=0.2，f 5=0.05，f 1+f 2+f 3+f 4=0.95；f 1+f 2+f 3=0.75，从而80%分位数一定位于[76,86)内，由此能估计样本数据的80%分位数．(2)①求出平均数，得到(x −−s,x −+s)=(60,80)，再由62∈(60,80)，得该产品属于一等品．②记三件一等品为A ，B ，C ，两件二等品为a ，b ，利用列举法求出摸出两件产品总基本事件共10个， 法一：记A ：摸出两件产品中至少有一个一等品，利用列举法求出A 包含的基本事件共9个，由此能求出所求概率． 法二：记事件A ：摸出两件产品中至少有一个一等品，A −：摸出两个产品，没有一个一等品，基本事件共一个(a,b).利用对立事件概率计算公式能求出所求概率．本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：(1)若选①，由2b sinA =a tan B ，得2 sin B sin A =sinA sinBcosB由sinA ≠0，sinB ≠0，得cosB =12 因为B ∈(0,π)，所以B =60°．若选②，由a(sinA −sinC)=bsinB −csinC ，得a 2+c 2−b 2=ac 所以cosB =a 2+c 2−b 2ac=12因为B ∈(0,π)，所以B =60°．(2)方法一：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac ⋅cosB =12ac ， BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，平方得1=49BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+19BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即1=49c 2+19a 2+29c ⋅a ，所以1=49c 2+19a 2+29c ⋅a ≥2√49c 2⋅19a 2+29c ⋅a ，所以1≥23ac ，即ac ≤32，当且仅当a =2c =√3时，取等号， 所以S max =12×32×√32=3√38，此时a =√3且c =√32．方法二：△ABC 中，由余弦定理，可得b 2=a 2+c 2−ac ， 由∠ADB +∠CDB =π，得cos∠ADB =−cos∠CDB ， 所以(b 3)2+1−c 22×b 3×1=−(2b 3)2+1−a 22×23b×1，所以b 2=32(a 2+2c 2−3)，即a 2+4c 2+2ac =9， 由基本不等式，得9≥2√4a 2c 2+2ac =6ac 即ac ≤32，当且仅当a =2c =√3，取等号， 所以S =12acsinB =√34ac ≤√34×32=3√38，即S ≤3√38， 所以S max =3√38，此时a =√3且c =√32．【解析】(1)①根据正弦定理以及同角关系进行转化求解；②利用正弦定理和余弦定理进行转化求解即可．(2)根据点D 是边AC 靠近A 的三等分点，方法1：根据条件得到关于a ，c 的关系式，然后利用基本不等式求出ac 的范围，再得到面积的最大值；方法2，直接利用余弦定理，结合基本不等式进行转化求解即可．本题考查了解三角形的应用，正弦定理，余弦定理以及基本不等式，考查了转化思想，是中档题．21.【答案】解：(1)记事件A ：甲面试合格，事件B ：乙面试合格 事件C ：丙面试合格事件D ：恰好有一人面试合格， 依题意，事件A 、B 、C 相互独立，所以P(D)=P(AB −C −)+P(A −BC −)+P(A −B −C)=13×34×34+23×14×34+23×34×14=716；(2)事件E ：至多一人签约， 事件F ：恰好一人签约， 事件G ：没人签约，因为F 与G 互斥，所以P(E)=P(F)+P(G)，又P(F)=P(AB −C −)+P(AB −C)+P(ABC −)=13×34×34+13×34×14+13×14=516，P(G)=P(A −B −C)+P(A −BC −)+P(A −B −C −)=23×34×14+23×14×34+23×34=58， P(E)=P(F)+P(G)=1516， 所以至多一人签约的概率为1516．【解析】(1)利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可； (2)事件E ：至多一人签约，事件F ：恰好一人签约，事件G ：没人签约，然后由互斥事件的加法公式得到P(E)=P(F)+P(G)，再利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式分别求解P(F)，P(G)，即可得到答案．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式的应用，分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．22.【答案】AB BC【解析】解：(1)因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，故△PAC与△PAB是两个直角三角形，当AB⊥BC时，则△BAC为直角三角形，因为PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，则△BPC为直角三角形，故该三棱锥为“鳖臑”；(2)①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，证明如下：在△ABC中，由余弦定理可得BC=√3，由勾股定理逆定理可知，BC⊥AC，又因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又l⊂平面PAC，则l⊥BC，又l⊥CD，CD∩BC=C，CD，BC⊂平面BCD，所以l⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD所以l⊥BD；②延长ED，BC，交于点F，连接AF，因为点F∈平面ADE，点F∈平面ABC，所以平面ADE∩平面ABC=AF，因为PA⊥底面ABC，且AF⊂平面ABC所以PA⊥AF，因为PB⊥平面EDA，AF⊂平面EDA，所以PB⊥AF，又因为PB∩PA=P，PA，PB⊂平面PAB，所以AF⊥平面PAB，所以AF⊥AE，AF⊥AB，故∠EAB是平面EAD与平面BAC所形成的二面角的平面角．(1)由“鳖臑”的定义求解即可；(2)①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，利用线面垂直的判定定理和性质证明l⊥平面BCD，即可证明l⊥BD；②延长ED，BC，交于点F，连接AF，利用线面垂直的判定定理证明AF⊥平面PAB，由二面角的平面角的定义即可证明．本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，二面角的平面角定义的应用，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．。
福建省宁德市第二中学2022-2023学年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为 ，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出 ， .
因为 ，
同理可证 .
，
，
因此，原函数的最小正周期
【点睛】关键点点睛：本题考查余弦型函数最小正周期的求解，求解的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，本题中用到了积化和差公式 ， ，在解题时应先给与证明.
【解析】 Ⅰ 根据同角的三角函数的关系即可求出； Ⅱ 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出； Ⅲ 由 ，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出
【详解】 Ⅰ ， ，
，
.
Ⅱ ，
.
Ⅲ ， ，
，
，
，
.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
则
因为 ，所以当 时， .
【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题
22、（1） ；（2）
【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式 即可；
（2）根据二次函数 的图象与性质，列出不等式组 ，求出解集即可.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
福建省宁德市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省宁德市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（考试时间:120分钟试卷总分:150分）注意事项:1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1.已知全集={1,2345}={12}={234}U A B ,,,,,,,,,则()UA B =（ ）A. {}2,3B. {}3,4C. {}3D. {}4【答案】B 【解析】 【分析】 求出UA ，再求交集即可.【详解】因为{345}UA =,,，={234}B ,,所以(){}3,4UA B =故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（ ） A. 3π B. 2π C. πD.2π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求解. 【详解】由扇形面积公式可得 这个扇形面积为2123323ππ⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题. 3.函数()31=f x x x -+的零点所在的区间是（ ）A. (2,1)--B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】()2=5f --，()1=1f -，()01=f ，()11=f ，()2=7f因为()()210f f -⋅-<，()()100f f -⋅>，()()010f f ⋅>，()()120f f ⋅> 所以函数()31=f x x x -+的零点所在的区间是(2,1)--故选：A【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2log 4)2(f x x +=-，则()4=f -（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数得到，()4)4(f f =--，计算出(4)f ，即可得到()4f -. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()4)4(f f =--()2log 442321(4)f +-=-==所以()41f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α=（ ）A.23B.12C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为55小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为1 设直角三角形的两直角边分别为：,x y ，()x y <则有221125xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：1,2x y ==则1tan 2x y α== 故选：B点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题. 6.已知()1cos 0,32,πααπ⎛⎫= ⎪+-∈⎝⎭，则sin α=（ ） A.12B.22C.32D.33【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式将1cos 32πα⎛⎫= ⎪⎝-⎭+展开，平方后化简得到tan 3α=，求出60α=︒，即可得出sin α.【详解】因为1cos 21cos sin 322πααα+-⎛⎫= ⎪=-⎝⎭所以21c 241os αα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得到2sin cos ααα=又()0,απ∈，所以sin 0α≠sin αα=，即tan α=所以60α=︒所以sin α=2故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 7.已知||=1,||=2,()1a b a b a λ⋅-=∈R ，，则a b λ+的最小值是（ ）A. 0B. 1【答案】A 【解析】 【分析】将()a b a ⋅-展开化简得到2a b ⋅=，再由()2a b a bλλ+=+化简得到54a b λλ+=+，根据λ的范围，即可得到a b λ+的最小值.【详解】因为2()11a b a a b a a b ⋅-=⋅-=⋅-=，所以2a b ⋅=()222254a b a b a a b b λλλ+=+=+⋅+=+当54λ=-时，a b λ+取最小值：0= 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题. 8.函数()3||2x y x x=-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性排除D ，取特殊值排除A ，C ，即可得出答案. 【详解】令()3||()2x f x x x=-()()3||3||()22()x x f x x x x x f x -=-+=--=-，则函数()3||2x y x x =-为奇函数所以排除D()3||20x x x -=，解得：0x =，±1因为111()22820f ⎛⎫-⎪⎝⎭>= ，()(2)8208f -=⨯<，所以排除A ，C 故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题. 9.若ln 2a =，125b -=，2log 2c =a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性得出1ln 22a e =>=，利用对数的运算得出12221log 2log 22c ===，利用指数的运算化简125b -=并与12比较，即可得出答案.【详解】因为1ln 22a =>=，12221log log 22c ===，12152b -==< 所以b c a << 故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题. 10.已知函数()2cos si 2=,[n 43f x x x x ππ--+∈-，]，则()f x 的最大值为（ ）A. 1B. 3C.32+ D.32+ 【答案】D 【解析】 【分析】化简()f x ，利用正弦函数的性质求出[sin 2x ∈-，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】()22(1sin )sin 2sin =sin 1f x x x x x ---+=-+因为,4[3x ππ∈-]，所以[sin x ∈令sin t x =，[t ∈则2g(t)=t ()1f x t =-+,二次函数g(t)在区间21[,]22上单调递减，在区间[122上单调递增21g(⎛⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，2g 1=-=⎝⎭所以()f x 的最大值为32+ 故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11.将函数()()(2)sin 22f x x ππθθ+-<<=的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()()f x g x ，的图象都经过点1(0)2P ，，则ϕ的值可以是（ ）A. 6π B.2π C.43π D.76π 【答案】C 【解析】 【分析】 由()10sin 2f θ==，得出6πθ=，根据平移变换得到()()sin 26g x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，由1(0)2g =结合正弦函数的性质得到k ϕπ=,k Z ∈或3k πϕπ=+,k Z ∈，由1k =即可得到答案.【详解】因为()10sin 2f θ==，22ππθ-<<，所以6πθ=由题意可得()()sin 26g x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦11(s 0)2in 262g πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=⇒，解得：2266k ππϕπ+=+,k Z ∈或52266k ππϕπ+=+,k Z ∈即k ϕπ=,k Z ∈或3k πϕπ=+,k Z ∈当1k =时，433ππϕπ=+=故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x ∈R ，用符号[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]1.611.62==--，，则[]=y x 叫做高斯函数.给定函数()[]=f x x x -，若关于x 的方程()1log 0=2()1a f x x a a ⎛⎫>⎪-⎭≠⎝，有5个解，则实数a 的取值范围为（ ） A. [5.5,6.5)B. (5.5,6.5]C. [6.5,7.5)D.(6.5,7.5]【答案】D 【解析】 【分析】证明函数()f x 是以1为周期的周期函数，并根据[)0,1x ∈时，()f x 的图象画出()f x ，[)0,x ∈+∞ ，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论a 的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数a 的取值范围.【详解】()[][][]111=1()1f x x x x x f x x x =+---=++-+=所以函数()f x 是以1为周期的周期函数，当[)0,1x ∈时，[]0x =，则()=f x x 要使得()1log 0=2()1a f x x a a ⎛⎫ >⎪-⎭≠⎝，有5个解，即函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-与函数()f x 的图象有5个交点.当01a <<时，函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-与函数()f x ，[)0,x ∈+∞的图象如下图所示不满足题意当1a >时，函数1y log 2=a x ⎛⎫⎪⎝⎭-与函数()f x ，[)0,x ∈+∞的图象如下图所示要使得函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-与函数()f x 的图象有5个交点，则函数1y log 2=a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的图象低于点A ，不低于点B故有113log 7log log 2211511log 8log log 22a a a a a a a a⎧⎧⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥≥ -⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎩⎩-⎭ ，解得：6.57.5a <≤故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置 13.若向量)=2(1a ，与)=4(b m ，共线，则实数=m ___________; 【答案】2 【解析】 【分析】由向量共线得到1420m ⨯-=，即可得到m .【详解】向量)=2(1a ，与)=4(b m ，共线，则1420m ⨯-=，解得2m = 故答案为：2【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题. 14.求值sin61 cos1sin 29sin1︒︒-︒︒=___________. 3【解析】 【分析】利用诱导公式得到sin 61 =sin(90 29)=cos29︒︒-︒︒，逆用两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】sin 61 =sin(90 29)=cos29︒︒-︒︒则3sin 61 cos1sin 29sin1cos29cos1sin 29sin1cos 30=︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒ 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15.若函数()331,1=log (1),1x x f x x x ⎧-≤⎨->⎩在(]a -∞，上的最大值为2，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[1,10] 【解析】 【分析】先确定()2f x =的解，画出函数()f x 的图像，根据图像分析即可得出实数a 的取值范围. 【详解】312x-=，解得1x =；33log (1)2lo 9g x -==，解得10x = 函数()f x 的图像如下图所示由图可知，要使得函数()f x 在(]a -∞，上的最大值为2，则110a ≤≤ 【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题. 16.若函数()f x 同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”: （1）任意()()=0x R f x f x ∈-+，恒成立;（2）任意12x x R ∈，，且12x x ≠，都有()()1212(][)0x x f x f x -->以下四个函数:①1=y x x-；②)lgy x =；③11231x y =-+；④x xx xe e y e e---=+中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）. 【答案】③④ 【解析】 【分析】先由单调性以及奇偶性定义得到 “和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意()(),0=x R f x f x ∈-+恒成立，则任意()(),=x R f x f x ∈-- 即函数()f x 在R 上为奇函数 取12x x <，因任意12x x R ∈，，且12x x ≠，都有()()1212(][)0x x f x f x -->，所以()12()f x f x <()f x 在R 上增函数①函数1=y x x-的定义域为{}0x x ≠，故①不是和谐函数；0x x R ≥⇒∈，令)()lgf x x =))()lg g lg l x x f x x x ⎡⎤==-=，则函数)lgyx =在R 上为奇函数，但(0)0,(1)1)0f f ==<，即不是增函数，故②不是和谐函数；③令()1131()231231x x x g x -=-=++，定义域为R ()111313()()231231231x x x x x g x g x ---=-=-==-+++，则函数11231x y =-+在R 上为奇函数；设12x x <，122112111111()()2312313131x x x x g x g x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭因为213131x x +>+，所以211103131x x -<++，即12()()<g x g x 所以函数11231x y =-+在R 上为增函数，故③为和谐函数； ④令()x xx xe e h x e e---=+，定义域为R ()()x x x x x x x x e e e e h x h x e e e e -------==-=-++，则函数x xx x e e y e e---=+在R 上为奇函数；设12x x <，()()()()1212112211221122122()()x x x x x x x x x x x x xx x x e e e e e e h x h x e e e e e e e e -------------=-=++++ 因为120x x -<，()120x x -->，所以()1212x x x x e e ---< 即12()()h x h x <即函数()h x 在R 上为增函数，故④是和谐函数； 故答案为：③④【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题. 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17.已知全集=U R ，集合{}{}={|13}124,|1xA x xB xC x a x a -≤<=≤≤=≤≤+,（1）求(,);UA B A B ⋃（2）如果A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3|}1{A B x x ⋃=-≤<，()UA B =∅（2）{|2a a <-或3}a ≥【解析】 【分析】(1)化简集合B ，求出集合A 的补集，即可求解(,);UA B A B ⋃(2)根据集合A 与集合C 没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解. 【详解】解：（1）因为13{|}A x x =-≤<，{|124}{|02}x B x x x =≤≤=≤≤{|1UA x x =<-或3}x ≥3|}1{A B x x ⋃=-≤<，)(U A B =∅（2）因为A C ⋂=∅，所以集合A 与集合C 没有公共部分或故有11a +<-或3a ≥，解得：2a <-或3a ≥ 即实数a 的取值范围是{|2a a <-或3}a ≥【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题. 18.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AC 的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，试用AB AD 、表示EF ; （2）若AB ＝2，BC ＝3，当·3AE BF =时，求DF 的长. 【答案】（1）1162EF AB AD =+（2）12【解析】 【分析】(1)根据平行四边形法则得到1122EC AB AD =+，13CF AB =-，结合三角形法则并化简得EF ； (2)建立直角坐标系，用坐标表示AE 、BF ，即可得到DF 的长.【详解】解：（1）因为E 是AC 中点，所以111222EC AC AB AD ==+. 因为F 是CD 上靠近C 的三等分点，所以，1133CF DC AB =-=-.所以1111122362EF EC CF AB AD AB AB AD =+=+-=+.（2）如图，以A 为原点，分别以D AB A 、的方向为x y 、轴的正方向，建立平面直角坐标系 设DF 的长为([0,2])a a ∈,则3(0,0)(2,0)(1,)(,3)2A B E F a 、、、.所以3(1,),(2,3)2AE BF a ==-.因为3AE BF ⋅=，所以9232a -+=, 所以12a =,即DF 的长为12. 【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题. 19.已知函数()()()21sin 212sin cos 42f x x x x π+=⋅-- （1）求()f x 的单调递增区间; （2）若(0,)a π∈，且2482f απ⎛⎫⎪⎭+⎝=求tan 6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值. 【答案】（1）单调递增区间为3[,],162162k k k Z ππππ-++∈（2）23+ 【解析】 【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简()f x ，根据正弦函数的单调增区间化简得到()f x 的单调递增区间； (2)根据函数()f x 的解析式以及4822f απ⎛⎫⎪⎝+⎭=化简得到sin()14πα+=，再由(0,)απ∈确定4πα=，再由两角和的正切公式求出tan 6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+.【详解】解：（1）由已知得：1()sin 2cos 2cos 42f x x x x =-11sin 4cos 422x x =- 2)4x π=- 由242,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得3,162162k k x k Z ππππ-+≤≤+∈.所以()f x 的单调递增区间为3[,],162162k k k Z ππππ-++∈. （2）因为()482f απ+=,sin[4()]484αππ+-=, 即sin()14πα+=.因为(0,),απ∈所以5(,),444πππα+∈ 因此,42ππα+=即4πα=所以tantan46tan()tan()6461tan tan 46πππππαππ++=+=-12===【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题. 20.在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80％出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（x 元）后，还可按如下方案获得相应金额（y 元）的奖券:20,100300,30,300400 50400600,80,600800,...x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，，根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:3000.220=80⨯+（元）.设购买商品得到的=购买商品获得的优惠额优惠率商品的标价，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在400][700，（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30％的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是30%（2）购买标价为500元的商品可以得到30%的优惠率【解析】 【分析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为m 元的商品可以得到30%的优惠率，分别讨论[400,500)m ∈和[500,700]m ∈，根据优惠率30%列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为800元的商品优惠额为:8000.2+80=240⨯元,所以优惠率为：240=0.3800. 答：购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是30%. （2）设购买标价为m 元的商品可以得到30%的优惠率. 当[400,500)m ∈时，0.8[320,400)m ∈， 优惠率为：0.23030%m m+=，解得300m =. 因为300[400,500)∉，所以不合题意，舍去. 当[500,700]m ∈时，0.8[400,560]m ∈， 优惠率为：0.25030%m m+=，解得500m =. 因为500[500,700]∈，符合题意.答：购买标价为500元的商品可以得到30%的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21.已知函数()()sin 006,||)2=(3A f x x A x ππωϕωϕ+><<<=，，是函数()f x 的零点，=12x π是函数()f x 图象的对称轴，且()212f π=.（1）求函数()=y f x 的解析式; （2）若函数()()=g x f x m -在[0]2π-，上有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）()2sin(2)3f x x π=+（2）(2,-【解析】 分析】(1)根据函数()f x 图象的对称轴以及()212f π=，得出2A =，由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()212f π=列出方程组，解出12124(2)2,,k k k k Z ω=--∈，根据06,||2πωϕ<<<得出ω，ϕ；(2)将零点问题转化为函数()y f x =与函数y m =的交点问题，根据图像，求出m 的取值范围.【详解】解：（1）=12x π是函数()f x 图象的对称轴，且()212f π=，0A >则2A =由已知得sin()0,3sin()112πωφπωφ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以1122,32,,122k k Z k k Z πωφππωπφπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩所以12124(2)2,,k k k k Z ω=--∈, 又因为06,ω<<,2πϕ<所以2ω=，3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+（2）依题意知函数()y f x =与y m =在[,0]2π-上有2个交点结合图象可知：函数2sin(2)3y x π=+在5[,]212ππ--上单调递减， 在5[,0]12π-上单调递增，当2x π=-时，y =当512x π=-时，2y =-；当0x =时，y =所以m 的取值范围为(2,-.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22.已知函数()3=)3(x x af x a b R b+∈+，（1）当31a b ==-，时，求满足方程()3xf x =的x 的值;（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数.①若存在1[]2t ∈-，，使得不等式()()21f t f t k >--成立，求实数k 的取值范围; ②已知函数()g x 满足()()3=3xxf xg x --⋅，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式()()22[]8g x m g x ⋅--≥恒成立，求实数m 的最大值【答案】（1）1x =（2）①1k >-②【解析】 【分析】(1)解方程33331x xx+=-求出x 的值即可； (2)根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，由定义列出方程，求出1a =-，1b =对于①，利用函数单调性的定义证明()f x 的单调性，利用单调性化简不等式得到1k t >-+，由[]1,2t ∈-，即可得到实数k 的取值范围；对于②，由()f x 的解析式得到()g x 的解析式，化简()()22[]8g x m g x ⋅--≥，结合换元法以及基本不等式得到实数m 的最大值.11【详解】解：（1）因为3a =，1b =-，所以33331x xx+=-，化简得()232330x x -⋅-=，解得31x =-（舍）或33x =，所以1x =.（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以33033x x x x a ab b--+++=++化简变形得：()()33220x xa b ab -++++=要使上式对任意x 恒成立，则0a b +=且10ab +=解得：11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，因为()f x 的定义域是R ，所以11a b =⎧⎨=-⎩舍去所以1a =-，1b =，所以()3131-=+x x f x .①()31213131x x xf x -==-++， 对任意1x ，2x R ∈，且12x x <有：()()()()()122112122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以12330x x -<，所以()()12f x f x <， 因此()f x 在R 上单调递增， 因为()()21f t f t k >--，当[]1,2t ∈-时成立，所以21t t k ->-，当[]1,2t ∈-时成立，即1k t >-+，当[]1,2t ∈-时成立，当[]1,2t ∈-时，min (1)1t -+=-，所以1k >-.②因为()()33x x f x g x -⋅=-，所以()()3320x xg x x -=++≠，所以()()222233233x x x x g x --=++=+，不等式()()22[]8g x m g x ⋅--≥恒成立，即()()233338x x x x m --+≥⋅+-，令33x x s -=+，因为x ∈R 且0x ≠，所以23322x x -+=+>，即2s >，所以28s m s ≥⋅-，当2s >时恒成立，即8m s s≤+，当2s >时恒成立，因为2s >，28s s +=+≥s =时，等号成立，所以m ≤m 的最大值为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、利用函数单调性解不等式以及基本不等式，属于难题.。
2021-2022学年福建省宁德市高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省宁德市高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x ∈N |x ≤2}，则A ∪B =（ ） A ．{2，3} B ．{0，1，2，3} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】B【分析】先求出集合B ，再求A ∪B.【详解】因为{1,2,3},{0,1,2}A B ==，所以0,1,3}2,{A B =. 故选：B2．命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”的否定是（ ） A ．(0,)sin 2x x x π∀∈≥，B ．(0,)sin 2x x x π∀∈>，C ．(0,)sin 2x x x π∃∈≤，D ．(0,)sin 2x x x π∃∈>，【答案】D【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”为全称命题， 按照改量词否结论的法则，所以否定为：(0,)sin 2x x x π∃∈>，， 故选：D 3．已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ）AB ．1π3C ．2π3D ．4π3【答案】B【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π32π6=，所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B4．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．4aB ．4a 或0a =C ．4a ≤-D ．40a【答案】A【分析】先讨论系数为0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可. 【详解】,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立， 当0a =时，显然不恒成立，所以0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩，解得：4a.故选：A.5．已知0.50.5e ,ln 5,log e a b c -===，则（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可. 【详解】因为0.500=e <e 1a -<=，ln5lne=1b =>，0.50.5=log e<log 1=0c ， 所以c a b <<， 故选：A.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f -=-，则(2020)(2021)f f +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】由()(4)f x f x =+得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值．【详解】∵()f x 是奇函数，∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=， 又()(4)f x f x =+，∴()f x 是周期函数，周期为4． ∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=． 故选：C ．7．已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，()sinh x x x =+的零点分别为,,,a b c 则,,a b c的大小顺序为（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】C【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数()e xf x x =+，()ln g x x x =+，()sin h x x x =+的零点转化为e x y =，ln y x =，sin y x =与y x =-的图象的交点的横坐标，因为零点分别为,,,a b c在坐标系中画出e x y =，ln y x =，sin y x =与y x =-的图象如图： 可知0a <，0b >，0c ， 满足a c b <<． 故选：C ．8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ）A ．1(2)2y f x =+B ．(21)y f x =+C ．1()22x y f =+D ．(1)2xy f =+【答案】B【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到()1y f x =+的图象，再把(1)=-y f x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变）得到的，所以右图的图象所对应的解析式为(21)y f x =+. 故选：B 二、多选题9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．21y x =+B ．3y x =C ．23y x = D ．3x y -=【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断. 【详解】对于A ： ()2211=-+=+y x x∴ 函数21y x =+ 是偶函数，在()0,∞+ 上是增函数，故A 正确；对于B ： ()33=-=-y x x∴ 函数3y x = 是奇函数，故B 错误；对于C ：()2233=-=y x x23y x ∴=是偶函数，在()0,∞+ 上是增函数，故C 正确； 对于D ： 33---==xxy3-∴=xy 是偶函数，在()0,∞+ 上是减函数，故D 错误.故选：AC 10．若110a b<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b < B ．a b <C ．a b ab +<D ．2b aa b+>【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质求解即可 【详解】由于110a b<<，则0b a <<，故a b <错误； 0a b ab +<<正确；||||a b <正确；2222a b a b abb a ab ab ++=>=，∴2b a a b +>，正确故选：BCD ．11．若函数()tan(2)3f x x π=+，则下列选项正确的是（ ）A ．最小正周期是 πB ．图象关于点(,0)3π对称C ．在区间7(,)1212ππ上单调递增D ．图象关于直线12x π=对称【答案】BC【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可． 【详解】函数tan(2)3y x π=+，函数的最小正周期为：2π，A 错误； 令23246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈，， 当2k =时，3x π=，所以图象关于点(,0)3π对称，B 正确；因为2232k x k πππππ-<+<+，k Z ∈，解得5(212k x ππ∈-，)212k ππ+，当1k =时，7(,)1212x ππ∈,所以在区间7(,)1212ππ上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误 故选：B C ．12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令[]()22f x x x =-，以下结论正确的是（ ） A ．()1.10.8f -=B ．()f x 为偶函数C ．()f x 最小正周期为12D ．()f x 的值域为[]0,1【答案】AC【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于A ，直接求解即可，对于B ，取 1.1x =-，检验可得反例，对于C ，直接求解()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可；对于D ，要求()f x 的值域，只需求102x ≤<时()f x 的值域即可.【详解】对于A ，()[]2.21 2.230..8.122f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.8f -=，而()[]2.2 2.2 2.221021..f --===， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为偶函数，故B 错误.对于C ，则[][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭，故C 正确.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为12， 要求()f x 的值域，只需求102x ≤<时()f x 的值域即可.当0x =时，则()[]0000f =-=， 当102x <<时，()[]22202(0,1)f x x x x x =-=-=∈， 故当102x ≤<时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 错误. 故选：AC ． 三、填空题135log 25=_____． 【答案】6【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.5log 25426=+=， 故答案为：614．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.（1）12x x R ∀∈， ，若12x x >则12()()f x f x >（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+= 【答案】()2x f x =，答案不唯一【分析】由条件（1）12x x R ∀∈， ，若12x x >则12()()f x f x >.可知函数()f x 为R 上增函数；由条件（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+=.可知函数()f x 可能为指数型函数. 【详解】令()2x f x =，则()2x f x =为R 上增函数，满足条件（1）.又1212()2x x f x x ++=，121212()()222x x x xf x f x +=⨯=故12()f x x +=12()()f x f x即121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+=成立.故答案为：()2x f x =，（()3x f x =，()4xf x =等均满足题意）15．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45． 则αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________. 【答案】1【分析】根据任意角三角函数的定义可得3sin 5α=，4cos 5α=，4sin 5β=，3cos 5β=，再由()sin αβ+展开求解即可.【详解】以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45所以3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，所以4sin 5β=，β是锐角，可得3cos 5β=， 所以()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，所以αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为1. 故答案为：1. 四、双空题16．已知函数()2log ,042,482x x f x cos x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，,t R ∃∈使方程()f x t =有4个不同的解：1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是_________; 1234x x x x +++的取值范围是________.【答案】 (32,35) 65(14,)4【分析】先画出分段函数()f x 的图像，依据图像得到12,x x 之间的关系式以及34,x x 之间的关系式，分别把1234x x x x +++和1234x x x x 转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.【详解】做出函数()2log ,042,482x x f x cos x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩的图像如下：()f x 在](0,1单调递减：最小值0；()f x 在[]1,4单调递增：最小值0，最大值2； ()f x 在[]4,8上是部分余弦型曲线：最小值2-，最大值2.若方程()f x t =有4个不同的解：1234,,,x x x x ，则02t << 不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<< 12,x x 是方程2log x t =(04)x <<的解，则2122log log x x =-，即121=x x ；34,x x 是方程2cos2x t π=(48)x ≤≤的解，则由余弦型函数的对称性可知3412x x +=.故2123434333(12)(6)36x x x x x x x x x ==-=--+，由345x <<得2332(6)3635x <--+<即12343235x x x x << 1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当1114x <<时，1()12m x x x=++单调递减，则1116514124x x <++< 故答案为：①(32,35)；②65(14,)4五、解答题17．设集合U R =，{}|1327xA x =≤≤，{}|12B x m x m =-≤≤．(1)3m =，求UA B ⋂；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求m 的取值范围． 【答案】(1){}02x x ≤< (2)1m <-或312m ≤≤【分析】（1）先求集合B 的补集，再与集合A 取交集；（2）把“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件转化为集合A 与B 之间的关系再求解m 的取值范围． (1)3m =时，{}{}|12|26B x m x m x x =-≤≤=≤≤，()()U 26B =-∞⋃+∞，， 又{}{}|1327|03xA x x x =≤≤=≤≤故{}U 02A B x x ⋂=≤< (2)由题意知：“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，即B A ⊆当1m <-时，12m m ->，{}|12B x m x m A =-≤≤=∅⊆，满足题意； 当1m ≥-时，B ≠∅，欲满足B A ⊆则必须11023m m m ≥-⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩解之得312m ≤≤综上得m 的取值范围为1m <-或312m ≤≤18．已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明． 【答案】(1)()2121x f x =-+ (2)见解析【分析】（1）由()()0021133b f a b f a ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩可得解；（2）利用单调性的定义证明即可. (1)已知()21xb f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =，所以()()0021133b f a b f a ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩， 所以()2121xf x =-+， (2)根据指数函数的单调性可判断得()2121x f x =-+为增函数. 下证明：设12,x x 是R 上任意给定的两个实数，且12x x <， 则()()121221(1)21212x x f x f x -=---=++()()12122(22)2121x x x x -=+⋅+ 12x x <，2122x x ∴>，1210x +>，2210x +>， ()()12f x f x ∴<∴函数()y f x =在R 上是单调递增函数19．已知函数2()f x ax bx c =++，(),,a b c R ∈只能同时满足下列三个条件中的两个： ①()0f x <的解集为(1,3)-； ②1a =-；③()f x 最小值为4-．(1)请写出这两个条件的序号，求()f x 的解析式； (2)求关于x 的不等式()2()(2)23,f x m x m m R ≥-+-∈的解集. 【答案】(1)2()23f x x x =--(2)答案见解析【分析】（1）若选①②，则()0f x <的解集不可能为(1,3)-；若选②③，1a =-，()f x 开口向下，则()f x 无最小值．只能是选①③，由函数()0f x <的解集为(1,3)-可知，-1，3是方程20ax bx c ++=的根，则()(1)(3)f x a x x =+-，又由()f x 的最小值可知0a >且在对称轴1x =上取得最小值，从而解出；（2）由()2()(2)23,f x m x m m R ≥-+-∈，即()(2)0x m x m +-≥，然后对m 分类求解得答案；(1)选①②，则1a =-，()f x 开口向下，所以()0f x <的解集不可能为(1,3)-； 选①③，函数()0f x <的解集为(1,3)-，1∴-，3是方程20ax bx c ++=的根，所以()f x 的对称轴为1x =，则2()(1)(3)23f x a x x ax ax a =+-=--，所以2,3b a c a =-=-， 又()f x 的最小值为4-，f ∴（1）44a =-=-，解得，1a =，所以22,33b a c a =-=-=-=- 则2()(1)(3)23f x x x x x =+-=--；选②③，1a =-，()f x 开口向下，则()f x 无最小值． 综上，2()23f x x x =--. (2)由()2()(2)23,f x m x m m R ≥-+-∈化简得2220x mx m --≥．()(2)0x m x m ∴+-≥．若0m <，则{2x x m ≤或}x m ≥-； 若0m =，则不等式解集为R ； 若0m >，则{2x x m ≥或}x m ≤-．∴当0m <时，不等式的解集为{2x x m ≤或}x m ≥-；当0m =，则不等式解集为R ；当0m >，则不等式的解集为{2x x m ≥或}x m ≤-． 20．已知()4cos()cos 13f x x x π=--．(1)设[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域；(2)设2()2123f απ+=，求5cos(2)3πα+的值． 【答案】(1)[1,2]- (2)79- 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果． (1)()4cos()cos 13f x x x π=--214(cos )cos 12cos cos 12x x x x x x -=+-=cos222sin(2)6x x x π==+， [,]63x ππ∈-，所以2[66x ππ+∈-，5]6π， 故当ππ266x，即6x π=-时，函数()f x 取得最小值1-； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值2．所以()f x 的值域为[1,2]- (2) 由2sin[2()]2sin()12()21263223f απαπππα+=++=+=， 得1sin()33πα+=． 于是257cos(2)cos[2()]cos[2()]2sin ()133339ππππααπαα+=++=-+=+-=-． 21．闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是1C θ，空气的温度是0C θ，那么t 分钟后茶水的温度θ（单位：C ）可由公式()()010ktt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80C ，放在20C 的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是50C ．(1)求k 的值；(2)经验表明，温度为 80C 的该红茶水放在20C 的空气中自然冷却至60C 时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1，附：参考值ln20.7,ln3 1.1≈≈）【答案】(1)ln 210k =(2)5.7【分析】（1）由()()0801050θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程可得解； （2）令()60t θ=，解方程可得解.(1)由题意可知，()()()()()()00010110100101020208010202050k k e e e e θθθθθθθθθθ--⎧=+-=+-=⎪⎨=+-=+-=⎪⎩，其中180θ=， 所以101,10ln 22k e k -==， 解得ln 210k =(2)设刚泡好的茶水大约需要放置t 分钟才能达到最佳饮用口感，由题意可知，1080,20,θθ==，令()60t θ=，所以()ln 21060208020t e -=+-， ln 21023t e -=，ln 2ln 3ln 210t =-， 所以()()10ln 3ln 2101.10.7 5.7ln 20.7t --==≈， 所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感.22．已知函数()ln ,f x x =()e e x x g x -=-(1)若[]0,1x ∃∈，()()g x f a <成立，求实数a 的取值范围;(2)证明：()()sin2e h x f x x π=+有且只有一个零点0x ，且03sin 2e 2x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭． 【答案】(1)1a >(2)证明见解析.【分析】（1）把已知条件转化成()f a 大于()g x 在[]0,1上的最小值即可解决；（2）先求导函数，判断出函数的单调区间，图像走势，再判断函数零点，隐零点问题重在转化.(1)由()e e x x g x -=-得()'0e e x x g x -=+>，则()g x 在[]0,1上单调递增， ()g x 在[]0,1上最小值为()0000e e g =-=若[]0,1x ∃∈，()()g x f a <成立，则必有()0f a > 由()ln 0f a a =>，得1a >故实数a 的取值范围为1a >(2)()ln ,f x x =在(e,)+∞上单调递增，且()1f x >恒成立， sin 2e y x π=最小正周期24e 2e T ππ==，在(e,)+∞上最小值为1-由此可知()()sin2e h x f x x π=+在(e,)+∞恒为正值，没有零点. 下面看()()sin 2e h x f x x π=+在](0,e 上的零点情况.()ln sin2e h x x x π=+，](0,e x ∈，则(0,2e 2x ππ⎤∈⎥⎦ ()'1cos 02e 2eh x x x ππ=+> 即()ln sin 2e h x x x π=+在](0,e 单调递增，()1ln1sin sin 02e 2e h ππ=+=>，111sin 02226h h π⎛⎫<==-+<-+< ⎪⎝⎭ 故()ln sin 2e h x x x π=+在](0,e 上有唯一零点.综上可知，()()sin2e h x f x x π=+在(0,+)∞上有且只有一个零点. 令00ln sin 02e x x π+=，则01(,1)2x ∈，00sin ln 2ex x π=- 0000sin sin ln ln 02e 2e 001sin e e e e 2e x x x x x g x x πππ--⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 令11(),(,1)2n x x x x =-∈，则'21()10n x x =--< 即1()n x x x=-在1(,1)e 上单调递减，1113()()2222n x x n x =-<=-= 故有00013sin 2e 2x g x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭。
福建省宁德市2021-2022学年度第一学期期末高一质量检测数学试卷(解析版)
宁德市2021-2022学年度第一学期期末高一质量检测数学试题本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第I 卷（选择题 共60分）一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3A =，{}|2B x N x =∈≤，则A B U =（ ） A ．{1，2} B ．{2，3}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}答案：D 解析：{}0,1,2B =，{}0,1,2,3A B ∴⋃=故选D ．2．命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”的否定是（ ） A ．(0,)sin 2x x x π∀∈≥， B ．(0,)sin 2x x x π∀∈>， C ．(0,)sin 2x x x π∃∈≤， D ．(0,)sin 2x x x π∃∈>， 答案：D解析:“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”条件P 是:“(0,)2x π∈”，结论q 是:“sin x x x ∀≤，在定义域恒成立”，命题的否定是否定其结论，即P :“(0,)2x π∈”，q: “000sin x x x ∃>，使得在定义域有解”故选D ． 3．已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ）A B ．1π3C ．2π3D ．4π3答案：B解析:326lr ππθ=== 123S lr π∴==，故选B ． 4．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．4a <-B ．4a <-或0a =C ．4a ≤-D ．40a -<<答案：Ａ解析:由2440a a <⎧⎨∆=+<⎩得4a <-，故选Ａ．5．已知0.50.5,ln5,log a e b c e -===，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<答案：Ａ 解析:0.50.501,1ln5,log 0e e -<<<<故选Ａ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f -=-， 则(2020)(2021)f f +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2答案：ＣA ．1(2)2y f x =+B ．(21)y f x =+C ．1()22x y f =+D ．(1)2x y f =+答案：B解析:由（１）得()sin f x x π=，由（２）得3()sin 2()sin(23)2g x x x πππ=+=+ 所以()sin ()sin()sin(23)f x x x x ωϕπωϕωπϕπππ+=+=+=+ 所以2,32,k k Z ωϕ==+∈，即1k =-，B 选项满足题意，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ）答案： BCD 解析: 1100b a a b<<<<由得,A 选项错误; B. a b a b b a <⇔-<-⇔<成立，该选项正确； C. 0ab a b >>+,该选项正确； D.0,2b aab a b a b>≠∴+>且方法2.特殊值检验，取1,2a b =-=-，排除A. 故选BCD.11．若函数()tan(2)3f x x π=+，则下列选项正确的是（ ）A ．最小正周期是 πB ．图象关于点(,0)3π对称C ．在区间7(,)1212ππ上单调递增 D ．图象关于直线12x π=对称答案：BC解析：()tan(2)3f x x π=+A ．最小正周期是2π,故A 错；B ．图象的对称点横坐标0x 满足02,32k x k Z ππ+=∈，得046k x ππ=-，当023k x π==时，，所以图象的对称点为(,0)3π，故B 正确；C ．令2,232k x k k Z πππππ-+<+<+∈即5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈故，当1k =时，()tan(2)3f x x π=+在区间7(,)1212ππ上单调递增，故C 正确;D ．正切函数图象无对称轴，故D 错. 综上，选BC.12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]22f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．()1.10.8f -=B ．()f x 为偶函数C ．()f x 最小正周期为12D ．()f x 的值域为[]0,1答案：AC解析：A ．()[]1.1 2.2 2.2 2.2(3)0.8f -=---=---=，故A 正确;B ．存在()[]1.1 2.2 2.2 2.2(2)0.2f =-=-=,()()1.1 1.1f f ≠-且()()1.1 1.1f f ≠--故函数为非奇非偶函数，故B 错误；C ．()0,()T f x T f x ∃>+=使得()()()22f x T x T x T +=+-+⎡⎤⎣⎦n N +∃∈()()22x T x T +-+⎡⎤⎣⎦使得=[]()222x T x n +-+=[][]22222()x x T n x x f x -+-=-= 此时，122n T =≥，故()f x 最小正周期为12，故C 正确;D ．设2,,[0,1)x n m n Z m =+∈∈，则函数()[]22[]f x x x n m n m =-=+-+=n m n m +-=[0,1)∈故()f x 的值域为[)0,1，故D 错误.法2：由C 选项知()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()121,0212,02121,1x x f x x x x x ⎧⎪⎪--≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪+≤<⎪K 所以()[)0,1f x ∈三、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置）135log 25= ． 答案：6255log 254log 56=+=.14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数： .（1）12x x R ∀∈， 若12x x >则12()()f x f x >（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+= 答案：()2,3, (x)xxf x e =选其中一个函数.解析：条件（1）表示函数()f x R 在上单调递增，条件（2）表示（乘性）柯西函数方程(),x f x a =(1)f a =，故可取(),1x f x a a =>如：()2,3, (x)xxf x e =选其中一个函数.15．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45． 则αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为 . 答案：1 解析：35P y =得45P x = 45Q y =得35Q x =sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+=33445555⨯+⨯=1. 16．已知函数()2log ,042cos ,428x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是 ; (本小题第一个空3分，第二个空2分) 答案：()32,35；6514,4⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：如图，02t <<时，方程存在41311,454x x ∴<<<< 2log x t ∴=时，1222log log x x =得1222log log x x -=即21211,1x x x x == 由正弦函数对称性知3412x x +=()()2123434333312636,45x x x x x x x x x x ∴==-=--+<<()233()636f x x =--+在()4,5上单调递增，所以12343235x x x x <<； 123411112x x x x x x ∴+++=++ 1111()12f x x x =++在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以123465144x x x x <+++< 四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）设集合U R =，{}|1327xA x =≤≤，{}|12B x m x m =-≤≤．（I ）3m =，求U A C B ⋂；（II ）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求m 的取值范围． 参考解析： {}|03A x x =≤≤…………………………………..1分 （I ）当3m =时，{}|26B x x =≤≤…………………………………..2分 得{}|26U C B x x x =<<或…………………………………..3分 所以U A C B ⋂＝{}|02x x ≤<…………………………………..4分 （II ）由“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件知，B A ⊆，①若B =∅，则12m m ->得1m <-…………………………………..5分②若B ≠∅，则121023m mm m -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩得312m ≤≤…………………………………..9分综上所述：1m <-或312m ≤≤…………………………………..10分已知()21x b f x a =-+是R上的奇函数，且()113f =． （I ）求()f x 的解析式；（II ）判断()f x 的单调性，并根据定义证明．参考解析：（I ）由()(0)0113f f =⎧⎪⎨=⎪⎩…………………………………..2分得02133b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得12a b =⎧⎨=⎩…………………………………..4分所以2()121x f x =-+…………………………………..5分 （II ）()f x 在R 上单调性递增（备注：只判断没有证明给1分）证明：1221,R x x x x ∀∈>且…………………………………..6分则2212()()121x f x f x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭12121x⎛⎫-- ⎪+⎝⎭…………………………………..7分 12222121x x =-++()()()21122222121x x x x -=++…………………………………..8分 由21x x >得2122xx>，即21220xx->…………………………………..9分又()()1221210x x++>…………………………………..10分所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在R 上单调性递增…………………………………..12分已知函数2()f x ax bx c =++，(),,a b c R ∈只能同时满足下列三个条件中的两个： ①()0f x <的解集为(1,3)-； ②1a =-；③()f x 最小值为4-．（I ）请写出这两个条件的序号，求()f x 的解析式；（II ）求关于x 的不等式()2()(2)23,f x m x m m R ≥-+-∈的解集．参考解析：选①③…………………………………..1分由()0f x <的解集为(1,3)-可知()0f x =的根为121,3x x =-=()1f x x =且对称轴，故顶点14-（，）…………………………………..2分法一：设2()(1)4f x a x =--将（3，0）代入上式…………………………………..4分 得044a =-解得1a =…………………………………..5分 所以2()(1)4f x x =--…………………………………..6分 法二：前述分值同法一设()(1)(3)f x a x x =+-将14-（，）代入上式……………………………4分 得44a -=-解得1a =…………………………………..5分 所以()(1)(3)f x x x =+-…………………………………..6分法三：由2133444b a c a ac b a ⎧-+=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩…………………………………..3分 得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以2()23f x x x =--…………………………………..6分 法四：由09304a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩…………………………………..3分得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以2()23f x x x =--…………………………………..6分（II ）2()(2)23f x m x m ≥-+-化简得2220x mx m --≥………………………………..7分 即()()20x m x m -+≥，对应方程的根为12,2x m x m =-=…………………………..8分 ①若2m m -=，即0m =时，解集为R …………………………………..9分 ②若2m m ->，即0m <时，解集为{}|2x x m x m ≤≥-或………………10分 ③若2m m -<，即0m >时，解集为{}|2x x m x m ≤-≥或…………………11分 综上，0m =时，解集为R ；0m <时，解集为{}|2x x m x m ≤≥-或；0m >时，解集为{}|2x x m x m ≤-≥或.…………………………………..12分20.（本小题满分12分） 已知()4cos()cos 13f x x x π=--．（I ）设[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域； （II ）设2()2123f απ+=，求5cos(2)3πα+的值．参考解析：（I ）1()4(cos )cos 123f x x x x =--…………………………………..1分22cos cos 1x x x =+-cos 22x x =+……………………………………..3分 2sin(2)6x π=+…………………………………..4分令6t x π=+，由[,]63x ππ∈-，5[,]66t ππ∈-…………………………………..5分 可知1sin [,1]2t ∈-，所以()[1,2]f x ∈-…………………………………..6分 （II ）解法1.2()2sin()2sin()2126633f αππππαα+=++=+=………………………7分 得1sin()33πα+=…………………………………..8分 由522()33ππααπ+-+=…………………………………..9分得5cos(2)cos(2())33ππαπα+=++…………………………………..10分 cos 2()3πα=-+…………………………………..11分 27(12sin ())39πα=--+=-…………………………………..12分 解法2.2()2sin()2sin()2126633f αππππαα+=++=+=………………………7分 得1sin()33πα+=…………………………………..8分 1cos()63πα∴-=…………………………………..9分 由5cos(2)cos(22)33ππαπα+=-+…………………………………..10分 cos(2)3πα=-…………………………………..11分 272cos ()169πα=--=-…………………………………..12分21. (本小题满分12分)闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是1C θ，空气的温度是0C θ，那么t 分钟后茶水的温度θ（单位：C ）可由公式()()010kt t e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80C ，放在20C 的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是50C ．（I ）求k 的值；（II ）经验表明，温度为 80C 的该红茶水放在20C 的空气中自然冷却至60C 时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1，附：参考值ln 20.7,ln3 1.1≈≈）参考解析：（I ）依题意，()1050θ=，0120,80θθ==()1020802050k e -∴+-=…………………………………..1分化简，1012k e -=…………………………………..2分得，110ln2k -=…………………………………..3分 即，ln 20.70.071010k === （ln 210k =不扣分）…………………………………..4分 （II ）由（I ）得()ln 2102060t t e θ-=+⨯…………………………………..5分()60t θ∴=令，即ln 210206060t e-+=，…………………………………..6分 化简，ln 21032t e -=，…………………………………..7分 3ln 2ln 210t =-…………………………………..8分 得()()310ln 10ln 3ln 210 1.10.7402 5.7ln 2ln 20.77t ⨯⨯-⨯-====≈…………………11分 所以，刚泡好的茶水大约需要静置5.7分钟才能达到最佳饮用口感. ………12分22.（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x =()x x g x e e -=-（I ）若[]0,1x ∃∈，()()g x f a <成立，求实数a 的取值范围;（II ）证明：()()sin 2h x f x x e π=+有且只有一个零点0x ，且03sin 22x g e π⎛⎫< ⎪⎝⎭． 参考解析：（I ）由x e 在x R ∈上单调递增，x e -在x R ∈上单调递减，知()x x g x e e -=-在x R ∈上单调递增…………………………………..1分()g x ∴在[]0,1x ∈上最小值为min ()(0)0g x g ==………………………………..2分 由[]0,1x ∃∈，()()g x f a <成立知()()min g x f a <……………………………3分 得()0f a >，即ln 0,1a a >>…………………………………..4分（II ）()ln sin 2h x x x e π=+当x e ≥时，()ln sin1sin 022h x x x x e e ππ=+≥+≥在[),x e ∈+∞恒成立………..5分 当0x e <<时，ln ,sin2x x e π在()0,x e ∈上单调递增， 所以()ln sin 2h x x x e π=+在()0,x e ∈上单调递增，……………6分又()1sin 02h e π=>，211sin 02h e e π⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭……………………………7分（备注：比如111()lnsin ln 2ln 02242h e π=+<-+=<也得分） 可知存在唯一01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00h x =…………………………………8分 即00ln sin 02x x e π+=00sin (ln )2x g g x e π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………………..9分 00ln ln x x e e -=-001x x =-…………………………………..10分由111()ln sin ln 2ln 02242h e π=+<-+=< （备注：直接判断1()02h <也得分） 可知01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………..11分 0001sin 2x g x e x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 由001x x -在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以001302x x <-< 所以00013sin 22x g x e x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭…………………………………..12分。
宁德市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷-含答案
宁德市2020-2021学年度第一学期期末高一质量检测数 学 试 题（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂。
1. 命题2: ,30p x R x ∀∈+>, 则p ⌝为（ ） .A. 2,30x R x ∀∈+≤B. 2,30x R x ∃∈+>C. 2,30x R x ∀∈+< D. 2,30x R x ∃∈+≤2. 函数()2ln f x x x =-的定义域是( )A. ()0,+∞B.()0,2 (]. 0,2C D. (),2-∞3. 要得到函数()sin 2f x x =的图象，可将函数()sin g x x =的图像（ ） .A.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B. 纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变 C. 横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4. 已知0.620.62,0. 6,log 2a b c ===则（ ） .A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >> 5. 已知不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ） . A.()0,4 B. [)0,4 C. []0,4 D. (](),04,⋃-∞+∞6. 设,,1x y R x y +∈+=,求14x y+的最小值为（ ）。
A. 2B. 4C. 8D. 97. 已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0), -∞单调递减，且(20)f =, 则满足()0xf x ≥的x 的取值范围是（ ）A. (][2,)2,-∞⋃+∞-B. [2,2]-C. [2,0)(0,2]-⋃D. [2,0)[2,)-⋃+∞ 8. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金 分割。
福建省宁德市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试卷(带解析
福建省宁德市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试卷（带解析1．以下赋值语句书写正确的是A．2aB．aa1C．ab2D．a1a【答案】B【解析】试题分析：解：A不正确，因为不能给常量赋值；B正确，把变量a的值与1相加其结果重新赋给变量a；C,D均不正确，因为不能为表达式赋值.故选B.考点：赋值语句.2．下列式子中，不正确的是．．．A．3{某|某4}B．{3}R{3}C．{0}D．{1}{某|某0}【答案】C【解析】试题分析：解：因为34，所以3某某4，A正确；因为3R,所以3因为0R3,B正确；0，所以C不正确；因为10，所以1某某0，D正确.故应选C.考点：集合的基本概念与运算3．某射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛中所得的平均环数某及其方差如表所示，若从中选送一人参加决赛，则最佳人选是甲乙9.36.2丙9.35.7丁9.26.42某9.15.72A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解析】第1页共15页试题分析：由表可知，乙、丙的平均环数最大为9.3，优于甲、丁；乙与丙相比较，丙的方差较小，所以运动员丙的水平比较稳定，最佳人选应的丙，故选C.考点：均值和方差的概念.4．函数f(某)lg某12某的定义域为111A．(0,]B．(0,)C．[,)D．[2,)222【答案】A【解析】试题分析：要使函数f某lg某12某有意义,必须:某012某0解得:0某12所以函数f某lg某12某的定义域是0,21所以,应选A.考点：1、函数定义域的求法；2、对数函数.5．某学校有教师160人，其中高级、中级和初级职称的教师分别有32人、64人和64人．为了了解教师的身体状况，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本．若所抽取的样本中中级职称教师有16人，则n的值为A．32B．36C．38D．40【答案】D【解析】试题分析：解:根据分层抽样的原理,各层的抽样比是相等的,由题设中级教师64人,抽取了16人,抽样比为11,所以,样本容量n1604044所以,应选D.考点：分层抽样某6．在同一坐标系中，函数f(某)a与函数g(某)loga某的图象可以是【答案】B第2页共15页。