全国卷数列高考题汇总附答案

数列专题

高考真题

(2014·I) 17. (本小题满分12分)

已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1=1，𝑎𝑛≠0，𝑎𝑛𝑎𝑛+1=𝜆𝑆𝑛−1，其中𝜆为常数.

（Ⅰ）证明：𝑎𝑛+2−𝑎𝑛=𝜆；

（Ⅱ）是否存在𝜆，使得{𝑎𝑛}为等差数列？并说明理由.

(2014·II) 17.（本小题满分12分）

已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+1.

（Ⅰ）证明{𝑎𝑛+12}是等比数列，并求{𝑎𝑛}的通项公式；

（Ⅱ）证明： 1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛<32 .

(2015·I)（17）（本小题满分12分）

𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和.已知𝑎𝑛>0,𝑎𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛+3，

（Ⅰ）求{𝑎𝑛}的通项公式：

（Ⅱ）设𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1 ,求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和。

(2015·II)（4）等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=3， =21，则 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．

(2016·I)（3）已知等差数列{𝑎𝑛}前9项的和为27，𝑎10=8，则𝑎100=

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

(2016·I)（15）设等比数列{𝑎𝑛}满足 𝑎1+𝑎3=10，𝑎2+𝑎4=5，则 𝑎1𝑎2…𝑎𝑛 的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）

Sn为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑎1=1 ，𝑆7=28 记𝑏𝑛=[𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛]，其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，如[0.9] = 0，[𝑙𝑔 99]=1.

（I）求𝑏1，𝑏11，𝑏101；

（II）求数列{𝑏𝑛}的前1 000项和.

(2016·III)（12）定义“规范01数列”{𝑎𝑛}如下：{𝑎𝑛}共有2𝑚项，其中𝑚项为0，𝑚项为1，且对任意𝑘≤2𝑚，𝑎1,𝑎2,?,𝑎𝑘中0的个数不少于1的个数.若𝑚=4，则不同的“规范01数列”共有

（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个

(2016·III)（17）（本小题满分12分）

已知数列{an}的前𝑛项和Sn=1+𝜆𝑎𝑛，其中𝜆≠0

（I）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（II）若Sn=3132 ，求𝜆.

(2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1 B．2 C．4 D．8

(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100NN且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是

A．440 B．330 C．220 D．110

(2017·II)15. 等差数列na的前项和为nS，33a，410S，则11nkkS ．

(2017·III)9．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若𝑎2,𝑎3,𝑎6成等比数列，则{an}前6项的和为

A．-24 B．-3 C．3 D．8

(2017·III)14．设等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+𝑎2=−1, 𝑎1−𝑎3=−3，则𝑎4=________．

(2018·I)4．记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和.若3𝑆3=𝑆2+𝑆4，𝑎1=2，则𝑎5=

A．−12 B．−10 C．10 D．12

(2018·I)14．记为数列的前项和.若，则_____________．

(2018·II)17．（12分）

记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

(2018·III)17．（12分）

等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

(2019·I)9．记为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和．已知𝑆4=0，𝑎5=5，则

A．𝑎𝑛=2𝑛−5 B．?𝑎𝑛=3𝑛−10 C．𝑆𝑛=2𝑛2−8𝑛 D．𝑆𝑛=12𝑛2−2𝑛

(2019·I) 14．记为等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和．若𝑎1=13，𝑎42=𝑎6，则𝑆5=____________．

(2019·II)5．已知各项均为正数的等比数列{𝑎𝑛}的前4项和为15，且𝑎5=3𝑎3+4𝑎1，则𝑎3=

A．16 B．8 C．4 D．2

(2019·II)14．记为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，𝑎1≠0，𝑎2=3𝑎1，则𝑆10𝑆5=___________.

(2019·III)19．（12分）

已知数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}满足𝑎1=1，𝑏1=0，4𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛−𝑏𝑛+4，4𝑏𝑛+1=3𝑏𝑛−𝑎𝑛−4

（1）证明：{𝑎𝑛+𝑏𝑛}是等比数列，{𝑎𝑛−𝑏𝑛}是等差数列；

（2）求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式. nS{}nan4524aa648S{}nanSnan21nnSa6SnS{}nan17a315S{}nanSnSna15314aaa，nanSnan63mSmnSnSnS

数列专题

参考答案

(2014·I) 17.

（Ⅰ）由题设，𝑎𝑛𝑎𝑛+1=𝜆𝑆𝑛−1,𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2=𝜆𝑆𝑛+1−1

两式相减得𝑎𝑛+1(𝑎𝑛+2−𝑎𝑛)=𝜆𝑎𝑛+1，

由于𝑎𝑛+1≠0，∴𝑎𝑛+2−𝑎𝑛=𝜆 ………………………………………6分

（Ⅱ）𝑎1𝑎2=𝜆𝑆1−1=𝜆𝑎1−1，而𝑎1=1，解得?𝑎2=𝜆−1，

由（Ⅰ）知𝑎3=𝜆+𝑎2

令2𝑎2=𝑎1+𝑎3，解得𝜆=4。

故𝑎𝑛+2−𝑎𝑛=4，由此可得

{𝑎2𝑛−1}是首项为1，公差为4的等差数列，𝑎2𝑛−1=4𝑛−3；

{𝑎2𝑛}是首项为3，公差为4的等差数列，𝑎2𝑛=4𝑛−1。

所以𝑎𝑛=2𝑛−1，𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2

因此存在𝜆=4，使得{𝑎𝑛}为等差数列。…………………………………12分

(2014·II) 17.

（Ⅰ）证明：由𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+1得𝑎𝑛+1+12=3(𝑎𝑛+12)

又𝑎1+12=32，所以{𝑎𝑛+12}是首项为32，公比为3的等比数列

𝑎𝑛+12=3𝑛2，因此{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=3𝑛−12

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1𝑎𝑛=23𝑛−1

因为当𝑛≥1时，3𝑛−1≥2×3𝑛−1，所以13𝑛−1≤12×3𝑛−1

于是1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+?+1𝑎𝑛<1+131+132+?+13𝑛−1=1−13𝑛1−13=32（1−13𝑛）<32

所以1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+?+1𝑎𝑛<32

(2015·I)（17）解：

（Ⅰ）由𝑎𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛+3，可知𝑎𝑛+12+2𝑎𝑛+1=4𝑆𝑛+1+3

可得𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2+2(𝑎𝑛+1−𝑎𝑛)=4𝑎𝑛+1，即

2(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛)=𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2=(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛)(𝑎𝑛+1−𝑎𝑛)

由于𝑎𝑛>0，可得𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2

又𝑎12+2𝑎1=4𝑎1+3，解得𝑎1=−1（舍去），𝑎1=3

所以{𝑎𝑛}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为𝑎𝑛=2𝑛+1…………………6分

（Ⅱ）由𝑎𝑛=2𝑛+1可知

𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1(2𝑛+1)(2𝑛+3)=12(12𝑛+1−12𝑛+3)

设数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，则

𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+...+𝑏𝑛

=12[(13−15)+(15−17)+...+(12𝑛+1−12𝑛+3)]

=𝑛3(2𝑛+3)…………………………………………………………………………12分

(2016·II)17.

（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得

所以的通项公式为

（Ⅱ）因为

所以数列的前项和为

考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.

(2016·III)（17）

解：（Ⅰ）由题意得𝑎1=𝑆1=1+𝜆𝑎1，故𝜆≠1，𝑎1=11−𝜆，𝑎1≠0.

由𝑆𝑛=1+𝜆𝑎𝑛，𝑆𝑛+1=1+𝜆𝑎𝑛+1得𝑎𝑛+1=𝜆𝑎𝑛+1−𝜆𝑎𝑛，即𝑎𝑛+1(𝜆−1)=𝜆𝑎𝑛.由𝑎1≠0，𝜆≠0得𝑎𝑛≠0，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝜆𝜆−1.

因此{𝑎𝑛}是首项为11−𝜆，公比为𝜆𝜆−1的等比数列，于是𝑎𝑛=11−𝜆(𝜆𝜆−1)𝑛−1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得𝑆𝑛=1−(𝜆𝜆−1)𝑛，由𝑆5=3132得1−(𝜆𝜆−1)5=3132，即5)1(132，

解得𝜆=−1．

(2018·II)17．

（1）设的公差为d，由题意得．

由得d=2．

所以的通项公式为．

（2）由（1）得．

所以当n=4时，取得最小值，最小值为?16．

(2018·III)17.

解：（1）设的公比为，由题设得.

由已知得，解得（舍去），或.

故或.

（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.

若，则.由得，解得.

综上，.

(2019·III)19.

解：（1）由题设得4(𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1)=2(𝑎𝑛+𝑏𝑛)，即𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1=12(𝑎𝑛+𝑏𝑛)．

又因为a1+b1=l，所以{𝑎𝑛+𝑏𝑛}是首项为1，公比为12的等比数列．

由题设得4(𝑎𝑛+1−𝑏𝑛+1)=4(𝑎𝑛−𝑏𝑛)+8，即𝑎𝑛+1−𝑏𝑛+1=𝑎𝑛−𝑏𝑛+2．

又因为a1–b1=l，所以{𝑎𝑛−𝑏𝑛}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，𝑎𝑛+𝑏𝑛=12𝑛−1，𝑎𝑛−𝑏𝑛=2𝑛−1．

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实用文档之全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案)

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实用文档之"数列专题"

高考真题

(2014·I) 17. (本小题满分12分)

已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

(2014·II) 17.（本小题满分12分）

已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明： .

(2015·I)（17）（本小题满分12分）

为数列的前项和.已知，

（Ⅰ）求的通项公式：

（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。

第 2 页 / 共 8 页

(2015·II)（4）等比数列满足，135aaa =21，则357aaa

( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

(2015·II)（16）设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．

(2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则

（A）100 （B）99

（C）98 （D）97

(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）

Sn为等差数列的前项和，且=1 ，=28

记，其中表示不超过的最大整数，如.

（I）求，，；

（II）求数列的前1 000项和.

(2016·III)（12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有

（A）18个（B）16个（C）14个

（D）12个

(2016·III)（17）（本小题满分12分）

已知数列的前项和，其中

（I）证明是等比数列，并求其通项公式；

第 3 页 / 共 8 页（II）若，求.

(2017·I)4．记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案）

（10个小型和3个大型，分析型）

一、等差、等比数列的基本运算（8小1大）

1.（2022年第3卷第1卷）已知的算术序列？一前9项的总和是27，A10？8，那么100？（a） 100（b）99（c）98（d）97

【解析】由已知,??9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,选c.

A.9d？8.一

2．（2021年1卷4）记sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，s6?48，则{an}的公差为

a、一,

【解析】：s6?

b、二,

c．4

d、八,

48a1a616a4a5a1a824，

作差a8?a6?8?2d?d?4故而选c.

，

3．（2021年3卷9）等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则

6.a1？a6？？一前六项之和为（）

a．?24

b、 ?。？三

c．3 d、八,

2?a2?a6，即【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则a3?a1?2d?

2.a1？Da1？5d∵ A1？1.用上述公式代入D2？2d？0，以及∵ D0，然后是d？？二

6?56?5d?1?62???24，故选a.∴s6?6a1?224.（2021年2卷15）等差数列?an?的前项和为sn，则a3?3，s4?10，

sk？1n1k？。

a12d3a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以?，解得?，4?3d?14a1?d?102所以an?n,sn?nn?1?n?121??1，那么，那么??22snn?n?1??nn?1?1??1??11?1??1?2n?1?.?21?......21??nn?1n?1?n?1k?1sk??2??23?

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案) 2

全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案）

（10小3大，解析版）

一、等差、等比数列的基本运算（8小1大）

1.（2016年1卷3）已知等差数列na前9项的和为27,108a,则100a

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

【解析】由已知,1193627,98adad所以110011,1,9919998,adaad选C.

2．（2017年1卷4）记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为

A．1 B．2 C．4 D．8

【解析】：16616648162aaSaa，451824aaaa，

作差86824aadd，故而选C.

3．（2017年3卷9）等差数列na的首项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）

A．24 B．3 C．3 D．8

【解析】∵na为等差数列，且236,,aaa成等比数列，设公差为d.则2326aaa，即211125adadad，又∵11a，代入上式可得220dd，又∵0d，则2d

∴61656561622422Sad，故选A.

4.（2017年2卷15）等差数列na的前项和为nS，33a，410S，则11nkkS ．

【解析】设等差数列的首项为1a，公差为d，所以1123434102adad ，解得111ad ，所以1,2nnnnanS，那么1211211nSnnnn ，那么

11111111221......21223111nkknSnnnn .

全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案)之欧阳治创编

欧阳治创编 2021.03.10

欧阳治创编 2021.03.10 数列专题

时间2021.03.10 创作：欧阳治

高考真题

(2014·I)17. (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

(2014·II)17.（本小题满分12分）已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

(2015·I)（17）（本小题满分12分）

为数列的前项和.已知欧阳治创编 2021.03.10

欧阳治创编 2021.03.10

欧阳治创编 2021.03.10 ，

（Ⅰ）求的通项公式：

（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。

(2015·II)（4）等比数列满足，

=21，则 ( )

（A）21 （B）42 （C）63

（D）84

(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．

(2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则

（A）100 （B）99（C）98（D）97

(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）

数列(解答题)(解析版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题13数列（解答题）

1．【2022年全国甲卷】记为数列的前n项和．已知2

+=2+1．

(1)证明：是等差数列；

(2)若4,7,9成等比数列，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)−78．

【解析】

【分析】

（1）依题意可得2+2=2𝐵+，根据=1,=1

−𝘒1,≥2，作差即可得到−

𝘒1=1，从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出1，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次

函数的性质计算可得．

(1)

解：因为2

+=2+1，即2+2=2𝐵+①，

当≥2时，2𝘒1+−12=2−1𝘒1+−1②，

①−②得，2+2−2𝘒1−−12=2𝐵+−2−1𝘒1−−1，

即2+2−1=2𝐵−2−1𝘒1+1，

即2−1−2−1𝘒1=2−1，所以−𝘒1=1，≥2且∈N*，

所以是以1为公差的等差数列．

(2)

解：由（1）可得4=1+3，7=1+6，9=1+8，

又4，7，9成等比数列，所以72=4⋅9，

即1+62=1+3⋅1+8，解得1=−12，

所以=−13，所以=−12+𝘒1

2=1

22−252=1

2−25

22−625

8，所以，当=12或=13时min=−78．

2．【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知1=1,

是公差为1

3的等差数

列．

(1)求的通项公式；(2)证明：1

1+1

2+⋯+1

<2．

【答案】(1)=𝐫1

(2)见解析【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式求得

=1+1

3−1=𝐫2

3，得到=𝐫2

3，利用和与项

的关系得到当≥2时，=−𝘒1=𝐫2

3−𝐫1𝘒1

3,进而得：

𝘒1=𝐫1𝘒1，利用累乘法

求得=𝐫1

2，检验对于=1也成立，得到的通项公式=𝐫1

2；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到11+1

2+⋯+1

=21−1𝐫1，进而证得.

(1)

∵1=1，∴1=1=1,∴1

1=1,

又∵

是公差为1

3的等差数列，

∴

=1+1

3−1=𝐫23,∴=𝐫2

3,∴当≥2时，𝘒1=𝐫1𝘒1

全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案)之欧阳与创编

欧阳与创编 2021.03.08

欧阳与创编 2021.03.08 数列专题

时间：2021.03.08 创作：欧阳与

高考真题

(2014·I)17. (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

(2014·II)17.（本小题满分12分）已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

(2015·I)（17）（本小题满分12分）

为数列的前项和.已知，欧阳与创编 2021.03.08

欧阳与创编 2021.03.08 （Ⅰ）求的通项公式：

（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。

(2015·II)（4）等比数列满足，

=21，则 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．

(2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则

（A）100 （B）99（C）98（D）97

(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）

Sn为等差数列的前项和，且=1 ，=28

记，其中表示不超过的最大整数，如. 欧阳与创编 2021.03.08

全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案)教学提纲

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数列专题

高考真题

(2014·I) 17. (本小题满分12分)

已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1=1，𝑎𝑛≠0，𝑎𝑛𝑎𝑛+1=𝜆𝑆𝑛−1，其中𝜆为常数.

（Ⅰ）证明：𝑎𝑛+2−𝑎𝑛=𝜆；

（Ⅱ）是否存在𝜆，使得{𝑎𝑛}为等差数列？并说明理由.

(2014·II) 17.（本小题满分12分）

已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+1.

（Ⅰ）证明{𝑎𝑛+12}是等比数列，并求{𝑎𝑛}的通项公式；

（Ⅱ）证明： 1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛<32 .

(2015·I)（17）（本小题满分12分）

𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和.已知𝑎𝑛>0,𝑎𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛+3，

（Ⅰ）求{𝑎𝑛}的通项公式：

（Ⅱ）设𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1 ,求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和。

(2015·II)（4）等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=3， =21，则 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

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(2015·II)（16）设是数列的前n项和，且，，则________．

(2016·I)（3）已知等差数列{𝑎𝑛}前9项的和为27，𝑎10=8，则𝑎100=

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

(2016·I)（15）设等比数列{𝑎𝑛}满足 𝑎1+𝑎3=10，𝑎2+𝑎4=5，则 𝑎1𝑎2…𝑎𝑛 的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）

Sn为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑎1=1 ，𝑆7=28 记𝑏𝑛=[𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛]，其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，如[0.9] = 0，[𝑙𝑔 99]=1.

2024全国卷真题分类汇编(教师版)(数列)

2024全国卷真题分类汇编（教师版）-数列

1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记nS为等差数列{}

na的前n项和，若347aa，2535aa，

则10S.

【详解】因为数列na为等差数列，则由题意得11

11237

345adad

adad

，解得14

d

，则

1011091010445395

2Sad.

故答案为：95.

2．（2024年高考全国甲卷数学（理））等差数列

na的前n项和为nS，若510SS，51a，

则1a（）

A．2B．7

3C．1D．2

【详解】由105678910850SSaaaaaa，则80a，

则等差数列

na的公差851

33aad，故1517414

33aad.

故选：B.

3．（2024年高考全国甲卷数学（理））记nS为数列

na的前n项和，且434nnSa．

(1)求

na的通项公式；

(2)设1(1)n

nnbna，求数列

nb的前n项和为nT．

【详解】（1）当1n时，1114434Saa，解得14a．

当2n时，11434

nnSa

，所以1144433

nnnnnSSaaa

即13

nnaa

，

而140a，故0

na，故

13n

，

∴数列

na是以4为首项，3为公比的等比数列，

所以143n

na.

（2）111(1)4(3)43nnn

nbnn,

所以123nnTbbbb0211438312343nn

故1233438312343n

nTn所以1212443434343nn

nTn

1313

4443

13n

nn



14233143nnn

(24)32nn，

(21)31n

nTn.

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编

【2023年真题】

1. （2023·新课标I卷第7题）记

为数列{}

的前n项和，设甲：{}

na为等差数列：乙：{}ns

n为等差

数列，则( )

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2. （2023·新课标II卷第8题）记

为等比数列{}

的前n项和，若

45S

，

6221SS

，则

8S

( )

A. 120 B. 85 C. 85

D. 120

3. （2023·新课标I卷第20题）设等差数列{}

的公差为d，且1.d令2

nnn

a



，记

，

分别为

数列

nnab

的前n项和.

(1)

若

21333aaa

，

3321ST

，求

的通项公式;

(2)

若{}

为等差数列，且

999999ST

，求.d

4. （2023·新课标II卷第18题）已知为等差数列，，记

，

分别为数列，

的前n项和，

432S

，

316.T

(1)

求的通项公式；

(2)

证明：当5n

时，

nS.

nT

【2022年真题】

5.（2022·新高考I卷第17题）记

为数列{}

的前n项和，已知

11a，n

a



是公差为1

3的等差数

列.

(1)

求{}

的通项公式;

(2)证明：

12111

naaa

6.（2022·新高考II卷第17题）已知{}

为等差数列，{}

为公比为2的等比数列，且

223344.ababba

(1)

证明：

11;ab

(2)

求集合

1{|,1500}

kmkbaam剟

中元素个数.

【2021年真题】

7.（2021·新高考II卷第12题）（多选）设正整数01

0112222kk

kknaaaa



，其中

0,1

ia

，

记

01knaaa

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