高中第五章三角函数5.5综合拔高练
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第五章 5.5 5.5.1 第4课时A 组·素养自测一、选择题1．已知sin(π4－x )＝35，则cos(π2－2x )的值为( D )A ．1925 B ．1625 C ．1425D ．725[解析] 因为sin(π4－x )＝35，所以cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )]＝1－2sin 2(π4－x )＝725.2．函数y ＝1－tan 22x1＋tan 22x 的最小正周期是( B ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π[解析]y ＝1－tan 22x 1＋tan 22x ＝1－sin 22x cos 22x 1＋sin 22x cos 22x ＝cos 22x －sin 22x ＝cos 4x ，所以最小正周期T ＝2π4＝π2. 3．设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( A )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[解析]f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，所以函数f (x )是最小正周期为π的奇函数，故选A ．4．若sin(5π2＋α2)＝－35，α为第一象限角，则1－tanα41＋tanα4＝( C )A ．13B ．－13C ．－3D ． 3[解析]∵sin(5π2＋α2)＝sin(2π＋π2＋α2)＝sin(π2＋α2)＝cos α2＝－35.又∵α为第一象限角，∴2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π<π2<k π＋π4，k ∈Z ，∴α2为第一象限角或第三象限角．又cos α2＝－35，∴α2为第三象限角，∴sin α2＝－45，∴1－tanα41＋tan α4＝cos α4－sin α4cos α4＋sin α4＝cos α4－sin α42cos 2α4－sin 2α4＝1－sin α2cosα2＝－3，故选C ．5．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于( A )A ．153B ．－153C ．53D ．－53[解析]∵sin2A ＝2sin A cos A ＝23，∴sin A cos A ＝13.∵在△ABC 中，0<A <π，∴sin A >0，∴cos A >0， ∴sin A ＋cos A ＝sin A ＋cos A2＝1＋23＝53＝153.6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( C ) A ．π8B ．π4C ．3π8D ．π2[解析]∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2， ∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝－1，又α为锐角，∴2α＝3π4，∴α＝3π8.二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35， 则cos2θ＝__－725__.[解析] 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，得cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.8．计算：tan π12－1tan π12＝__－23__.[解析] 原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2tan π6＝－2 3.9．若cos2θ＝－34，则sin 4θ＋cos 4θ＝__2532__.[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ，又cos2θ＝－34，∴sin 22θ＝1－cos 22θ＝716. ∴原式＝1－12sin 22θ＝1－12×716＝2532.三、解答题10．求下列各式的值：(1)4－8sin 2αtan π4＋α·sin 2π4－α；(2)23tan15°＋tan 215°； (3)sin10°sin30°sin50°sin70°.[解析] (1)原式＝41－2sin 2αsin π4＋αcos π4＋α·cos 2[π2－π4－α]＝4cos 2αsin π4＋αcos π4＋α·cos 2π4＋α＝4cos2αsin π4＋α·cos π4＋α＝8cos2αsin π2＋2α＝8cos2αcos2α＝8.(2)原式＝3tan30°(1－tan 215°)＋tan 215° ＝3×33(1－tan 215°)＋tan 215°＝1. (3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70° ＝12cos20°cos40°cos80° ＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116.方法二：令x ＝sin10°sin50°sin70°，y ＝cos10°cos50°cos70°，则xy ＝sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°，＝12sin20°·12sin100°·12si n140°＝18sin20°sin80°sin40° ＝18cos10°cos50°cos70°＝18y . ∵y ≠0，∴x ＝18.从而有sin10°sin30°sin50°sin70°＝116.11．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析]∵sin α＋cos α＝13∴sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos α＝19，∴sin2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－sin2α＝173， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179，∴tan2α＝sin2αcos2α＝81717.B 组·素养提升一、选择题1．已知锐角α的终边经过点P (cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于( C ) A ．10° B ．20° C ．70°D ．80°[解析] 由三角函数的定义tan α＝1＋sin50°cos50°＝1＋cos40°sin40°＝2cos 220°2sin20°cos20°＝cos20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°.所以α＝70°.2．(2019·某某晋中高三适应性考试)若sin(π6－α)＝33，则sin(π6＋2α)＝( D )A ．63 B ．223C ．33D ．13[解析] 由题意及诱导公式可得sin(π6＋2α)＝cos[π2－(π6＋2α)]＝cos(π3－2α)，又由余弦的倍角公式，可得cos(π3－2α)＝1－2sin 2(π6－α)＝1－2×(33)2＝13，即sin(π6＋2α)＝13.3．(多选题)下列各式中，值为32的是( BC ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．1－2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°[解析]A 不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；B 符合，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32；C 符合，1－2sin 215°＝cos 30°＝32；D 不符合，sin 215°＋cos 215°＝1.故选BC ．4．(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x 是奇函数，则有( BCD )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点(π2，0)对称C ．函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )的最小正周期为π[解析] 因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x (x ≠k π2(k ∈Z ))，所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点(π2，0)对称，故选BCD ．二、填空题5．若tan(π4－α)＝12，则tan2α＋1cos2α＝__2__.[解析] 由tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝12，可求得tan α＝13，∴tan2α＋1cos2α＝2tan α1－tan 2α＋sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＋tan 2α＋11－tan 2α＝2tan α＋tan 2α＋11－tan 2α＝23＋19＋11－19＝2. 6．已知sin α＋cos β＝32，则cos2α＋cos2β的取值X 围是__[－32，32]__.[解析] 因为sin α＋cos β＝32，所以cos2α＋cos2β＝1－2sin 2α＋2cos 2β－1 ＝2(sin α＋cos β)(cos β－sin α) ＝3(cos β－sin α)．由sin α＋cos β＝32得cos β＝32－sin α，易得sin α∈[12，1]，所以cos β－sin α＝32－2sin α∈[－12，12]，所以cos2α＋cos2β∈[－32，32]．7．(2019·某某某某高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(12，32)，则cos(2θ＋π3)＝__－1__.[解析] 由题意知cos θ＝12，sin θ＝32，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－12，sin2θ＝2sin θcos θ＝32， ∴cos(2θ＋π3)＝cos2θcos π3－sin2θ·sin π3＝－12×12－32×32＝－1.三、解答题8．定义向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，若m 与n 共线，则有x 1y 2－x 2y 1＝0，已知向量m ＝(cos α－23，－1)，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈[－π2，0]． (1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin2αsin α－cos α的值．[解析] (1)∵m 与n 为共线向量， ∴(cos α－23)×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)由(1)得1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(sin α－cos α)2＝2－(23)2＝169. 又∵α∈[－π2，0]，∴sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin2αsin α－cos α＝712.9．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．[解析] (1)因为f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.。
高中第五章三角函数5.4综合拔高练
第五章三角函数5.4综合拔高练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数()2cos()(0)4f x x πωω=->的最小正周期为6π，则ω=（ ）A ．24B ．18C ．12D ．62．已知函数f （x ）=-cos （4x -6π），则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．()f x 的单调递增区间为()5,224224k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 3．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．154．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，[0,]x π∈的值域为[2-，则ω的取值范围是( ) A ．15[,]33B ．5[,1]6C ．55[,]63D ．(0,)+∞5．下列命题正确的是A ．若,αβ是第一象限角，且αβ<，则sin sin αβ<；B ．函数cos()4y x π=-的单调减区间是32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦C ．函数tan y x =的最小正周期是2π； D ．函数 sin()2y x π=+ 是偶函数；6．若0,,444a b πππαβαβ⎛⎫⎛⎫<<<=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b <B ．a b >C ．1ab <D ．ab >7．已知函数()2sin 2(0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[1,1]-上的单调增区间为（ ） A ．13,44⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎛⎤-⎥⎝⎦8．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为A ．11B ．9C ．7D ．5二、多选题12．已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是（ ） A ．3π B ．56π C ．πD ．76π E.32π 13．已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是增函数 B ．6y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 C ．()f x 的最小正周期是π D ．()f x 图象的对称中心是,0,46k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z E.()f x 图象的对称轴是,212k x k ππ=+∈Z三、填空题14．若函数()2cos 417f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与函数()()5tan 12g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a =______．15．已知()2sin 2f x x ω=的周期为π，则当2[,]63x ππ∈时()f x 的最小值为__．16．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 17．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．18．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．四、解答题19．已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标（其中0,0,||A ωϕπ>><）.（1）请写出函数()f x 的最小正周期和解析式； （2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.20．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若函数()()=-g x f x k 在区间13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个零点，求实数k 的取值范围. 21．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，且||ϕπ<. （1）若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求ϕ的值 （2）在（1）的基础上，探究()f x 的单调递增区间；（3）我们知道正弦函数是奇函数，()sin(2)f x x ϕ=+是奇函数吗？若它是奇函数，探究ϕ满足的条件；存在ϕ使()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数吗？若存在，写出ϕ满足的条件.（只写结论，不写推理过程）参考答案1．C 【分析】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，列出方程，即可求解. 【详解】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，可知26ππω=，故12ω=，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的最小正周期应用，其中解答中熟记三角函数的最小正周期的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：对于函数f （x ）＝﹣cos （4x 6π-），它的最小正周期为242ππ=，故A 错误； 当x 6π=时，f （x ）＝0，故f （x ）的图象关于点（6π，0）对称，故D 正确，而B 错误；令2k π≤4x 6π-≤2k π+π，求得224k ππ+≤x 7224k ππ≤+，故函数的增区间为[224k ππ+，7224k ππ+]，k ∈Z ， 故C 错误， 故选D ． 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题． 3．A 【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．4．C 【分析】先由x 的取值范围，求得π3x ω-的取值范围，结合函数的值域，求得ω的取值范围. 【详解】由于0πx ≤≤，所以ππππ333x ωω-≤-≤-，由于()f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4ππ233ω≤-≤，解得5563ω≤≤.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题. 5．D 【分析】通过取特殊值可判断A 、B 、C 是错误的，利用诱导公式对sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简后可判断其奇偶性. 【详解】 对于A ，取5,36ππαβ=-=，它们都是第一象限角且αβ<，但sin sin αβ>，故A 错. 对于B ，取123,44x x ππ=-=，12x x <且()123,,044x x k ππ⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦，但1cos 14x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12cos cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不是减函数，故B 错.对于C ，取6πα=，则tan tan 2παα⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故C 错. 对于D ，因为sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，它是偶函数，故D 正确.综上，选D.【点睛】判断函数的奇偶性不能光看形式，必要时需要结合定义域对函数解析式化简后利用定义判断，三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的单调区间需根据复合函数的单调性来求（同增异减），也可以根据诱导公式把ω化为正数的形式后再利用函数sin y u =的单调性求单调区间. 6．A 【分析】 根据角的范围4442ππππαβ<+<+<，由正弦函数sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，可判断. 【详解】 因为04παβ<<<，所以4442ππππαβ<+<+<，又正弦函数sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以sin sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b <.故选：A 【点睛】本题考查利用正弦函数的单调性比较大小，注意角的范围，属于基础题. 7．C 【分析】求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出ω，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间． 【详解】 由已知得222πω=，解得2πω=，所以()2sin 4f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22,242k x k k ππππππ-+≤-≤+∈Z ，解得1322,44k x k k -+≤≤+∈Z ，又[1,1]x ∈-，所以1344x -，所以函数()f x 在[1,1]-上的单词递增区间为13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．属于中档题. 8．D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 9．D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D. 10．C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤， ∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.12．AE 【解析】 【分析】由条件求得b a -的最大值和最小值，从而得出结论． 【详解】因为2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-， 所以[,]x a b ∈时，11sin 2x-， 故sin x 能取得最小值1-，最大值只能取到12. 当,26a b ππ=-=时，b a -最小，为23π； 当7,66a b ππ=-=时，b a -最大，为43π，即2433b aππ-， 故b a -一定取不到3,32ππ， 故选:AE.【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象特征，属于基础题． 13．BD 【分析】判断函数的奇偶性，周期，求出对称中心，函数的单调性，判断选项即可． 【详解】A 错，∵()tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是5,,122122k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，在定义域内的每一个区间上是单调增函数，整个定义域上没有单调性（用到逻辑推理）； B 正确，tan 2tan 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是奇函数； C 错，函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2T π=； D 正确，令2,32k x k ππ+=∈Z ，由数学运算解得,64k x k ππ=-+∈Z ，所以()f x 图象的对称中心是,0,64k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； E 错，正切函数的图象不是轴对称图象，()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象没有对称轴. 故选：BD. 【点睛】本题考查命题的真假的判断，正切函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的求法，考查计算能力．属于中档题. 14．2± 【分析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a 的值． 【详解】：函数()2cos 417f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期是242ππ=；函数()()5tan 12g x ax =-+的最小正周期是：aπ；因为周期相同，所以2a ππ=，解得2a =± 故答案为2± 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．15． 【分析】先由周期确定ω，再利用正弦函数的性质求得最值. 【详解】 由2T 2ππω==,得ω＝1，所以f （x ）＝2sin2x ， 由x ∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得4233x ππ≤≤，∴当2x 43π=时，2sin2x =，f （x ）min ＝故答案为【点睛】本题考查了三角函数的周期、三角函数的最值求法，属于中档题． 16．23【分析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间. 17．6π-. 【解析】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 18．3 【分析】 求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．【详解】详解：0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+= 解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．19．（1）π，2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[2]. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数()f x 的解析式，从而求得它的周期．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【详解】（1）由题表知566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T ππω==，所以2ω=. 又2A =，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，将,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x ，有2sin 26πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πsinφ16,因为||ϕπ<，所以57,666ππϕπ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 因此62ππϕ+=，即3πϕ=.故2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以当232x ππ+=，即12x π=时，函数()f x 取得最大值2；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为[2]. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值；正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20．（1）,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）122k -≤≤. 【分析】（1）直接根据正弦函数的单调性，可求解. （2）即是()=f x k 在区间13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个实数根，作出函数()f x 的在对应区间上的函数图像，根据图像可解. 【详解】 （1）令222()262k x k k πππππ-++∈Z ，解得()36k x k k ππππ-+∈Z .所以函数()f x 的单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）令3222()262k x k k πππππ+++∈Z ， 得2(Z)63k x k k ππππ++∈， 当13,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和213,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.162f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，13122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()=-g x f x k 在区间13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个零点等价于函数()y f x =与y k =的图象在区间13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个交点，结合草图可知1322k-， 所以函数()g x 在区间13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个零点时，1322k -.【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间，和根据方程根的个数求参数的范围,属于中档题. 21．（1）56π-；（2）2,(k )63k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）见解析. 【分析】（1）由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，得6x π=时函数取得最值，再根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求解. （2）根据正弦型函数的单调性可求解.（3）由三角函数的奇偶性以及函数奇偶性的定义可得到答案. 【详解】 （1）由()6f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立知22()62k k ππϕπ⋅+=±∈Z ，∴26k πϕπ=+或52()6k k πϕπ=-∈Z . ∵||ϕπ<，∴6π=ϕ或56π=-ϕ，又∵()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭， ∴56π=-ϕ. （2）由（1）知5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.令5222()262k x k k πππππ--+∈Z ，得()f x 的单调递增区间是2,(k )63k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （3）()sin(2)f x x ϕ=+不一定是奇函数， 若()sin(2)f x x ϕ=+是奇函数，则()k k ϕπ=∈Z . 存在ϕ使()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，此时()2k k πϕπ=+∈Z .【点睛】本题考查根据函数的性质求参数，求函数的单调区间，判断三角函数的奇偶性，属于中档题.。
全国通用版高中数学第五章三角函数专项训练题
(名师选题)全国通用版高中数学第五章三角函数专项训练题单选题1、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（ ）A ．−169B ．169C ．−43D ．43 答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925 则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.2、已知函数f (x )=2sin 2(π4+x)−√3cos2x ．若关于x 的方程f (x )−m =2在x ∈[π4,π2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12,2√2]B ．[√22,√2] C ．[0,1]D ．[√22,2]答案：C分析：求出函数f (x )在[π4,π2]上的值域后可求实数m 的取值范围.f (x )=2×1−cos (π2+2x)2−√3cos2x=1+sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)+1,当x∈[π4,π2]时，π6≤2x−π3≤2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1，故f(x)的值域为[2,3]，因为f(x)−m=2在x∈[π4,π2]上有解即f(x)=m+2在x∈[π4,π2]上有解，故2≤m+2≤3即0≤m≤1，故选：C.3、若f(x)=cos(x−π3)在区间[−a,a]上单调递增，则实数a的最大值为（）A．π3B．π2C．2π3D．π答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y=cosx的图象向右平移π3得到函数f(x)=cos(x−π3)的图象，则函数f(x)=cos(x−π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)，而函数又在[−a,a]上单调递增，所以{−a≥−23πa≤π3⇒a≤π3，于是0<a≤π3，即a的最大值为π3.故选：A.4、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m，肩宽约为π8m，“弓”所在圆的半径约为54m，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）（）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m 答案：B分析：由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB ⌢ 的长l =π4+π4+π8=5π8，其所对圆心角α=5π854=π2，则两手之间的距离|AB |=2|AD |=2×54×sin π4≈1.768(m )． 故选：B ．5、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10 答案：C分析：设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2， 依题意可得A =4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)=6，得sin(2π15t −π6)=1，得2π15t −π6=2kπ+π2，k ∈Z ， 得t =15k +5，k ∈Z ，因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <2π2π15=15，所以k =0,t =5s . 故选：C6、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3 ，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B7、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3 答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)， ∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.8、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1， 故选：C.9、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35， 又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210. 故选：B ．10、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（）A．70∘B．110∘C．150∘D．290∘答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k(k∈Z)，因为在0∘~360∘范围内，所以k=1可得−70∘+360∘=290∘，故选：D.11、把函数f(x)=sin(2x−π4)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数y=cosx的图象，则a可以是（）A．π8B．π4C．π2D．3π4答案：D分析：根据三角函数的图象变换得到y=sin(x+a−π4)，得到sin(x+a−π4)=cosx，结合选项，逐项判定，即可求解.由题意，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y=sin(x−π4)的图象，将该图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到y=sin(x+a−π4)的图象，所以sin(x+a−π4)=cosx，对于A中，当a=π8时，sin(x+π8−π4)=sin(x−π8)≠cosx，故A错误；对于B中，当a=π4时，sin(x+π4−π4)=sinx≠cosx，故B错误；对于C中，当a=π2时，sin(x+π2−π4)=sin(x+π4)≠cosx，故C错误；对于D中，当a=3π4时，sin(x+3π4−π4)=sin(x+π2)=cosx，故D正确．故选：D．12、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足y=23.4392911sin0.01720279x.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（）（精确到1）参考数据π0.01720279≈182.6211A．290B．291C．292D．293答案：B分析：设闰年个数为x，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366x+365(1200−x)=365.2422×1200，求解x即可.解：T=2πω=2π0.01720279=2×182.6211=365.2422，所以一个回归年对应的天数为365.2422天假设1200年中，设定闰年的个数为x，则平年有1200−x个，所以366x+365(1200−x)=365.2422×1200解得：x=0.2422×1200=290.64.故选：B.填空题13、已知f(x)=sinx−3ax3+3bx−3，x∈R且f(−2π3)=−4，则f(2π3)的值为______．答案：−2分析：结合函数的奇偶性求得f(2π3)的值.由f(x)=sinx−3ax3+3bx−3，令g(x)=sinx−3ax3+3bx，g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数，f(x)=g(x)−3，由f(−2π3)=−4，得g(−2π3)−3=−4，则g (−2π3)=−1，g (2π3)=−g (−2π3)=1，f (2π3)=g (2π3)−3=−2． 所以答案是：−2 14、已知cos(θ+π6)=−√33,则sin(π6−2θ)=__．答案：−13分析：根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. ∵cos(θ+π6)=−√33， ∴sin(π6−2θ) =cos[π2−(π6−2θ)] =cos(2θ+π3)=cos[2(θ+π6)]=2cos 2(θ+π6)−1 =2×(−√33)2−1=−13.所以答案是：−13.15、若α∈(0,π2)，且cos 2α+cos(π2−2α)=710，则tan2α=____ 答案：−34分析：利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为1+2tanαtan 2α+1=710，结合角的范围求tanα值，再应用二倍角正切公式求tan2α即可.∵cos 2α+cos(π2−2α)=cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+2tanαtan 2α+1=710，∴tanα=3或tanα=−17，又α∈(0,π2)，∴tanα=3，则tan2α=2tanα1−tan 2α=−34． 所以答案是：−3416、计算：sin330°+cos240°=______． 答案：－1分析：利用诱导公式进行化简，再由特殊角的三角函数值求值，即可求解． 解：sin330°+cos240°=sin(360°−30°)+cos(180°+60°)=sin(−30°)−cos60°=−12−12=−1． 所以答案是：−1 17、已知sin (α+π4)=√66，α∈(0,π)，则cos (2α+π6)=__________．答案：2−√156解析：构造角2α+π6=2(α+π4)−π3，求cos (α+π4)，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. ∵α∈(0,π),α+π4∈(π4,5π4)，sin (α+π4)=√66<√22，∴cos (α+π4)=−√306，cos2(α+π4)=2cos 2(α+π4)−1=23，sin2(α+π4)=2sin (α+π4)⋅cos (α+π4)=−√53， cos (2α+π6)=cos [2(α+π4)−π3]=cos2(α+π4)cos π3+sin2(α+π4)sin π3=23×12+(−√53)×√32=2−√156所以答案是：2−√156小提示：本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号. 解答题18、已知角α是第三象限角，tanα=12. （1）求sinα,cosα的值； （2）求1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(5π2−α)的值.答案：（1）{sinα=−√55cosα=−2√55；（2）−3.解析：（1）根据tanα=sinαcosα=12，以及 sin 2α+cos 2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值； （2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果． 解：（1）tanα=sinαcosα=12，sin 2α+cos 2α＝1，∴{sinα=√55cosα=2√55 或{sinα=−√55cosα=−2√55 ，而角α是第三象限角，则sinα<0,cosα<0，故{sinα=−√55cosα=−2√55； （2）1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(5π2−α) =1+2sinαcos(−α)(−sinα)2−sin 2(π2−α)=1+2sinαcosαsin 2α−cos 2α =sin 2α+cos 2α+2sinαcosαsin 2α−cos 2α =(sinα+cosα)2(sinα+cosα)(sinα−cosα)=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1. ∵tanα=12，∴原式=12+112−1=−3.小提示：方法点睛：已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.19、函数f(x)=Asin(πx +φ),x ∈R （其中A >0,0≤φ≤π2）部分图象如图所示，P(13,A)是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若∠PMN +∠PNM =π4，求A 的值．答案：(1)2；φ=π6； (2)A =√72−1.分析：（1）利用f(x)的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出φ作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出∠PMN 和∠PNM 的正切，再利用和角公式计算作答.（1）函数f(x)=Asin(πx +φ)的最小正周期T =2ππ=2， 因P(13,A)是函数f(x)图象的最高点，则13π+φ=2k π+π2,k ∈Z ，而0≤φ≤π2，有k =0，φ=π6， 所以函数f(x)的最小正周期为2，φ=π6. （2）由（1）知，f(x)=Asin(πx +π6)，由πx +π6=0得x =−16，即点M(−16,0)，由πx +π6=2π得x =116，即点N(116,0)， 于是得tan∠PMN =A 13−(−16)=2A ，tan∠PNM =A 116−13=23A ，而∠PMN +∠PNM =π4， 则tan(∠PMN +∠PNM)=tan∠PMN+tan∠PNM 1−tan∠PMN⋅tan∠PNM =2A+23A 1−2A⋅23A =1，又A >0，解得A =√72−1， 所以A =√72−1.20、用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：ℎ=2sin (t +π4)．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在[0,2π]上的图象，并回答下列问题． (1)小球在开始振动时（即t =0时）的位置在哪里？(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(3)经过多长时间小球往复运动一次？(4)每秒钟小球能往复运动多少次？答案：(1)小球在开始振动时在距离平衡位置√2厘米处(2)都是2厘米(3)2π秒(4)12π分析：（1）作出函数图象，t=0代入函数式计算可得；（2）由图象可得最高点和最低点对应的值；（3）由图象可得一个周期的时间；（4）用1除以周期可得．(1)函数ℎ=2sin(t+π4)在[0,2π]上的图象如图．当t=0时，ℎ=2sinπ4=√2（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置√2厘米处．(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．(3)小球往复运动一次就是一个周期，易知T=2π秒，即经过2π秒往复运动一次．(4)每秒钟往复运动的次数f=1T =12π．。
2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换课后
5.5.2简单的三角恒等变换 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.cos2π8−14的值为()
A.√2-14B.√2+14C.√24D.√22 答案B 解析cos2π8−14=1+cosπ42−14=√2+14. 2.已知α为第一象限角,且tan α=43,则sin 𝛼2的值为 () A.√55B.-√55C.±√55D.15 答案C 解析因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=35,而𝛼2是第一或第三象限角.当𝛼2是第一象限角时,sin𝛼2=√1-cos𝛼2=√55;当𝛼2是第三象限角时,sin𝛼2=-√1-cos𝛼2=-√55,故sin𝛼2=±√55.
3.在△ABC中,若cos A=13,则sin2𝐵+𝐶2+cos 2A= () A.-19B.19C.-13D.13 答案A 解析sin2𝐵+𝐶2+cos2A=1-cos(𝐵+𝐶)2+2cos2A-1=1+cos𝐴2+2cos2A-1=-19. 4.已知f(x)=sin x+√3cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ=. 答案π6 解析因为f(x)=sinx+√3cosx=2(
12sin𝑥+√3
2cos𝑥)=2sin(𝑥+π3),又因为f(θ)=2,
所以2sin(𝜃+π3)=2,解得θ=π6. 5.若tan α=17,则1+cos2𝛼sin2𝛼=. 答案7 解析因为tanα=sin2𝛼1+cos2𝛼=17,所以1+cos2𝛼sin2𝛼=7. 6.证明:2sin𝑥cos𝑥(sin𝑥+cos𝑥-1)(sin𝑥-cos𝑥+1)=1+cos𝑥sin𝑥. 证明左边= 2sin𝑥cos𝑥(2sin𝑥2cos𝑥2-2sin2𝑥2)(2sin𝑥2cos𝑥2+2sin2𝑥2)
=2sin𝑥cos𝑥4sin2𝑥2(cos2𝑥2-sin2𝑥2)=sin𝑥2sin2𝑥2