第三章 不等式(复习)
2020高中数学 第三章 不等式 阶段复习课 第3课 不等式学案 新人教A版必修5
第三课 不等式[核心速填]1．比较两实数a ，b 大小的依据a －b >0⇔a >b .a －b ＝0⇔a ＝b .a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质3.Ax ＋By ＋C (B >0)⎩⎪⎨⎪⎧>0<0表示对应直线⎩⎪⎨⎪⎧上下方区域．4．二元一次不等式组表示的平面区域每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域． 5．两个不等式[题型探究]一元二次不等式的解法[探究问题]1．当a >0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或x >β}．2．若[探究1]中的a <0，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ 提示：解集为{x |α<x <β}．3．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为∅.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围.【导学号：91432361】思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k. ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k <2.母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a ∈R ，解关于x 的不 等式ax 2－2x ＋a <0”．[解] (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为错误!. ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为错误!；当a ＝－1时，原不等式的解集 为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R . [规律方法] 不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法.①将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确 定一元二次不等式的解集.,(2)含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考 虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题已知不等式mx 2－mx －1<0.(1)若x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，求实数x 的取值范围.【导学号：91432362】思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①若m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m ≠0，则不等式mx 2－mx －1<0 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]． (2)令f (x )＝mx 2－mx －1，①当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立； ②当m >0时，若对于x ∈[1,3]不等式恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f3<0即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－1<0，f3＝9m －3m －1<0，解得m <16，∴0<m <16.③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝12，若x ∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16. (3)令g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g－2<0，g 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－x －1<0，2x 2－x －1<0，解得1－32<x <1＋32.∴实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.[规律方法] 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元． 2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 1．设f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)依题意，设g (m )＝(x 2－x ＋1)m －6，则g (m )为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以g (m )在[－2,2]上递增， 所以欲使f (x )<0恒成立，需g (m )max ＝g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 解得－1<x <2.(2)法一：要使f (x )＝m (x 2－x ＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m <6x 2－x ＋1在[1,3]上恒成立，而当x ∈[1,3]时， 6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67， 所以m <⎝⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67，因此m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 法二：①当m ＝0时，f (x )＝－6<0对x ∈[1,3]恒成立，所以m ＝0. ②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x ＝12，若m >0，则f (x )在[1,3]上单调递增， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (3)<0即7m －6<0， 所以0<m <67.若m <0，则f (x )在[1,3]上单调递减， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (1)<0即m <6， 所以m <0.综上可知m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.线性规划问题已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.【导学号：91432363】思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m ，故需讨论m 的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m 的值.1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，目标函数z ＝x ＋my 可看作动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.] [规律方法]1．线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[跟踪训练]2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.画出可行域如图中阴影部分．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝6，即M(4,6)．此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.【导学号：91432364】思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f (x )取等号，此时f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f (x )在[0，＋∞)上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝a .3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．。
高中数学 第三章 不等式 3.33.3.2 二元一次不等式(组)
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题A 级 基础巩固一、选择题1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， 所以A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n ， 当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 答案：B2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：作出可行域如图所示．l o ：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.答案：A3．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为 ( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个．答案：A4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x －2y ，得直线y ＝12x －12t 在点(2，a －22)处取得最大值，即t max ＝2－2·a －22＝4－a ＝2，得a ＝2.答案：C5．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2＞0，解得m ＜－23，故选C.答案：C 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y的最小值为1.答案：17．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0.则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据 x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1，2)，所以|AO |2＝5.答案：58．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z ＝y －x .则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2，5)时，n －m 的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，那么⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.z ＝7x ＋12y .作出以上不等式组的可行域，如下图所示．目标函数为z ＝7x ＋12y ，变为y ＝－712x ＋z12，得到斜率为－712，在y 轴上截距为z12，且随z 变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A 时，截距z12最大，z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300得点A 坐标为(20，24)．所以z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．即生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．B 级 能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b 2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4，2)．。
高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题
一对一个性化辅导教案例1:解下列不等式题型2:简单的无理不等式的解法例1 ：解下列不等式(2) x 2x 2 1题型3 :指数、对数不等式2例1 ：若log a 1，则a 的取值范围是()3A. a 1B . 0 a —C - — a 133练习:1 2x 1 .x 1 ；(1) x 3 4x 0 ；2 2(2) (x 1) (x 5x 6) 0 ；(3)2x 2 x 1 2x 1练习： 解不等式（1）3x 5 x 2 2x 3(2) (2x 1)2(x 7)3(3 2x)(x 4)6D. 0 a -或 a 131、不等式2x 3 4x的解集是__________________ 。
2、不等式log1(x 2) 0的解集是_____________ 。
22e x 1x 23、设f(x)=‘1则不等式f(x) 2的解集为( )log3(x2 1),x 2,A. (1,2) (3, ) B . (710, ) C. (1,2) ) D . (1,2)题型4 :不等式恒成立问题1 2例1：若关于x的不等式一X 2x mx的解集是｛x |0 x 2｝，则m的值是2练习：2 1 1一元二次不等式ax bx 2 0的解集是(一，—)，贝U a b的值是( )2 3A. 10 B . 10 C. 14 D . 14例2：已知不等式x2 (a 1)x a 0,(1)若不等式的解集为(1,3)，则实数a的值是_________________ 。
(2) __________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是 _______________________________________________________ 。
(3) ____________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是 _____________________________________________________ 。
高中数学必修五第三章《不等式》知识点归纳及单元测试题
第三章 不等式 单元测试题一、选择题1.已知 a 、 b 、 c 、 dR,且 a b0,cd ）a, 则以下各式恒建立的是（bA bcadB bcadabDa bCc dcd2.若 a0, 1 b 0, 则有（ ）Aaab ab 2B aabab 2C abaab 2 D abab 2a(x-3)(2-x)(x+1)>0 的解集为（）A （ -1，1） B( 1,0)(2,3) C (, 1) (2,3) D ( , 1)(0,2)(3,)4. 在第二象限， sin42m, cos m3 ，则 m 知足（ ）m 5m5A m<-5 或 m>3B 3<m<9C m=0 或 m=8D m=0（1x )(1x)的解集为（）5.不等式A （ -1，1）B ( , 1)(1, ) C ( , 1)( 1,1)D ( 1,1)(1,)6.已知不等式 ax 2bx c0( a0) 的解集是 ，则（ ）A a 0,0 B a 0, 0C a 0,0 D a 0,7.图中暗影部分可用二元一次不等式组表示（ ） Ay 1y2x y 2 0By122x y 2 0-1Oxx 0Cy2y=-22xy 4 0x 0 Dy22x y 4 08.已知在（ -1,1）上的奇函数f(x) 是增函数，若f (1 a)f (1 a 2 ) 0 ,则 a 的取值范围是（）A （ -1，1）B （0，2 ）C （ 0，1）D （1，2 ）9. 2． “ a b0 ”是“ aba 2b 2（）2”的A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件10．不等式 ax2bx 20 的解集是 (1 , 1) ，则 a b 的值等于（）2 3A ．－ 14B ．14C ．－ 10D ． 10二、填空题11.点 ( a, b) 在直线 x+2y=3 上挪动，则 2a 4b 的最小值是.12.设 0<x<5, 则函数 f (x) 3x(8 x) 的最大值为.13.不等式 ax2bx 2 0 的解集是 { x1 x1} ，则 a+b=.2314.若 x 0, y0且x y 1,则zx y 的最大值是.x 2 ax (a 1)的解为 -1<x<5 ，则 a=.15.若不等式x 23x 416.设 f ( x) ax 2bx,且1 f ( 1)2,3f (1)4, 则 f ( 2) 的取值范围是.三、解答题（共 4 题，满分 36 分）17.已知会合 A{ xx4 0}，B{ x x 2 4 x 30}，求 AB, AB （8分）x418.求证： a 2b 2 1 aba b（8 分）19.解对于 x 的不等式 ax 2(a 1) x 1 0(10 分)20.某学校办工厂有破坏的房子一座，留有一面14m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建筑2平面图形为矩形且面积为126 m的厂房（不论墙高） ，工程的造价是：（ 1）修 1m 旧墙的花费是造 1m 新墙花费的 25%;(2)拆去 1m 旧墙用所得的资料来建 1m 新墙的花费是建1m 新墙花费的 50%.问怎样利用旧墙才能使建墙的花费最低（ 10 分）参照答案一、选择题ADBD CCCC AC二、填空题234. 15. 46.[10,14]三、解答题x 4 0 的解集为： -4<x41,解：由于 不等式4x不等式 x 2 4x 30 的解集为： x 1或x 3因此 AB R AB(-4,1][3,4]2,证明：222aba 2 +1 2a22ba +bb +1把以上三个式子相加得：2(a 2 +b 2 +1) 2(ab+a+b)a 2b 21 ab a b3,解：就 a 的范围进行议论：1)当 a=0 时，原不等式可化为： -x+10 得不等式的解集{ x x1}12)当 a>0 时， 原不等式可化为： (x-1)(x- )<0{ x1a当 a>1 时，不等式的解集为：x1}a当 0<x<1 时，不等式的解集为：{ x 1 x1}a当 a=1 时，不等式的解集为 :3,当 a<0 时，原不等式可化为：(x-1)(x-1解之得： { x x1或 x1 )>0}aa4,解：设保存旧墙 x m,即拆去旧墙（ 14-x ） m 修新墙，设建1m 新墙花费为a 元，则修旧墙的花费为y 1=25% ? ax=11 a(14-x); 建新墙的花费为：ax; 拆旧墙建新墙的花费为 y 2 =(14-x) ? 50 %a=42y 3 =(252+2x-14)a.x于是，所需的总花费为： y=y 1 + y 2 + y 3 =[( 7 x 252)7] a7252 [2x ? 7 ]a=35a,4 x4x当且仅当 7x252 ，即 x=12 时上式的“ =”建立； 4x故保存 12 m 的旧墙时总花费为最低。
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第3章一元一次不等式》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第3章一元一次不等式》期末综合复习题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33B．t≤24C．24＜t＜33D．24≤t≤333．下列说法中，正确的是（）A．x＝1是不等式2x＜1的解B．x＝3是不等式﹣x＜1的解集C．x＞﹣1是不等式﹣2x＜1的解集D．不等式﹣x＜1的解集是x＞﹣14．不等式组的解集是（）A．x＜3B．x＞5或x＜3C．x＞5D．无解5．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值6．一个正数m的平方根是a﹣3与1﹣2a，则关于x的不等式ax+＞2x的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞D．x＜7．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，则m的最小整数解为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．08．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（）A．5B．8C．9D．15二．填空题（共8小题，满分40分）9．若2x﹣y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为．10．已知关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解集是，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为．11．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围．12．不等式的负整数解的积是．13．符号表示运算ac﹣bd，对于整数a，b，c，d，已知1＜＜3，则b+d的值是．14．不等式组的解集是．15．不等式组无解，则m的取值范围为．16．若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分40分）17．已知a+1＞0，2a﹣2＜0．（1）求a的取值范围；（2）若a﹣b＝3，求a+b的取值范围．18．已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．19．（1）解不等式：x+2﹣3（x+1）＞1；（2）解不等式组．20．求不等式组的整数解．21．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：例：解不等式x2﹣9＜0．解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），∴原不等式可化为（x+3）（x﹣3）＜0．由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得：①，或②．解不等式组①得﹣3＜x＜3，解不等式组②无解，∴原不等式x2﹣9＜0的解集为﹣3＜x＜3．请你模仿例题的解法，解决下列问题：（1）不等式x2﹣4＞0解集为；（2）不等式x2+3x≤0解集为；（3）拓展延伸：解不等式．22．某学校计划购进一批电脑和电子白板，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有哪几种购买方案？（3）请你求出学校在（2）的购买活动中最多需要多少资金？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．2．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．3．解：A、解不等式得到解集是x，则x＝1不是不等式2x＜1的解，故不符合题意．B、不等式﹣x＜1的解集是x＞﹣1，∴x＝3是它的一个解，而不是解集，故不符合题意．C、不等式﹣2x＜1的解集是x＞﹣，∴x＞﹣1不是它的解集，故不符合题意．D、不等式﹣x＜1的解集是x＞﹣1，故符合题意．故选：D．4．解：∵比大的大比小的小无解，故选D．5．解：∵a+b＝﹣2，∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a，又∵a≥2b，∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，移项，得﹣3b≥2，3a≥﹣4，解得，b≤﹣＜0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a≥﹣；由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；B、当﹣≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；C、有最大值2；故本选项正确；D、无最小值；故本选项错误．故选：C．6．解：根据题意得a﹣3+1﹣2a＝0∴a＝﹣2，∴a﹣3＝﹣5，∴m＝25，∴不等式为﹣2x+＞2x，解得x＜，故选：B．7．解：，①﹣②得：x﹣y＝3m+2，∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，∴3m+2＞﹣，解得：m＞﹣，∴m的最小整数解为﹣1，故选：C．8．解：，解不等式①得x≤k，解不等式②得x＜7，由题意得k＜7，解关于y的方程2y＝3+k得，y＝，由题意得，＞0，解得k＞﹣3，∴k的取值范围为：﹣3＜k＜7，且k为整数，∴k的取值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，当k＝﹣2时，y＝＝，当k＝﹣1时，y＝＝1，当k＝0时，y＝＝，当k＝1时，y＝＝2，当k＝2时，y＝＝，当k＝3时，y＝＝3，当k＝4时，y＝＝，当k＝5时，y＝＝4，当k＝6时，y＝＝，∵为整数，且k为整数，∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5，∵﹣1+1+3+5＝8，∴符合条件的所有整数k的和为8．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵2x﹣y＝1，∴y＝2x﹣1，∵0＜y＜1，∴0＜2x﹣1＜1，解得＜x＜1．故答案为：．10．解：∵关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解集是，∴2a﹣b＞0，x＞∴2a＞b，＝∴2a﹣4b＝10a﹣5b∴8a＝b∴2a＞8a∴a＜0∵ax+b＜0∴ax＜﹣b∴x＞﹣∵8a＝b∴x＞﹣8故答案为：x＞﹣8．11．解：3x﹣a≤0的解集为x≤；其正整数解为1，2，3，则3≤＜4，所以a的取值范围9≤a＜12．12．解：不等式的解集是x＞﹣，因而负整数解是：﹣1，﹣2，则其积是2．13．解：根据题意得：，解得：1＜bd＜3，∵b、d是整数，∴bd＝2，则b、d的值是1和2，或﹣1，﹣2．则b+d＝3或﹣3．故答案是：±3．14．解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4，故答案为：﹣1＜x＜4．15．解：，解不等式①，得x≥3，∵不等式组无解，∴m＜3，故答案为：m＜3．16．解：解不等式2x﹣3＞5，得：x＞4，解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1，不等式租的解集为4＜x＜m+1，∵不等式组仅有3个整数解，∴7＜m+1≤8，∴6＜m≤7，故答案为：6＜m≤7．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）根据题意得，解①得a＞﹣1，解②得a＜1，则a的范围是﹣1＜a＜1；（2）∵a﹣b＝3，∴b＝a﹣3，∴a+b＝2a﹣3，∵﹣1＜a＜1，∴﹣2＜2a＜2，∴﹣5＜2a﹣3＜﹣1，即﹣5＜a+b＜﹣1．18．解：将x＝1代入3x﹣5≤2x﹣4a，得4a≤4，解得a≤1；将x＝1代入3（x﹣a）＜4（x+2）﹣5，得a＞﹣．不等式组解集是﹣＜a≤1，a的取值范围是﹣＜a≤1．19．解：（1）x+2﹣3（x+1）＞1，x+2﹣3x﹣3＞1，x﹣3x＞1﹣2+3，﹣2x＞2，x＜﹣1；（2）解不等式5x﹣1≤3（x+1），得：x≤2，解不等式≥x﹣1，得：x≤4，则不等式组的解集为x≤2．20．解：由①得，由②得x≤1，所以这个不等式组的的解集是，∴不等式组的整数解是﹣1，0，1．21．解：（1）∵x2﹣4＞0，∴（x+2）（x﹣2）＞0，则①，②，解不等式组①，得：x＞2，解不等式组②，得：x＜﹣2，∴不等式x2﹣4＞0解集为x＞2或x＜﹣2，故答案为：x＞2或x＜﹣2；（2）∵x2+3x≤0，∴x（x+3）≤0，则①，②，解不等式组①，得：不等式组无解；解不等式组②，得：﹣3≤x≤0，故答案为：﹣3≤x≤0；（3）∵≤0，∴①，②，解不等式组①，得：﹣3≤x≤5，解不等式组②，得：不等式组无解；所以原不等式的解集为﹣3≤x≤5．22．解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得，，答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；（2）设需购进电脑m台，则购进电子白板（30﹣m）台，根据题意得：，解得：15≤m≤17，又∵m为正整数，∴m可以为15，16，17，∴共有3种购买方案：方案1：购进电脑15台，电子白板15台；方案2：购进电脑16台，电子白板14台；方案3：购进电脑17台，电子白板13台．（3）选择方案1所需费用为0.5×15+1.5×15＝30（万元）；选择方案2所需费用为0.5×16+1.5×14＝29（万元）；选择方案3所需费用为0.5×17+1.5×13＝28（万元）．∵30万元＞29万元＞28万元，∴学校在（2）的购买活动中最多需要30万元．。
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的解法(
3.2 一元二次不等式及其解法（2）一、教学目标：知识与技能1. 巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系2. 通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学3.理论联系实际，激发学生的学习积极性情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神二、教学重点与难点:重点；1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想难点；1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．，左边化为)()(x g x f 的形式.解分式不等式，切忌去分母x 2-4x+4＞x∈∅解不等式：5＞+x （{x|-13＜x ＜-5}）根的大小b (x+ab＞2,1-a .∴x∈(-∞,1-a )∪(a(a -b )x ＞ab (a +b 讨论：当ab a -＞ba b a ab -+)(当a =b 时，时0.∴x∈{x|x≠21若a ＜-(a -1),即a ＜21,则x ＜a 或x ＞1-a .∴x∈(-∞,a )∪(1-a师 引申：解关于x 的不等式(x-x 2+12)(x+a )＜生 ①将二次项系数化“+”为(x 2-x-12)(x+a )＞②相应方程的根为-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？③讨论： （ⅰ）当-a ＞4，即a ＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|-3＜x ＜4或x ＞-a （ⅱ）当-3＜-a ＜4，即-4＜a ＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|-3＜x ＜-a 或x＞4}.（ⅲ）当-a ＜-3，即a ＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|-a ＜x ＜-3或x ＞（ⅳ）当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：ba b a ab -+)(生 Δ=k2k 相等的实根()8(+-≤≤+--k k k k k 当Δ=0，即k=-8或k=0∴原不等式的解集为{x|x ＞-(ⅴ)当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x|x ＞变题：解关于x 的不等式2x 2+kx-师 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手时，方程2x 2+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2x 2+kx-k≤0的解集是{4k -}，即{0,2}；(3)当Δ＜0,即-8＜k ＜0时，方程2x 2+kx-k=0无实根，所以不等式2x 2+kx-k≤0的解集为21－}于x 的不等式a x -b x+c ＞0的解集 2--a ，a＜a x a +-20.∴2{x|21＜x ＜ 值范围 y=a x +(a -1)x+a -1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a ＜0且Δ＜生 由题意知，要使原不等式的解集为R ，必须⎩⎨⎧∆,0,0＜＜a即⇔⎩⎨⎧---0)1(4)1(02＜＜a a a a ⇔⎩⎨⎧--012302＞＜a a a 313110-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-＜＜或＞＜a a a a ∴a 的取值范围是a ∈(-∞,31-师 变题：若函数f(x)=kx 2-6kx+(k+8)的定义域为R ，求实数k 的取值范围显然k=0时满足.而k ＜0时不满足102)8(43602≤⇒⎩⎨⎧≤+-=∆k k k k k ＜＞的取值范围是练习：不等式a x 2+b x+2＞0的解集为{x|-21＜x ＜31}，求a 、b .(⎩⎨⎧-=-=2,12b a［教师精讲］解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集的条件，还应考虑a =0的情况，但对本题讲a =0时式子不恒成立.（想想为什么）师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分4解：设方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x1，x 2若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足： ⎪⎩⎪⎨⎧⇔+≥∆0002121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---≥---0450420)5(16)2(2＞＞m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+-52084202＞＜m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤521416＞＜或m m m m m ∈∅此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能有两个正根若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：（以a x 2+b x+c ＞0为例）常与以下因素有关：（1）a ；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a 影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x 1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏［合作探究］【例3】 若不等式13642222＜++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围生∵++-+--⇔-++++⇔++++3643)3(220136422136422222222＞＜＜x x k x k x x x k kx x x x k kx x 2x 2-2(k-3)x+3-k ＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k ＞0对x 取任何实数均成立∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0⇔k 2-4k+3＜0⇔1＜k ＜3.∴k 的取值范围是（1，3）【例4】 当m 取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理⇔⎩⎨⎧∆021＜＞x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧----0450)5(16)2(2＜＞m m m m＜此时m 的取值范围是(-③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------⇔⎪⎩⎪⎨⎧+∆045042)5(16)2(0002121＜＞＞＜＞＞m m m m x x x x m ＜2.∴此时m 的取值范围是(-④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+---≥∆0)1()1(0)1)(1(02121＞＞x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-≥+-0460432084202＜＞m mm m m ∈∅此时m 的取值范围是∅，即原方程不可能两根都大于练习 解不等式：mx 2-2x+1＞不漏解：∵Δ=4-4m=4(1-mmx m m x --=-+=111121＜mmm m x ---+=1111＜＜ }. {x|x ＜21当0＜m ＜1时,Δ＞0，此mm x m m x --=-+=111121＞mm x x ---+=1111＜或}.当m ＝1时,不等式为(x-1)2＞∴其解集为⇔∙=+=2323⇔⎪⎩==-66a a 答案：-6，-⇔⎨⎧-≥-≤226＜或k k k k≤-当m ＞1时,此时Δ＜0,故其解集为师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况对应的一元二次方程有实数根1-a 和a ,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好练习：1.关于x 的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ）A. (41-,+∞) B.(-∞, 41-C. [41-，+∞） D.( 41-提示：由m≠0且Δ＞0，得m ＜41-，∴选 答案：灵活有效地进行等价变形的精神2.若不等式a x 2+5x+b ＞0的解集为{x|31＜x ＜21}，则a 、b 的值分别是__________3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k 的取值范围师 变式引申：已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围师 解：要原方程有两个负实根，必须⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∆≠+0000)1(22121＞＜x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012＞＜k k k kk k k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--≤≤--≠1321121＜或＞＜或＞k k k o k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜＞2[]3或k ＜-∴实数k 的取值范围是{k|-2＜k ＜-1或32＜k ＜练习：已知不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x-1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围生 若a 2-1=0，即a =1或a =-1时，原不等式的解集为R 和{x|x ＜21}； 若a 2-1≠0，即a ≠±1时，要使原不等式的解集为R ，必须⇔⎩⎨⎧∆-012＜＜a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-----0)1)(1(4)1(01222＜＜a a a -53＜a ＜∴实数a 的取值范围是(53-,1)∪{1}=(53-,1］五、课堂小结：. 1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围； （2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行； （4）归纳整合，作出结论3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不布置作业（1）已知不等式x 2+5x+m ＞0的解集为{x|x ＜-7或x ＞2}，求实数m 的值.(答案：m=-（2）已知关于x 的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x 都成立，求实数p 的范围.(由p ＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p ＜(3)若y=a x 2+b x+c 经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a ,b ,c 的值.（答案：a =2,b =4,c =-6） (4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围实数k 的取值范围是{k|-2＜k ＜-1或32＜k ＜1}.（课本第90页习题3.2）习题详解组1.(1)解：整理化简得4x 2-4x-15＞0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是231-=x ,252=x ，所以不等式的解集是{x|x ＜23-或x ＞25(2)解：整理化简得4x 2-13＜0.因为Δ＞0，方程4x 2-13=0的解是2131=x ,2132=x ，所以不等式的解集是{x|213-＜x ＜213(3)解：整理化简得x 2-3x-10＞0.因为Δ＞0，方程x 2-3x-10=0的解是x =-2,x 2=5，所以不等式的解集是{x|x ＜-2或x ＞(4)解：整理化简得x 2-9x ＜0.因为Δ＞0，方程x 2-9x=0的解是x 1=0,x 2=9，所以不等式的解集是{x|0＜x ＜2.(1)解x 2-4x+9≥0，因为Δ=-20＜0,方程x 2-4x+9=0无实数根，所以不等式的解集是R.所以y=x 2-4x+9的定义域是(2)解-2x 2+12x-18≥0，即(x-3)2≤0，所以x=3.所以y=-2x 2+12x-18的定义域是3.{m|m ＜-3-22或m ＞-5.解：设能够在2米以上的位置最多停留t 秒依题意，2212＞gtvt -，即12t-4.9t 2＞2.这里t ＞0，所以最大为2（精确到秒）答：能够在2米以上的位置最多停留2秒6.解：设每盏台灯售价x 元，则⎩⎨⎧--≥,400)]15(230[,15＞x x x即15≤x＜20215201502300=- (22-1),1520300=，所以售价满足15≤x＜第91页 习题B 组第4题解：设风暴中心坐标为（a ,b ）,则a =3002，所以（3002）2+b 2＜450,即-150＜b ＜150,而215201502300=-(22-1),1520300=,所以经过215(22-1)小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时组1.(1)4x 2-20x ＜25解集为∅(2)(x-3)(x-7)＜0解集为{x|-3＜x ＜(3)-3x 2+5x-4＞0解集为∅(4)x(1-x)＞x(2x-3)+1解集为{x|31＜x ＜2.由Δ=(1-m)2-4m 2＜0，整理得3m 2+2m-1＞0,因为方程3m 2+2m-1=0有两个实数根-1和31，所以m 1＜-1或m 2＞31，m 的取值范围是{m|m ＜-1或m ＞313.使函数f(x)=21 x 2-3x-43的值大于0的解集为{x|x ＜3-242或x ＞3+2424.略.备课资料备用习题1.解关于x 的不等式（并将解按a 的值进行分类）x 2-(a +a 2)x+a 3＞0（a ∈R）解：化为(x-a 2)(x-a )＞0（在数轴上，不等式的解应在两根a 、a 2之外，但a 、a 2谁大？需要讨论），比较a 与a 2的大小：a 2-a =a (a -1)根为0、1，将数轴分成三段∴当a ＜0时，a ＜a 2，解得x ＜a 或x ＞a 2,∴原不等式的解集为（-∞,a ）∪(a 2当a =0时，a 2=a ，解得x≠0,∴原不等式的解集为（-∞,0）当0＜a ＜1时，a 2＜a ,解得x ＜a 2或x ＞a ,∴原不等式的解集为(-∞,a 2)∪(a当a =1时，a 2=a ，解得x≠1,∴原不等式的解集为(-当a ＞1时，a 2＞a ,解得x ＜a 或x ＞a 2,∴原不等式的解集为(-∞,a )∪(a 22.关于x 的不等式x 2-a x+a ＞x 的解集为A ，B =(21-,23)，求：A ∩B分析：先求解集A ，再求A ∩B .原不等式可化为x 2-(a +1)x+a ＞0,上式等价于(x-1)(x-a )＞0.求A 时，需考虑a 与1的大小关系，求A ∩B 时，还要考虑a 与21-,232的大小3.若a x 2-2x+a 的值可取得一切正实数，求a 的取值范围分析：设f(x)=a x 2-2x+a当a =0时，f(x)=-2x 可取一切正实数当a ＞0时，∵f(x)可以取得所有正实数，∴抛物线与x 轴必有公共点， ∴Δ≥0,得0＜a当a ＜0时，抛物线开口向下，f(x)无法取得一切正实数,故0≤a ≤1为所求。
(江西版)2013年高考数学总复习 第三章不等式单元检测 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第三章不等式单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b 为非零实数且a ＜b ，则下列命题成立的是( )．A ．a 2＜b 2B ．ab 2＞a 2bC ．1ab 2＜1a 2bD ．b a ＜a b2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －1>0，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则“x ∈Q ”是“x ∈P ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．关于x 的不等式2x －1＞a (x －2)的解集为R ，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．{2}C ．(－∞，2)D ．4．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 2＝b 2，a 2 010＝b 2 010，则a 1 006与b 1 006的大小关系是( )．A ．a 1 006＝b 1 006B ．a 1 006＞b 1 006C ．a 1 006＜b 1 006D ．无法判断5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )．A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)6．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域是集合M ，函数g (x )＝x －1的定义域是集合P ，则P ∪M 等于( )．A ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－1，＋∞)7．已知a ，b 均为正数且a ＋b ＝1，则使1a ＋4b≥c 恒成立的c 的取值范围是( )．A ．c ＞1B ．c ≥0C ．c ≤9D ．c ＜－18．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．310．已知x ，y ，z ＞0，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值为( )．A ．32 B ．22 C ．23 D ．33二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是__________．12．若任意a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是__________．13．若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为__________．14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，y ≥0，则z ＝22(1)(2)x y ＋＋－的最小值是__________．15．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)设a ，b ，c 都大于0，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.17．(12分)已知不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为，求k 的取值范围．18．(12分)(1)已知a ，b 是正常数，且a ≠b ，x ＞0，y ＞0，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取得最小值时x的值．19．(12分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围．20．(13分)某渔业公司年初用98万元购买一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？21．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)证明：函数f (x )在[－1,1]上单调递增；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2pm ＋1对所有x ∈[－1,1]，p ∈[－1,1](p 是常数)恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：若a ＜b ＜0，可得a 2＞b 2，知A 不成立．若⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a <b ，可得a 2b ＞ab 2，知B不成立．若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，有b a ＞ab，知D 不成立．2．D 解析：由题意得P ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，Q ＝{x |x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以“x ∈Q ”是“x ∈P ”的既不充分也不必要条件．3．B 解析：原不等式可化为(a －2)x ＜2a －1， 当a ＝2时，2a －1＝3，不等式化为0＜3恒成立． ∵不等式的解集为R ，∴a ＝2.4．B 解析：a 1 006＝a 2＋a 2 0102＞a 2a 2 010＝b 2b 2 010＝b 1 006.故选B.5．A 解析：平面区域D 如图阴影部分所示．要使指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，∴1＜a ≤3.6．A 解析：M ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，P ＝{x |x ≥1}， ∴P ∪M ＝{x |x ≥1，或x ＜－1}．7．C 解析：关键是求1a ＋4b的最小值，∵1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ×(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋24＝9，∴c ≤9.8．D 解析：由已知可得直线AB 的方程为y ＝4tx －1，联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4t x －1，x 2＝12y ，消元整理，得2x 2－4tx ＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2－4t x ＋1＝0无解，故有248<0t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得t ＞2或t ＜－ 2. 9．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，得C (0,1)．∵△ABC 的面积为2，且a ＞－1，∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2.∴a ＝3.10．B 解析：方法一：∵y ∈R ＋，∴u ＝xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2＝221x z y y x z y y +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可化为2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2z y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋z y 1u＋1＝0，配方得212x y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212z y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12u 2－1.由上式可得12u 2－1≥0，即－22≤u ≤22.∵x ，y ，z ∈R ＋，由已知，显然有u ＞0，∴0＜u ≤22.∴u max ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x y ＝z y ＝22时，u 取得最大值. 方法二：由已知，得u ＝(x ＋z )yx 2＋y 2＋z 2.∵x ，y ，z ∈R ＋，且22x z +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤x 2＋z22，∴u ≤2(x 2＋z 2)·y (x 2＋z 2)＋y 2≤2y x 2＋z 22y x 2＋z 2＝22，当且仅当x ＝z 且x 2＋z 2＝y 2，即x ＝z ＝22y 时取等号．∴u max＝22. 二、填空题 11．[5,8) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8.12．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，任意f (a )在a ∈[1,3]上满足f (a )＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2>0，f (3)＝3x 2＋x －2>0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，x >23或x <－1.综上，x ＞2或x ＜－1.13．8 解析：当x ＞1时，y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·16x ＋1x＝216＝8，当且仅当x ＝2＋3时，等号成立．14．165解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝2⎛⎫＝165. 15．f (x )＝(22－2)x ＋1＋1 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 三、解答题16．证明：原不等式可化为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， ∵a ，b ∈R ＋，∴12a ＋12b ≥212ab ＝1ab ≥2a ＋b .同理，12b ＋12c ≥2b ＋c ，12c ＋12a ≥2c ＋a .∴12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ， 即12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 17．解：(1)∵不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}．∴k ＜0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根．∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式解集为，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1－6k 2≤0，解得k ≥66， 即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.18．(1)证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2x y＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＞0，∴a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝by时，上式等号成立．(2)解：由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，上式取得最小值，即f (x )min ＝25.19．解：(1)原不等式为(x －1)p ＋(x －1)2＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2， 它是关于p 的一次函数，定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(x －1)(x －3)>0，f (2)＝(x －1)(x ＋1)>0.解得x ＜－1或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1，或x ＞3}．(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0.∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .对x ∈[2,4]恒成立， 所以p ＞(1－x )max .当2≤x ≤4时，(1－x )max ＝－1，于是p ＞－1. 故p 的范围是{p |p ＞－1}．20．解：由题设知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )＞0⇔n 2－20n ＋49＜0⇒10－51＜n ＜10＋51. 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入为f (n )n＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n ≤40－2×14＝12(万元)．当且仅当n ＝7时，年平均获利最大．总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f (n )＝－2(n －10)2＋102.∵当n ＝10时，f (n )max ＝102(万元)． 总收益为102＋8＝110(万元)，但7＜10. ∴第一种方案更合算．21．(1)证明：设－1≤x 1＜x 2≤1， ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)． 又x 1＜x 2，∴x 2＋(－x 1)＝x 2－x 1＞0，由题设有f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)＞0，∴f (x 2)＋f (－x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． ∴函数f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)解：由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，x ≥2或x ≤0，x <－1或1<x <32⇔－32≤x ＜－1.∴不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <－1. (3)解：由(1)知对于x ∈[－1,1]，f (x )max ＝f (1)＝1，∴f (x )≤m 2－2pm ＋1对任意x ∈[－1,1]恒成立，只需1≤m 2－2pm ＋1对p ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2pm ≥0对p ∈[－1,1]恒成立．设g (p )＝m 2－2mp ，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ≥0，m 2－2m ≥0，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)∪{0}．。
第三章3.1 不等关系与不等式
a＋b c＋d (2)若 bc－ad≥0，bd＞0，求证： ≤ . b d 解：(1)选 C.法一：因为 A、B、C、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，所 以可用特殊值法(－1)>－1>－2，
即 a>－b>b>－a. 法二：因为 a＋b>0，b<0， 所以 a>－b>0，－a<b<0， 所以 a>－b>0>b>－a， 即 a>－b>b>－a. (2)证明：因为 bc－ad≥0，所以 bc≥ad， 所以 bc＋bd≥ad＋bd， 即 b(c＋d)≥d(a＋b)． 又 bd＞0，两边同除以 bd 得， a＋b c＋d ≤ . b d 探究点四 利用不等式性质求代数式的取值范围 a (1)已知 12<a<60，15<b<36，求 a－b 与 的取值范围． b π π α －β (2)已知－ ≤α <β ≤ ，试求 的取值范围． 2 2 2 [解] (1)因为 15<b<36，所以－36<－b<－15， 所以 12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 1 1 1 12 a 60 1 a 因为 < < ，所以 < < ，所以 < <4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a 所以 a－b 和 的取值范围分别是(－24，45)， 3，4. b π π π α π π β π π β π (2)因为－ ≤α<β≤ ，所以－ ≤ < ，－ < ≤ ，所以－ ≤－ < ，所以 2 2 4 2 4 4 2 4 4 2 4 － π α－β π α－β π α－β α－β ≤ < . 又 α<β ，所以 <0 ，所以－ ≤ <0. 所以 的取值范围是 2 2 2 2 2 2 2
必修5 第三章《基本不等式》(师用)
必修5 不等式基本不等式知识点● 设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．● 均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥． ● 常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈； ②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； ④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．● 极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．【A 组 专项基础训练】一、选择题．1．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是 ( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B ．2．下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1． 答案 C4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A ．13B ．12C ．34D ．23解析：∵0<x <1，∴1－x >0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案：B 二、填空题．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3．当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 3 6．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：97．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______．解析：设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．答案：20 三、解答题．8．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9． 证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋ab，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9． 9．为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，高度为b m ．已知流出的水中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2．问：当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?解：方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k >0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a ，b 的值．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 解得b ＝30－a2＋a(0<a <30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k －a ＋32－64a ＋2＝k34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≥k34－2 a ＋2 ·64a ＋2＝k 18， 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时等号成立，y 取得最小值．这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代入①式，得b ＝3．故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二 依题意，求使ab 值最大的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)． 因为a ＋2b ≥22ab ，所以22·ab ＋ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18． 所以2b 2＝18，解得b ＝3，进而求得a ＝6．故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【B 组 专项能力提升】一、选择题．1．不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是 ( )A ．正数B ．非负数C ．实数D ．不存在解析：原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成立．答案 C 2．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是 ( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P解析：因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b的大小，显然a ＋b 2>ab ．又因为a ＋b 2<a ＋b (因为a ＋b > a ＋b 24，也就是a ＋b4<1)，所以a ＋b >a ＋b2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M ．答案 B3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4mn ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．答案 C二、填空题．4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0．又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18． ∴xy 的最小值为18．答案 18 三、解答题5．甲、乙两地相距s 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p (单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q 千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v (单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k ．(1)把全程燃料费用y (单位：元)表示为船在静水中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域； (2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少?解：(1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv 2，全程航行时间为sv －p ，于是全程燃料费用y ＝kv 2·sv －p(p <v ≤q )．(2)由(1)，知y ＝kv 2·s v －p ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝ks [v ＋p ＋p 2v －p ]＝ks [v －p ＋p 2v －p＋2p ]≥ks [2v －p ·p 2v －p ＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝p 2v －p，即v ＝2p 时等号成立)．①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y m in ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ∉(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝kv 2·s v －p 在(p ，q ]内单调递减，所以y m in ＝ks ·q 2q －p，此时船的前进速度为q －p ．故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时．。
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习及答案
答案： A 解析： 只需
1 2
x
)
1 ] 4 7 D．(−∞, − ) 2
B．(−∞,
f (x) min ⩾ g(x) min 即可．
4. 三位同学合作学习，对问题"已知不等式 xy ⩽ ax2 + 2y 2 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] 恒成立，求 a 的 取值范围"提出了各自的解题思路． 甲说："可视 x 为变量，y 为常量来分析"． 乙说："寻找 x 与 y 的关系，再作分析"． 丙说："把字母 a 单独放在一边，再作分析"． 参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数 a 的取值范围是 ( A．[1, +∞)
1. 若关于 x 的方程 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0 有解，则实数 a 的取值范围是 ( A．(−∞, −8) C．[−8, +∞)
答案： B 解析：
)Hale Waihona Puke B．(−∞, −8]D．(−∞, +∞)
由 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0，得 a = −3 x −
答案： B 解析：
)
D．[−1, 6]
B．[−1, +∞)
C．[−1, 4)
y y y 2 − 2( ) ，由 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] ，x 、 y 构成正方形区域， 表示过 x x x y y 原点直线与正方形区域相交时直线的斜率的取值范围，则有 ∈ [1, 3] ，当 = 1 时， x x y y 2 − 2( ) 有最大值为 −1，则 a 的取值范围是 [−1, +∞) x x
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第三章 不等式（复习）
学习目标
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.
学习过程
一、课前准备
二、新课导学
※ 典型例题
例1、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料
用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖
3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.
.
例2 、比较大小.
（1）2(32)______626；（2）22(32)______(61)；
（3）152 165；（4）当0ab时，1122log_______logab
（5）(3)(5)______(2)(4)aaaa；（6）22(1)x 421xx
例3、 利用不等式的性质求取值范围：
（1）如果3042x，1624y，则
xy
的取值范围是 ，
2xy
的取值范围是 ，
xy
的取值范围是 ，
x
y
的取值范围是 。
（2）已知函数2()fxaxc，满足4(1)1f，1(2)5f，那么(3)f的取值范围
是 .
例4、已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围.
例5、已知x、y满足不等式22210,0xyxyxy，求3zxy的最小值.
例6、若0x，0y ，且281xy，求xy的范围.
三、总结提升
※ 学习小结
1．
用不等式表示不等关系；
2．比较大小；
3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；
4．会
解一元二次不等式；
5．会画
二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；
6．利用基本不等式求最大（小）值.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
1. 设0ab，下列不等式一定成立的是（ ）.
A．22aabb B．22baba C．22abab D．22abba
2. ,abR，且，则24ab的取小值是（ ）.
A．4 B．2 C．16 D．8
3. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.
A．00a B．00a C．00a D．00a
4. 不等式组438000xyxy表示的平面区域内的整点坐标是 .
5. 变量,xy满足条件430352501xyxyx，设yzx，则z的最小值为 .
课后作业
1. 解不等式组：
（1）22427180440xxxx （2）2232041590xxxx
2、已知15ab，13ab，求32ab的取值范围.
3、某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建
筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返
的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车
252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？