高中数学第一章导数及其应用1.2.3导数的四则运算法则学案新人教B版选修2_2
2015年高二数学课件1.2.3《导数的四则运算法则》(新人教B版选修2-2)
2．过程与方法 掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数的导 数．
• 3．情感、态度与价值观
• 通过利用导数方法解决实际问题，体会导数 在现实生活中的应用价值，提高数学应用能 力．
• ●重点难点
• 重点：导数的四则运算法则，复合函数的求 导方法．
• 难点：导数的四则运算法则的应用和正确分 析复合函数的复合过程．
• 【问题导思】 • 已知f(x)＝x，g(x)＝lnx，φ(x)＝5. • 1．试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．
【提示】 1 f′(x)＝1，g′(x)＝ ，φ′(x)＝0. x
2．如何求函数 Q(x)＝x＋ln x，H(x)＝x－ln x，M(x) ln x ＝xln x，N(x)＝ ，K(x)＝5ln x 的导数． x
• 4．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝ kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)， 求直线l的方程及切点坐标．
【解】 ∵直线 l 过原点， y0 ∴直线 l 的斜率 k＝ (x0≠0)， x0
2 由点(x0，y0)在曲线 C 上，得 y0＝x3 0－3x0＋2x0，
• 求下列函数的导数： • (1)y＝cos(2x－1)；(2)y＝2xe－x. • 【解】 (1)y′＝－sin(2x－1)·(2x－1)′＝－ 2sin(2x－1)． • (2)y′＝(2x)′e－x＋2x(e－x)′＝2e－x－2xe－x.
• 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直 线方程． • 【思路探究】 点(1，－1)不一定是切点， 故设出切点坐标(x0，y0)，求出f′(x0)．写出切 线方程，利用点(1，－1)在切线上求x0，从而 【自主解答】 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k 求出切线方程．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算
1.2.3 导数的四则运算法则1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的运算法则阅读教材P 19～P 20“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．和差的导数[f (x )±g (x )]′＝______________. 2．积的导数(1)[f (x )g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝______________. 3．商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________. 【答案】 1.f ′(x )±g ′(x ) 2.(1)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (2)cf ′(x ) 3.g x f ′x －f x g ′xg x 2，g (x )≠0判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) (3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( ) 【解析】 (1)由f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋c .(2)由y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′ ＝2cos x ＋sin x .(3)由f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2， 所以f ′(x )＝2x ＋3.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 复合函数的概念及求导法则阅读教材P20“例5”右边部分，完成下列问题．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成__________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为d yd x＝__________，即y对x的导数等于__________.【答案】x的函数y＝f(g(x))d yd u·d ud xy对u的导数与u对x的导数的乘积判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x e x的导数是f′(x)＝e x(x＋1)．( )(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )【答案】(1)√(2)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：[小组合作型]导数四则运算法则的应用(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3x e x－2x＋e；(3)y＝ln xx2＋1；(4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.【自主解答】 (1)y ′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx x 2＋12.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[再练一题]1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2](2)已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________.【导学号：05410013】【解析】 (1)f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]．(2)∵f ′(x )＝ex′x －e x·x ′x2＝exx －1x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0x 0－1x 20＋e x 0x 0＝0， 解得x 0＝12.【答案】 (1)D (2)12复合函数的导数求下列函数的导数． (1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝12x －13；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． 【自主解答】 (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝12x －13可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－62x －14.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5x －1ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤[再练一题]2．求下列函数的导数． (1)y ＝x1－1－x；(2)y ＝log 2(2x 2－1)． 【解】 (1)y ＝x1－1－x＝x 1＋1－x1－1－x 1＋1－x＝x 1＋1－x1－1－x＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u ·(－1)＝－121－x. (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1， 则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x ＝4x2x 2－1ln 2.[探究共研型]导数法则的综合应用探究 【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′ ＝6u ＝6(3x ＋2)．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4a －12＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．[再练一题]3．若将上例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范围．【解】 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交，∴圆心到直线l 的距离小于半径． 即d ＝|2－a |4a －12＋1<12. 解得a >118.[构建·体系]1．函数y ＝(2 017－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 017－8x )2B ．－24xC ．－24(2 017－8x )2D ．24(2 017－8x )2【解析】 y ′＝3(2 017－8x )2×(2 017－8x )′ ＝3(2 017－8x )2×(－8)＝－24(2 017－8x )2. 【答案】 C2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x【解析】 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 【答案】 B3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝_______.【导学号：05410014】【解析】 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax)′＝(e ax )·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 25．求下列函数的导数．(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3；(3)y ＝e－2x ＋1.【解】 (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学 1.2.3导数的四则运算法则学案 新人教B版选修2-2
1.2.3导数的四则运算法则一学习目标：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.二自学指导：1可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).推广法则2 [()()]____________u x v x '=.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)特别的：[Cf(x)]/=法则3 ()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 特别的：[)(1x g ]/= 法则4 当))((x u f y =是x 的复合函数时，记号dxdy 明确表示对x 求导数。
dx du du dy dx dy ⋅=2三 典型例题例1 求多项式函数n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110......)(的导数。
例2 求x x y sin =的导数例3 求x y 2sin =的导数例4 求x y tan =的导数例5 求()[]'+535x 的导数求()'x 5sin 的导数四巩固练习1．下列求导运算正确的是 ( )2x 232111.()1 B.(log ) C. (x cosx)-2xsinx D.(3)3log ln 2x A x x e x x x ''''+=+===2．求下列函数的导数 (1)y=12+x x (2)32(21)(3)y x x x =-+(3)y=x xsin (4)tan y x x =-；(5)x x e y 2= (6)5)75ln(+=x y3．已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值4.已知抛物线f(x)= x 2+3x-5，求此抛物线在x=3处的切线方程5设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,a b 的值。
高中数学1.2.3导数的四则运算法则教案理新人教B版选修2_2
1.2.3 导数的四则运算法则【教学目标】记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.【教学重点】导数的四则运算法则 【教学难点】复合函数的导数一、课前预习（阅读教材19--20页，填写知识点.并自学20页例题，※探究课上学习的例题）1.设函数)(),(x g x f 是可导函数[]__________)()(='±x g x f 推广：±±21f f (…)'n f ±__________= []__________)()(='⋅x g x f 特别地[]__________)(='x Cf _________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f 2.复合函数的求导法则：复合函数)]([x f y ϕ=对自变量x 的导数x y '，等于已知函数对中间变量)(x u ϕ=的导数u y '，乘以中间变量u 对自变量x 的导数x u '，即 ______________.二、课上学习：例1.求x x y cos =的导数.例2.求x y 2sin =的导数.例3.求x y tan =的导数.三、自我检测1. 曲线a x x y +-=22与直线13+=x y 相切时，常数a 的值等于__________ 2.曲线2313+=x y 在点(1,37)处切线的倾斜角为__________3.（1）求曲线132++=x x y在点（1，5）处的切线方程. （2）求曲线132++=x x y过点（2，2）处的切线方程. 4.如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为_______5.函数xe xf x=)(在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，则0x =______.6.在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为___________四、课后练习1.设函数x x f cos )(=，则])2(['πf 等于 （ ） 0 .A 1 .B 1 .-C 以上均不正确 .D2.设函数x x f sin )(=，则)0(f '等于 （ ）1 .A 1 .-B 0 .C 以上均不正确 .D3导数为1+x 的一个函数是 （ ）x x A +2 . 121 .2++x x B 1 .+x C 221 .x D 4.设函数)(sin x f y =是可导函数，则等于x y '（ ）)(sin .x f A ' x x f B cos )(sin .' x x f C sin )(sin .' x x f D cos )(cos .'5.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范 围是（ ） ]2,0[ .πA ),43[)2,0[ .πππ B ),43[ .ππC ]43,2( .ππD 6.求下列函数的导数（1）,cos x x x y ++=332 （2）2cos 2sin x x x y -= （3）4cos 4sin 44x x y +=（4）x x y cos = （5）x x x y +=1ln （6）x x f 2sin 1)(-=精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教B版高中数学选修2-2 第一章1.2.3导数的四则运算法则-教案
1.2 导数的运算1.2.3 导数的四则运算法则【提出问题】我们由定义已经求出了基本初等函数的导数。
(1)(c)′＝0(c 为常数)；(2)(x n )′＝nx n －1(n 为有理数)；(3)(sin x)′＝cos x ；(4)(cos x)′＝－sin x ；(5)(a x )′＝a x ln a(a>0且a ≠1)；(6)(e x )′＝e x ；(7)(log a x)′＝1x ln a (a>0且a ≠1)；(8)(ln x)′＝1x .初等函数是由基本初等函数经过四则运算、乘方、开方和各种复合运算构成。
因此，初等函数的导数可以经过基本初等函数导数的运算而求得。
怎么求呢？我们来解决这个问题。
【获得新知】（1）函数和（或差）的求导法则设f (x )，g (x )是可导的，求f (x )±g (x )的导数。
设()()y f x g x =+，则[()()][()()][()()][()()] y f x x g x x f x g x f x x f x g x x g x f g∆=+∆++∆-+=+∆-++∆-=∆+∆所以y f g x x x∆∆∆=+∆∆∆ 所以0000limlim()lim lim x x x x y f g f g x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆=+=+∆∆∆∆∆ 即()y f g f g ''''=+=+同理可证：()f g f g '''-=-所以(()())()()f x g x f x g x '''±=±即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）。
这个法则可推广到任意有限个函数，即1212()n n f f f f f f ''''±±±=±±±L L（2）函数积的求导法则设f (x )，g (x )是可导的，求f (x ) g (x )的导数。
人教版数学高二B版选修2-2学案 1.2.3 导数的四则运算法则
∴y′|x=3=
例5.求y＝sin4x＋cos4x的导数．
解法一：y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ sin22x
＝1－ （1－cos 4x）＝ ＋ cos 4x．y′＝－sin 4x．
解法二：y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sinx)′＋4 cos3x(cosx)′＝4 sin3xcosx＋4 cos3x(－sinx)＝4 sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2 sin 2xcos 2x＝－sin 4x
日照实验高中2007级数学导学案-----导数
1.2.3导数的四则运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
学习重点难点：
导数的四则运算
自主学习：
一、知识再现
1.导数的定义：设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即
2.导数的几何意义：是曲线 上点（ ）处的切线的斜率 因此，如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为
3. 导函数(导数):如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函数 在开区间内的导函数，简称导数数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
证明：令 ，
，
∴ ，
即 ．
法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
人教版高中选修(B版)1-13.2.3导数的四则运算法则课程设计
人教版高中选修(B版)1-13.2.3导数的四则运算法则课程设计一、教学目标1.了解导数概念和四则运算法则；2.掌握导数的四则运算法则，能基于此计算导数；3.能够将导数的四则运算与函数的运算相结合，解决实际问题。
二、教学重点难点1.导数概念与四则运算法则；2.将导数的四则运算与函数的运算相结合。
三、教具准备1.讲义；2.课件；3.黑板、彩色粉笔。
四、教学内容及安排1. 导数概念回顾在数学中，导数是用于表示函数在某一点处变化率（即斜率）的概念。
导数的定义如下：$$ f'(x)=\\lim_{\\Delta x\\to 0}\\frac{\\Delta y}{\\Deltax}=\\lim_{\\Delta x\\to 0}\\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} $$ 其中，$\\Delta x$表示自变量的增量，$\\Delta y$表示函数值的增量，$\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$表示变化率，f(x)表示函数在x处的取值。
2. 导数的四则运算法则根据导数的定义，可以得到导数的四则运算法则：2.1 导数的加减法则设f(x)和g(x)都在x0处可导，则：$$ [f(x)\\pm g(x)]' = f'(x) \\pm g'(x) $$2.2 导数的乘法法则设f(x)和g(x)都在x0处可导，则：$$ [f(x)\\times g(x)]' = f'(x) \\times g(x) + f(x) \\times g'(x) $$2.3 导数的除法法则设f(x)和g(x)都在x0处可导，且g(x0)eq0，则：$$ [\\frac{f(x)}{g(x)}]'=\\frac{f'(x)\\times g(x)-f(x)\\timesg'(x)}{[g(x)]^2} $$2.4 导数的复合法则设u(x)和v(x)都在x0处可导，则：$$ [f(u(x))]'=f'(u(x))\\times u'(x) $$3. 案例分析3.1 案例1已知函数f(x)和g(x)的导数分别为f′(x)=4x和g′(x)=2x+1，求函数$h(x)=f(x)\\times g(x)$在x=1处的导数。
人教B版高中数学选修导数的四则运算法则教案(2)
1.2．1 导数的四则运算法则一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ，2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛．x x 21)'(=二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础.教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.三、教学过程：（一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)．证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0,,0=∆∆x y.0lim ')('0=∆∆==∴→∆x y C x f x也就是说，常数函数的导数等于0．公式2： 函数x x f y ==)(的导数证明：（略）公式3： 函数2)(x x f y ==的导数公式4： 函数x x f y 1)(==的导数公式5： 函数x x f y ==)(的导数（二）举例分析例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x =练习求下列函数的导数：⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x xy 2=例2．求曲线xy 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。
例3．已知曲线2x y=上有两点A （1，1），B （2，2）。
求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率；（3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离．（三）课堂小结几种常见函数的导数公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛．x x 21)'(= （四）课后作业《习案》作业四。
【B版】人教课标版高中数学选修1-1教案：导数公式表、导数的四则运算法则2-新版
3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则学习目标1.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数；2.会使用导数公式表求函数的导数；3.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数；4.会使用导数公式表求函数的导数.学习重点会使用导数公式表求函数的导数，会使用导数公式表求简单复合函数的导数学习难点会使用导数公式表求函数的导数会使用导数公式表求简单复合函数的导数一．复习回顾如何求导数？二．创设情境为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,我们引入了导数的概念：1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.三．讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11(),()0;2()(),();3()sin ,()cos ;4()cos ,()sin ;5(),()ln ;6(),();17()log ,();ln 18()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x -'=='=∈='=='==-'=='=='=='==、若则、若则、若则、若则、若则、若则、若则、若则2、讲解例题例1 假设某国家在20年期间的年平均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系式0()(15%)t p t p =+，其中p 0为t=0时的物价，假定某种商品的p 0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上 涨的速度大约是多少（精确到0.01）3、导数运算法则[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ 4、讲解例题例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.解:332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的。
1.2.3 导数的四则运算法则 学案(含答案)
1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案）1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x2.同理，Hx11x2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时，1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2；3yx2log3x；4yex1ex1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx，yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，1352222333.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx232.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x23.方法二yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二简单复合函数求导例2求下列函数的导数1yecosx1；2ylog22x1；3y2sin3x6；4y112x.解1设yeu，ucosx1，则yxyuuxeusinxecosx1sinx.2设ylog2u，u2x1，则yxyuux2uln222x1ln2.3设y2sinu，u3x6，则yxyuux2cosu36cos3x6.4设yu12，u12x，则yxyuux12u12x1232u212x32.反思与感悟求复合函数导数的步骤1确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yfu，ugx2分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.3计算yuux，并把中间变量转化为自变量整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程跟踪训练21已知函数fx2x15，则f0的值为________答案10解析fx52x142x1102x14，f010.2求下列函数的导数y3x；y12lnx21；ya12xa0，a1解设yu，u3x，则yxyuux12u1123x.设y12lnu，ux21，则yxyuux121u2x121x212xxx21.令yau，u12x，则yxyuuxaulna2a12xlna22a12xlna.类型三导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例31已知函数fxlnxx2xf1，试比较fe与f1的大小关系；2设fxaxbsinxcxdcosx，试确定常数a，b，c，d，使得fxxcosx.解1由题意得fx1lnxx22f1，令x1，得f11ln112f1，即f11.fxlnxx2x.felnee2e1e2e，f12，由fef11e2e20，得fef12由已知得fxaxbsinxcxdcosxaxbsinxcxdcosxaxbsinxaxbsinxcxdcosxcxdcos xasinxaxbcosxccosxcxdsinxacxdsinxaxbccosx.又fxxcosx，adcx0，axbcx，即ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.反思与感悟1中确定函数fx的解析式，需要求出f1，注意f1是常数2中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成12问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练3函数fxx2x1f1，则f1________.答案1解析对fx求导，得fx2x12x2x1212x12，则f11.命题角度2与切线有关的问题例41若曲线yxlnx上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是________答案e，e解析设Px0，y0yxlnx，ylnxx1x1lnx，k1lnx0.又k2，1lnx02，x0e.y0elnee.点P的坐标是e，e2已知函数fxax2bx3a0，其导函数为fx2x8.求a，b的值；设函数gxexsinxfx，求曲线gx在x0处的切线方程解因为fxax2bx3a0，所以fx2axb，又知fx2x8，所以a1，b8.由可得gxexsinxx28x3，所以gxexsinxexcosx2x8，所以g0e0sin0e0cos02087.又知g03，所以gx在x0处的切线方程为y37x0，即7xy30.反思与感悟1与切线有关的问题往往涉及切点.切点处的导数.切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练41设曲线y2cosxsinx在点2，2处的切线与直线xay10垂直，则a________.答案1解析ysin2x2cosxcosxsin2x12cosxsin2x，当x2时，y12cos2sin221.又直线xay10的斜率是1a，1a1，即a1.2曲线yesinx在0,1处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usinx，则yesinxeusinxcosxesinx，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22，所以c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1设函数y2exsinx，则y等于A2excosxB2exsinxC2exsinxD2exsinxcosx答案D解析y2exsinxexcosx2exsinxcosx2对于函数fxexx2lnx2kx，若f11，则k等于A.e2B.e3Ce2De3答案A解析fxexx2x31x2kx2，f1e12k1，解得ke2，故选A.3曲线yxx2在点1，1处的切线方程为Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2答案A解析yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为y12x1，即y2x1.4函数y2cos2x在x12处的切线斜率为________考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos2x，得y1cos2x2sin2x，所以函数在x12处的切线斜率为2sin2121.5在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________答案3xy110解析y3x26x63x22x23x1233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为1，14，切线方程为y143x1，即3xy110.1应用和.差.积.商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数.三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3求复合函数的导数应处理好以下环节1正确分析函数的复合层次2中间变量应是基本初等函数结构3一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导4善于把一部分表达式作为一个整体5最后要把中间变量换成自变量的函数。
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1.2.3 导数的四则运算法则(一) 明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x )，(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f x g x ]′＝f x g x －f x g x g 2x (g (x )≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本节要研究的问题．探究点一 导数的运算法则思考1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数？答 利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a ·g (x )]′＝a ·g ′(x )，运用公式时要注意a ′＝0. 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x－lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)f (x )＝2－2sin 2x2. 解 (1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4， ∴y ′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f (x )＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x .例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.反思与感悟 本题是基本函数积(商)的求导问题，对于不属于基本函数的函数通过变形转化成基本初等函数，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)； (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)(1x －1)．解 (1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)＝x ＋2＋2x， ∴y ′＝1－2x2. (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ， ∴y ′＝12cos x . (3)∵y ＝(x ＋1)(1x －1)＝－x ＋1x ， ∴y ′＝(－x )′＋(1x )′＝13221122x x ---- ＝－12x(1＋1x )． 探究点二 导数的应用例3 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0.(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，k ＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)．(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练3 求满足下列条件的f (x )的解析式：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )，f ′(x )代入方程得 x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x ) 答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x －x 2 B.x sin x －sin x －cos x －x 2 C.cos x －sin x ＋x sin x －x 2 D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x －x －cos x －－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x －x 2. 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.因为y ′＝2ax ＋b ，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.[呈重点、现规律]求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．。