公式法-凑角法-换元法
三角函数最值问题的十种常见解法
1 三角函数最值问题的十种常见解法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤=.三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.2[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().c o s s i n 21c o s s i n 2x x x x +=+，设s i n c o st x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=，当且仅当2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6. 已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为x a x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最3值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 [分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x 3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0xx y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.4九． 判别式法例9． 求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法. 解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M5（3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1. 求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解：6 ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
换元法在高中数学解题中的应用技巧
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１０㊀换元法在高中数学解题中的应用技巧换元法在高中数学解题中的应用技巧Һ梁茸茸㊀（甘肃省临夏中学，甘肃㊀临夏㊀７３１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过 换元 分析题目㊁梳理思路㊁简化运算㊁解决问题，是高中一种至关重要的解题技巧．文章参考２０１９年人教版高中数学教材核心知识点，从内涵㊁价值㊁方法㊁类型题等多个维度层层深入，探究换元法的具体应用，希望对一线教师的教学有一定启发，帮助学生在高中数学解题中全面掌握换元法．ʌ关键词ɔ高中数学；换元法；解题教学引㊀言换元法是一种数学解题方法，体现着重要的数学思想，在高中数学方程㊁不等式㊁函数等问题中有着十分广泛的应用．教师应使学生充分认识换元法在高中数学解题中的应用价值，掌握其应用技巧，以培养学生高中数学解题能力，使其数学思想㊁能力等实现良好的发展．这要求教师立足实际研究换元法在高中数学解题中的应用技巧，全面把握其基本方法与关联题型，为学生提供恰到好处的指导．一㊁换元法的内涵换元法也称 变量代换法 辅助元素法 ，是一种在数学解题过程中以新的变量取代原有变量的方法．展开来说，换元法是在数学解题过程中引入一个或多个新的变量代替题目中原有的某些复杂或干扰变量，从而将分散在题目中的已知条件准确联系起来，突出隐含条件，将题目变成学生更容易理解的形式，简化烦琐的运算过程．二㊁换元法在高中数学不同类型题中的应用掌握换元法在高中数学解题中的应用技巧，应准确理解其适用题型．这样，学生才能在面对换元法相关题目时，及时确定 换元 解题思路，节约思考时间．因此，教师还应引导学生归类典型题，探索换元法在高中数学不同类型题中的应用．比如，方程问题㊁函数问题㊁不等式问题㊁数列问题．（一）方程问题方程问题是高中数学最基础的一项知识，是学生解答高中数学函数㊁导数等其他问题的重要基础．以人教版高中数学教材为例（２０１９年版），其在高一必修第一册便编排了 一元二次方程 知识点，足见方程在整个高中数学学习过程中的重要性．而对于一些复杂的方程问题，只有通过换元才能顺利求解．例如，人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 教学中，有下列题目：解方程：ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２＋ｘ２＋１ｘ－２＝０．方程最高次项为４次，使其具有较大难度，不能直接运用解一元二次方程的解题经验，由此可考虑应用换元法，将方程最高次 降次 ，具体思路和过程如下：观察方程未知数，可知ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２与ｘ２＋１ｘ为平方关系．因此可设ｘ２＋１ｘ为ｙ，则ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２可表示为ｙ２，原方程转化为ｙ２＋ｙ－２＝０，（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０，ｙ值可取－２或１．当ｙ值取－２时，ｘ２＋１ｘ＝－２，ｘ２＋１＋２ｘ＝０，ｘ＝－１；当ｙ值取１时，ｘ２＋１ｘ＝１，ｘ２＋１－ｘ＝０，ｘ－１２æèçöø÷２＝－３４，无解．所以原方程解为ｘ＝－１．一方面，基于换元法在方程问题中的 降次 优势解题，将方程最高次项由４次转化为２次．另一方面，应用整体换元法，将方程中代数式ｘ２＋１ｘ视为一个整体，整体代入未知数ｙ．通过换元法在方程问题中的混合应用，非常见一元四次方程被转化为学生再熟悉不过的一元二次方程，解方程难度大大降低．此外，高中数学 圆锥曲线方程 解题中，也需要应用换元法解题技巧．例如，人教版高二选择性必修第一册（２０１９年版）第三章 椭圆 ，有下列题目：在椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１上有一移动的点Ｐ，其坐标可表示为（ｘ，ｙ），求函数ｕ＝ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２＋ｘ＋２ｙ的最大值．基于换元法，其解题思路与过程如下：设ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθ，θɪ［０，２π）．ｕ＝４ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎθｃｏｓθ＋４ｓｉｎ２θ＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＝２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＋２．㊀㊀㊀解题技巧与方法１１１㊀㊀再设ｇ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎπ４＋θæèçöø÷，ｇɪ［－２，２］ｕ＝２ｇ２＋２ｇ＋２＝２ｇ＋１２æèçöø÷２＋３２，ｇ＝２时，ｕ最大，值为６＋２２．某种意义上，圆锥曲线方程问题可以视为高一方程问题的升级，其复杂性更高，难度有显著提升，因此要求学生掌握更加灵活的解题方法．例题解题思路为三角换元法在圆锥曲线方程问题中的运用，是先根据椭圆参数方程ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ特点还原，然后依据三角函数ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１等知识点化简方程，求出最终解．（二）函数问题高中数学函数问题可概括为 基础函数问题 与三角函数问题 ，前者还可细分为 二次函数基础问题 指数函数基础问题 对数函数基础问题 等，后者由于在 三角形 背景下，因此被单独归类．换元法不仅可以用于解决 二次函数 等基础函数问题，还在三角函数问题的解答中有特殊功能．教师应使学生全面掌握函数问题中的换元技巧．而 换元法在基础函数解题的应用 中，主要题型有 函数解析式问题 与 最值问题 ，下面将结合具体例题一一论述．１．函数解析式问题一般情况下，高中数学函数解析式问题可以通过待定系数法求解，若题中已知条件无法满足待定系数法解题需要，换元法便派上了用场．例如：已知函数，ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，求ｆ（ｘ）．这是一个典型的求对数函数解析式问题，题目所给条件十分有限，不能直接套用待定系数法．换元法解题思路与过程如下：令２ｘ＋１＝ｕ，则ｘ＝２ｕ－１，ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１．结合题意ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，可知ｘ＞０，则ｕ＞１，则ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１成立．以未知数ｘ表示ｕ，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ２ｘ－１ｘ＞１()．直接将已知函数关系式中２ｘ＋１视为一个整体，用未知数ｕ进行表示，求出换元后的函数解析式．之后再次换元，代入新的未知数替换ｕ，解得原函数ｆ（ｘ）解析式．通过变量的多次替换，轻松求出原复杂函数解析式．但是需要注意的是，由于在多次换元中， 新元 取值范围存在变化，所以在最终确定函数解析式时，要着重关注ｘ的取值范围．此外，教师还可以视此题目为典型，引导学生归纳函数解析式问题换元规律：形如ｙ＝ｆｇ（ｘ）[]的函数中，求解其解析式，可以先对ｇ（ｘ）换元，再求解原函数解析式．学生由此形成对函数解析式问题换元技巧的规律性掌握，可在自主求解函数解析式问题时，更加自信㊁巧妙地应用换元法．２．最值问题高中数学最值问题包括 最大值 最小值 问题，在二次函数㊁指数函数等函数中均有应用．而且，在某种意义上，圆锥曲线方程问题也属于函数问题，上述 三角换元解椭圆方程最大值 问题，本质上也是换元法在函数最值问题中的应用．因此在本部分，将不再对圆锥曲线方程最值问题展开赘述，以二次函数为重点讨论对象．例如：求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的最小值．题目只有寥寥一句话，却能困扰很大一部分学生．这并非常见的一元二次函数，应该采取何种方法求最小值？解题思路与过程如下：应用换元法可以将函数关系式 根号 部分的变量视为一个整体，令ｘ－１＝ｕ，则ｘ＝ｕ２＋１，函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）．此时，函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的求解问题，被顺利转化为函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）的求解问题．通过顶点式表达ｆ（ｕ）函数关系式，ｆ（ｕ）＝２ｕ－１４æèçöø÷２＋１５８，函数开口向上，在顶点处取最小值，ｕ＝１４，ｆ（ｕ）＝１５８．通过整体换元，函数由一次函数被转化为易于求最值的二次函数形式，然后将二次函数表达式转化为 顶点式 ，可根据二次函数顶点坐标特征顺利求解．但是在换元过程中，同样要明确与 元 相对应的变量取值范围变化情况．３．三角函数问题三角函数是特殊的一种高中数学函数问题，因此换元法在其实际解题过程中的应用也具有一定特殊性，包括角换元㊁三角式㊁ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１换元等．例如：求三角函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．这是一个典型的 三角式换元 问题，可以通过三角式换元将三角函数转化为二次函数，使 求值域 更加简单，思路与过程如下：设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ，则ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２．根据三角函数诱导㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１２㊀公式，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，则ｔ取值范围为ｔɪ［－２，２］，ｆ（ｘ）＝ｔ＋ｔ２－１２＝ｔ＋１()２－２２，其对称轴为ｔ＝－１，因此在区间ｔɪ［－２，２］内，其值域为ｆ－１()，ｆ２()[]．ｆ－１()＝－１，ｆ２()＝２２＋１２，求得原函数值域为－１，２２＋１２éëêêùûúú．通过将三角函数中某一个三角函数关系式换元，引发原函数其他变量的相应变化，将原函数由三角函数转化为二次函数，根据 换元 后函数变量取值范围变化情况确定二次函数定义域，求出其值域，该值域也是原函数待求值域．在换元法与三角函数问题的紧密融合中，高中数学三角函数解题难度也大大降低．（三）不等式问题不等式问题同样是人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 部分教学内容，其典型题目包括求不等式某一变量取值范围㊁证明不等式等．例如：求证－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．这是典型的证明不等式问题，初读题目，除待证不等式外，题目并未给出其他已知条件，使很多学生毫无头绪．但是应用换元法，将式中ｘ设为ｃｏｓθ，结果将天差地别，解题过程与思路如下：令ｘ＝ｃｏｓθ，且θɪ０，π[]，则ｘ１－ｘ２＝ｃｏｓθｓｉｎθ＝１２ｓｉｎ２θ．θɪ０，π[]，－１ɤｓｉｎ２θɤ１，则－１２ɤ１２ｓｉｎ２θɤ１２，－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．具体来说，此题应用三角换元法，通过设原不等式变量ｘ为三角函数ｃｏｓθ，同时设定角θ取值范围，将不等式转化为与ｓｉｎθ相关的关系式．之后，可根据角θ在特殊取值范围下的值域确定ｓｉｎθ取值范围，从而反证不等式，降低不等式证明难度．但是在应用此技巧时，还要注意换元的等价性，不仅要保持题目各个变量之间的关系不变，还要使各变量取值范围在换元前后保持一致．（四）数列问题换元法在数列解题中的应用，主要包括在数列的递推通项公式或前ｎ项和公式过程中，构造等差数列或等比数列；在关于数列的不等式问题中，求解数列最值．例如，人教版高二选择性必修第二册（２０１９年版）第四章 数列 教学中，有下列题目：已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，当ｎȡ２时，数列前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，求Ｓｎ的表达式．结合题意，解决此问题，需要根据ａ１＝１以及ｎȡ２时数列前ｎ项和Ｓｎ所满足条件逆推前ｎ项和公式，而逆推数列前ｎ项和公式，需要构造新的数列，由此可应用换元法．解题思路如下：任意一个数列中，都有ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１，当ｎȡ２时，将其代入Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，得到２ＳｎＳｎ－１＋Ｓｎ－Ｓｎ－１＝０．若题目成立，则Ｓｎʂ０，等式两边可同时除以ＳｎＳｎ－１，得到２＋１Ｓｎ－１－１Ｓｎ＝０，１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２．应用换元法，可设Ｃｎ＝１Ｓｎ，则Ｃｎ－Ｃｎ－１＝２，Ｃｎ{}为首项为１㊁公差为２的等差数列，表达式为２ｎ－１．将Ｃｎ＝２ｎ－１代入Ｃｎ＝１Ｓｎ，则１Ｓｎ＝２ｎ－１，Ｓｎ＝１２ｎ－１．首先，根据题意以及数列特征消掉题目的ａｎ，使其只存在Ｓｎ与Ｓｎ－１两个变量，突出数列前ｎ项和与前ｎ－１项和的数学联系．其次，将Ｓｎ与Ｓｎ－１其中一个变量设为新的变量，通过还原构造新的数列，求出其表达式．最后，将新数列表达式代入之前所求得的数学关系式，求出数列｛ａｎ｝真正的前ｎ项和表达式．将换元法渗透在运算过程中，及时设元，减少无关运算，顺利逆推出数列问题答案．结㊀语综上所述，在高中数学解题中，换元法既可以保障解题效果，又可以使学生感悟数学思想，感悟换元法应用在高中数学解题中具有的极高现实意义．教师应使学生领会换元法在高中数学解题中的常见方法，同时区分适用于换元法的不同题型，使学生全面掌握换元法应用技巧．此外，教师还需让学生建立 勿忘换元 意识，使其 换元 有始有终．ʌ参考文献ɔ［１］李志明．巧妙换元㊀解决难题 换元法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３６）：１４－１６．［２］刘延群．高中数学换元解题 六法 ［Ｊ］．中学数学，２０２２（９）：８１－８２，９５．［３］雷文发，张红霞．灵活换元㊀巧妙转换［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（６）：６８．。
换元法
换元法运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。
x ≥0,x ≤14三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。
例1. 分解因式分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。
解：法一：对和换元，用换元法解 设则原式法二：用换元法来解设，则原式法三：将原式整理成关于x的二次三项式原式在函数中的应用1、求函数的定义域例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x²)的定义域。
解：设x²=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x²≦3,所以-√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3]2、求函数的解析式例3、已知f(x+1)=x²-2x,求f(x)的解析式解：设x+1=t,则x=t-1, 所以f(t)=(t-1)²-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x²-4x-1。
三角恒等变换换元法
三角恒等变换换元法三角恒等变换是高等数学中的一个重要概念，它在解决三角函数方程和简化三角函数表达式中起着重要的作用。
本文将介绍三角恒等变换的定义、常见的三角恒等变换公式以及如何利用三角恒等变换来简化三角函数表达式。
一、三角恒等变换的定义三角恒等变换是指等式两边同时进行恒等变换，使等式仍然成立。
其中，恒等变换是指对一个三角函数进行某种运算后，仍然得到一个等价的三角函数。
三角恒等变换的目的是将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
二、常见的三角恒等变换公式1. 余弦函数的恒等变换：- 和差角公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB- 二倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A- 半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2]2. 正弦函数的恒等变换：- 和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB- 二倍角公式：sin2A = 2sinAcosA- 半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2]3. 正切函数的恒等变换：- 和差角公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB) - 二倍角公式：tan2A = (2tanA)/(1 - tan²A)三、利用三角恒等变换简化三角函数表达式的方法1. 利用和差角公式：当一个三角函数的参数是两个角度的和或差时，可以利用和差角公式将其转化为两个三角函数的乘积或商，从而简化表达式。
2. 利用二倍角公式：当一个三角函数的参数是一个角度的两倍时，可以利用二倍角公式将其转化为一个三角函数的平方或两个三角函数的差，从而简化表达式。
第一换元积分法
第一换元积分法
第一类换元法通过配凑导数，将配凑到的导数u'和dx合在一起形成du，构成形如f(u)du的形式求积分，这里的f(u)通常为易求的积分形式
而第二类换元法则是令x=g(t),把dx拆分为g'(t)dt,从而把简单函数变为一个复合函数，高数中常常用三角函数代换分母中的多项式，再利用三角恒等变换使分母简单化从而得解
换句话来说，第一类换元法是先将函数分为两部分，一部分为u',另一部分为f(u),其中u'dx=du,于是待求积分从f(x)dx转化为f(u)du,而第二类换元法是将x用g(t)代换，再将dx拆分为g'(t)dt从而使积分可求，而其不同于第一类换元法表现在其后须使用t=g-(x)将t换掉得到关于x的积分。
4-2 换元法1-第一换元法
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章 四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积 求不定积分时， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 把要求的积分化成已知的形式， 把要求的积分化成已知的形式，求出以 再把原来的变量换回。 后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。 与 只相差一个常数 • 注意例3，4与例 解法差别。 注意例 ， 与例5解法差别。 与例 解法差别
第29讲 三角恒等变换
第29讲三角恒等变换5种常见题型【考点分析】考点一：两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；考点二：二倍角公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；考点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===考点四．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．考点五：常见拆分方法①=22αα⋅；=(+)ααββ-()αββα--；③1[()()]2ααβαβ=++-；④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型目录】题型一：和差角公式的应用题型二：二倍角公式的应用题型三：凑角（换元法）题型四：给值求角问题题型五：求非特殊角三角函数值【典例例题】题型一：和差角公式的应用【例1】在平面直角坐标系中，角α的终边过点()3,1P -，角β的终边与角α的终边关于直线y x =对称，则()cos βα-=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【例2】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【例3】已知函数()12sin ,R 36f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．设()106,0,,3,3222135f f ππαβαβπ⎡⎤⎛⎫∈+=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()cos αβ+的值为（）A ．5665B ．1665C ．6365D ．3365【例4】已知()()3sin cos cos sin 5αβααβα---=，且β为第四象限角，则tan β=（）A ．34-B ．45-C ．43-D ．35-【例5】sin109cos 296cos71sin 64︒︒+︒︒=（）A ．12B ．2C ．2D ．1【例6】已知34cos sin ,sin cos 55αβαβ+=+=，则sin()αβ+=___________．【例7】化简：tan19tan 26tan19tan 26++︒︒︒︒=．【题型专练】1．已知α，β都是锐角，1sin 3α=3β=，则()cos αβ+=（）A ．3B ．9C ．3D ．92.已知34cos sin ,sin cos 55αβαβ+=+=，则sin()αβ+=__________．3．已知3cos()2cos()0,tan ,tan αβαβαβ++-=均有意义，则tan tan αβ的值为___________．4．sin 62cos32sin 32cos118︒︒+︒︒=（）A ．2B ．12C ．D ．12-5．已知tan ,tan αβ是关于x 的一元二次方程2620x x ++=的两个实数根，则sin()cos()αβαβ+=-（）A ．1-B ．1C ．2-D ．26．已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且α是第二象限角，则sin α=______．7．求值：cos58°sin77°＋sin122°sin13°=_______．8．tan50tan 20tan50tan 203︒︒-︒-︒=____________．题型二：二倍角公式运用【例1】若π6αβ+=，且2cos sin2sin 1cos2αβαβ+=+，则cos β=（）A．4BC ．14-D ．14【例2】公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，则212cos 27-︒的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【例3】若α为第二象限角，2sin cos 3αα+=-，则sin2α=（）A ．518B ．518-C ．59D ．59-【例4】已知θ为三角形的内角，且2sin 2sin θθ=，则()sin 1cos 2sin cos θθθθ-=+___________.【例5】若()0,πα∈，2cos2tan 32sin2ααα=-，则cos α=（）A ．29-B ．29C ．79-D ．79【例6】设1cos662a =︒-︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a<<【题型专练】1.（多选）下列三角式中，值为1的是（）A ．4sin15cos15︒︒B ．222cos sin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22tan 22.51tan 22.5-︒︒D2．若cos 22a ︒=，则sin11︒=_______，cos11︒=_______．3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则下列各式中正确的是（）A．tan 2α=B．tan 2α=C．tan α=D．tan α=4．已知α为锐角，且4cos 5α=，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.5．若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan 2α=___________.6.若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（）A ．12B ．12-C ．2D ．-27.若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos(α＋π4)sin β，则（）A ．()1tan =-βαB ．()1tan =+βαC ．()1tan -=-βαD ．()1tan -=+βα题型三：凑角（换元法）【例1】已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A ．10B．10C ．10D ．10-【例2】若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）AB．C ．9D．【例3】已知sin 5πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．58B ．58-C ．38-D ．38【例4】若()1tan 3αβ+=，()1tan 6a -=，则tan 2α=___________.【例5】已知324ππβα<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，求cos2α与cos 2β的值．【例6】已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325-CD ．5-【题型专练】1．已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+的值为（）A ．79B ．79-C ．19D ．19-2．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．-1C ．57-D ．573．已知π0π2αβ<<<<，3sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值为（）A ．2425或0B ．0C ．3365D ．24254．已知4sin 5α=-，3ππ2α<<，ππ2β<<，()16cos 65αβ-=，则sin β=________.5．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；(2)()tan αβ+的值.6.已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C．4-D．47.已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A．B．2±C ．12D8．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=）A．cos α=B．sin cos αα-C ．34πβα-=D．cos cos αβ=题型四：给值求角【例1】已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-【例2】已知263ππα<<，sin 4sin cos tan15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α=______．【例3】在ABC中，tan tan tan A B C ++=，2tan tan tan B A C =，则角B =（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．75︒【例4】已知3sin ,sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为_____．【例5】已知,αβ都是锐角，111cos ,cos()714ααβ=+=-，则β=___________.【题型专练】1.已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin sinπ12tan π12cos cos 12αα-=+，则α=______3.若()0,απ∈，且cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α的值为___________.4.若sin 25α=，()sin 10βα-=，且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．5.若sin 25α=，()sin 10βα-=，且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．7π4B ．π4C ．4π3D ．5π36.已知α、β都是锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，那么α、β之间的关系是（）A ．4παβ+=B ．4αβ-=πC ．24παβ+=D ．22παβ+=7．已知1sin ,sin 424ππαβ⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4242ππππαβ<<<<，求角αβ+的值.8．已知1212cos(),cos()1313αβαβ-=-+=，且3,,,222ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求角β的值．9.已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π10．（多选）已知α，β，0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝，且2παβγ++=，则（）A ．若sin cos αα+=tan 1α=B ．若tan 2α=，则sin()βγ+=C ．tan α，tan β可能是方程2670x x -+=的两根D ．tan tan tan tan tan tan 1αββγβα++=11．（多选）已知()4cos cos 255αβα+=-=-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（）A ．3sin 25α=B ．()cos 5αβ-=C ．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=12．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．题型五：求非特殊角三角函数值【例1】求值（1）sin10sin 30sin 50sin 70︒⋅︒⋅︒⋅︒；（2）sin 6sin 42sin 66sin 78︒⋅︒⋅︒⋅︒【例2】sin10tan104︒+︒=（）A ．14B C ．12D【例3】【例4】若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒，且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅，则实数m 的值为（）A ．B ．3-C ．3D【例5】=（）A ．1B CD ．【题型专练】1.2.()tan 30tan 70sin10︒+︒︒=___________.3.若11tan 80sin α+=，则α的一个可能角度值为__________.4.化简并求值.（1︒-︒（2cos 40sin 501︒+︒+︒；（3（4）22131cos 80cos 10cos 20⎛⎫-⋅ ⎪︒︒⎝⎭︒.。
教案4-不定积分new
第四章不定积分§ 4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。
但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题:已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。
''积分'是•微分、旳逆运算一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的槪念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间/变化的规律为S = s(t),那么，在任意时刻/物体运动的速度为V(r) = s\t)。
现在提岀相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间/变化的规律为V = V(r),要求该物体运动的路程随时间变化的规律S = s(0。
显然，这个问题就是在关系式V(r) = S f(t)中，当W/)为已知时，要求$(/)的问题。
例2 已知曲线y = /(x)上任意点(x,y)处的切线的斜率为2x,要求此曲线方程，这个问题就是要根拯关系式y = 2x ,求出曲线y = /(A)。
从数学的角度来说，这类问题是在关系式F\x) = /(x)中，当函数/(x)已知时，求出函数F(x) o由此引岀原函数的槪念。
定义4.1 :设f(x)是左义在某区间/内的已知函数,如果存在一个函数F(x),对于每一点xe/,都有：F3 = f(x)或dFg = f\x) • dx则称函数F(x)为已知函数f(x)在区间/内的一个原函数例如，由于(sinx)' = cosx,所以在(YO,+S)内，sinx是cosx的一个原函数：又因为(sinx + 2)'= cosx ,所以在(Y>,+s)内，sinx+2是cosx的一个原函数：更进一步，对任意常数C,有(sinx + C)'= cosx,所以Id在(Y\+8)内，sinx+C都是cosx的原函数。
2、原函数性质(1)如果函数/(x)在区间/内连续，则/(兀)在区间/内一定有原函数；(2)若F f(x) = /(x),则对于任意常数C, F(A)+C都是/(X)的原函数“即如果/(X)在/上有原函数，则它有无穷多个原函数；(3)若F(x)和G(x)都是/(X)的原函数，则F(x) - G(x) = C，(C为任意常数)。
[微积分常用公式]学好微积分的技巧换元公式如何运用
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相关资料一: 学好微积分的技巧换元公式如何运用学好微积分的技巧换元公式如何运用第一类换元法，也称为凑微分法，顾名思义，就是把f[g(x)]g’(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式，所以用好这一方法的关键就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g’(x)dx。
要求对基本初等函数的导数，基本初等函数与其导数的关系很清楚（比如有些函数求导后，函数的形式不变，像露幂函数，指数函数）。
除此，多项式的因式分解，三角函数恒等式等等都会用到。
学习的方法就是多做题，多看典型的例题，并做好总结。
第二类换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g’(t)dt，求出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。
常用的代换是根式代换，三角代换，倒代换。
适用于含有简单的根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，就可以考虑把√x代换；或被积函数里有√（a±x），√（x－a）；还有些题目可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x））的积分。
熟能生巧！！相关资料二: 微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)微积分公式等价无穷小：当x→0时,x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx ～ln(1+x)～ex1;21?cosx～x2;(1+x)a?1～ax(a≠0);ax?1～xlna(a>0,a≠1).基本积分表∫kdx=kx+C(k=1时,∫dx=x+C)∫xμdx=xμ+1μ+1+C∫1xdx=ln|x|+C∫11+x2dx=arctanx+Cx=arcsinx+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=?cosx+C∫1sec2cos2xdx=∫xdx=tanx+C∫1sin2xdx=∫csc2xdx=?cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=?cscx+C ∫exdx=ex+C∫xdx=axalna+C(a>0,a≠1)∫sinhxdx=coshx+C∫coshxdx=sinhx+C不定积分线性运算法则∫[αu(x)+βv(x)]dx=α∫u(x)dx+β∫v(x)dx不定积分的换元法∫f[?(x)]?′(x)dx=??∫f(u)du?u=(x)∫f(x)dx=[f[υ(t)]υ′(t)dt]t=υ?1(x)积分公式∫dx1xa2+x2=aarctana+C=arcsinxa+C=1barcsinbxa+C(a>0,b>0)∫dxx2?a2=12alnx?ax+a+C∫secxdx=ln|secx+tanx|+C∫cscxdx=ln|cscx?cotx|+C=ln(x++C(a>0)=ln|x+C不定积分的分部积分法∫uv′dx=uv?∫u′vdx或∫udv=uv?∫vdu定积分的换元法设函数f∈C[a,b].如果函数x=?(x)满足：(1)?(α)=a,?(β)=b,且?([α,β])?[a,b]或?([β,α])?[a,b];(2)?′∈C[α,β](或?′∈C[β,α])那么：∫baαf[?(t)]?′(t)dt1微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册) 同济二版微积分(下)若f∈C[?a,a],并且为偶函数，则∫aaf(x)dx=2∫af(x)dx;若f∈C[?a,a],并且为奇函数，则∫a?af(x)dx=0∫ππ20f(sinx)dx=∫20f(cosx)dx∫ππxf(sinx)dx=π∫20∫ππ2nsi nxdx=∫20cosnxdx定积分的分部积分法∫buv′dx=[uv]bbaa?∫avu′dx∫baudv=[uv]bba∫avdum=1,2,3,?第五章向量代数与空间解析几何向量的运算1??．向量的加法a??+??b(a+??=b+b)+??ac=??a+(b??+??c)2．向量与数的乘法（数乘）λ(μ??a)=(λμ)??a(λ+μ)??a=λ??a+μ??a λ(??a+??b)=λ??a+λ??b3．不等式||??a|?|??b||≤|??a±b??|≤|??a|+|??b|4．单位向量eaa=|a|空间两点间的距离公式|PP12|=向量的坐标表示以点M1(x1,y1,z1)为起点,M2(x2,y2,z2)为终点的坐标M??1M??ab=|??a||??b|cosθ a0=??0???a=0 ab=|??a|Prj??=|b??|Prj??abba即:Prja???ab=??|a|=ea?bab=(ax,ay,az)?(bx,by,bz)=axa??bx+ayby+azbz a=|??2a? b??a|??a?(??=b???a(λ??b+c)a)?(μ??=a?b+a?cb)=λμ(??ab)向量??a与??b的夹角满足公式cosθ=a?|b(其中0≤θ≤π)若??a||b|a=(a?? x,ay,az),b=(bx,by,bz),则cosθ=ab+ab+ab2微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)若??a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a⊥b??的充要条件是a+a xbxyby+azbz=0向量的向量积设??a和b??是两个向量,规定??a 与???a??b??的充要条件是??a×??b=??0=(a?aybz?azby)i+(azbxxbz)j+(axby?aybx)k=ayaz??ax??bbi+azj+axay??b??y??zbxbxbkyijzk=axayazbxbybz两向量的向量积的几何意义(i)??a×b??由于|??的模a×??:b|=|??a||b??|sinθ=|所以|??a|h(h=|b|sinθ),a×??b|表示以??a和b??为邻边的平行四边形的面积.(??ii)??a×??b的方向:a×b??与一切既平行于??a又平行于?? b的平面垂直.向量的混合积(a×b)?c=ayazbcazaxx+cxayy+aybzbzbxbxbczyaxayaz=bxbybzcxcycz[abc]=[bca]=[cab三向量??a,b??,?? ]c共面的充要条件是axayazbxbybz=0cxcycz平面的方程1．点法式方程过点My??0(x0,0,z0)且以n=(A,B,C)为法向量的平面Π的方程为A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=02．一般方程三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为零)的图形是平面,其中x,y,z的系数A,B,C 是平面的法向量的坐标即n??,=(A,B,C)是平面的法向量.特殊的平面：A=0,平行于x轴的平面；B=0,平行于y轴的平面；C=0,平行于z轴的平面；D=0,过原点的平面；A=B=0,垂直于z轴的平面；B=C=0,垂直于x轴的平面；C=A=0,垂直于y轴的平面.平面的夹角cosθ=n??1?n2|nn=1||2|3微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)平面Π1和Π2相互垂直的充要条件是:A1A2+B1B2+C1C2=0 相互平行的充要条件是:A1B1CA=B=122C2点到平面的距离点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为:d=直线的方程1．参数方程过M,y??0(x00,z0)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x=x0+tm?y=y0+tn.??z=z0+tp2．对称式方程（点向式方程）过M(x,z??00,y00)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x?x0y?y0z?z0m=n=p.3．一般方程直线L可以看作两个平面Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0与Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0的交线.空间一点M(x,y,z)在直线L上,当且仅当它的坐标x,y,z同时满足Π1与Π2的方程,的下面的直线方程:??A1x+B1y+C1z+D1=0,?A2x+B2y+C2z+D2=0.其中A1=B1=C1AB不成立.22C2两直线的夹角直线??L1与L2的方向向量分别是s??1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),则夹角公式为:cos?=s1?s2|s=1||s2|直线L1和L2相互垂直的充要条件是:m1m2+n1n2+p1p2=0相互平行的充要条件是:m1n1p1m==2n2p2直线与平面的夹角直线??L与平面Π法线的方向向量分别是s=(m,n,p),n?? =(A,B,Csin?=|n??),则夹角公式为:s||n||s|=直线L和平面Π相互垂直的充要条件是:ABCm=n=p;相互平行的充要条件是:Am+Bn+Cp=0.旋转曲面若在曲线C的方程f(y,z)=0中z保持不变而将y改写成±就得到曲线C绕z轴旋转而成的曲面的方程f(z)=0;若在f(y,z)=0中y保持不变而将z改写成就得到曲线C绕y轴旋转而成的曲面的方程f(y,=0.二次曲面图形及方程1．椭球面4微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)x2y2z2a2+b2+c2=1??x=asinθcos??y=bsinθsinz=ccosθ其中θ∈[0,π],?∈[0,2π]2．抛物面（1）椭圆抛物面x2y2a2+b2=±z??x=avcosu?y=bvsinuz=v2其中u∈[0,2π],v∈[0,+∞)（2）双曲抛物面x2y2a2?b2=±z??x=a(u+v)?y=b(u?v)??z=4uvx=或?auy=bvz=u2v2u,v∈R3．双曲面（1）单叶双曲面x2y2z2a2+b2?c2=1??x=acoshucosv?y=bcoshusinv ??z=csinhuu∈R,v∈[0,2π]（2）双叶双曲面x2a2+y2b2?z2c2=?1??x=v??y=vz=cuu∈(?∞,?1]∪[1,+∞),v∈[0,2π] 4．椭圆锥面x2y2z2a2+b2=c2??x=avcosu?y=bvsinuz=cvu∈[0,2π],v∈R第六章多元函数微分学偏导数的几何意义偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对x轴的斜率;偏导数fy(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对y轴的斜率.全微分若函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处都可微,则f(x,y)在每点处连续且可偏导,其全微分为:dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy,或dz=zxdx+zydy复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数5微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)如果函数u=?(t),v=υ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(t),υ(t)]在点t可导,且有:dz?zdu?zdv=?+?dt?udt?vdt设三元函数F(x,y,z)在区域?内是C(1)类函数,点(x0,y0,z0)∈?且满足F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0,在点(x0,y0,z0)的某领域内唯一确定了一个C(1)类的二元函数z=z(x,y),它满足条件z0=z(x0,y0),FyFx?z?z且有=?,=?.xFzyFz3．2．复合函数的中间变量均为多元函数如果函数u=?(x,y),v=υ(x,y)都在点(x,y)可微,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(x,y),υ(x,y)]在点(x,y)可微,且有:?z?z?u?z?v=?+?,?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v=?+??y?u?y?v?y 3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数。
换元法”在三角函数中的应用
“换元法”在三角函数中的应用应城市第二高级中学 李华雄（137****8861）在高考中，三角函数的考查是全方位的，涉及求值、化简、图像变换、复合函数的单调性及值域（或最值）等。
其中涉及复合角求值、有关三角函数的复合函数的图像和性质是高考的重点难点。
下面讲讲“换元法”在这些方面的有关应用。
一、三角函数中复合角的给值求值问题。
1.已知cos （π6−x )=a ,则cos(5π6+x )+sin(2π3−x )的值是______ 。
分析：一般用“配凑法”，由5π6+x =π−(π6−x) ,2π3−x =π2+(π6−x) 则，原式=−cos (π6−x)+cos (π6−x)=0 。
但是“配凑法”许多学生不一定能轻松地看出来，这时可以用换元法，就可以回避配凑过程。
换元法：设t =π6−x , 则 x =π6−t , 且cos t =a . 所以，原式=cos[5π6+(π6−t)]+sin[2π3−(π6−t)]=cos(π−t)+sin(π2+t) =−cos t +cos t =0 .2.已知cos （x −π10)=−45 , 则 sin （2x +3π10)= .分析：本题中x −π10与2x +3π10=π2+2(x −π10)不仅有诱导关系还有倍角关系，用“配凑法”更加困难，而用换元法就显得很自然。
解：（换元法）设t =x −π10，则x =t +π10,且cos t =−45。
∴sin （2x +3π10)= sin[2(t +π10)+3π10]=sin(2t +π2)=cos 2t =2cos 2t −1 =2(−45)2−1=725可以发现其中的诱导关系以及倍角关系自然而然地呈现出来。
二、三角函数的值域（最值）求解问题。
1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－3分析：如果直接研究y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)图像及单调性，再求最值肯定有些难度。
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凑角虽巧,换元更妙
湖北省郧县第一中学（442500） 郑传根
在三角公式的应用中，有一类题型是给值求值,这是三角中的一个重点题型,其形式多样,
变化多端.学生在解这类题时常常因为找不到恰当的方法而致错,也因此而烦恼.本文旨在通
过例题说明给值求值问题的不同解法，感受凑角法之巧,体会换元法之妙!供同学们学习或教
师教学参考.
一.公式法
利用已知条件、和差公式及同角三角函数的基本关系式，列方程组求出待求的三角
函数值，是一种基础而常规的方法.
例1在△ABC中，已知cosA =135，sinB =53，则cosC的值为…………（A）
A 6516 B6556 C 65566516或 D 6516
解：∵C = (A + B) ∴cosC = cos(A + B)
又∵A(0, ) ∴sinA = 1312 而sinB =53 显然sinA > sinB
∴A > B 即B必为锐角 ∴ cosB = 54
∴cosC = cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =651654135531312
43
,(0,),cos,cos(),sin.255例2 已知求
22
43
),cossin.55433cossin,,sin1.555cossin1.7(0,),sin.225解:由(0,得
2
根据两角和的余弦公式与完全平方公式得
7
解得sin=或
25
二.凑角法
当所给角与待求值的角都较复杂时,公式法要么很繁,要么无法解答,这时用凑角法
显得巧而有效.
2
3312
,(,),sin(),sin().45413).例3 已知
求sin(+
4
333
:,(,),(,2),(,).42424解
45
cos(),cos().5413
sin()sin44
=sin()cos()cos()sin()44
=3541233().51351365
显然,此例如果再用常规的方法,会有不甚其繁的感觉,因而不再使用常规法,而直接采
用凑角法.
12例4 已知cos(-)=-,(,).sin(-)=,(0,).
292232
求cos(+)的值.
2
:(,),(0,),.22422212455cos(),sin().sin(),cos().29232923coscos[()()]22275cos()cos()sin()sin().222227239cos()2cos1.2729解由得-
4
且
三.换元法
当待求角与已知角的关系较隐蔽时,你又会有凑角不便之感.这时不妨用换元的方法来
简化.
3
3335
,cos(),sin().445413sin(). 例5 已知0<<
4
求
,3512cos,sin,,cos.513133解:设-=,=由条件知
44
4
sin=-
5
3
sin()sin()cos()44
(coscossinsin)
56
.65
显然，换元之后，凑角中的逆思考变成了顺思考和推理，降 低了难度.
(1)1ba 例6 设sin2=a,cos2=b,0<<,给出tan(+)值的44a1+b1+a四个答案:;(2);(3);(4).其中正确的序
1-bab
号是_________.
:.sin,cos.ab 解令2=,则=
2
sin()22tan()tan()tan.424211cos()2ba
1cos()122tan()tan()tan.4242sin()2ab
或
所以答案为（1）（4）.
4
tan6.2例7 已知tan
2
(1))7cos0;(2)2求证:5cos(-若tan=2,求cos(-).
22
:(1),,2,22.22解证令则
tantan6,sinsin6coscos0.即
5cos()7cos22
5cos()7cos()
12coscos2sinsin0.
(2)tan2,tan2,tan3.2
22
22
1tan1(3)4cos()cos2.1tan1(3)5
由此可见，虽然凑角可以很巧地解决求值问题，但换元更有化繁为简、化逆为顺的
作用.在实际解题时采用那种方法要因人而宜、因题而宜.同时有两点要注意:(1)我们在
体会使用凑角法、换元法的同时,也不要忘记常规方法.如例4中的凑角易错,换元又不易
想到,这时使用常规的方法也不失为一种好方法.(2)换元法的要领是,将已知条件中的角
换元,再将待求值的角用新未知元来表示,然后用三角公式求解.