2014年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）

（A ）{}0,2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}3,5 【答案】B 【解析】{}2,3M

N =，故选B ．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z 满足(34i)25z -=，则z =（ ）

（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D

【解析】2525(34i)25(34i)

=34i 34i (34i)(34i)25

z ++===+--+，故选D ．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年广东，文3，5分】已知向量(1,2)a =，(3,1)b =，则b a -=（ ）

（A ）(2,1)- （B ）(2,1)- （C ）(2,0) （D ）(4,3) 【答案】B

【解析】()2,1b a -=-，故选B ．

【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．

（4）【2014年广东，文4，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎩

，则2z x y =+的最大值等于（ ）

（A ）7 （B ）8 （C ）10 （D ）11 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+，得2y x z =-+，

平移直线2y x z =-+， 由图象可知当直线2y x z =-+经过点()4,2B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最

大，此时24210z ==⨯+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）

（A ）1

22

x x - （B ）3sin x x （C ）2cos 1x + （D ）22x x +

【答案】A

【解析】对于函数()122x x f x =-，()()11

2222

x x x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数；对于函数

()3sin f x x x =，()()()()3

3sin sin f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数；对于函数()2cos 1f x x =+，

()()()2cos 12cos 1f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数；对于函数()22x f x x =+，

()()()2

222x x f x x x f x ---=-+=+≠-，同时()()f x f x -=≠故此函数为非奇非偶函数，故选A ．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．

（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的

样本，则分段的间隔为（ ）

（A ）50 （B ）40 （C ）25 （D ）20 【答案】C

【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C ． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． （7）【2014年广东，文7，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”

的（ ）

（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 【答案】A

【解析】由正弦定理可知sin sin a b

A B

=

，∵ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sin A ，sin B 都是正数，sin sin a b A B ≤⇔≤．∴“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的充分必要条件，故选A ．

【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．

（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k

-=-与曲线

22

1165x y k -=-的（ ） （A ）实半轴长相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D

【解析】当05k <<，则055k <-<，111616k <-<，即曲线22

1165x y k

-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中

216a =，25b k =-，221c k =-，曲线221165

x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线，

其中216a k =-，25b =，221c k =-，即两个双曲线的焦距相等，故选D ．

【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论

一定正确的是（ ）

（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）1l 与4l 既不垂直也不平行 （D ）1l 与4l 的位置关系不确定 【答案】D

【解析】在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ，若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥，故1l 与4l 的位 置关系不确定，故选D ．

【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．

（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭

复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题： ①1231323()()()z z z z z z z +=**+*

②1231213()()()z z z z z z z +=**+*； ③123123()()

z z z z z z *=***

④1221z z z z *=*；

则真命题的个数是（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B

【解析】①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，正确；

②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*，正确；

③123123123123123(),()()(),z z z z z z z z z z z z z z z ===≠左边=*=右边*左边右边，等式不成立，故错误；

④12122121,,z z z z z z z z ==≠左边=*右边=*左边右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B ．

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为 ． 【答案】520x y ++= 【解析】'5x y e =-，'

5x y =∴=-，因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=．

【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为 ．

【答案】2

5

【解析】142542

105

C P C ==

=．

【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概

型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ． 【答案】5

【解析】设2122232425log log log log log S a a a a a =++++，则2524232221log log log log log S a a a a a =++++，

215225log ()5log 410S a a ∴===，5S ∴=．

【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为

22cos sin ρθθ=与cos =1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐

标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)

【解析】由22cos sin ρθθ=得2

2cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标系方程为：22y x =，2C 的直角坐标系方程为：

1x =，12,C C ∴交点的直角坐标为(1,2)．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且2EB AE =，

AC 与DE 交于点F ，则

CDF AEF ∆=∆的周长

的周长

． 【答案】3

【解析】由于CDF AEF ∆∆∽，3CDF CD EB AE

AEF AE AE

∆+∴===∆的周长的周长．

【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数()sin ,3f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝

⎭，且512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．

（1）求A 的值；

（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫

- ⎪⎝⎭．

解：（1）553(

)sin()sin 121234f A A ππππ=+==3A ∴．

（2）由（1）得：()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33

f f ππ

θθθθ∴--=+--+

3(sin cos

cos sin )3(sin()cos cos()sin )6sin cos 3sin 3333πππππ

θθθθθθ=+--+-===

sin 0,2πθθ⎛⎫

∴=∈ ⎪⎝⎭

，cos θ∴==

()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ∴-=-+=-==

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；

（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．

（2）茎叶图如下： （3）年

龄的平均数为：

(19283

29330531432340)

3020

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，

这

20名工人年龄的方差为：

2222222

111(11)3(2)3(1)50413210(121123412100)25212.6202020

⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+=+++++=⨯=⎣⎦【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，

1,2AB BC PC ===，

做如图2折叠：折痕//EF DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF MDF ⊥平面； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面

ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥，又 CF MF ⊥，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD MF M =，CF ∴⊥平面MDF ．

（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥，又易知060PCD ∠=，030CDF ∴∠=，从而11

==22

CF CD ，

EF DC ∥，DE CF

DP CP ∴=

122

，DE ∴=

，PE ∴=

12CDE S CD DE ∆=⋅=，

2MD ===

，1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅== 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直

的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．

（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足

2

22(3)3()0,n n S n n S n n n N *-+--+=∈．

（1）求1a 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有

()()

()112211

11

1113

n n a a a a a a ++

+

<+++．

解：（1）令1n =得：211(1)320S S ---⨯=，即21160S S +-=，11(3)(2)0S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =．

（2）由222(3)3()0n

n S n n S n n -+--+=，得：2

(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，

0()n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，

∴当2n ≥时，22

1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦

，又1221a ==⨯，2()n a n n N *∴=∈． （3）当k N *∈时，22313

()()221644

k k k k k k +

>+-=-+， 11111111111

1131111(1)2(21)4444()()()(1)()(1)2444444k k a a k k k k k k k k k k ⎡⎤

⎢⎥∴==⋅<⋅=⋅=⋅-

⎢⎥++⎡⎤⎢⎥+-+-+--⋅+-⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

112211

11111111

()()111111(1)(1)

(1)41223(1)444444n n a a a a a a n n ⎡

⎤

⎢⎥∴

++

+<-+

-+

+-

⎢⎥+++⎢⎥

----

-+-⎣⎦

1 9

2 8 8 8 9 9 9

3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2

4 0

111111()1143433

1(1)44

n n =-=-<+-+-． 【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维

难度，属于难题．

（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的一个焦点为

．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．

解：（1

）c

c e a ===

3a ∴=，222

954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194

x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．

若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程

22

194

x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即2222

0000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2

2

2

0000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即20204

19

y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x

和y 关系．

（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数321

()1()3

f x x x ax a R =+++∈．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01

()=()2

f x f ．

解：（1）'2()2f x x x a =++，方程2

20x x a ++=的判别式：44a ∆=-，∴当1a ≥时，0∆≤，'()0f x ∴≥，此时

()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．当1a <时，方程220x x

a ++=的两根为1

-

(,1x ∈-∞-时，'()0f x >，∴此时

()f x

为增函数，当(11x ∈--，'()0f x <，

此时

()f x 为减函数，当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，当1a <

时，()f x 的单调增函数区间为(,1

-∞-，(1)-++∞，

()f x

的单调递减区间为(11---．

（2）3232332200000001111111111()()1()()()1()()()2332223222f x f x x ax a x x a x ⎡⎤⎡

⎤⎡⎤-=+++-+++=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦⎣⎦

200011()(414712)122x x x a =-+++∴若存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2

f x f =， 必须2004147120x x a +++=在11

(0,)(,1)

2

上有解．0a <，21416(712)4(2148)0a a ∴∆=-+=->，

00x >，

0x ∴ 01<

，即711<，492148121a ∴<-<，即2571212a -<<-，

12，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-，

∴当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在唯一的011(0,)(,1)22x ∈满足01

()()2f x f =．

当2575(,][,0)12124a ⎧⎫

∈-∞---⎨⎬⎩⎭

时，不存在011(0,)(,1)22x ∈使01()()2f x f =．

【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考

虑对应方程中的判别式△．

（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．