勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
例3 如图是一块四边形绿地的示意图，其中
AB长24米，BC长15米，CD长20米，DA长7米， ∠C＝900 ， 求绿地ABCD的面积.
7
Ｄ
Ａ
24 20
Ｃ Ｂ
15 方法要点: 通过添加辅 助线，将一个不规则的 四边形分割成两个三角 形，再判断其中一个三 角形是直角三角形，从 而求出四边形的面积.
(3) a=1 b=如图，在△ABC中，已知，AB=15，AC=20，BC=25，
AD是BC边上的中线，求AD的长
解：∵AB=15,AC=20,BC=25（已知） ∴AB2+AC2=625,BC2=625 2+AC2=BC2 ∴ AB 25 ∴∠A=90° 15 (勾股定理的逆定理） 20 ∵∠A=90°，AD是BC边上的中线（已知） ∴AD=1/2 BC 方法要点: 一般已知三 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 角形的三边长，我们优 ∵BC=25（已知） 先考虑用勾股定理的逆 ∴AD=12.5（等式性质）
19.9(3) 勾股定理的逆定理
四 大 古 代 文 明 ︓ 古 中 国 ︐ 古 埃 及 ︐ 古 印 度 ︐ 古 巴 比 伦
• 猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形．
猜想的 命题 证明 真命题
A
已知：△ABC,BC=a,AB=c,AC=b,且a2+b2=c2， 求证：△ABC是直角三角形
B
c b
a
C
勾股定理的逆定理： 命题：
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方
和，那么这个三角形是直角三角形.
互逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的
勾股定理的逆定理
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289
如果三角形的三边长 a、b、c满
足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边
C所对的角为直角。
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
定理与逆定理
定理 定理 如果一个
的逆命题经过证明是真命题 ,那么它是一个
,这两个定
互逆定理 逆定理 理称为
C
S1
S2
A
b
ca
B
S3
C
S2 b
S1
a
A
c
B
S3
自主评价：
1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
′A C ′
A
A′
5
4
4
C
3
B
在RT? A?B?C? 中根
据勾股定理有 A?B?2 ? A?C?2 ? B?C?2 ? B?C?? 3, A?C?? 4
? A?B?2 ? 32 ? 42 ? 52
A?B?? 5
′C
3
B′
? ABC≌ ? A?B?C?
? C ? ? C?? 90?
A3 B
? 例4： “远航”号、“海天”号轮船
勾股定理(2)勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理一． 知识归纳８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴ 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵ 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶ 已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB A。
勾股定理的逆定理
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
A 解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
3 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） 则△ABC是直角三角形
解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） ∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2 =c2 ∴△ABC是直角三角形。
3、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m ， B BC=12m。求这块地的面积。
12
24平方米
C
3
4 A D 13
4、根据下列条件，判断下面以a,b,c为 边的三角形是不是直角三角形？ （1）a=20,b=21,c=29 是 不是 (2)a=5,b=7,c=8 (3)a= 7 ,b= 3 ,c=2 是 (4)a:b:c=2:3:4 不是
例1：
“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行， N 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
勾股定理的逆定理
3、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m ， B BC=12m。求这块地的面积。
12
24平方米
C
3
4 A D 13
4、根据下列条件，判断下面以a,b,c为 边的三角形是不是直角三角形？ （1）a=20,b=21,c=29 是 不是 (2)a=5,b=7,c=8 (3)a= 7 ,b= 3 ,c=2 是 (4)a:b:c=2:3:4 不是
18.2 勾股定理的 逆定理（2）
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是 直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命 题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的 题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的 逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那 么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
复习题训练：
1.如图，两个正方形的面积分别为64，49， 则AC=( ) 17 A
D 64 49
C
2.由四根木棒，长度分别为3，4，5，12， 13 若去其中三根木棒组呈三角形，有( ) 4 种取法，其中，能构成直角三角形的是 （ ）种取法。 2
例1：
“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行， N 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
勾股定理的逆定理
我们把这样的两个命题叫做互逆
命另命满题一题足如个.如2:叫”果同做把如位它a其果角2的中相三逆一等b角命个2,形两题叫直的.c做线2三原平边命行长题”,a那与,b么,”c
两那直么线这平个行,三同角位角形相是等直”角是三互角逆形命.题.
一起探究
系：
.
2.52 62 6.52
那么画出的三角形是直角三角形吗? 换成三边分别是4cm，7.5cm，8.5cm 呢?
由以上例子,我们猜想:
命题2 如果三角形的三边长a,b,c
满足 a2 b2 c2
那么这个三角形是直角三角形.
观察思考
(什1命)直么命题？角题它1边1和们长命如有分题什果别2么直的为关角题a系、设三？、b角,斜结形边论的分长两别为是 c,那么
命题1经证明是正确的,你能证 明命题2的正确性吗?练习本上试 一试,与同学交流你的想法.
一般地,如果一个定理的逆命题经 过证明是正确的,它也是一个定理,称 这两个定理互为逆定理.
命题2经证明是正确的,所以我 们把它叫做勾股定理的逆定理.
一个命题一定有逆命题,但逆命 题不一定正确.所以一个定理不一定 有逆定理.
练习
1.如果三条线段a,b,c满足 a2 c2 b2 , 这三条线段组成的三角形是不是 直角三角形?为什么?
练习
2.说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题 成立吗?
(1)两条直线平行,内错角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相
等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
我国古代大禹治水测量工程时,也用 类似方法确定直角．你知道这是为什么 吗？其中蕴涵什么道理？
勾股定理及逆定理
勾股定理及逆定理勾股定理是数学中的一项基本定理，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
这个定理被广泛应用于数学、物理、工程等领域，是一项非常重要的数学工具。
本文将从历史、证明、应用等方面详细介绍勾股定理及其逆定理。
一、历史勾股定理的历史可以追溯到古代中国和古代印度。
在中国，早在《周髀算经》中就已经有了勾股定理的雏形，其中记载了一个数学问题：一座高为三的墓，从墓底往上看，墓斜对角线的长度为五。
这个问题可以用勾股定理来解决。
在印度，勾股定理被称为毗邻弥勒定理，早在公元前800年左右的《苏尔巴修塔》中就有了记载。
在欧洲，勾股定理最早被希腊数学家毕达哥拉斯发现，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
二、证明勾股定理有多种证明方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯证明的基本思路是将直角三角形拆分成两个小三角形，然后运用几何定理证明。
具体来说，假设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，我们可以将这个三角形拆分成两个小三角形：一个以直角边a和斜边c为直角和斜边的三角形，另一个以直角边b 和斜边c为直角和斜边的三角形。
这两个小三角形的面积分别为1/2ab和1/2ac，因此整个直角三角形的面积为1/2ab+1/2ac=1/2(a+b)c。
另一方面，根据勾股定理，c^2=a^2+b^2，因此c^2=2ab/2+(a^2+b^2)/2=(a+b)c/2，即c=(a^2+b^2)^(1/2)。
将这个结果代入前面的公式，可以得到直角三角形的面积为1/2(a+b)(a^2+b^2)^(1/2)，这就是毕达哥拉斯的证明。
三、应用勾股定理是一项非常实用的数学工具，它被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
以下是一些常见的应用：1.测量距离：在测量两个点之间的距离时，可以利用勾股定理计算。
假设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们之间的距离d 可以用勾股定理计算：d=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)。
勾股逆定理
勾股逆定理我们学过勾股定理，但对于它的逆定理却不甚了解。
下面，我们来探究一下它吧。
解题思路：一般地，勾股定理的逆定理与勾股定理是一样的。
把直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方证明完毕后，把斜边上的高加到两直角边上，就可以得到了一个直角三角形，再用勾股定理逆定理证明即可。
这个逆定理比较难写，需要平时多练习。
答案是：若，或。
可见，在高线段和角平分线的交点到两条直角边的距离之和相等。
1。
先找出两个直角边。
2。
由勾股定理得出两直角边的平方和等于斜边的平方。
3。
用勾股定理逆定理得出在高线段和角平分线的交点到两直角边的距离之和相等。
最后，检验一下，结果是正确的。
只要能够熟练掌握本节课所讲的知识点，并且大胆发挥想象力，那么逆定理也能很容易的完成。
因为勾股定理有多种逆定理，我们要熟悉各种类型的逆定理。
总而言之，学好勾股定理和它的逆定理很重要，希望同学们在平时的学习生活中经常练习，在考试中取得优异的成绩。
勾股定理（“勾三股四弦五”）我国古代称之为“勾股”定理，是平面几何的基础定理之一。
勾股定理主要内容是：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方；或直角三角形两直角边平方和的一半等于斜边的平方。
简记作“勾股定理”。
2。
勾股定理逆定理：如果直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的高（设为h）等于两直角边长的一半。
记作：或3。
勾股定理的逆定理：如果直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的高（设为h）等于两直角边长的一半。
记作：或即：勾股定理的逆定理与勾股定理互为逆定理。
关于勾股定理的逆定理的应用实例如下：(摘自《精英特全脑速读记忆训练》)4。
勾股定理逆定理应用举例说明(摘自《精英特全脑速读记忆训练》)1。
记忆过程及解题步骤(1)先复述已知条件及解题目标(2)回忆起条件，通过定理反推公式，再利用公式解题(3)利用公式计算出答案。
2。
勾股定理的逆定理应用：勾股定理可以运用到直角三角形中，利用勾股定理逆定理得到勾股定理逆定理与勾股定理是互为逆定理。
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勾股定理的逆定理（1）
知识领航
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.
3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.
4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.
e 线聚焦
【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A .4组
B .3组
C .2组
D .1组
2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2
（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A .1倍
B . 2倍
C . 3倍
D . 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A .两直线平行,同旁内角互补
B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C .对顶角相等
D .如果a =b ,那么a 2=b 2 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
7
24
25
207
15
2024
25
7
25
20
24
25
7
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
A B C D
综合运用
6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.
A
D
C
7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
A
D
A D
8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =4
1
BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.
拓广创新
9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：
a =m 2
-n 2
,b =2mn ,c =m 2
+n 2
（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下
.
勾股定理的逆定理（2）
知识领航
1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．
2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.
e线聚焦
【例】如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
双基淘宝
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25
B.3
2
1
,4
2
1
,5
2
1
C.3,4,5
D.4,7
2
1
,8
2
1
2．在下列说法中是错误的（）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝
5
3
c，b＝
5
4
c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接
搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）
A．2，4，8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12
A
M
E
N
C
B
4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .
5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为
.
综合运用
◆ 认真解答，一定要细心哟！
7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.
8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？
9．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐
水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .
拓广创新
◆ 试一试，你一定能成功哟！
10．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，P A =3，求∠
BPC 的度数．
B
12 5
C 13
D A。