勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上的高.②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高.解：①作AH⊥BC∵AB＝AC＝13，AH⊥BC⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？解：①∴设∴此三角形是Rt△.②证：∴此三角形是Rt△.注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.2. 勾股定理的证明方法介绍勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下：因为正方形边长为，所以正方形的面积为.又因为正方形的面积＝，所以有.（2）旋转面积法如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，D点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为：.所以有：＝.化简为：，即.（3）美国第20任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝.因为，.即＝即.3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.4. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题】例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积. 分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2＋（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96例2. 如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE 把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解. 解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF ＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).例3. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x＋y＝7，（x＋y）2＝49，x2＋2xy＋y2＝49 (3)(3)－(2)，得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）例4. 等边三角形的边长为2，求它的面积.分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝1在直角三角形ABD中AB2＝AD2＋BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.例5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．解：根据题意可得示意图：(如图)在△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，根据勾股定理可得：BC＝＝＝3000(千米）所以：飞机飞行了3000千米.例6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2＝a2＋b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c＋a）来判断.例如：对于选择项D，∵82≠（40＋39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形.解：因为172＝82＋152，所答案为：A.例7. 如图所示的一块地，AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC ＝36m，求这块地的面积．分析：在求面积时一般要把不规则图形分割为规则图形，若连接BD，则无法求出．由于题中含有直角∠ADC，故可考虑连结AC，应用勾股定理．解：连结AC，在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AC＝15m．在Rt△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°．所以S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216（m2）．答：这块地的面积是216m2．例8. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为( )A. 2B. 2C. 4D. 2分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中.化归思想即转化思想，它是我们初中阶段数学解题方法的灵魂，是指当有些问题如果直接解决则难以入手，于是换一个角度来考虑，从而使问题清晰明朗.运用转化思想来解题常用的策略有：化复杂为简单;化陌生为熟悉;换一种方式来表达等等.解：求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS＝2所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2.故选A.例9. 在锐角△ABC中，已知其两边a＝1，b＝3，求第三边的变化范围.分析：显然第三边b－a<c<b＋a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形(1)当第三边是斜边时，c2＝b2＋a2，∴c＝(2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2＝a2＋c2，∴c＝2（即）∵△ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A＇位置时∠ACB成为直角.故点A应当在A和A＇间移动，此时2<AC<注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑.例10. 四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.分析：先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得到ΔADC是直角三角形，将四边形ABCD分成两个直角三角形.本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题.解：连结AC∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4∴AC2＝AB2＋BC2＝25（勾股定理）∴AC＝5∵AC2＋CD2＝169，AD2＝169∴AC2＋CD2＝AD2∴∠ACD＝90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝36例11. 若、为正实数，且，则的最小值是多少?试求之.解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从x2＋1和y2＋4入手，结合勾股定理的形式可为我们提供解题的思路.可以看出，、分别是以x、1，y、2为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的最值问题.构造如图所示的图形：线段AB＝4，P为AB上任意一点.设PA＝x，PB＝y.CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且CA＝1，BD＝2，则PC＋PD＝.要求的最小值就是求PC＋PD最小，很明显，当点P、C、D在同一直线上时，PC＋PD的最小值.再过C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，构造RtΔDCE，在RtΔDCE中，CE＝AB＝4，ED＝1＋2＝3，所以PC＋PD＝DC＝＝5.所以的最小值是5.例12. (2006年山西中考题)如图，分别以直角ΔABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）A. S1＝S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. 无法确定分析：将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可得答案.解：直线AB左边阴影部分的面积为：＝，直线AB右边阴影部分的面积为：＝.∵ΔABC是直角三角形，根据勾股定理有：.故选A.【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空题：1. 设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____.2. 如图，•某人欲横渡一条河，•由于水流的影响，•实际上岸地点C•偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_____m.二、选择题：3. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）.A. 6cmB. 8.5cmC. cmD. cm4. 有四个三角形：⑴△ABC的三边之比为3：4：5；⑵△A′B′C′的三边之比为5：12：13；⑶△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3；⑷△CDE的三个内角之比为1：1：2.其中是直角三角形的有（）.A. ⑴⑵B. ⑴⑵⑶C. ⑴⑵⑷D. ⑴⑵⑶⑷三、解答题：5. 在△ABC中，AC＝21cm，BC＝28cm，AB＝35cm，求△ABC的面积.6. 如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC的长.7. 如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？8. 如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD＝15km，BC＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？【试题答案】一、填空题1. 62. 480二、选择题3. D4. D三、解答题5. 294cm26. 因为AC2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AB2，•∴∠C＝90°，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E，则CD＝DE，AC＝AE，BE＝AB－AE＝8，设CD＝x，则x2＋82＝（12－x）2，x＝，∴CD＝.7. 10m8. 10km处。