勾股定理及逆定理
证明勾股定理逆定理
证明勾股定理逆定理一、引言作为几何学中最基础而又重要的定理之一，勾股定理无疑是大家熟知的。
然而，是否存在一种与之相反的定理呢？即，若三边满足某一条件，能否推导出这三条边一定是直角三角形的边长呢？这就是我们要证明的勾股定理逆定理。
二、勾股定理回顾在正式探讨勾股定理逆定理前，我们先回顾一下勾股定理的内容。
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，主要表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
即a2+b2=c2，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
三、勾股定理逆定理的表述勾股定理逆定理的表述为：若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，其中a、b、c 为该三角形的三边，那么这个三角形一定是直角三角形。
四、证明过程为了证明勾股定理逆定理，我们将采用反证法。
假设存在一个三角形，它的三边满足a2+b2=c2，但这个三角形不是直角三角形。
4.1 假设这个三角形是钝角三角形首先，我们假设这个三角形是钝角三角形。
根据钝角三角形的性质，我们知道钝角三角形的两个锐角之和大于90°。
4.2 假设这个三角形是锐角三角形然后，我们再假设这个三角形是锐角三角形。
根据锐角三角形的性质，我们知道锐角三角形的任意两条边的平方和大于第三条边的平方。
4.3 假设这个三角形是等腰三角形接下来，我们假设这个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们知道等腰三角形的两条腰相等。
4.4 假设这个三角形是一般三角形最后，我们假设这个三角形是一般的三角形，即三条边都不相等也不相互垂直。
五、证明的推理对于假设的四种情况，我们分别将其带入a2+b2=c2进行推理，得出以下结论：5.1 假设1的推理对于假设1中的钝角三角形，由于两个锐角之和大于90°，导致a2+b2>c2，与已知条件矛盾。
5.2 假设2的推理对于假设2中的锐角三角形，由于任意两条边的平方和大于第三条边的平方，导致a2+b2>c2，与已知条件矛盾。
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理及其逆定理的内容
勾股定理及其逆定理的内容勾股定理和逆定理都是数学中非常经典的内容，不过听起来可能会有点儿陌生。
其实，它们非常实用，而且还很有趣。
让我们一起来聊聊吧。
1. 勾股定理的基本概念1.1 什么是勾股定理首先，咱们得知道勾股定理到底是什么。
它是关于直角三角形的一个定理。
简单来说，直角三角形的两条直角边（我们叫它们“勾”和“股”）的平方和等于斜边（我们叫它“弦”）的平方。
这就是勾股定理的核心内容。
听起来有点复杂，但举个例子就明白了。
假设你有一个直角三角形，直角边长分别是3和4，那么这两个边的平方和就是3²+4²=9+16=25。
斜边的平方也得等于25，所以斜边的长度就是5。
1.2 生活中的应用这个定理在我们的生活中非常有用。
比如说，如果你要测量房间的对角线长，只需要知道长和宽就能算出来。
又或者你在设计一些东西时，勾股定理能帮你确保每个角都是直角。
它就像是生活中的一个小工具，随时随地帮你解决问题。
2. 勾股定理的证明2.1 几何证明说到证明，勾股定理有几种不同的方法，其中几何证明是最直观的。
简单来说，就是我们可以用几何图形来证明这个定理。
想象一下，你在一个直角三角形的每一边上画出一个正方形，这些正方形的面积就像是拼图一样，可以用来证明勾股定理。
看起来可能会有点复杂，但其实就是一种图形化的方法，让定理更容易理解。
2.2 代数证明除了几何证明，还有一种代数证明的方法。
我们可以用代数公式来证明勾股定理的正确性。
这种方法比较适合那些喜欢公式和计算的人。
它用的是代数的语言，通过一些方程式来展示定理的正确性。
3. 勾股定理的逆定理3.1 什么是逆定理勾股定理的逆定理其实也很有趣。
它告诉我们，如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
也就是说，如果你知道一个三角形的三条边分别是a、b和c，并且它们满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形肯定是直角三角形。
勾股定理常用11个公式
勾股定理常用11个公式勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形中，任意一条直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
勾股定理是数学中非常重要的一条定理，广泛应用于各个领域。
以下是勾股定理常用的11个公式：1. 勾股定理的一般形式在直角三角形 ABC 中，设 AB、AC 为直角边，BC 为斜边，则有：BC² = AB² + AC²2. 勾股定理的两个常见形式a. 已知直角边和斜边设直角边 AB = a，AC = b，BC = c，则有：c² = a² + b²b. 已知两条直角边设直角边 AB = a，BC = b，AC = c，则有：c² = a² + b²3. 勾股定理的逆定理如果在一个三角形中，某一边的平方等于另外两边的平方之和，那么这个三角形肯定是直角三角形，即有：若 c² = a² + b²，则三角形 ABC 是直角三角形。
4. 勾股数指满足勾股定理的整数三元组 (a, b, c)，其中 a、b、c 都是正整数，称为勾股数。
例如：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)。
5. 勾股数的生成公式生成勾股数的公式称为勾股数生成公式。
其中，m 和 n 是正整数，且 m > n，gcd(m, n) = 1，k 是任意正整数，则有：a = k × (m² - n²)，b = k × (2mn)，c = k × (m² + n²)6. 勾股数的性质a. 勾股数只存在于原始勾股数列中。
b. 勾股数之间不存在公因数。
c. 每个奇数都可以表示为两个勾股数之和。
d. 每个正整数都可以表示为不超过四个勾股数之和。
7. 勾股数的应用a. 构造直角三角形。
b. 计算斜线长度。
c. 解决一些证明问题。
d. 在几何光学中，勾股数用于计算光路长度。
初二勾股定理逆定理公式
初二勾股定理逆定理公式1. 勾股定理勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它是由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出的。
勾股定理的公式表达如下：a^2 + b^2 = c^2其中 a、b、c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，满足该公式的三条边的比例关系。
2. 逆定理逆定理是勾股定理的一个重要推论，它在解决初中数学中一些几何问题时非常有用。
逆定理的公式表达如下：如果 a^2 + b^2 = c^2 成立，那么这三个数构成一个直角三角形。
逆定理的意义在于，当我们已知某个三角形的边长满足勾股定理的公式时，可以根据这个公式判断该三角形是否为直角三角形。
3. 应用示例为了更好地理解逆定理的应用，下面通过一个例子来说明。
例子：已知一个三角形的三边分别为 3、4 和 5，我们要判断这个三角形是否为直角三角形。
根据逆定理，我们可以将已知的三边长度代入勾股定理的公式中，并验证等式是否成立。
3^2 + 4^2 = 5^29 + 16 = 25计算结果符合等式，所以根据逆定理，我们可以得出结论，这个三角形是一个直角三角形。
4. 注意事项在应用逆定理时，需要注意以下几点：•应用逆定理时，必须满足勾股定理的公式，即 a^2 + b^2 = c^2，才能判断三角形是否为直角三角形。
•如果已知三边的长度满足 a^2 + b^2 = c^2，但等式的两边可能相差一个数的误差，这时我们可以使用近似值来验证等式是否成立。
•在进行计算时，应注意数值的精确性，尽量避免精度误差带来的影响。
5. 总结初二勾股定理逆定理公式是初中数学中重要的概念之一，在几何学习中有着广泛的应用。
逆定理可以帮助我们判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形，为解决几何问题提供了便利。
在应用逆定理时，我们应注意勾股定理公式的条件和计算的精确性，以得出准确的结论。
希望通过本文的介绍，您对初二勾股定理逆定理公式有了更深入的理解和应用。
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上的高.②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高.解：①作AH⊥BC∵AB＝AC＝13，AH⊥BC⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？解：①∴设∴此三角形是Rt△.②证：∴此三角形是Rt△.注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.2. 勾股定理的证明方法介绍勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下：因为正方形边长为，所以正方形的面积为.又因为正方形的面积＝，所以有.（2）旋转面积法如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，D点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为：.所以有：＝.化简为：，即.（3）美国第20任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝.因为，.即＝即.3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.4. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题】例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积. 分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2＋（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96例2. 如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE 把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解. 解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF ＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).例3. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x＋y＝7，（x＋y）2＝49，x2＋2xy＋y2＝49 (3)(3)－(2)，得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）例4. 等边三角形的边长为2，求它的面积.分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝1在直角三角形ABD中AB2＝AD2＋BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.例5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．解：根据题意可得示意图：(如图)在△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，根据勾股定理可得：BC＝＝＝3000(千米）所以：飞机飞行了3000千米.例6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2＝a2＋b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c＋a）来判断.例如：对于选择项D，∵82≠（40＋39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形.解：因为172＝82＋152，所答案为：A.例7. 如图所示的一块地，AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC ＝36m，求这块地的面积．分析：在求面积时一般要把不规则图形分割为规则图形，若连接BD，则无法求出．由于题中含有直角∠ADC，故可考虑连结AC，应用勾股定理．解：连结AC，在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AC＝15m．在Rt△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°．所以S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216（m2）．答：这块地的面积是216m2．例8. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为( )A. 2B. 2C. 4D. 2分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中.化归思想即转化思想，它是我们初中阶段数学解题方法的灵魂，是指当有些问题如果直接解决则难以入手，于是换一个角度来考虑，从而使问题清晰明朗.运用转化思想来解题常用的策略有：化复杂为简单;化陌生为熟悉;换一种方式来表达等等.解：求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS＝2所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2.故选A.例9. 在锐角△ABC中，已知其两边a＝1，b＝3，求第三边的变化范围.分析：显然第三边b－a<c<b＋a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形(1)当第三边是斜边时，c2＝b2＋a2，∴c＝(2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2＝a2＋c2，∴c＝2（即）∵△ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A＇位置时∠ACB成为直角.故点A应当在A和A＇间移动，此时2<AC<注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑.例10. 四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.分析：先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得到ΔADC是直角三角形，将四边形ABCD分成两个直角三角形.本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题.解：连结AC∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4∴AC2＝AB2＋BC2＝25（勾股定理）∴AC＝5∵AC2＋CD2＝169，AD2＝169∴AC2＋CD2＝AD2∴∠ACD＝90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝36例11. 若、为正实数，且，则的最小值是多少?试求之.解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从x2＋1和y2＋4入手，结合勾股定理的形式可为我们提供解题的思路.可以看出，、分别是以x、1，y、2为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的最值问题.构造如图所示的图形：线段AB＝4，P为AB上任意一点.设PA＝x，PB＝y.CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且CA＝1，BD＝2，则PC＋PD＝.要求的最小值就是求PC＋PD最小，很明显，当点P、C、D在同一直线上时，PC＋PD的最小值.再过C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，构造RtΔDCE，在RtΔDCE中，CE＝AB＝4，ED＝1＋2＝3，所以PC＋PD＝DC＝＝5.所以的最小值是5.例12. (2006年山西中考题)如图，分别以直角ΔABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）A. S1＝S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. 无法确定分析：将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可得答案.解：直线AB左边阴影部分的面积为：＝，直线AB右边阴影部分的面积为：＝.∵ΔABC是直角三角形，根据勾股定理有：.故选A.【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空题：1. 设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____.2. 如图，•某人欲横渡一条河，•由于水流的影响，•实际上岸地点C•偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_____m.二、选择题：3. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）.A. 6cmB. 8.5cmC. cmD. cm4. 有四个三角形：⑴△ABC的三边之比为3：4：5；⑵△A′B′C′的三边之比为5：12：13；⑶△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3；⑷△CDE的三个内角之比为1：1：2.其中是直角三角形的有（）.A. ⑴⑵B. ⑴⑵⑶C. ⑴⑵⑷D. ⑴⑵⑶⑷三、解答题：5. 在△ABC中，AC＝21cm，BC＝28cm，AB＝35cm，求△ABC的面积.6. 如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC的长.7. 如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？8. 如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD＝15km，BC＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？【试题答案】一、填空题1. 62. 480二、选择题3. D4. D三、解答题5. 294cm26. 因为AC2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AB2，•∴∠C＝90°，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E，则CD＝DE，AC＝AE，BE＝AB－AE＝8，设CD＝x，则x2＋82＝（12－x）2，x＝，∴CD＝.7. 10m8. 10km处。
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。
勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。
因此，这个定理被称为勾股定理。
勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。
例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。
二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。
这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。
为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。
假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。
首先，我们可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。
根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。
如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。
假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。
然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。
根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。
将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。
经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。
根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。
勾股定理及其逆定理
- 1 -第一讲、勾股定理及其逆定理一、勾股定理：（1）文字表述：在任何一个直角三角形（Rt △）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
（2）数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c （斜边对应的角为直角），那么222c b a =+。
（a ：勾，b ：股，c ：弦）。
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ，常见的勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等。
（2）平方根的表示方法一个正数a 的正的平方根，用符号2a 表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数（一般情况下省略不写），正数a 的负的平方根用符号-2a 表示，a 的平方根合起来记作±2a ，其中2±读作二次根号，2a 读作“二次根号下a ”．根指数为2的平方根也可记作“2a ±”读作“正、负根号”。
时，未必等于有正负两个解。
=- 2 -，即，那么这个正数的平方根或二次方根。
这就是说，如果，那么2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形。
3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。
请你写出三组勾股数：___________。
4、如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。
c=________ b=__________h=__________5、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________。
6、已知等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为__________7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是。
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勾股定理及逆定理
勾股定理是数学中的一项基本定理，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
这个定理被广泛应用于数学、物理、工程等领域，是一项非常重要的数学工具。
本文将从历史、证明、应用等方面详细介绍勾股定理及其逆定理。
一、历史
勾股定理的历史可以追溯到古代中国和古代印度。
在中国，早在《周髀算经》中就已经有了勾股定理的雏形，其中记载了一个数学问题：一座高为三的墓，从墓底往上看，墓斜对角线的长度为五。
这个问题可以用勾股定理来解决。
在印度，勾股定理被称为毗邻弥勒定理，早在公元前800年左右的《苏尔巴修塔》中就有了记载。
在欧洲，勾股定理最早被希腊数学家毕达哥拉斯发现，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
二、证明
勾股定理有多种证明方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯证明的基本思路是将直角三角形拆分成两个小三角形，然后运用几何定理证明。
具体来说，假设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，我们可以将这个三角形拆分成两个小三角形：一个以直角边a和斜边c为直角和斜边的三角形，另一个以直角边b 和斜边c为直角和斜边的三角形。
这两个小三角形的面积分别为
1/2ab和1/2ac，因此整个直角三角形的面积为
1/2ab+1/2ac=1/2(a+b)c。
另一方面，根据勾股定理，c^2=a^2+b^2，
因此c^2=2ab/2+(a^2+b^2)/2=(a+b)c/2，即c=(a^2+b^2)^(1/2)。
将这个结果代入前面的公式，可以得到直角三角形的面积为
1/2(a+b)(a^2+b^2)^(1/2)，这就是毕达哥拉斯的证明。
三、应用
勾股定理是一项非常实用的数学工具，它被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
以下是一些常见的应用：
1.测量距离：在测量两个点之间的距离时，可以利用勾股定理计算。
假设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们之间的距离d 可以用勾股定理计算：d=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)。
2.计算角度：在三角函数中，勾股定理被广泛应用于计算角度。
例如，在正弦函数中，sin(x)=opposite/hypotenuse，其中opposite 和hypotenuse分别表示斜边和对边，可以用勾股定理计算。
同样地，在余弦函数和正切函数中也可以应用勾股定理。
3.解决实际问题：勾股定理可以用于解决各种实际问题，例如在建筑工程中计算斜面的长度、在物理学中计算物体的运动轨迹等等。
四、逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足
a^2+b^2=c^2，则这个三角形一定是直角三角形。
逆定理的证明可以通过反证法来完成，即假设这个三角形不是直角三角形，然后推导出矛盾的结论。
逆定理的应用也非常广泛，它可以用于判断三角形是否为直角三角形，从而解决各种实际问题。
总之，勾股定理是数学中一项非常重要的定理，它不仅有着悠久
的历史，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
通过掌握勾股定理及其逆定理，我们可以更好地理解数学中的基础知识，从而更好地应用数学于实际生活和工作中。