(完整版)椭圆的经典题型
椭圆常见题型与典型方法归纳.
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点,1),(2)42A B --，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++k b y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义：平面内与两定点F i F 2距离和等于常数 2a （大于F^2 ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2c .椭圆的几何性质：以2 2务每 1 a b 0为例a b2 2X y1. 范围：由标准方程可知，椭圆上点的坐标X, y 都适合不等式 — 1,召 1，即a bx a, y b 说明椭圆位于直线 xa 和yb 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题 .2. 对称性：关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
4.长轴、短轴:5.离心率椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关. 2 2a ，从而b ac 越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0,从而b 越大，椭圆越接近圆。
2b 26. 通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，——a7. 设F 1、F 2为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当P 、F 1、F 2三点不在同一直线上时,3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：Aa,0、 A^ a,0、B i 0, b 、B 2 0, b .AA2叫椭圆的长轴,A 1A 22a, a 是 长半轴长;B 1B 2叫椭圆的短轴,B-|B 2 2b,b 是短半轴长.(1) 椭圆焦距与长轴的比 ea c 0,(2)Rt OB 2F 2, B 2F 2OB 22OF 2 ，即 a 2 b 22c .这是椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2的值是椭圆的离心率.近于 .当e 接近于1时，c 越接P 、F ,、F 2构成了一个三角形一一焦点三角形.依椭圆的定义知:PF i PF 2 2a, F 1F 2 2c .(二) 运用的知识点及公式 1、 两条直线I ,: y k ,x bi ,l 2: y k 2x b>垂直：则k i k 2 1 ；两条直线垂直，则直线所在的向量£&222、 韦达定理：若一元二次方程ax bx c 0(a 0)有两个不同的根 x ,,X 2，贝yb cx , x 2, x , x 2 a a3、 中点坐标公式：x 已 x 2 ,y 出 y 2 ,其中x, y 是点A(x ,, y ,), B(x 2, y 2)的中点坐标 2 24、 弦长公式：若点 A(x i ,y i ), B(X 2,y 2)在直线 y kx b(k 0) 上, 则y , kx , b, y kx ? b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB | ./(x , x 2)2~(y ,_竜(x , x 2)2 (kx , kx 2)2k 2)(x ,①2, (, ^)[(x ,X 2)? 4x ,X 2】或者AB (x x>)2(y y(三) 转方向：方向一：向斜率转化，变为函数最值及最优解问题，或者变为不等式问题 方向二：向距离转化, 2(,k 2)[(y , y 2) 4y ,y 2]。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学 - 椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义 :平面内与两定点 F 1、F 2 距离和等于常数 2a （大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 . 两个定点 叫做椭 圆的焦 点；两焦 点间的 距离叫 做椭圆的 焦距 2c . 椭圆的几 何性质 : 以 22x2y 2 1 a b 0 为例a2 b 222xy1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 x,y 都适合不等式 2 1, 2 1，即 abx a, y b 说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题 .2.对称性 :关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
4. 长轴、短轴：5. 离心率3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： A 1a,0 、 A 2 a,0 、 B 1 0, b 、 B 2 0,b .A 1A 2 叫椭圆的长轴， A 1A22a, a 是 长半轴长； B 1B 2 叫椭圆的短轴，B 1B22b,b 是短半轴长 .1） 椭圆焦距与长轴的比 e a c 0,0e2） Rt OB 2F 2 , B 2F 2OB 22OF 2 ，即a 2b 22c 2 .这是椭圆的特征三角形，并cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 .椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当 e 接近于 1 时， c 越接近于 22a，从而b ac 越小，椭圆越扁； 当 e 接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b22ac越大，椭圆越接近圆。
2b 2 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，2ba7.设 F 1、 F 2 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当 P 、 F 1、F 2 三点不在同一直线上时，P 、 F 1、 F 2 构成了一个三角形——焦点三角形 . 依椭圆的定义知：PF 1 PF 2 2a, F 1F 2 2c .(二) 运用的知识点及公式1、两条直线 l 1: y k 1x b 1,l 2: y k 2x b 2 垂直：则 k 1k 21；两条直线垂直，则直线所在的向量 v r 1 gv r2 022、韦达定理：若一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 有两个不同的根 x 1,x 2，则 bcx 1 x 2,x 1x 2 。
椭圆典型题型归纳(学生版)
椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程2x =+所表示的曲线是练习：1.6=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.10=成立的充要条件是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 221925x y +=4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C-，求满足b a c>>且sinB ，sinA ，sinC 成等差数列时顶点A 的轨迹；练习：1.三角形ABC 中，B （-2,0），C （2，0），AB 、AC 边上的中线长之和为30，求三角形ABC的重心的轨迹方程。
高中数学椭圆题型归类(全)
高中数学椭圆题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程椭圆题型1：求轨迹(椭圆)方程题型1.1：定义法求轨迹(椭圆)方程题型1.2：直接法求轨迹(椭圆)方程题型1.3：相关点法求轨迹(椭圆)方程题型1.4：参数法求轨迹(椭圆)方程题型2：求椭圆标准方程题型2.1：已知椭圆上一点及焦点，定义法求椭圆标准方程题型2.2：已知椭圆上两点，待定系数法求椭圆标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，方程组法求椭圆标准方程题型3：椭圆的定义题型4：椭圆的对称性题型5：椭圆的离心率题型5.1：求椭圆的离心率题型5.2：求椭圆的离心率取值范围题型6：椭圆的弦中点题型7：椭圆的焦点三角形题型8：椭圆的弦长题型9：椭圆中的三角形面积题型10：直线与椭圆的位置关系题型10.1：直线与椭圆的位置关系题型10.2：椭圆的切线方程题型11：椭圆的求值问题题型12：椭圆中求取值范围问题题型13：椭圆中最值问题题型14：椭圆的定值问题方法是先猜后证。
猜法：取特殊情况或极端情况，此不赘述。
题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型14.3：消参数为定值题型15：椭圆的定点问题方法是先猜后证。
猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上，此不赘述。
题型15.1：直线恒过定点题型15.2：曲线恒过定点题型16：证明、探究问题题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆 3.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A.B.C.D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
(完整word)椭圆十二大题型精华总结(学生版),推荐文档
椭圆十二大题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一)定义1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q的轨迹是( ) A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
5. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限（ ） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 。
5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 。
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程；2. 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e ； （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。
椭圆经典练习题44道
24．已知焦点在 轴的椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 过右焦点 ，和椭圆交于 两点，且满足 ， ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
25．椭圆 的一个焦点为 ，若椭圆上存在一个点 ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
28．过椭圆 (a>b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量 与向量a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
29．已知直线 与椭圆 相交于 、 两点，若椭圆的离心率为 ，焦距为2，则线段 的长是( )
A. B. C. D.
30．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆 截得的最大弦长等于( )
5．B
【解析】
试题分析：设椭圆的标准方程为 =1，
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜ ），
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，
代入椭圆得 ，
两式相减得 ，整理得
∴弦所在的直线的斜率为 ，其方程为y-2= （x+1），整理得 ．故选A．
考点：椭圆中点弦问题;直线方程的求法．
16．C
【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，则x12＋2y12＝2，x22＋2y22＝2，两式作差得x12－x22＋2(y12－y22)＝0，故k1＝ ＝－ ＝－ ，又k2＝ ，∴k1k2＝－ ．
椭圆训练题一
椭圆方程典型例题20例含标准答案
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个极点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出核心的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个极点的坐标和对称轴的位置，是不能确信椭圆的横竖的，因此要考虑两种情形．典型例题二例2 一个椭圆的核心将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处置方式，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，核心在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采纳的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，常常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与核心()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）假设线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一概念知：ac x ca AF =-12，∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，因此它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两核心，问可否在椭圆上找一点M ，使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？假设存在，那么求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②那么①与②矛盾，因此知足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题进程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一样用分析法，即假设存在，依照已知条件进行推理和运算．进而依照推理取得的结果，再作判定．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，那么直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．因此所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两头坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，那么由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，要紧有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题经常使用的方式是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个核心与短轴两头点的联机相互垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应别离求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-，，因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ②由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，因此182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：依照条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于核心的位置是不是确信，假设不能确信，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右核心为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：此题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一样地，求MF eAM 1+都可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．因此21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．因此()332，M ．说明：此题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处置．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离成立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，那么点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可成立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到那个椭圆上的点的最远距离是7，求那个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值和分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题能够用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要擅长应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而增强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，那么4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 若是21<b ，那么当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：依照题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，那么22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ若是121>b ，即21<b ，那么当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：此题的关键是利用形数结合，观看方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设mx y x =++222，显然它表示一个圆，由此能够画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，核心在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，那么 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如下图．观看图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，现在0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个核心F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何转变，120≠∠APB ．（2）若是椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：此题从已知条件动身，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值动身做出估量，因此要从点的坐标、斜率入手．此题的第（2）问中，其关键是依照什么去列出离心率e 知足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，依照120=∠AQB 取得32222-=-+a y x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．那个地址要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，那么a x y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情形进行讨论．解：当椭圆的核心在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的核心在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴知足条件的4=k 或45-=k ．说明：此题易显现漏解．排除错误的方法是：因为8+k 与9的大小关系不定，因此椭圆的核心可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必需进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右核心2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个概念，或利用第二概念和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆概念，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二概念，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二概念时，要注意核心和准线的同侧性．不然就会产生误解．椭圆有两个概念，是从不同的角度反映椭圆的特点，解题时要灵活选择，运用自如．一样地，如碰到动点到两个定点的问题，用椭圆第一概念；若是碰到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的第二概念．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此取得55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左核心1F 和右核心2F 的距离别离为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：此题考查椭圆的两个概念，利用椭圆第二概念，可将椭圆上点到核心的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二概念，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一概念，0122ex a r a r -=-=．说明：此题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或核心弦）的有关问题时，有着普遍的应用．请写出椭圆核心在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 别离是椭圆的左、右核心，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：此题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方式：一是目标函数当，即代数方式．二是数形结合，即几何方式．此题假设按先成立目标函数，再求最值，那么不易解决；假设抓住椭圆的概念，转化目标，运用数形结合，就能够简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，现在P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，现在P 、A 、2F 共线．成立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如以下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二概念知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．现在P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得知足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，确实是用第二概念转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用核心半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手腕．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：此题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，经常使用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ． (2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边别离平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的极点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12． 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一样地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个核心，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一样性，能够设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：依照题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，能够确信离心率的取值范围；解出1y 能够求出21F PF ∆的面积，但这一进程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，能够确信离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，即可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=．在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sinsin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e212cos 21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个核心1F ，2F 组成的三角形为椭圆的核心三角形，涉及有关核心三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之显现21PF PF +的结构，如此就能够够应用椭圆的概念，从而可取得有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，假设那个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，能够P 点坐标作为参数，把APOP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围成立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，那么椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ，∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅a a b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b-=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ， ∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：假设已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
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(完整版)椭圆的经典题型
引言
椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
本文将介绍椭圆
的经典题型，以帮助读者更好地理解和应用椭圆的相关知识。
弧长公式
椭圆的弧长公式是椭圆的基本题型之一。
假设我们有一个椭圆，其中长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
如果我们要计算椭圆上
一段弧的长度，可以使用如下的公式：
s = a∫(1 - e^2·sin^2(θ))^(1/2) dθ
其中，s表示弧的长度，e是椭圆的离心率，θ是弧所对应的角度。
离心率与焦点
椭圆的离心率和焦点之间有一定的关系。
离心率（e）是描述
椭圆形状的一个参数，它的计算公式如下：
e = (a^2 - b^2)^(1/2) / a
椭圆的长轴上有两个焦点A和B，它们与椭圆上的任意一点C 的距离之和等于长轴的长度（2a）。
这一性质可以表示为：
|CA| + |CB| = 2a
椭圆的方程
椭圆的方程是解决椭圆相关问题的基础。
一般来说，椭圆的标准方程可以表示为：
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
其中，(x, y)是椭圆上的任意一点，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。
椭圆的面积
计算椭圆的面积也是椭圆题型中常见的一种问题。
椭圆的面积可以使用如下公式计算：
S = πab
其中，S表示椭圆的面积，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴，π是一个常数，近似等于3.。
结论
椭圆的经典题型包括弧长、离心率与焦点、椭圆的方程和面积等。
通过掌握这些基本概念和公式，读者可以更好地理解和解决与椭圆相关的问题。
注意：以上内容为对椭圆经典题型的简要介绍，更详细的内容和例题请参考相关教材或高等数学课程资料。