自主招生讲义第四讲 万有引力与天体运动
高中物理万有引力定律与天体运动优秀PPT
课 栏
径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行
目 星表面的重力加速度为
开
( B)
关
A．400g
1 B.400g
C．20g
1 D.20g
课堂探究·突破考点
考点二 天体质量和密度的计算
第5课时
例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积
是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球
课这里T和解R分析别(是1)行证星明绕：太阳两运天行体的绕周期同和一相点应做的匀圆轨速道圆半周径运，T动0和的R角0分速别度是水ω星一绕定太要阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图 栏目中若任正抛何确 出 两的时个相 供是初物同 ，速体， 所度之它 以增间大都们 两到存做 天在2倍匀 体相，速 与互则(作圆 它抛用周 们出)的运 的点引与动 圆力落的 心，地引向 总点力心 是之的间力 在大的由 一小距_它 条离__们 直为__L之 线_._间 上___的 ．__万__有__引__力___提____成正比，与这两个物体之间_____________成
年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表
面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为
质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利
用以上数据，可以计算出
A( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”
的引力
课堂探究·突破考点
第5课时
思维方法建模 3.双星模型
例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点
4-4《万有引力与航天》课件
Mm1 R2
＝m1
v2 R
，而星
球表面物体所受的重力等于万有引力即：N＝mg＝G
Mm R2
；结
合两式可解得星球质量为M＝mGvN4.
答案：B
考点2 人造卫星的运动规律
考点解读：
1．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，G
Mm r2
＝ma向＝m
v2 r
＝mω2r＝
4π2r m T2 .
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
第4讲 万有引力与航天
01主干回顾固基础
知识点1 开普勒行星运动定律 Ⅰ
1.定律内容 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆， 太阳处在椭圆的一个焦点上． 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线 在相等的时间扫过相等的面积． 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它 的公转周期的二次方的比值都相等，即Ta32＝k.
答案：A
2. [卫星轨道的理解](多选)发射一颗人造卫星，使 其圆轨道满足下列条件( )
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心 圆
B．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫
星相对地面是运动的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫
星相对地面是静止的
3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离.
知识点3 环绕速度 Ⅱ 1.第一宇宙速度又叫 环绕 速度，其数值为7.9
km/s.
2．第一宇宙速度是人造卫星在 地球表面 附近环 绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小 发射 速度， 也是人造卫星的最大 环绕 速度．
第04讲 万有引力与宇宙航行(精讲)
第04讲：万有引力与宇宙航行[知识点精辟归纳]一：开普勒行星运动定律定律 内容公式或图示开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等公式：a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量二．万有引力定律一：内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．(2)公式 F ＝G m 1m 2r 2. 3．符号意义(1)G 为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. (2)r 为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离．二．万有引力的四个特性特性 内容普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关三．万有引力的效果万有引力F ＝G MmR 2的效果有两个，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转需要的向心力F n ＝mrω2，如图6-2-3所示，重力是万有引力的一个分力．图6-2-31．重力与纬度的关系地面上物体的重力随纬度的升高而变大．(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F ＝F n ＋mg ，即G Mm R 2＝mrω2＋mg ，所以mg ＝G MmR 2－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg ＝F ＝G Mm R 2.(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg ＜G MmR 2，重力的方向偏离地心．2．重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg ＝G Mm R 2，若距离地面的高度为h ，则mg ＝G Mm (R ＋h )2(R 为地球半径，g 为离地面h 高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．三：万有引力理论的成就的应用一：天体质量与天体的密度 1．求天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．2．计算天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即 GM 地·m 月r 2＝m 月⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r ，解得地球的质量为M 地＝r v 2G .(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得GM 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πTG M 地·m 月r 2＝m 月v 2r以上两式消去r ，解得M 地＝v 3T2πG .(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地·m R 2解得地球质量为M 地＝R 2gG .3．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M 43πR 3将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R 3. 二：天体运动问题1．解决天体运动问题的基本思路一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G MmR 2＝ma ，式中a 是向心加速度．2．四个重要结论设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动 (1)由G Mmr 2＝m v 2r得v ＝GMr，r 越大，天体的v 越小．(2)由G Mmr 2＝mω2r 得ω＝GMr 3，r 越大，天体的ω越小．(3)由G Mm r 2＝m (2πT )2r 得T ＝2πr 3GM ，r 越大，天体的T 越大．(4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GMr 2，r 越大，天体的a n 越小． 以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”．四：双星问题的分析方法宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O 做同周期的匀速圆周运动．这种结构叫做双星模型(如图6-4-1所示)．图6-4-1双星的特点1．由于双星和该固定点O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等．2．由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L (L 是双星间的距离)，可得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，即固定点离质量大的星球较近．五：宇宙航行一：宇宙速度数值意义1．第一宇宙速度的定义又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v ＝7.9 km/s.2．第一宇宙速度的计算设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星到地心的距离为r ，卫星做匀速圆周运动的线速度为v ：方法一：万有引力提供向心力→G Mmr 2＝m v 2r →v ＝GM r ――→r ＝R ＝6.4×106 mM ＝5.98×1024 kg v ＝7.9 km/s 方法二：重力提供向心力→mg ＝m v 2r →v ＝gr ――→r ＝R ＝6.4×106 mg ＝9.8 m/s 2v ＝7.9 km/s二：卫星各物理量分析：小．可以概括为“高轨低速长周期”．三．人造地球卫星的轨道人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上．(2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运动．图6-5-4总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道，如图6-5-4所示．2．地球同步卫星(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”．①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T ＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤同步卫星的高度固定不变．⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v ，由于G Mm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，所以v ＝GM R ＋hgR 2R ＋h四：卫星变轨问题的处理技巧1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G Mmr 2＝m v 2r ，得v ＝GMr ，由此可见轨道半径r 越大，线速度v 越小．当由于某原因速度v 突然改变时，若速度v 突然减小，则F ＞m v 2r ，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v 突然增大，则F ＜m v 2r ，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同．[考点题型精辟归纳]考点题型一：开普勒行星运动定律1．（2021·河南·商丘市回民中学高一期末）人类对行星运动的研究漫长而曲折，关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是（ ）A ．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动的规律B ．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等C ．开普勒行星运动定律适用于行星绕太阳运动，也适用于宇宙中其他卫星绕行星的运动D ．行星环绕太阳运动时，线速度大小始终不变2．（2021·山东聊城·高一期末）2021年5月29日，上午10时30分，北斗三号全球卫星导航系统建成暨开通仪式在人民大会堂隆重举行。
万有引力与天体运动
万有引力与天体运动引言：在自然界中，存在着一种无所不在的力量，即万有引力。
万有引力是负责使得天体之间相互吸引的力量，它是牛顿力学的基本法则之一。
本文将探讨万有引力的定义、原理及其与天体运动的关系。
一、万有引力的定义与原理万有引力是指任意两个物体之间存在相互吸引的力量，这种力量与物体的质量和距离有关。
根据牛顿第三定律，相互作用的两个物体之间的引力大小相等，方向相反。
万有引力的存在与质量有关，质量越大的物体，其引力也越大。
而且，两个物体之间的引力与它们之间的距离的平方成反比，即距离越近，引力越强。
二、天体运动的基本规律根据万有引力的原理，天体运动遵循以下基本规律：1. 开普勒定律约翰内斯·开普勒是天体运动领域的重要科学家之一，他总结出三个著名的运动定律。
第一定律表明天体绕太阳运动的轨道是椭圆形，而不是圆形。
这就意味着天体在其轨道上的位置不是固定的，而是变化的。
2. 第二定律开普勒的第二定律，也称为面积定律，表明天体在相同时间内扫过的面积相等。
换句话说，当天体离太阳较远时，它的速度较慢；当它距离太阳较近时，速度较快。
这个定律说明了天体在椭圆轨道上的运动速度是不均匀的。
3. 第三定律开普勒的第三定律，也称为调和定律，阐述了天体轨道周期与半长轴的关系。
具体来说，天体运动的周期的平方与它的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
这个定律揭示了天体运动的规律性，使得科学家们可以通过研究地球运动来推导出其他天体的运动规律。
三、天体运动和万有引力的关系天体运动与万有引力有着密不可分的关系，万有引力是驱动天体运动的根本力量。
在太阳系中，太阳是最重要的引力中心，其他行星、卫星以及小行星等都围绕太阳进行运动。
1. 行星运动行星绕太阳运动的轨道是椭圆形，行星距离太阳越近，它们的速度越快；相反，距离越远，速度越慢。
这符合开普勒定律中的第二定律。
行星的运动速度与距离有关，而这种变化正是受到万有引力的影响。
2. 月球运动月球是地球的卫星，它也受到地球的引力影响，围绕地球进行运动。
第4讲 万有引力与航天
√
考点三 卫星运行参量的比较与计算
7.如图，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地 球做匀速圆周运动，a、b 到地心 O 的 距离分别为 r1、r2，线速度大小分别为 v1、v2，则( ) v1 B.v ＝ 2 r1 r2 v1 A.v ＝ 2 r2 r16 Nhomakorabea7
8
√
v 1 r2 2 C.v ＝(r ) 2 1
答案
考点一 万有引力定律的理解
mω2R
大 mg
答案
考点一 万有引力定律的理解
[思维深化]
√ ×
×
×
答案
考点一 万有引力定律的理解
1
2
【题组阶梯突破】
1.静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动 .下列说法正确的
是( )
A.物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心
√
B.物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等
答案
考点三 卫星运行参量的比较与计算 同步卫星的六个“一定” 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面
周期一定
角速度一定 高度一定 速率一定 绕行方向一定
与地球自转周期相同，T=24 h
与地球自转的角速度相同
与地球自转方向一致：自西向东
内容呈现
考点三 卫星运行参量的比较与计算 6. 如图，甲、乙两颗卫星以相同的
Mm 物体在地球的两极时，mg0＝G R2 ， 2π 2 Mm 物体在赤道上时，mg＋m( T ) R＝G R2 ， 4 3 又 M ＝3 πR ， 3πg0 地球的密度 ρ＝ 2 . GT g0－g
解析答案
考点二 中心天体质量和密度的估算
5.(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确
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第四讲万有引力与天体运动例题1.开普勒行星运动三定律如下：第一定律：所有行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
第二定律：太阳与行星间的连线在相同的时间内扫过的面积相等。
第三定律：所有行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的立方的比值相等。
实践证明，开普勒定律也适用于人造地球卫星的运动。
若人造卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道运行，问此后卫星经多长时间着陆?设空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。
例题2.行星绕太阳做椭圆运动，太阳在轨道的一个焦点上，已知近地点距太阳为a,速度为va,,若远地点距太阳为b,则该点行星速度是多大？例题3.质量为m的行星在质量为M的恒星引力作用下，沿半径为r的圆周轨道运行。
要使该行星运行的轨道半径增大1%，外界要做多少功？（行星在引力场中的势能为EP=-GMm/r，其中G 为引力常数）例题4.（2014华约）已知地球的半径为，地球附近的重力加速度为。
一天的时间为。
已知在万有引力作用下的势能公式为= − / ，其中为地球的质量，为卫星到地心的距离。
（1）求同步卫星环绕地球的飞行速度；（2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度V0至少为多少。
例题5．（2013北约自主招生）将地球半径R、自转周期T、地面重力加速度g 取为已知量，则地球同步卫星的轨道半径为___________R，轨道速度对第一宇宙速度的比值为____________。
例题6.（2012卓越自主招生）．我国于2011年发射的“天宫一号”目标飞行器与“神舟八号”飞船顺利实现了对接。
在对接过程中，“天宫一号”与“神舟八号”的相对速度非常小，可以认为具有相同速率。
它们的运动可以看作绕地球的匀速圆周运动，设“神舟八号”的质量为m，对接处距离地球中心为r，地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，“神舟八号”在对接时A．向心加速度为gRrB．角速度为23gRrC．周期为232πrgRD．动能为22mgRr例题7.（2012年北约）两质量相同的卫星绕地球做匀速圆周运动，运动半径之比R1∶R2= 1∶2 ，则关于两卫星的下列说法正确的是（）A．向心加速度之比为a1∶a2= 1∶2B．线速度之比为v1∶v2= 2∶1C．动能之比为E k1∶E k2= 2∶1D．运动周期之比为T1∶T2= 1∶2例题8.（2012清华保送生测试）运用合适的原理和可以测得的数据估测地球的质量和太阳的质量。
说明你的方法。
例题9.（2011北约）将一天的时间记为T E，地面上的重力加速度记为g，地球半径记为R E。
（1）试求地球同步卫星P的轨道半径R P；（2）一卫星Q位于赤道上空，赤道一城市A的人三天看到Q四次掠过上空，求Q的轨道半径。
假设卫星运动方向与地球自转方向相同.例题10.（2010清华大学等五校自主招生）卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。
在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。
若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR (n略小于3)，求卫星与探测器的质量比。
（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量）例题11.（2010南京大学）已知月球质量约为地球质量的百分之一，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的六分之一，已知地球上物体的逃逸速度为11.2km/s，则月球上物体的逃逸速度为A.5.6km/sB.4.52km/sC.2.24km/sD.1.13km/s例题12.（2010南京大学）求地球与太阳的密度之比。
已知：地球表面的重力加速度为g=10m/s2，地球绕太阳运动的公转周期为T=365×24×360s=3.15×106s，太阳视角为=0.5°，地球上1°的纬度长度为110km，地球到太阳的距离为r=1.5×1011m，tan(0.25°)=0.00464。
例题13.（2009清华大学）物体放在赤道上，当引力突然消失时，物体运动方向A.竖直向上B.东偏上C.西偏上D.水平向东E.原地不动，但与地面间无作用力例题14.（2009清华大学）下列说法正确的是：A.卫星运行速度总不超过7.9km/sB.卫星轨道必为圆形C.卫星运行速度与卫星质量无关D．卫星轨道可以与纬度不为零的某条纬线在同一平面内物理竞赛解题方法四、等效法方法简介在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.赛题精讲例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑 墙壁A 和B ，相距为d ，一个小球以初速度v 0从两墙 之间的O 点斜向上抛出，与A 和B 各发生一次弹性 碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ.例2：质点由A 向B 做直线运动，A 、B 间的距离为L ，已知质点在A 点的速度为v 0，加速度为a ，如果将L 分成相等的n 段，质点每通过L/n 的距离加速度均增加a /n ，求质点到达B 时的速度.例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1=1m 的A 点时，速度大小为s cm v /201=，问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2=2m 的B 点时，其速度大小?2=v 老鼠从A 点到达B 点所用的时间t=？例4 如图4—2所示，半径为r 的铅球内有一半径为2r的 球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔 的中心连线上，距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力.例5 如图4-3所示，小球长为L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的54，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.例6 如图4—4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设L 和 已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 .例7 如图4—5所示，由一根长为L 的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的自由振动. 如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期.例8 粗细均匀的U 形管内装有某种液体，开始静止在水平 面上，如图4—6所示，已知：L=10cm ，当此U 形管以4m/s 2的 加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s 2）例9 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v.图4—5例10 空间某一体积为V 的区域内的平均电场强度（E ）的定义为∑∑==∆=∆++∆+∆∆++∆+∆=ni ini ii nnn VVE V V V V E V E V E E 11212211如图4—8所示，今有一半径为a 原来不带电的金属球，现 使它处于电量为q 的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外， 与球心的距离为R ，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度.例11 质量为m 的小球带电量为Q ，在场强为E 的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v . 若忽略空气阻力和重力加速度g 随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度.例12 如图4—10所示，R 1、R 2、R 3为定值电阻，但阻值未 知，R x 为电阻箱.当R x 为Ω=101x R 时，通过它的电流Ω==18;121x x x R R A I 为当时，通过它的电流.6.02A I x =则当A I x 1.03=时，求电阻.3x R图4—8图4—10例13 如图4—11所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的R AB 、R BC 和R CA ，相应的电阻R a 、R b 和R c 可确定. 因此在对应点A 和a ，B 和b 、C 和c 的电位是相同的，并且，流入对应点（例如A 和a ）的电流也相同，利用这些条件 证明：CABC ABCAAB a R R R R R R ++=，并证明对R b 和R c 也有类似的结果，利用上面的结果求图4—11甲中P 和Q 两点之间的电阻.例14 如图4—13所示，放在磁感应强度B=0.6T 的匀强磁场中的长方形金属线框a bcd ，框平面与磁感应强度方向垂直，其中ab 和bc 各是一段粗细均匀的电阻丝R ab =5Ω，R bc =3Ω，线框其余部分电阻忽略不计.现让导体EF 搁置在a b 、cd 边上，其有效长度L=0.5m ，且与a b 垂直，阻值R EF =1Ω，并使其从金属框ad 端以恒定的速度V=10m/s 向右滑动，当EF 滑过ab 长的4/5距离时，问流过a E 端的电流多大？图4—11。