第17讲 三角形的中位线应用问题

第17讲三角形的中位线应用问题

二、方法剖析与提炼

（一）利用中位线证明线段的位置及数量关系

例1．（2015邵阳）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．

（1）求证：DE=CF；

（2）求EF的长．

【解析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE

BC，进而得出DE=FC；

（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．

【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE BC，

∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE FC，即DE=CF；

（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DC=EF，

∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，

∴DC=EF=3．

【说明】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出DE BC是解题关键．

（二）利用中位线证明中点四边形的问题

例2．已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q．

（1）若四边形ABCD如图1，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．

甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（）

乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形．（）

（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．

（3）若四边形ABCD如图2，请你判断（1）中的两个结论是否成立？

【解析】中点四边形问题只要连接中点利用中位线的性质即可说明边与边的关系，注意中位线所在的三角形要清晰。

【解法】（1）甲（）乙（）

（2）证明：（1）中对甲的判断：

连接EF、FG、GH、HE．

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴

同理，得

∴EF∥HG，EF=HG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

（3）

【说明】（1）本题中点较多，要注意两种不同的中点四边形的位置特征，不要混淆。

（2）四边形的问题要有效利用四边形中的对角线等辅助线将问题转化到三角形中解决。

（三）利用中位线证明角的等量关系

例3.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF

并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，如图2，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图3，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，

请直接写出结论；

问题二：如图4，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．

【解析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．

（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．

【解法】（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，

∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，

又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．

（2）判断出△AGD是直角三角形．

证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，

∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，

同理，HE∥CD，HE=CD，

∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，

∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，

∴△EHF是等边三角形，

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，

∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，

∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°

即△AGD是直角三角形．

【说明】作辅助线将等量转移到同一个三角形中是解题关键，要注意三个图形之间的联系与变化.

（四）利用中位线构造三角形全等

例4．如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，P是BC中点，

（1）求证：DP=EP；

（2）求∠DPE的度数．

【解析】取AB、AC的中点，利用中位线可以将

图形中线段的等量关系移位置，从而构造出全

等三角形；

【解法】（1）证明：如图，取AB、AC的中点，

连接PM 、DM ，PN 、EN ，∵P 是BC 中点，∴PM 、PN 都是△ABC 的中位线，

∴PM ∥AC ，PN ∥AB ，PM=21AC ，PN=2

1AB ， ∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形，

∴DM=AB ，NE=AC ，∴DM=PN ，MP=NE ，

∵∠PMD=∠BMD +∠BMP=2∠BAD +∠BAC=2（90°﹣α）+∠BAC ，

∠PNE=∠CNE +∠CNP=2∠CAE +∠BAC=2（90°﹣α）+∠BAC ，

∴∠PMD=∠PNE ，

在△PDM 和△EPN 中，

，∴△PDM ≌△EPN （SAS ），∴DP=EP ；

（2）设∠PDM=x ，∠DPM=y ，

∵∠ABD=∠ACE=α，∴∠ADM=∠BAD=∠AEN=∠CAE=90°﹣α，

∴∠ADP=x +90°﹣α，∠AEP=y +90°﹣α，

∵PM ∥AC ，PN ∥AB ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴∠MPN=∠BAC ，

在四边形ADPE 中，（x +90°﹣α）+（x +∠MPN +y ）+（y +90°﹣α）+2（90°﹣α）+∠BAC=360°， 解得x +y +∠BAC=2α，

∴∠DPE=y +∠BAC +x=2α．

【说明】（1）证明∠PMD =∠PNE 是本题的难点，要注意中位线性质中数量关系和位置关系两个特征结合起来分析，找出平行四边形；

（2）方程思想是几何计算的重要思想方法，所以在进行角度时间时要灵活应用方程。

三、能力训练与拓展

1．（2016陕西）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

2．（2015河北）如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：