多边形知识点及经典习题分析
小学五年级数学解析：多边形的基本性质与面积计算
小学五年级数学解析：多边形的基本性质与面积计算一、多边形的定义与分类1. 多边形的定义定义：多边形是由多条线段首尾相连，围成的封闭图形。
多边形可以有三条或更多的边，如三角形、四边形、五边形等。
2. 多边形的分类按边数分类：三角形：由三条边围成的多边形。
四边形：由四条边围成的多边形，常见的包括正方形、长方形、梯形、菱形等。
五边形：由五条边围成的多边形。
六边形：由六条边围成的多边形，常见的包括正六边形等。
按形状分类：正多边形：所有边和角都相等的多边形，如正方形、正六边形等。
不规则多边形：边长或角度不相等的多边形，如梯形、菱形、平行四边形等。
二、多边形的基本性质1. 多边形的内角和性质内角和公式：n边形的内角和 = (n-2) × 180度。
例题解析：例题1：四边形的内角和是多少？解答：四边形的内角和 = (4-2) × 180度 = 360度。
例题2：五边形的内角和是多少？解答：五边形的内角和 = (5-2) × 180度 = 540度。
2. 多边形的对称性与稳定性正多边形：正多边形具有高对称性，所有边长和角度相等，这使得正多边形在建筑设计中有广泛的应用。
稳定性：多边形的对称性和稳定性使其在建筑和设计中具有广泛的应用。
例子：正六边形结构在蜂巢设计中广泛应用，因为它既美观又稳定。
3. 多边形的对角线数量公式：n边形的对角线数量 = n × (n-3) ÷ 2。
例题解析：例题3：五边形有多少条对角线？解答：五边形的对角线数量 = 5 × (5-3) ÷ 2 = 5 条。
例题4：六边形有多少条对角线？解答：六边形的对角线数量 = 6 × (6-3) ÷ 2 = 9 条。
三、常见多边形的面积计算1. 梯形的面积公式：梯形的面积 = (上底 + 下底) ×高÷ 2。
例题解析1：题目：已知梯形的上底为8cm，下底为12cm，高为5cm，求梯形的面积。
多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题
第二十四讲 多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。
(完整版)《多边形》练习题
《多边形》学习指导 一、知识梳理 【知识点一】相关概念： 在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条(不少于3条)线段首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。
【知识点二】相关性质: 四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°；任何一个多边形的外角和等于360°。
【知识点三】相关公式：n 边形的内角和为(n －2)×180°； n 边形从一个顶点引出的对角线有（n –3）条，将n 边形分成（n –2）个三角形；n 边形的对角线共有()n n 32条。
二、实战演练：1. 五边形的内角和为 ，外角和为 ，若它的每一个内角的度数都相等，则每个内角等于________，每个外角等于________；2．四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则六边形有 条对角线，十边形有 条对角线；3．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 ；4．从九边形的一个顶点出发，可以画出m 条对角线，它们将九边形分成n 个三角形．则m 、n 的值分别为 ， ；5. 如果一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是_____边形；6．若一个n 边形的每一个内角都等于150°,则n=___________；7．若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是__________；8. 四边形ABCD 中,∠A,∠B,∠C,∠D 的度数比为2：3：4：3，则∠D 等于 ；9．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为 ；10．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为 ；11.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°, 这个多边形的边数 ；12．如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP 、CP 分别平分∠EDC 、∠BCD ，则∠P 的度数是 ；13．一个多边形除一个内角外其余内角的和为810°，则这个多边形是 边形；14．如图,在四边形ABCD 中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,A D则四边形ABCD 的面积是 ；15．机器人在一平面上从点A 处出发开始运动，规定“向前走1米再向左转60° ”为1次运动，则运动2015次后机器人距离出发点A 的距离为 米。
正多边形模型总结及经典练习题
正多边形模型总结及经典练习题
正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形。
在几何学中，正多边形是非常重要的概念，它有许多有趣的性质和应用。
在本文档中，我们将总结正多边形的特点，并提供一些经典的练题来加深研究。
正多边形的特点
正多边形具有以下特点：
1. 边长相等：正多边形的每条边都具有相同的长度。
2. 内角相等：正多边形的每个内角都具有相同的大小。
3. 外角相等：正多边形的每个外角都具有相同的大小。
4. 中心对称：正多边形以中心为对称轴，对称的各个部分完全相同。
经典练题
以下是一些经典的正多边形练题，供大家练和巩固所学知识：
1. 一个正三角形的内角和是多少？
2. 一个正五边形的外角和是多少？
3. 如果一个正七边形的边长是5厘米，它的周长是多少？
4. 一个正十边形的内角和是多少？
5. 如果一个正十二边形的外角是30度，它的内角是多少度？
希望通过对以上练题的思考和求解，能够加深对正多边形的理解和掌握。
以上就是对正多边形模型的总结及经典练习题的介绍。
希望本文档能够帮助大家更好地理解和运用正多边形的概念。
如果有任何疑问或需要进一步的解释，请随时向我提问。
谢谢！。
多边形及其内角和经典例题透析
知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。
镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
多边形(8种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
多边形（8种题型）【知识梳理】1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凹多边形凸多边形【考点剖析】题型一：多边形及其概念例1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，故选：A．【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．【变式】.下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．题型二：确定多边形的边数例2.（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8【答案】C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____．【答案】5，6，7．【分析】直接画图，动作操作即可知答案.【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7故填5，6，7．.【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A．14或15或16 B．15或16C．14或16 D．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．【答案】3或4或5．【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．题型三：确定多边形的对角线的条数例3.从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n(n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2. 【变式1】（2022春·八年级课时练习）一个十边形有多少条对角线？ 【答案】35【分析】根据多边形对角线计算公式进行求解即可．【详解】解：由题意得，一个十边形有()10103352⨯−=条对角线，答：一个十边形有35条对角线．【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数问题，熟知从n 边形一个顶点出发可以引()3n −条对角线是解题的关键．【变式2】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n 边形有______条对角线． 【答案】(3)2n n −【分析】由于n 边形从一个顶点出发可画(3)n −条对角线，所以n 边形共有(3)2n n −条对角线，根据以上关系直接计算即可．【详解】解：三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线， n ∴边形有(3)2n n −条对角线． 故答案为：(3)2n n −．【点睛】本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）A ．54B ．44C ．35D ．27【答案】C【分析】根据一个n 边形的对角线条数为()32n n −进行求解即可．【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……一个十边形共有()10103352⨯−=条对角线，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n 边形的对角线条数为()32n n −．题型四：根据对角线条数确定多边形的边数例4.从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C. 【变式】．（2023春·全国·八年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（ ）边形． A ．2017 B ．2016C ．2015D ．2014【答案】A【分析】n边形一个顶点可以画()3n−条对角线，代入数据计算即可．【详解】解：设这个多边形是n边形．依题意，得32014n−＝，∴2017n＝．故这个多边形是2017边形，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线条数，熟记公式是解题关键．题型五：根据分成三角形的个数，确定多边形的边数例5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( ) A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形解析：设原多边形是n边形，则n－2＝6，解得n＝8.故选D.方法总结：从n边形的一个顶点出发可引出(n－3)条对角线，这(n－3)条对角线把n边形分成(n－2)个三角形．【变式1】（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线，可组成()2n−个三角形，依此可求出n的值，得到答案．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得：25n−=，解得：7n=，即这个多边形是七边形，故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．【变式2】．（2023秋·八年级课时练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数．【答案】8【分析】根据过n 边形的一个顶点可以引(3)n −条对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为n ，依题意得26n −=，解得8n =． ∴多边形的边数为8．【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过n 边形的一个顶点可以引(3)n −条对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形是本题的关键．题型六：正多边形的有关概念例6.下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．【答案】A【分析】A. 由正多边形的性质可得 B. 举反例判断即可 C. 举反例判断即可 D. 举反例判断即可【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确 B. 菱形不是正方形，错误 C. 矩形不是正方形，错误D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．题型七：多边形面积例7．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A．25B．12.5C．9D．8.5【答案】B【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．试题解析：如图：小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25S△AED=12DE•AE=12×1×2=1，S△DCH=12•CH•DH=12×2×4=4，S△BCG=12BG•GC=12×2×3=3，S△AFB=12FB•AF=12×3×3=4．5．S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．故选B．【变式】（2022·全国·八年级专题练习）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形ABCD的面积为________．【答案】1122【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD 的面积为： 111155411142342222⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=1122，故答案为：1122．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 题型八：确定三角形个数例8.（2023·全国·八年级假期作业）从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形． 【答案】14/十四【分析】从n 边形的一个顶点出发有()3n −条对角线，共分成了()2n −个三角形．【详解】解：当16n =时，16214−=， 即可以把这个十六边形分成了14个三角形， 故答案为：14．【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟记相关公式是解题的关键，如果记不住公式，可以从四边形、五边形开始，画图探索规律．【变式】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）从n 边形的一个顶点出发画对角线，可以将这个n 边形分割成__________个三角形． 【答案】()2n −/()2n −+【分析】从n 边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成()2n −个三角形，据此即可解答．【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成()2n−个三角形．故答案为：()2n−．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，掌握从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为2n−是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·全国·八年级假期作业）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式()3n−求出边数即可得解．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意，得：34n−=，∴7n=，∴该多边形的边数为7；故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．4或5B．3或4C．3或4或5D．4或5或6【答案】C【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：根据图形可知，过n 边形的一个顶点引出的对角线，把n 边形分成的三角形的个数是（ ）A ．()3n −个B ．()2n −个C ．()1n −个D ．()1n +个【答案】B【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．【详解】解：观察图形可得：第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；……第()3n −个图，过n 边形的一个顶点引出()3n −条对角线，把n 边形分成()2n −个三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．4．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）一个n 边形从一个顶点可引3条对角线，则n 为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】可根据n 边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：3n −，列方程求解．【详解】解：设多边形有n 条边，则33n −=，解得，6n =．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有(3)n −条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(2)n −个三角形． 5．（2023·全国·八年级假期作业）下列说法错误的是（ ）A ．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；B ．四边形有2条对角线；C ．连接对角线，可以把多边形分成三角形；D ．六边形的六个角都相等；【答案】D【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；B 、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；C 、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；D 、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．【答案】C【分析】根据n 边形从一个顶点出发，可引出()3n −条对角线，即可求解．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则32n −=，解得5n =，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，掌握n 边形从一个顶点出发，可引出()3n −条对角线是解题的关键．7．（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或()1n+边形或()1n−边形即可得出答案．【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D．【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．8．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（）A．15或16或17B．15或17C．16或17D．16或17或18【答案】A【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：.A【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.二、填空题 9．（2023秋·八年级单元测试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．【答案】2025【分析】从n 边形的一个顶点出发作它的对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形，由此即可解决问题．【详解】解：从n 边形的一个顶点出发作它的对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形，22023n ∴−=，2025n ∴=，故答案为：2025．【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从n 边形的一个顶点出发作它的对角线，将n 边形分成(2)n −个三角形． 10．（2023春·八年级单元测试）若从一个n 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则n =_____．【答案】13【分析】根据对角线构成，不是一条边上的两个端点连线构成对角线，一个顶点所在两条边上与其相邻的两个顶点除外，n 边形的一个顶点引出(3)n −条对角线直接求解即可得到答案．【详解】解：从一个n 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线， ∴根据题意得310n −=，解得13n =，故答案为：13．n−条对角线是解决问题的关键．【点睛】本题考查多边形对角的规律，掌握n边形的一个顶点引出(3)11．（2023·全国·八年级假期作业）若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________【答案】三角形【分析】由多边形的对角线的定义可得答案．【详解】解：一个多边形无对角线，则这个多边形是三角形，故答案为：三角形【点睛】本题考查的是多边形的对角线的含义，熟记图形特点与对角线的定义是解本题的关键．12．（2022·全国·八年级专题练习）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．【答案】6或7或8【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图3:∴一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，故答案为：6或7或8．【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．13．（2023·全国·八年级假期作业）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．【答案】14或15或16【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，+=；∴此时原多边形的边数为15116如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，∴此时原多边形的边数为15；−=；∴此时原多边形的边数为15114综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．故答案为：14或15或16．【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．14．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）若一个多边形经过一个顶点的对角线将该多边形分成8个三角形，则该多边形为___________边形．【答案】十【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成()2n −个三角形，计算可求解．【详解】解：设这是个n 边形，由题意得：28n −= 10n ∴=，故答案为：十．【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 15．（2023·全国·八年级假期作业）一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成5个三角形．则这个多边形有______条边．【答案】7【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成()2n −个三角形，即可求解得到答案． 【详解】解：设多边形有n 条边，则25n −=，解得：7n =．所以这个多边形有7条边，故答案为：7．16．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有2条对角线，则()n m k −=______．【答案】216【分析】根据m 边形从一个顶点发出的对角线有()3m −条，从而可求得m 的值；又根据n 边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n 的值；再根据k 边形共有对角线()32k k −条，从而可求得k 的值，代入即可求出代数式的值．【详解】解：∵m 边形从一个顶点发出的对角线有()3m −条，∴7310m =+=，又∵n 边形没有对角线，∴3n =，又∵k 边形有2条对角线，∴()322k k −=，∴4k =，1k =−（舍去）∴()()3104216n m k −=−=．故答案为：216．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记n 边形从一个顶点发出的对角线有()3n −条，共有对角线()32n n −条． 17．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___．【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案．【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十八边形如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十九边形∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形．【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解．18．（2023春·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____．【答案】3或4或5【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变．【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．故答案为：3或4或5．【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况．三、解答题(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可；（2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；（3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可；（2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；（3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键．【答案】九边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线，可组成()2n−个三角形，依此可得n的值．【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，解得：n=9，故这个多边形是九边形．【点睛】本题考查了多边形的对角线分成三角形的问题，理解n边形从一个顶点出发可引出()3n−条对角线，可组成()2n−个三角形是解题的关键．21．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解18 多边形(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题18多边形【知识要点】多边形的相关知识：➢在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
➢连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
➢一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）⏹多边形的内角和➢n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°➢n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
【考点题型】考点题型一多边形截角后的边数问题【解题思路】多边形减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.典例1．（2018·云南昭通市模拟）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.故选A.变式1-1．（2019·宁波市一模）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形.故选A.考点题型二计算多边形的周长【解题思路】考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式典例2．（2020·隆化县模拟）下列图形中，周长不是32 m的图形是( ) A．B．C．D．【答案】B【提示】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.变式2-1．（2017·海南中考模拟）如图，□ABCD纸片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH ,它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为( )A．12 B．15 C．16 D．18【答案】B【解析】如图，分别作直线AB、BC、HG的延长线和反向延长线使它们交于点B、Q、P.∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°. ∴△APH 、△BEF 、△DHG 、△CQG 都是等边三角形．∴EF=BE=BF=1，DG=HG=HD=2.∴FC=5-1=4，AH=5-2= 3，CG=CD-DG=4−2=2.∴六边形的周长为1+3+3+2+2+4=15.故选B.考点题型三 计算网格中的多边形面积【解题思路】利用分割法即可解决问题典例3．（2019·辽宁葫芦岛市模拟）如图是边长为1的正方形网格，A 、B 、C 、D 均为格点，则四边形的面积为()A ．7B ．10C ．152D ．8【答案】A 【提示】利用分割法即可解决问题.【详解】解：S 四边形ABCD ＝3×4﹣12×2×1×2﹣12×1×3×2＝12﹣5＝7，故选：A ． 变式3-1．（2020·山东烟台市模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC 内部的概率是()A ．12B ．14C ．38 D ．516【答案】D【提示】用正方形的面积减去四个易求得三角形的面积，即可确定△ABC 面积，用△ABC 面积除以正方形的面积即可.【详解】解：正方形的面积＝4×4＝16，三角形ABC 的面积＝11116434221222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝5， 所以落在△ABC 内部的概率是516， 故选D ．变式3-2．（2019·江西九年级零模）如图，在边长为1的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为1234,,,,S S S S 下列说法正确的是（）A ．12S SB ．23S S =C ．124S S S +=D ．134S S S +=【答案】B 【提示】根据题意判断格点多边形的面积，依次将1234S S S S 、、、计算出来，再找到等量关系．【详解】观察图形可得12342.5,3,3,6,S S S S ====∴23234,6S S S S S =+==，故选：B ．考点题型四 计算多边形对角线条数【解题思路】熟记n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解答此题的关键．典例4．（2017·山东济南市·中考真题）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解析】解：根据题意，得：（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为7(73)2⨯-=14，故选C．变式4-1．（2018·山东济南市·中考模拟）若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】360°÷36°=10，10−3=7.故从一个顶点出发引的对角线条数是7.故选：B.变式4-2．（2020·莆田市二模）从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【提示】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=8，求出n的值即可．【详解】解：由题意得：n-3=8，解得n=11，故选：D．变式4-3．（2020·湖南长沙市模拟）已知一个正n边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（）A．5条B．6条C．8条D．9条【答案】D【提示】多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n﹣3，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴每个外角是60度，则多边形的边数为360°÷60°＝6，则该多边形有6个顶点，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3＝3条．∴这个多边形的对角线有12（6×3）＝9条，故选：D．变式4-4．（2019·广东茂名市·中考模拟）若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【提示】可根据n边形从一个顶点引出的对角线有n-3条，即可求解．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则n-3=5，解得n=8，故这个多边形的边数为8，故选：C．变式4-5．（2019·河北模拟）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】D【提示】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形，故选:D．考点题型五多边形内角和问题【解题思路】考查多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．典例5．（2018·山东济宁市·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )A．60°B．65°C．55°D．50°【答案】A【解析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选A．变式5-1．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C 【提示】根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选C ．变式5-2．（2019·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形【答案】D【提示】根据多边形的内角和=（n ﹣2）•180°，列方程可求解.【详解】设所求多边形边数为n ，∴（n ﹣2）•180°＝1080°，解得n ＝8.故选D.考点题型六 正多边形内角和问题【解题思路】掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键典例6．（2020·湖南怀化市·中考真题）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C【提示】设这个多边形的边数为n ，由n 边形的内角和等于180°（n ﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案：n=8．故选C．变式6-1．（2020·湖北宜昌市·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）．A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长【答案】A【提示】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，∵正五边形的每个内角的度数为：(52)1801085-⨯︒=︒∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故选：A．变式6-2．（2020·河北中考真题）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n= _________．【答案】12【提示】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．【详解】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，故正六边形的内角为180°-60°=120°，又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形的外角为30°，∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．故答案为：12．变式6-3．（2020·福建中考真题）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成 等于_______度．的，则ABC【答案】30【提示】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB 的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，可得BD=AC，BC=AF，∴CD=CF，同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，∴∠1=()1621801206-⨯︒=︒， ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠ABC=30°， 故答案为：30．考点题型七 截角后的内角和问题【解题思路】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键．典例7．（2020·五莲县一模）一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（ ） A ．360° B ．540°C ．180°或360°D ．540°或360°或180°【答案】D【提示】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】n 边形的内角和是(n ﹣2)•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是(4+1﹣2)×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是(4﹣2)×180°＝360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4﹣1﹣2)×180°＝180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 故选D ．变式7-1．（2020·河北九年级其他模拟）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ） A ．17 B ．16C ．15D ．16或15或17【答案】D【详解】多边形的内角和可以表示成()2180n -⋅︒ (3n ≥且n 是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据()21802520,n -⋅︒=解得：n=16， 则多边形的边数是15，16，17． 故选D ．变式7-2．（2020·贵州铜仁市·九年级零模）一个多边形切去一个角后得到的另一个多边形的内角和为900︒，那么原多边形的边数为（） A ．6或7或8 B ．6或7C ．7或8D ．7【答案】A【提示】首先求得内角和为900°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.【详解】解：设内角和为900°的多边形的边数是n ，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7， 如图，有如下几种切法，则原多边形的边数为6或7或8．故选：A ．考点题型八 正多边形的外角问题【解题思路】解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度． 典例8．（2020·江苏无锡市·中考真题）正十边形的每一个外角的度数为（） A ．36︒ B ．30 C ．144︒ D ．150︒【答案】A【提示】利用多边形的外角性质计算即可求出值．【详解】解：360°÷10＝36°，故选：A．变式8-1．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45︒后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45︒后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【提示】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转45︒，∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．故选：B．变式8-2．（2020·湖南娄底市·中考真题）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【提示】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【详解】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，故选：B．考点题型九多边形外角和的实际应用【解题思路】典例9．（2020·湖北黄冈市·中考真题）如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【提示】根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．【详解】∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．故选D．变式9-1．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A 时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【答案】C【提示】根据多边形的外角和即可求出答案．【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．故选：C考点题型十多边形内角和与外角和的综合应用【解题思路】熟悉多边形的内角和公式：n边形的内角和是（n-2）×180°；多边形的外角和是360度．典例10．（2020·西藏中考真题）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【提示】利用多边形的内角和公式及外角和定理列方程即可解决问题．【详解】设这个多边形的边数是n，则有（n-2）×180°=360°×4，所有n=10．故选C．变式10-1．（2020·陆丰市模拟）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【提示】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．变式10-2．（2020·中江县模拟）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是()A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【解析】试题提示：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．变式10-3．（2020·西宁市模拟）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n-2）•180°=2×360°+180°，n=7．故选C．考点题型十一平面镶嵌【解题思路】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．典例11.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【提示】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．故选C．变式11-1小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能．．．是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【提示】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.故选：C变式11-2．能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正六边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正方形和正八边形D．正三角形和正十边形【答案】C【解析】A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；D、正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．故选C．变式11-3下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（）A．2个正八边形和1个正三角形B．3个正方形和2个正三角形C．1个正五边形和1个正十边形D．2个正六边形和2个正三角形【答案】D【提示】只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角之和等于360°即可。
中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解(基础)
中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】 B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=3 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF ∥AO ，且PF=12AO ， ∵PF ⊥BD ，∴∠PFD=90°， ∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE ⊥AC ，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP ，∴PE ∥OD ，∵点P 是AD 的中点，∴PE 是△AOD 的中位线，∴PE=12OD ， ∵PE=PF ，∴AO=OD ，且AO ⊥OD ，∴平行四边形ABCD 是正方形，设BC=x ，则x+12x ，∵ -4，∴x ， 解得x=4，即BC=4．【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD 是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）是双曲线上的一点，Q 为坐标平面上的一动点，PA ⊥x 轴，QB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，是否可以使△OBQ 与△OAP 面积相等？（3）如图2，点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。
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多边形一． 考点：三角形的角度，边长关系，内角和与外角和，用正多边形铺设地板 二． 热点：内角和与外角和 三． 知识讲解★★★主要知识点：1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类.⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、一般三角形的性质(1)三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
(2)三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3) (4) 三角形具有稳定性(5)(见下表)：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：三角形 (按角分) 三角形 (按边分)C结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
3. 几种特殊三角形的特殊性质 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。
（三线合一）这条线段所在的直线是等腰三角 形的对称轴。
推论260°。
（1）直角三角形的特殊性质：A/直角三角形的两个锐角互为余角；B/在直角三角形中如果 有一个角等于30°，那么这个角的对边等于斜边的一半；如果有一条边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角等于30°。
C/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D/直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 21a h （ h 是a 边上的高 ）4、多边形、1、任意多边形的外角和恒为360°2、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧， 称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
例1： (基础题)C DB A 第 14 题①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度）②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。
③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。
⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。
BD=______,CD=________⑨如图，AB = AC ，BC ⊥ AD ，若BC = 6，则BD = 。
例3： (提高) ①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B=③在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角？_______________________ ④：在等腰三角形中，，周长为40cm,一个边另一个边2倍，求三个边？_________________例6.ABC 为等边三角形，D 是AC 中点，E 是BC 延长线上一点，且CE = 21BC求证： BD = DE一、选择题：等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A.150° B.80° C.50°或80° D.70°2． 在△ABC 中， ∠A ＝50°， ∠B ，∠C 的角平分线相交于点O ，则∠BOC 的度数是( ) A ． 65° B ． 115° C ． 130° D ． 100°3．如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM 为△ 的角平分线， AN 为△ 的角平分线。
三、解答题：2C3 NMB1 A432140?14、如图4，∠1+∠2+∠3+∠4= 度；15、如图；ABCD 是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC 或BD 上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长？16、图1-4-27，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°， ∠ABC 的平分线BD 交AC 于D. 求：∠ADB 和∠CDB 的度数. .18。
已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。
求等腰三角形各边的长。
23．、如图，BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线。
试探求∠F 与∠B 、∠D 之间的关系，并说明理由。
例1、填空：（6）正二十边形的每个内角都等于 。
（7）一个多边形的内角和为1800°，则它的边数为 。
（8）n 多边形的每一个外角是36°，则n 是 。
（9）多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。
（10）如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 。
（11）一多边形除一内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角等于 。
AE FD C BA与三角形有关的线段一、 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．二、 与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部．③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．一.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个二、为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5三、下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P ，测得16PA=m ，12PB =m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m四、如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形 _________ 个．11 6.55.59678854电厂DCAB五、已知三角形的两边为8、10，求第三边的范围，求周长的范围．六、下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．1cm，2cm，5cm B．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm11、已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是( )A．3B．5C．7D．14、已知三角形中两边长为2和7，（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________．（2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________．15、有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形，则x的取值范围是．16、已知ABC∆有两边长为a、b，其中a b<，则其周长l一定满足( )．A．22()b l a b<<+B．22a l b<<C．a l a b<<+D．2a l a b<<+17、a、b、c为三角形的三边长，化简a b c b c a c a b--+--+--，若此三角形周长为11，求上面式子的值．18、下列长度的线段能否组成三角形：23a+、24a+、27a+(0a≠)；21、周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x，且x满足不等式12327xx->⎧⎨<⎩，这样的三角形有个．22、如图，在ABC ∆中取一点P ，使CP CB =，求证：AB AP >．已知，如图，P Q ，为三角形ABC 内两点，B P Q C ，，，构成凸四边形，求证：AB AC BP PQ QC +>++．多边形的内角和与外角和1.n 边形的内角和=________度，外角和=_______度。