2018年高考数学浙江卷-答案

浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案解析

一、选择题

1.【答案】C

【解析】由补集概念知，把全集U 中去掉元素1，3得，2,,={}45U A e.

【考点】集合的补集运算

2.【答案】B 【解析】从双曲线的标准方程2

213

x y -=知，焦点在x 轴上，且223,61a ==，则c 222314a b =+=+=，进而焦点坐标为(2,0)±.

【考点】双曲线的标准方程和几何性质

3.【答案】C

【解析】由三视图知，该几何体为直四棱柱，且侧棱长为2，上下底面为上边为1，下边为2，高为2的直

角梯形.故(12)2262

V +?=?= 【考点】空间几何体的三视图

4.【答案】B 【解析】22(1i)1i 1i (1i)(1i)

+==+--+所以21i -的共轭复数为1i -. 【考点】复数的基本概念

5.【答案】D

【解析】设||()2sin 2x f x x =，因为||||()2sin 2()2sin 2()x x f x x x f x ---=-=-=-，所以函数()f x 为奇函数，选项A ，B 不符，当2π3

x =时，()0f x <，则选项C 不符合，故选D. 【考点】函数的图象和性质

6.【答案】A

【解析】如图，作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM ，则23,SEO SMO θθ==∠∠，而23tan ,tan SO SO OE OM

θθ==，且EO MO ≥,故32θθ≥，根据线面所成角定义可推得，线面所成角是鞋面与平面内直线所成角中最小的角，所以选D.

9.【答案】A

【解析】由2430b e b -+=g 可得22441b e b e +=g -，即2(2)1b e -=，即|2|1b e -=，如图，由几何意义得，b 的终点B 在以F 为圆心，半径为1的圆上运动，a 的终点A 在射线OP 上，当点B 为点F 到OP 的垂线与

圆F 的交点时，||a b -最小，即min π|2sin 113

|a b -=-=

【考点】平面向量的运算及几何意义

10.【答案】B

【解析】由1234123ln()a a a a a a a +++=++结构，想到常用对数放缩公式ln 1x x -≤，所以1234123123ln()()1a a a a a a a a a a +++=++++-≤，即41a -≤.若1q -≤，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤即123ln()0a a a ++≤而212311(1)1a a a a q q a ++=++>≥，故123ln()0a a a ++>，即与123ln()0a a a ++≤矛盾，所以10q -<<，所以选B

【考点】等比数列中的基本量以及对数的有关性质

二、填空题

11.【答案】8

11

【解析】当81z =时，得195373x y x y +=??+=?

，解得811x y =??=?. 【考点】数学文化与方程组的解法

12.【答案】2-

8

【解析】由3z x y =+得133z y x =-+，欲求3z x y =+的最值，即求3z x y =+的最值，即求直线133

z y x =-+在可行域内纵截距的最值，由图知，在点A （4，-2），B （2，2）处分别取得最小值和最大值，即min max 43(2)22328z z =+?-=-=+?=，.

【考点】二元一次不等式表示平面区域以及线性规划等知识

13.3

2sin B =，即sin 7B =，由余弦定理得227222cos60c c =+-??，解得3,1c c ==-（舍）.

【考点】解三角形中的正弦定理与余弦定理

14.【答案】7

【解析】设84831881122r r

r r r r r T C C x x --+????== ? ?????g ，令8403r -=，得2r =，此时37T =. 【考点】二项式定理的通项公式

15.【答案】(1,4)

(1,3](4,)+∞U

【解析】当2λ=，由()0f x <得402x x -

，即24x <≤或12x <<，故不等式()0f x <的解集为（1,4）令()0f x =，得4x =或1x =或3x =，欲使得函数()f x 恰好有2个零点，则使4λ>或13λ<≤.

【考点】一元一次不等式、一元二次不等式的解法、函数零点的求法

16.【答案】1 260

【解析】分两类讨论，第一类不取0，则有224534720C C A =，第二类，取0，则有21145334540

C C C A =21145334540C C C A =，一共可以组成1 260个没有重复数字的四位数.

【考点】计数原理中排列组合等知识

17.【答案】5

【解析】设点1122,),((,)A x y B x y ，当直线AB 的斜率不存在时，此时9m =；当直线AB 的斜率存在时，设

直线AB 为1y kx =+，代入方程2

2(1)4

x y m m +=>可得22(14)8440k x kx m +++-=，由0?>得2410mk m +->，由书达定理得121222

844,1414k m x x x x k k -+=-=++，由2AP PB =u u u r u u u v 得122x x =-，联立解得1222168,1414k k x x k k =-=++，所以228||8||21

144||||

k x k k k ==++≤（当且仅当1||2k =时取等号），此时122216881414k k x x k k -==-++g ，而动122442214m x x m k

-==-+，解得5m =，经检验，5m =符合题意。 【考点】直线与椭圆的位置关系以及平面向量等知识

三、解答题

18.【答案】

（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ??-- ???得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5

αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ??-- ???得3cos 5α=-， 由5sin()13

αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65

β=-. 【考点】三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力

19.【答案】（Ⅰ）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz .

由题意知各点坐标如下：

111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),A B A B C

因此111112),3),AB A B A C ==-=-uuu r uuu u r uuuu r

由1110AB A B =uuu r uuuu r

g 得111AB A B ⊥.

由1110AB A C =uuu r uuuu r

g 得111AB A C ⊥.

所以1AB ⊥平面111A B C .

（Ⅱ）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.

由（Ⅰ）可知11(0,0,2),AC AB BB ===uuur uu u r uuu r

设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n . 由10,0,AB BB ??=???=??uu u r uuu r n n

即0,20,x z ?=??=?

?

可取(=n .

所以111|sin |cos ,||||AC AC AC θ?===?uuu r uuu r uuu r n |n n |. 因此，直线1AC 与平面1ABB

. 【考点】空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识

20.【答案】（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=，

解得48a =.

由3520a a +=得18()20q q

+=， 因为1q >，所以2q =.

（Ⅱ）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .

由11,1,

, 2.

n n n S n c S S n -=?=?-?≥解得41

n c n =-.

由（Ⅰ）可知1

2n n a -=， 所以111

(41)()2n n n b b n -+-=-?， 故211

(45)(),22n n n b b n n ---=-?≥，

11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L 231

11

(45)()(49)()73222n n n n --=-?+-?+++L g . 设22111

3711()(45)(),2

222n n T n n -=+?+?++-L g ≥，221

11111

37()(49)()(45)()22222n n n T n n --=?+?++-+-L g g 所以2211

1

1

1

1

344()4()(45)()22222n n n T n --=+?+?++--L g g ， 因此2

114(43)(),22n n T n n -=-+g ≥，

又11b =，所以2

1

15(43)()2n n b n -=-+?.

【考点】等差数列、等比数列、数列求和等基础知识

21.【答案】（Ⅰ）设00(,)P x y ，2

111(,)4A y y ，2

221(,)4B y y ．

因为PA ，PB 的中点在抛物线上，

所以1y ，2y 为方程2

2014

()422y x

y y ++=g 即22

000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．

所以1202y y y +=．

因此，PM 垂直于y 轴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,

8,

y y y y y x y +=???=-?? 所以2

221200013||()384PM y y x y x =+-=-

，12||y y -=．

因此，PAB △

的面积3

2

212001||||4)2PAB S PM y y y x =-=-g △． 因为2

20

001(0)4y x x +=<，所以22

00004444[4,5]y x x x -=--+∈．

因此，PAB △

面积的取值范围是4????

． 【考点】椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识

22.【答案】（Ⅰ）函数()f x

的导函数1()f x x

'=， 由12()()f x f x ''=

12

11x x -=-， 因为12x x ≠

12

+=．

= 因为12x x ≠，所以12256x x >．

由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=

．

设()ln g x x ，

则1()4)4g x x '=，

所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，

故12()(256)88ln 2g x x g >=-，

即12()()88ln 2f x f x +>-．

（Ⅱ）令()e a k m -+=，2

11a n k ?+?=+ ???，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，

(0)f n kn a a n k n ?----

<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，

所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．

由()f x kx a =+

得k =

．

设()h x =，

则22ln 1()12()x a g x a h x x x -+--+'=

=，

其中()ln g x x -． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤， 故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤， 所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根． 综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.

【考点】函数的单调性，导数的运算及其应用