2020年江西省九江市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
A. 1
B. 0
C. 2
D. -1
8. 在△ABC 中，若 2 2=
，则△ABC 是（ ）
A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
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9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则 该几何体的表面积为（ ）
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题，是基础题． 设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，根据题意画出图形，结合图形求出 R 与 r 的关 系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值． 【解答】 解：设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的截面是该等边三角形的内切 圆，
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
11.答案：B
解析：解：由 x2+y2（lny-lnx）-axy=0（a∈R）成立，可得 x＞0，y＞0； 同时除以 xy，
可得
存在实数解；
令 ，（t＞0）
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可得函数 f（t）=
，
∴f′（t）=
令 f′（t）=0， 可得 t=1， 当 t 在（0，1）时，f′（t）＜0，那么 f（t）在（0，1）上单调递减； 当 t 在（1，+∞）时，f′（t）＞0，那么 f（t）在（1，+∞）上单调递增； ∴f（t）min=f（1）=1； 使得 x2+y2（lny-lnx）-axy=0（a∈R）存在实数解， 则 a≥1， 故选：B． 存在性问题转化为有解问题求解，利用到函数研究其单调性求解最小可得 a 的范围； 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，导函数的单调性的应用．
A. 8π B. 8π+4 C. 6π+4 D. 6π
10. 若 sin（ ）=2cos ，则
=（ ）
A.
B.
C. 2
D. 4
11. 若存在正实数 x，y 使得 x2+y（2 lny-lnx）-axy=0（a∈R）成立，则 a 的取值范围是（ ）
A. （-∞，1]
B. [1，+∞）
C. （0，+∞）
D. [2kπ- ，2kπ+ ]（k∈Z）
4. 已知椭圆 +y2=1 与双曲线 -y2=1（m＞0）共焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断 正确的是（ ）
A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大 B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大 C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点 D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高
10.答案：B
解析：解：∵sin（ ）=2cos ，∴sinαcos -cosαsin =2cos ，
即 sinαcos =3cosαsin ，∴tanα=3tan ，
则
=
=
=
= =，
故选：B．
由题意利用两角和差的三角公式化简条件求得 tanα=3tan ，再利用两角和差的三角公式
化简要求的式子，并把 tanα=3tan 代入，可的结果．
（Ⅰ）求证：平面 BDE⊥平面 ABC； （Ⅱ）若侧棱 BC 上的点 F 满足 FC=2BF，求三棱锥 B-DEF 的体积．
19. 为了打好“精准扶贫攻坚战”某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可 选择的种植量有三种：大量种植，适量种植，少量种植．根据收集到的市场信息， 得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图，然后，该扶贫书记同时调查了 同类其他地区农民以往在各种情况下的平均收入如表 1（表中收入单位：万元）： 表1
13. 已知函数 f（x）=
，则 f（4）=______．
14. 若 x，y 满足约束条件
，则 z=4x-y 的最小值为______．
15. 谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出 的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为 顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白 色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔 宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖 3 次，然后在原三角形内部随机 取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．
D. （0，1]
12. 己知抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，延长 AF 交
抛物线 C 于点 D，若 AB 的中点纵坐标为|AB|-1，则当∠AFB 最大时，|AD|=（ ）
A. 4
B. 8
C. 16
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
= ，解得 m=2，
可得双曲线的 a= ，
双曲线的 e= = ，
故选：C． 求得椭圆的焦点可得双曲线的 c，解方程可得 m=2，可得 a，由离心率公式可得所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5.答案：C
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解析：【分析】 先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 【解答】 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故 A 错误， 虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故 B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故 C 正确， 甲企业的工资和其他费用开支额为 4000 万元，乙企业为 5400 万元，丙企业为 6000 万 元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故 D 错误， 故选：C．
所以函数 f（x）的单调递增区间为[kπ- ，kπ+ ]（k∈Z）， 故选：A． 利用两角和与差的三角函数公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可． 本题主要考查三角函数的单调性，两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
4.答案：C
解析：解：椭圆 +y2=1 的焦点为（± ，0），
可得双曲线的 c=
16. △ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cosA= cosB，b= ，c=4，
M，N 是边 AC 上的两个动点，且 AM=2CN，则
的最大值为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列{an}的首项 a1＞0，前 n 项和为 Sn，且满足 a1an=S1+Sn．
6. 已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切， 则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数 f（x）满足：①对任意 x∈R，f（x）+f（-x）=0，f（x+4）+f（-x）=0 成立；
②当 x∈（0，2]时，f（x）=x（x-2），则 f（2019）=（ ）
销量 种植量 好 中 差
大量
8 -4
适量 9 7 0
少量 4 4 2 但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量 种植的 100 户农民在市场销量好的情况下收入情况如表 2：
收入（万元） 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
频数（户） 5 10 15 10 15 20 10 10 5 （ Ⅰ）根据题中所给数据，请估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户 的预期收入．（用以往平均收入来估计）； （Ⅱ）若该地区年销量在 10 千吨以下表示销量差，在 10 千吨至 30 千吨之间表示 销量中，在 30 千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、 中、差的概率（以频率代替概率）； （Ⅲ）如果你是这位扶贫书记，请根据（Ⅰ）（Ⅱ），从农民预期收益的角度分析， 你应该选择哪一种种植量．
所以 r= R，S 球的表面积=4πr2=4π•
= R2，
S 圆锥表面积=πR•2R+πR2=3πR2，
所以球与圆锥的表面积之比为 = ．
故选 B．
7.答案：A
解析：解：∵f（x）+f（-x）=0， ∴函数 f（x）是奇函数， ∵f（x+4）+f（-x）=0， ∴f（x）=f（x+4）， ∴f（x）是以 4 为周期的周期函数， ∴f（2019）=f（-1）=-f（1）=1． 故选：A． 推导出函数 f（x）是奇函数，是以 4 为周期的周期函数，从而 f（2019）=f（-1）=-f（1）， 由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
第 7 页，共 14 页
8.答案：B
解析：解：∵ 2 2=
，
∴c2-a2=bccosA，
∴c2-a2=bc•
，化简可得：c2=a2+b2，
∴△ABC 是直角三角形． 故选：B． 由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求 c2=a2+b2，利用勾股定理即可判断得 解． 本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考 查了计算能力和转化思想，属于基础题．
2020 年江西省九江市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知全集 U=R，集合 A={x|x-1≤0}，B={x||x|＜2}，则∁U（A∩B）=（ ）
Байду номын сангаас
A. {x|-2＜x≤1}
江西省九江市2020年第二次高考模拟(4月份)文科数学测试答案
2 1
-2p -p O
p
-1
-2
f (x) ，则函数
y
=
f (x) xsin x
的图像大致为(
)
y
y
2
-2p
1
-p O
-1
2 -
p
2p x
2 1
-2p -p O
-1 2 -
p
2p x
A
y
2
-2p
1
-p O
1 -
2 -
C
2p
p
x
B
y
2 1
-2p -p O
p
1 -
2 -
2p
x
D 第1页 （共4页）
7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面 D
(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 m ；
(Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.
P(K 2 ≥ k ) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
附： K 2 =
n(ad - bc)2
，n=a+b+c+d .
A. 8
B. 19
C. 16
D.13
5
3
9.在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线 E :
x2 a2
-
y2 b2
=1( a
>
0,b
>
0 )的右焦点 F
，若存在平行于
x 轴的直
线 l ，与双曲线 E 相交于 A, B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为( )
江西九江市2020年第一次高考模拟统一考试 数学(理数) 含答案
18.(本小题满分 12 分)
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知四边形 AA1C1C 为矩形， AA1 6 ， AB AC 4 ，
A.x | 1 x 2
B.x | 2 x 5
C.{x | 1 x 5}
D.{x | 0 x 2}
2.设复数 z 满足 z(1 i) 2 ，则 z 在复平面内所对应的点位于(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知非零向量 a ， b 满足| a || b | ，则“| a 2b || 2a b | ”是“ a b ”的(C)
11π x 12
9.过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 且斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于点 A, B (点 A 位于第一象限)，
交其准线于点 C ，若 BC 3 BF ，且 AF 3 ，则直线 AB 的方程为(A)
A. 2 2x y 2 2 0
B. 2x y 2 2 0
7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱
起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到
桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变
爻.若每一枚钱币正面向上的概率为 1 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为(D) 2
An
， Bn
是圆 x2
y2
n2 上两个动点，且满足 OAn OBn
n2 2
（
n N* ），设 An ， Bn 到直线 x
3y
n(n
1)
0
的距离之和的最大值为
江西省九江市2020届高三第二次高考模拟统一考试 数学(理)试题(含解析)
=
()
1
A.
B.1
2
C. 2
D.2
4.已知 P(2，2)为抛物线 C : y2 = 2 px( p > 0) 上一点,抛物线 C 的焦点为 F,则|PF|=( )
A.2
B. 5
C.3
D. 7
2
2
5.将函数 y = 2 cos(2x + π ) 的图像向左平移 π 个单位得到函数 f(x),则函数 y =
C. l1 = l2 = l3 = l4
D. l1 = l2 = l3 < l4
12.已知函数 f(x)=x-lnx-1, g(x)=ln|x|, F(x)= f[g(x)], G(x)=g[ f(x)]，给出以下四个命题:
①y=F(x)为偶函数;②y= G(x)为偶函数;③y=F(x) 的最小值为 0;④y=G(x)有两个零点.其中真命题的是( )
A. 3 +1
B. 3
C. 2
D. 2 +1
10.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁
下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠｡例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上
一颗上珠,则表示数字 65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所
人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如
冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高 33.3 米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为 60.3 米，上方的“斗冠”类 似一个倒置的正四棱台，上底面边长是 139.4 米,下底面边长是 69.9 米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为( )
2020届江西省九江市高三二模文科数学试题(带答案解析)
（1）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
（2）求 的值.
23．已知函数 的最大值为m.
（1）求m的值；
（2）若a，b，c为正数，且 ，求证：
14．设x，y满足约束条件 ，则 的最大值是________.
15． 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则 的面积为________.
16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为________.
17．已知数列 满足 ， ， .
A． B． C． D．
11．已知函数 有两个零点，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（）
A． B． C． D．
13．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为________．
A． B． C． D．
6．将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，则函数 的图像大致为（）
A． B．
C． D．
7．如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）
A．1B． C．2D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆长轴、短轴和焦距的关系，考查学生对图形的观察能力和数形结合能力，属于基础题.
2020届江西省九江市2017级高三高考二模统一考试数学(理)试卷参考答案
p
x
C
D
解:依题意得
f
(x)
=
2cos[2(x +
p) 6
+
p] 6
=
2cos(2x +
p) 2
=
-2sin
2x
，则
y
=
f (x) xsin x
=
-2sin 2x xsin x
=
-4cos x x
，
x ¹ kp ， k Î Z ，显然该函数为奇函数，且当 x Î (0, π ) 时， y < 0 ，故选 D. 2
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.已知集合 A= { x Î Z | x ³ -1} ， B= {x | x2 < 2} ，则 A I B = (C)
A.{x | -1 £ x < 2}
举行，气势磅礴的中国馆──“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东
方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文
化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高 33.3
米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为 60.3 米，上方的“斗冠”
类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4 米，下底面边长是 69.9
<
ba
，故
C
选项正确；a a
=
2， 2
bb = 2 ，显然 a a = b b ，故 D 选项错误；故选 C. 2
7.若 425 + a ( a Î R )能被 9 整除，则 | a | 的最小值为(B)
九江市2020年二模试题(文科数学)及答案(word版)
绝密 ★ 启封并使用完毕前九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试文科数学答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题 60 分）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A {2, 1, 0,1, 2}， B {x | x2 2} ，则 A I B (C)A.{0,1}B.{ 1,1}C.{ 1, 0,1}D.{0}解: Q B {x | 2 x 2} ， A I B { 1, 0,1}，故选 C.2.已知复数 z 满足 z(3 i) 10 ，则 z (D)A. 3 iB. 3 i解:z10 3i10(3 i) (3 i)(3 i)3i，故选D.C. 3 iD. 3 i3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1 ， S4 6 ，则 S7 (D)A. 7B. 9C.11D.14解:法一:由a11，S46 ，得414(4 21)d6，解得d1 3，S77 1 7 (7 21)1 3 14，故选D.法二:QS44(a1 a4 ) 2 6 ，又 a11 ，a42 ，S77(a1 a7 ) 27 2a4 214 ，故选D.4.已知 sin 1 cos 2 ，则 tan (A)A. 4 3B. 3C. 443D. 2解:Q1sin cos2 sin 2cos 22cos2 tan 22 ，tan2tan 21 tan2 4 ，故选 A. 3225.已知 0 a b 1 ，则下列结论正确的是(B)A. ba bbB. ab bbC. aa abD. ba aa解:法一:Q 0 a b 1， y xb ，y xa 在 (0, ) 上单调递增，y ax ，y bx 在 (0, ) 上单调递减，故选 B.法二:取 a 1 ， b 1 ，则 aa 421 2， ab1 2， bb1 2， ba1 42，显然 ab bb，故选B.6.将函数y 2cos(2x6 )的图像向左平移 6个单位得到函数f(x)，则函数yf (x) xsin x的图像大致为(D)ABCD解:依题意得f(x)2 cos[ 2( x6 )6 ]2cos(2x 2 )2sin2x，则yf (x) xsin x2sin x sin2x x4cos xx，x k ， k Z ，显然该函数为奇函数，且当 x (0, π) 时， y 0 ，故选 D.2 7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面DC截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为(C)A.1B. 2ABC. 2D. 2 2解:Q AC 为椭圆的长轴，2a 2 2 ，a 2 ，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即 2b 2 ，b 1，c2 a2 b2 1，2c 2，故选 C.8.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为(C)开始否是 输出结束A. 8B. 19C. 16D.1353解:依题意得输出 S 的值为1,2,3,5,8,13 的平均数，即 S 1 2 3 5 8 13 16 ，故选 C.639.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 E : x2 y2 1( a 0,b 0 )的右焦点 F ，若存在平行于 x 轴的直a2 b2线 l ，与双曲线 E 相交于 A, B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为(B)A. 2 3 1B. 3 1C. 3D. 2 3解:如图，由对称性知 OA OB ，OAF 为边长为 c 的等边三角形，( c , 3c ) 22在双曲线 E上，c2 4a23c2 4b21，c2 a23c2 c2 a2 4 ，e23e2 e2 14，解得e 3 1，故选 B.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称 “档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算 珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表 示数字 65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数 字为奇数的概率为(C)A. 1B. 4C. 5D. 23993解:依题意得所拨数字可能为 610，601，511，160，151，115，106，61，16 ，共 9 个，其中有 5 个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为 5 ，故选 C. 911.已知函数 f (x) x a ln x a ( a R )有两个零点，则 a 的取值范围是(B)A. (e,+)B. (e2 , )C. (e2 ,e3)D. (e2 ,2e2 )解: f (x) 1 a x a ( x 0 ),当 a 0时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0,+) 上单调递增，不合题意， xx当 a 0 时， 0 x a 时， f (x) 0 ； x a 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, ) 上单调递增， f (x)min f (a) 2a a ln a ，依题意得 2a a ln a 0 ，a e2 ，取 x1 e ， x2 a2 ，则 x1 a ， x2 a ， 且 f (x1) f (e) e 0 ， f (x2 ) f (a2 ) a2 2a ln a a a(a 2 ln a 1) ， 令 g(a) a 2ln a 1，则 g(a) 1 2 0 ， g(a) 在 (e2, ) 上单调递增， g(a) g(e2 ) e2 3 0 ，a f (x2 ) 0 ，故 a 的取值范围是 (e2, ) ，故选 B. 12.现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为 l1, l2 , l3, l4 ，则(B)A. l1 l2 l3 l4B. l1 l2 l3 l4C. l1 l2 l3 l4D. l1 l2 l3 l4解:正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2 n，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长ln2 nr2r，圆的中心运动轨迹长也为2r，依题意得边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 r1 r2 r3 r4 ，l1 l2 l3 l4 ，故选 B.第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 a, b 满足 a 1， b 2 ， a (a b) ，则 a 与 b 的夹角为 60 .解:Q a (a b) ，a2 a b 0 ，11 2cos a,b 0 ，cos <a, b> 1 ，a 与 b 的夹角为 60 . 22 1 – –O 114.设x,y满足约束条件22xx y y 2 2≤ ≥0 0，则z3x2y的最大值是 y ≥ x2 3.解: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 ( 2 , 2) 时取得最大值， 33即zmax32 3 22 32 3．15.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2b2c28 tan C，则ABC的面积为2.解:由余弦定理知 a2 b2 c22ab cos C， 8 tan C2ab cos C，ab sin C4 ,SABC1 2absin C2.16.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 10 的正四棱锥 P ABCD 中，大球 O1 内切于该四棱锥，小球 O2 与大球 O1 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 O2 的体积为2 24.解:设 O 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M ，连接 PM,OM, PO ，则 OM 1，PM PA2 AM 2 10 1 3 ，PO 9 1 2 2 ，如图，在截面 PMO 中，设 N 为球 O1 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且 O1N PM ，设球 O1 的半径为 R ，则 O1NR ，Q sin MPO OM PM1 3，NO1 PO11 3，则PO1 3R ，PO PO1 OO1 4R 22 ， R 2 2，设球 O1 与球 O2相切于点 Q，则PQPO2R2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ4r， rR 22 4，故小球 O2 的体积V 4 r3 2 .324三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知数列 {an }满足a11，a21 2，anan12an2．(Ⅰ)求证:{an1 an}为等比数列；(Ⅱ)求{an} 的通项公式．解:(Ⅰ)由anan12an2，得2(an2an1 )(an1an )，即an+2an11 2(an+1an)…………2分又 a2 a11 2， an+2 an1 an+1 an1 2…………4分{an1an}是以1 2为首项，1 2为公比的等比数列………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知an+1an(12) (1 )n1 2(1)n 2………6分anan1(1 )n1 2,an1an2(1)n2 ，…， 2a2a1(12)(n2 )，累加得ana1(12 )(1)2 2L(1 )n2 2(1 )n1 21 2(1 2)n1(1 2) 1 2 ( 1)n ………9 分 33 2又a11 ，an11 32 3(1)n 22 32 ( 1)n 32(n2 )………11分又a11 也符合上式，an2 32 3(1)n 2………12分18.(本小题满分 12 分)BMI 指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index ，简称 BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI 体重 (kg) / 身高 (m) 的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当 BMI ≥ 28 时为肥胖.某地区随机调查了1200名 35 岁以上成人的身体健康状况，其中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：高血压非高血压(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 ； (Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关.P(K 2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001肥胖 不肥胖 合计k3.841 6.635 10.828高血压附： K 2 n(ad bc)2，nabcd .非高血压(a b)(c d )(a c)(b d )合计解:(Ⅰ)根据频率分布直方图，200 名高血压患者中，BMI值在 [28,30) 的人数为 0.12200 40 ，在 [30,32) 的人数为 0.05 2 200 20 ，在 [32,34) 的人数为0.0252200 10 ………2 分1000 名 非 高 血 压 患 者 中 ， BMI 值 在 [28,30) 的 人 数 为 0.0821000 160 ， 在 [30,32) 的 人 数 为0.0321000 60，在[32,34) 的人数为 0.00521000 10………4 分被调查者中肥胖人群的BMI平均值(40160) 29 (20 60) 31 (10 10) 40 20 10 160 60 103329.8………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 200名高血压患者中，有 40 20 10 70 人肥胖， 200 70 130人不肥胖………7 分 1000 名非高血压患者中，有160 60 10 230人肥胖，1000 230 770人不肥胖………8 分肥胖 不肥胖 合计高血压 70130 200非高血压 230 770 1000合计 300 900 1200………9 分 K 2 1200 (70 770 230130)2 12.8 10.828 ………11 分2001000 900 300有 99.9% 的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关………12 分19.(本小题满分 12 分)如图所示的几何体 ABC A1B1C1 中，四边形 ABB1A1 是正方形，四边形 BCC1B1 是梯形，B1C1//BC，且B1C11 2BC，ABAC，平面ABB1 A1平面ABC.(Ⅰ)求证：平面 A1CC1 平面 BCC1B1 ；(Ⅱ)若 AB 2 ， BAC 90，求几何体 ABC A1B1C1 的体积.解:(Ⅰ)取 BC 的中点 E ，连接 AE,C1E ，Q AB AC ，AE BC ………1 分 Q ABB1A1 是正方形，BB1 AB ，又平面 ABB1A1 平面 ABC ，BB1 平面 ABC ， 又Q AE Ü 平面 ABC ， AE BB1 ………2 分又Q BB1, BC Ü 平面 BCC1B1 ， BB1 I BC B ，AE 平面 BCC1B1 ………3 分Q B1C1 //BE ，四边形 BB1C1E 为平行四边形，C1E //B1B//A1A ，四边形 AA1C1E 为平行四边形………4 分 AE//A1C1 ， A1C1 平面 BCC1B1 ………5 分又 A1C1 Ü 平面 A1CC1 ，平面 A1CC1 平面 BCC1B1 ………6 分(Ⅱ)由(Ⅰ)知所求几何体为四棱锥 C AA1C1E 和直三棱柱 ABE A1B1C1 的 组合体………7 分Q CE AE ， CE AA1 ， AA1, AE Ü 平面 AA1C1E ，CE 平面 AA1C1E ，四棱锥 CAA1C1E的体积VC AA1C1E13 S矩形AA1C1E CE1 3AA1 AE CE1 32 224 3………9分直三棱柱ABEA1B1C1 的体积VABEA1B1C1S ABEAA11 2BEAE AA11 222 2 2 ………11 分所求几何体ABC A1B1C1 的体积V VC AA1C1E VABE A1B1C14 3210 3………12分20.(本小题满分 12 分)过点 A(1,0) 的动直线 l 与 y 轴交于点T (0,t) ，过点T 且垂直于 l 的直线 l 与直线 y 2t 相交于点 M ．(Ⅰ)求 M 的轨迹方程；(Ⅱ)设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆 O 与 y 轴相交于点 N ，且 NMA 30 ，求 AM 的值．解:(Ⅰ) Q A(1,0) ， T (0,t) ，当 t 0 时， M 的坐标为 (0,0) ………1 分y当t 0 时， kl0t 10 t ，kl 1 kl1 t，l的方程为y1xt t………2分由 y 2t 得 x t2 ，M (t2 , 2t) ………3 分验证当 t 0 时，也满足 M (t2, 2t) ………4 分 xM 的坐标满足方程 y2 4x ，即 M 的轨迹方程为 y2 4x ………5 分(Ⅱ)法一:设M (x0 ,y0 )(x0 ,y00)，则y024x0，O(x01 ,2y0 2)，圆 O 的方程为 (x 1)(x x0 ) ( y 0)( y y0 ) 0 ………6 分令x0得y2y0 yx0 0 ，即y2y0 yy02 4 0，yy0 2，即 N(0,y0 ) ，ON//x 轴………8 2分QNMA 30， QNOA 60 ，kAM 3 ，直线 AM 的方程为 y 3(x 1) ………10 分联立 y y 23(x 4x1)，消去y整理得 3x210x30 ，解得x3或x1 3(舍)，即x03 ………11分Q A 为抛物线 y2 4x 的焦点， AM x0 1 4 ………12 分法二:作 OO1 y 轴于 O1 ， MM1y 轴于 M1 ，则OO11 2(MM1OA ) ………6 分又 A 为抛物线 y2 4x 的焦点， OO11 2MA，故圆 O 与 y 轴相切于点 N………8 分QNMA 30， QNOA 60 ，kAM 3 ，直线 AM 的方程为 y 3(x 1) ………10 分联立 y y 23(x 4x1)，消去y整理得 3x210x30 ，解得x3或x1 3(舍)，即x03 ………11分Q A 为抛物线 y2 4x 的焦点， AM x0 1 4 ………12 分21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) (x 1)ln x .(Ⅰ)求 f (x) 的单调性；(Ⅱ)若不等式 ex f (x) x aex 在 (0,) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．解:(Ⅰ)法一：由f(x)(x 1) lnx，知f(x)lnx11 x………1分当0x1时，lnx0,11 x0，lnx11 x0，此时f(x)0………3分当x 1 时，lnx0,11 x0，lnx11 x0，此时f(x)0………4分 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增………5 分法二：由f(x)(x1)ln x ，知f(x)lnx11 x………1分令 h(x)f(x) lnx 11 x(x 0 )，则 h(x)1 x1 x2x x210，h(x)在 (0,)上单调递增………3分Qh(1)ln1 11 10，当x (0,1)时，h(x)0；当x(1,)时，h(x)0………4分 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增………5 分(Ⅱ)不等式 exf(x) x aex等价于 af(x) x ex………7分令g(x)x ex，则g(x)1 x ex，当 0 x 1时，g(x)0，当 x 1时，g(x)0， g ( x)x ex在 (0,1) 上单调递增，在 (1,)上单调递减………9分又Qf (x)在 (0,1) 上单调递减，在 (1,)上单调递增， yf(x) x ex在 (0,1) 上单调递减，在 (1,)上单调递增，即 y f(x)x ex在x1处取得最小值1 e………11 分a1 e，故实数a的取值范围是(,1 e]………12分请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 x y 1 2cos 2sin(为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1, l2的极坐标方程分别为 0 ， 0 2(0 (0, ) )，l1交曲线 E于点A,B ，l2交曲线 E 于点 C, D .(Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；(Ⅱ)求 BC 2 AD 2 的值.解:(Ⅰ)由E的参数方程 x y 1 2cos 2sin(为参数)，知曲线E是以(1,0)为圆心，半径为2的圆，曲线 E 的普通方程为 (x 1)2 y2 4 ………2 分令 x cos ， y sin 得 ( cos 1)2 2 cos 2 4 ，即曲线 E 极坐标方程为 2 2 cos 3 0 ………4 分(Ⅱ)依题意得 l1 l2 ，根据勾股定理， BC2 OB2 OC2 ， AD2 OA2 OD2 ………5 分将 0 ， 0 2代入22 cos30 中，得 2 2 cos030， 22 sin03 0………7 分设点 A, B,C, D 所对应的极径分别为 1, 2 , 3, 4 ，则 1 2 2cos0 ， 12 3 ， 3 4 2sin0 ， 12 3 ………8 分 BC 2 AD 2 OA 2 OB 2 OC 2 OD 2 12 22 32 42 (1 2 )2 212 (3 4 )2 234 4cos2 0 6 4sin2 0 6 16 ………10 分 23.[选修 4─5：不等式选讲](本小题满分 10 分）x 1 2 x已知函数 f (x) 的最大值为 m ．2x 1(Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 a,b, c 为正数，且 a b c m，求证: bc ac ab 1.ab c 解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为{x R | x 1} ，2Q x 1 2 x (x 1) (2 x) 2x 1 ，(x 1)(2 x) 0当且仅当 x1 2，即 1 x 1 或 1 x 2 时取等号………3 分 22 f (x) 2x 1 1，m 1………5 分 2x 1(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a b c 1………6 分Q bc ac 2 bc ac 2c ， bc ab 2 bc ab 2b ， ac ab 2 ac ab 2a ………8 分ababacacbcbc相加得 2(bc ac ab) 2(a b c) ，当且仅当 a b c 1 时取等号………9 分ab c3 bc ac ab 1………10 分 ab c命题人：王锋 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航。
2020届高考江西省九江市二模试题文科数学
绝密★启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{}2|2B x x =<，则A B ⋂=（ ）． A ．{0,1} B ．{1,1}- C ．{1,0,1}- D ．{0} 2．已知复数z 满足(3)10z i -=，则z =（ ）．A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7S =（ ）． A ．7 B ．9 C ．11 D ．144．已知sin 21cos αα=+，则tan α=（ ）． A ．43- B ．34- C ．43D ．25．已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ）．A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a ab a <6．将函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x =的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形，过AC 且与截面ABCD 垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）．A ．1BC ．2D ．8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）．A ．8B ．195 C ．163D ．13 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F ，若存在平行于x 轴的直线l ，与双曲线E 相交于A ，B 两点，使得四边形ABOF 为菱形，则该双曲线E 的离心率为（ ）．A ．1+B 1+CD ．10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）．A ．13 B ．49 C ．59 D ．2311．已知函数()ln ()f x x a x a a R =-+∈有两个零点，则a 的取值范围是（ ）． A ．(,)e +∞ B ．()2,e +∞ C ．()23,e e D ．()22,2e e12．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则（ ）．A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a r ，b r 满足||1a =r，||2b =r ，()a a b ⊥-r r r ，则a r 与b r 的夹角为________．14．设x ，y 满足约束条件220220x y x y y x +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最大值是________．15．ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2228tan a b c C+-=，则ABC V 的面积为________．16．如图，在一个底面边长为2P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足11a =，212a =，122n n n a a a +++=． （Ⅰ）求证：{}1n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分）BM 指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重(kg)/身高(m)的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI 28≥时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的BIM 平均值μ；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11B C BC ∥，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面11A CC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若2AB =，90BAC ︒∠=，求几何体111ABC A B C -的体积． 20．（本小题满分12分）过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l '与直线2y t =相交于点M ．（Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O '与y 轴相交于点N ，且30NMA ︒∠=，求||AM 的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln f x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()xxe f x x ae ≥+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，()00(0,)2πθθθπ=+∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲线E 的普通方程及极坐标方程； （Ⅱ）求22||||BC AD +的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数||1||2||()|21|x x f x x +--=-的最大值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，求证：1bc ac ab a b c++≥．绝密★启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C解：∵{|B x x =<<，∴{1,0,1}A B ⋂=-，故选C ．2．D解：1010(3)33(3)(3)i z i i i i +===+--+，故选D ． 3．D解：法一：由11a =，46S =，得4(41)4162d ⨯-⨯+=，解得13d =，∴77(71)1711423S ⨯-=⨯+⨯=，故选D ． 法二：∵()144462a a S +==，又11a =，∴42a =，∴()17477721422a a a S +⨯===，故选D ． 4．A解：∵22sincossin 22tan 21cos 22cos 2αααααα===+，∴22tan42tan 31tan 2ααα==--，故选A ． 5．B解：法一：∵01a b <<<，∴by x =，ay x =在(0,)+∞上单调递增，xy a =，xy b =在(0,)+∞上单调递减，故选B ． 法二：取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =b b a b <，故选B ． 6．D解：依题意得()2cos 22cos 22sin 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()2sin 2sin sin f x x y x x x x -==4cos x x -=，x k π≠，k ∈Z ，显然该函数为奇函数，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y <，故选D ． 7．C解：∵AC为椭圆的长轴，∴2a =，a =22b =，∴1b =，2221c a b =-=，∴22c =，故选C ．8．C解：依题意得输出S 的值为1，2，3，5，8，13的平均数，即12358131663S +++++==，故选C ．9．B解：如图，由对称性知||||OA OB =，∴OAF V 为边长为c 的等边三角形，∴22c⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线E 上，∴22223144c c a b -=，∴2222234c c a c a -=-，∴222341e e e -=-，解得1e =+，故选B ． 10．C解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选C ． 11．B解：()1(0)2a x a f x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意，当0a >时，0x a <<时，()0f x '<；x a >时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，∴min ()()2ln f x f a a a a ==-，依题意得2ln 0a a a -<，∴2a e >，取1x e =，22x a =，，则1x a <，2x a >，且()1()0f x f e e ==>，()()2222ln (2ln 1)f x f a a a a a a a a ==-+=-+，令()2ln 1g a a a =-+，则2()10g a a'=->，∴()g a 在()2,e +∞上单调递增，∴()22()30g a g e e >=->，∴()20f x >，故a 的取值范围是()2,e +∞，故选B ． 12．B解：正n 边形的中心运动轨迹是由n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2nπ，每段圆弧的半径r 为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长22l n r r nππ=⋅⋅=，圆的中心运动轨迹长也为2r π，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足1234r r r r <<=，∴1234l l l l <<=，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．60︒解：()a a b ⊥-r r r ，∴20a a b -⋅=r r r ，112cos ,0a b -⨯〈〉=r r ，∴1cos ,2a b 〈〉=r r ，∴a r 与b r 的夹角为60︒．14．23解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max 22232333z =⨯-⨯=． 15．2解：由余弦定理知2222cos a b c ab C +-=，∴82cos tan ab C C =，∴sin 4ab C =，∴1sin 2ABC S ab C =V 2=．16．24解：设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =PM=3==，PO ==如图，在截面PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，114PO PO OO R =+==2R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴2R r ==，故小球2O的体积34324V r π==．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由122n n n a a a +++=，得()()2112n n n n a a a a +++-=--，即()21112n n n n a a a a +++-=-- 1分又2112a a -=-，∴21112n n n n a a a a +++-=-- 4分 ∴{}1n n a a +-是以12为首项，12-为公比的等比数列 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知11111222n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分 ∴1112n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21212n n n a a ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…，211(2)2a a n ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加得2211111111121221222233212nn n nn a a --⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+-++-+-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭… 9分又11a =，∴1212211(2)332332nnn a n ⎛⎫⎛⎫=---=--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11分又11a =也符合上式，∴221332nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12分18．解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，BMI 值在[28,30)的人数为0.1220040⨯⨯=，在[30,32)的人数为0.05220020⨯⨯=，在[32,34)的人数为0.025220010⨯⨯= 2分 1000名非高血压患者中，BMI 值在[28,30)的人数为0.0821000160⨯⨯=，在[30,32)的人数为0.032100060⨯⨯=，在[32,34)的人数为0.0052100010⨯⨯= 4分被调查者中肥胖人群的BMI 平均值(40160)29(2060)31(1010)3329.84020101606010μ+⨯++⨯++⨯==+++++ 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，200名高血压患者中，有40201070++=人肥胖，20070130-=人不肥胖 7分 1000名非高血压患者中，有1606010230++=人肥胖，1000230770-=人不肥胖 8分9分221200(70770230130)12.810.8282001000900300K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 11分有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关 12分19．解：（Ⅰ）取BC 的中点E ，连接AE ，1C E ，∵AB AC =，∴AE BC ⊥ 1分 ∵11ABB A 是正方形，∴1BB AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ， 又∵AE Ü平面ABC ，∴1AE BB ⊥ 2分又1,BB BC Ü平面11BCC B ，1BB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面11BCC B 3分∵11B C BE =∥，∴四边形11BB C E 为平行四边形，∴111C E B B A A ==∥∥，四边形11AAC E 为平行四边形 4分 ∴11AE AC ∥，∴11AC ⊥平面11BCC B 5分 又11A C Ü平面11ACC ，∴平面11ACC ⊥平面11BCC B 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求几何体为四棱锥11C AAC E -和直三棱柱111ABE A B C -的组合体 7分 ∵CE AE ⊥，1CE AA ⊥，1,AA AE Ü平面11AAC E ，∴CE ⊥平面1AA CE ，∴四棱锥11C AAC E -E 的体积1113C AA C E V S -=矩形1111142333AA C E CE AA AE CE ⋅=⋅⋅⋅== 9分直三棱柱111ABE A B C -的体积11111112222ABE A B C ABE V S AA BE AE AA -=⋅=⋅⋅⋅=⨯= 11分∴所求几何体111ABC A B C -的体积11111410233C AA C E ABE A B C V V V --=+=+= 12分20．解：（Ⅰ）∵(1,0)A ，(0,)T t ，当0t =时，M 的坐标为(0,0) 1分 当0t ≠时，010l t k t -==--，∴11l l k k t '=-=，∴l '的方程为1y x t t=+ 2分由2y t =得2x t =，∴()2,2M t t 3分 验证当0t =时，也满足()2,2M t t 4分∴M 的坐标满足方程24y x =，即M 的轨迹方程为24y x = 5分（Ⅱ）法一：设()()0000,,0M x y x y >，则2004y x =，001,22x y O +⎛⎫⎪⎝⎭', 圆O '的方程为()()00(1)(0)0x x x y y y --+--= 6分令0x =得2000y y y x -+=，即220004y y y y -+=，02y y =，即00,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭，∴O N x '∥轴 8分∵30NMA ︒∠=，∵60NO A ︒'∠=，∴AM k =AM 的方程为1)y x =- 10分联立21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 整理得231030x x -+=，解得3x =或13x =（舍），即03x = 11分∵A 为抛物线24y x =的焦点，∴0||14AM x =+= 12分 法二：作1O O y '⊥轴于1O ，1MM y ⊥轴于1M ，则()111||2O O MM OA '=+ 6分 又A 为抛物线24y x =的焦点，∴11||2O O MA '=，故圆O '与y 轴相切于点N 8分∵30NMA ︒∠=，∵60NO A ︒'∠=，∴AM k =AM 的方程为1)y x =- 10分联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 整理得231030x x -+=，解得3x =或13x =（舍），即03x = 11分 ∵A 为抛物线24y x =的焦点，∴0||14AM x =+= 12分 21．解：（Ⅰ）法一：由()(1)ln f x x x =-，知1()ln 1 f x x x'=+- 1分 当01x <<时，ln 0x <，110x -<，1ln 10x x +-<，此时()0f x '< 3分 当1x >时，ln 0x >，110x ->，1ln 10x x+->，此时()0f x '> 4分∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 5分法二：由()(1)ln f x x x =-，知1()ln 1f x x x'=+-1分 令1()()ln 1(0)h x f x x x x '==+->，则22111()0x h x x x x+'=+=>，∴()h x 在(0,)+∞上单调递增 3分∵1(1)ln1101h =+-=，∴当(0,1)x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x > 4分∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 5分（Ⅱ）不等式()x xe f x x ae ≥+等价于()xxa f x e ≤- 7分 令()x x g x e =，则1()xxg x e -'=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， ∴()x xg x e=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 9分又∵()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()x xy f x e=-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()x x y f x e =-在1x =处取得最小值1e- 11分∴1a e≤-，故实数a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12分请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．解：（Ⅰ）由E 的参数方程12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），知曲线E 是以(1,0)为圆心，半径为2的圆，∴曲线E 的普通方程为22(1)4x y -+= 2分 令cos x ρθ=，sin y ρθ=得222(cos 1)cos 4ρθρθ-+=， 即曲线E 极坐标方程为22cos 30ρρθ--= 4分（Ⅱ）依题意得12l l ⊥，根据勾股定理，222BC OB OC =+，222AD OA OD =+ 5分 将0θθ=，02πθθ=+代入22cos 30ρρθ--=中，得202cos 30ρρθ--=，202sin 30ρρθ+-=7分设点A ，B ，C ，D 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，3ρ，4ρ，则1202cos ρρθ+=，123ρρ=-，3402sin ρρθ+=-，123ρρ=- 8分∴()2222222222212341212||||||||||||2BC AD OA OB OC OD ρρρρρρρρ+=+++=+++=+-()22234340024cos 64sin 616ρρρρθθ++-=+++= 10分23．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1|2x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭， ∵||1||2|||(1)(2)||21|x x x x x +--≤+--=-，当且仅当(1)(2)012x x x +-≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，即112x -≤<或122x <≤时取等号 3分 ∴|21|()1|21|x f x x -≤=-，∴1m = 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a b c ++= 6分∵2bc ac c a b +≥=，2bc ab b a c +≥=，2ac ab a b c +≥= 8分 相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时取等号 9分 ∴1bc ac ab a b c++≥ 10分 命题人：王峰 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航。
江西省九江市2020届第二次高考模试统一考试文科数学试题
绝密 ★ 启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题60分） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|2}B x x =<，则A B =I ( ) A.{0,1}B.{1,1}-C.{1,0,1}-D.{0}2.已知复数z 满足()103i z -=，则z =(D ) A.3i -- B.3i -+C.3i -D.3i +3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，46S =，则7S =() A.7 B.9C.11D.144.已知sin 21cos aa=+，则tan a =(A)A .43B .34C.43D .25.已知01a b <<<，则下列结论正确的是( ) A.a b b b < B.b b a b <C.a b a a <D.a a b a <6.将函数2cos(2)6y x p =+的图像向左平移6p 个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x=的图像大致为( )DCB A 文科数学试题(官方）7.如图，圆柱的轴截面ABCD 为边长为2的正方形，过AC 且与截面ABCD 垂直的平面 截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为( ) A.1C.2D.8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.8B.195C.163D.139.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1y x E a b-=(0,0a b >>)的右焦点F ，若存在平行于x 轴的直线l ，与双曲线E 相交于,A B 两点，使得四边形ABOF 为菱形，则该双曲线E 的离心率为()A.11+D.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为( ) A.13B.49C.59D.2311.已知函数()ln f x x a x a =-+(R a Î)有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(e,+)¥B.2(e ,)+¥C.23(e ,e )D.22(e ,2e )12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为1234,,,l l l l ，则( ) A.1234l l l l <<< B.1234l l l l <<= C.1234l l l l === D.1234l l l l ==<第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 满足1=a，2=b ，()^-a a b ，则a 与b 的夹角为.15.ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228tan a b c C+-=，则ABC D 的面积为 . 16.如图，在一个底面边长为2P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足11a =，212a =，122n n n a aa +++=． (Ⅰ)求证:1{}n n a a +为等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式．18.(本小题满分12分) BMI 指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重(kg)/身高(m)的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI 28≥时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：2O1OB14.设,x y 满足约束条件220220x y x y y x +-ì-+íî≤≥≥，则32z x y =-的最大值是.(Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值m ；(Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 肥胖 不肥胖 合计高血压非高血压 合计高血压非高血压20.(本小题满分12分)过点(1,0)A 的动直线l 与y 轴交于点(0,)T t ，过点T 且垂直于l 的直线l ¢与直线2y t =相交于点M ． (Ⅰ)求M 的轨迹方程；(Ⅱ)设M 位于第一象限，以AM 为直径的圆O ¢与y 轴相交于点N ，且30NMA Ð=°，求AM 的值． 19.(本小题满分12分)如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B11//B C BC ，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ^平面ABC .(Ⅰ)求证：平面11ACC ^平面11BCC B； (Ⅱ)若2AB =，90BAC Ð=°，求几何体111ABC A B C -的体积.1B21.(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln f x x x =-. (Ⅰ)求()f x 的单调性； (Ⅱ)若不等式e ()e x xf x x a ³+在(0,)+¥上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10分)在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y jj =+ìí=î(j 为参数)，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ,2l 的极坐标方程分别为0q q =，02q q p=+(0(0,)q Îp )，1l 交曲线E 于点,A B ，2l 交曲线E 于点,C D .(Ⅰ)求曲线E 的普通方程及极坐标方程；(Ⅱ)求22BC AD +的值.23.[选修4─5：不等式选讲](本小题满分 10分） 已知函数12()21x x f x x +--=-的最大值为m ．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证:1bc ac ab a b c++³.。
九江市2020年第一次高考模拟统一考试数学试题(理科)(附参考答案)
九江市 2020 年第一次高考模拟统一考试数 学 试 题（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M {x | 1 x 5} ， N {x || x | 2} ，则 M I N (A)A.x | 1 x 2B.x | 2 x 5C.{x | 1 x 5}D.{x | 0 x 2}解:Q N x | 2 x 2 ，M I N {x | 1 x 2}，故选 A.2.设复数 z 满足 z(1 i) 2 ，则 z 在复平面内所对应的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:Q z 2 1 i ，故选 D. 1 irrrrr r rrrr3.已知非零向量 a ， b 满足| a || b | ，则“| a 2b || 2a b | ”是“ a b ”的(C)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:r r rr | a 2b | = | 2a b |r r2 a 2b=r r2 2a br2 ar 4ar br 4b2r =4a2r 4ar br b2，Q|r a||r b|0，r r r r rrrr| a 2b || 2a b | a b 0 a b ，故选 C.2x y 0 4.已知实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 2 ，则 z x 3y 的最大值为(C)x y 0A. 4B. 2C. 14 5D. 0y解:如图，作出可行域，当直线 l : x 3y 0 平移至经过点 A( 2 , 4) 时，3 2551Az x 3y 取得最大值 14 ，故选 C. 5-3 -2 -1 O 1 2 3 x -15.设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知13a3 S13 52 ，则 S9 (B)-2-3A. 9B.18C. 27D. 36解:Q 13a3 S13 13a3 13a7 52 ，a3 a74 ，a5a3 a7 2 2 ，S9 9a5 9 2 18 ，故选B.36.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) ex x ，则 a f (22 ) , b f (log2 9) ，c f ( 5) 的大小关系为（C）A. a b cB. a c bC. b a cD. b c a333解:依题意得 a f (22 ) f (22 ) ，Q 5 22 2 2 3 log2 9 ，当 x 0 时， f (x) 在[0, ) 上单调3递增， f (log2 9) f (22 ) f ( 5) ，即 b a c ，故选 C.7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱 起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到 桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为 1 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为(D) 2A. 1B. 15C. 240D. 12154647294096解：由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率 p 2 (1)3 1 ，得到六爻实际为六次独立重复试验， 24P(x2)C62 (1)2 4 (3)4 41215 4096，故选D.8.已知函数 f (x) Asin(x ) ( A 0, 0, π )的部分图像如图所 2y 21示，若 f (a x) f (a x) 0 ，则 a 的最小值为(A)A. πB. πC. πD. 5π Ox126312解:由图象易知 A 2 ， f (0) 1，即 2sin 1，Q π ， π ，-226由图可知 11π 12π 62kπ(k N*) ，24k 2 ，Q 11T 3 T11 12 11，18 1124 ， 11 4 12由 k 1得 2 ， f (x) 2sin(2x π) ，Q f (a x) f (a x) 0 ， f (x) 关于点 (a, 0) 对称，即6有 2a π kπ ， a kπ π ， k Z ， a 的最小值为 π ，故选 A.62 12129.过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 且斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于点 A, B (点 A 位于第一象限)，交其准线于点 C ，若 BC 3 BF ，且 AF 3 ，则直线 AB 的方程为(A)A. 2 2x y 2 2 0B. 2x y 2 2 0C. 2 2x y 2 0D. 2x y 2 0解:作AA1准线于A1 ，BB1准线于B1 ，FF1AA1于F1.在RtBCB1 中， cosCBB1| |BB1 BC| |y| |BF BC| |1 3，tanCBB122，\l 的斜率为 22，A1F1 AOFxB1B又 BCB1 :AFF1，|AF1|1 3|AF|1，p|A1F1|2，直线 AB 的方程为 y 2 2(x 1) ，即 2 2x y 2 2 0 ，故选 A.10.半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为 1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为(D)A. 8B. 4C. 16D. 20333解:如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图，由三视图可知，该几何体的棱长为 2 ，它是由棱长为 2 的正方体沿各棱中点截去 8 个三棱锥所得到的，该几何体的体积为V 2 2 2 8 1 1 111 20 ，323故选 D.11.定义aba, b,ab ，已知函数 f (x) 1， g(x) 1，ab2 sin2 x2 cos2 x则函数 F(x) f (x) g(x) 的最小值为(A)A. 2B.13C. 4D. 23解:依题意得 F(x) f (x) ， F(x) g(x) ，则 2F(x) f (x) g(x) ,f (x) g(x) 1 1 1 ( 1 1 )[(2 sin2 x) (2 cos2 x)] 2 sin2 x 2 cos2 x 3 2 sin2 x 2 cos2 x1 3(22 cos2 2 sin2x x2 sin2 2 cos2x x)1 3(222 cos2 2 sin2x x2 sin2 2 cos2x x)4 3(当且仅当2 2 cos2 sin 2x x2 sin2 2 cos2x x，即 sin2xcos2x1 2时“ ”成立.此时,f(x)g(x)2 3， 2F ( x)4 3， F (x)的最小值为 2 ，故选 A. 312.在平面直角坐标系xOy中，已知An，Bn是圆x2y2n2uuuur 上两个动点，且满足 OAnuuuur OBnn2 2（ n N* ），设 An ， Bn 到直线 x 3yn(n1)0的距离之和的最大值为an，若数列{1 an}的前n项和 Sn m 恒成立，则实数 m 的取值范围是(B)A. (3 , ) 4B.[ 3 , ) 4C. (3 , ) 2D.[ 3 , ) 2uuuur uuuur 解：由 OAn OBnn2 2可得 AnOBn 120 ，设线段An Bn 的中点为 Cn，则 Cn在圆 x2y2n2 4上，An，Bn 到直线 x 3y n(n 1) 0 的距离之和等于点 Cn 到该直线的距离的两倍.点 Cn 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， an2[ n(n+1） 2n] 2n22n，1 ann21 2n1 (1 2nn1 2)，Sn1 (1 1 1 1 ) 2 2 n 1 n 23 4，m 3 4,故选 B.第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.曲线 y ex (x2 2) 在点 (0, 2) 处的切线方程为 y 2x 2 .解:Q f (x) ex (x2 2x 2) ， f (0) 2 ，又Q f (0) 2 ，所求切线方程为 y 2 2x ，即 y 2x 2 .14. (x 1 2)4 的展开式中 x2 的系数为 28. x解:Q(x 1 x 2)4 = (x2 2x 1)4 x4(x 1)8 x4，展开式中 x2 的系数为 C8228 .15.在三棱锥 A BCD 中，已知 BC CD BD 2AB 2AD=6 ，且平面 ABD 平面 BCD ，则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 48π .解:在等边三角形 BCD中，取 BD 的中点 F ，设等边三角形 BCD 的中心为 O ，连接 AF，CF，OA .由 BC 6 ，得 BO CO DO 2 CF 2 3 ， OF 3 ，3A由已知可得 ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，AF BD,又由已知可得平面 ABD 平面 BCD，AF 平面 BCD， AF OF ，OA OF2 AF2 2 3 ，O 为三棱锥 A BCD 外接球的球心，外接球 BFDO半径 R OC 2 3 ，三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 4π (2 3)2 48π .C16.已知双曲线 C :x2 a2y2 b21(a 0,b 0 )的左右焦点分别为 F1, F2 ，O 为坐标原点，点 M为双曲线右支上一点，若 F1F2 2 OM ， tan MF2F1 2 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为 (1, 5] .解:法一:QF1F2 2 OM，F1MF2π ，4c2 2MF1 2 MF2 2 ， tan MF2F1 MF1 MF2,MF1 2 MF2 2Q MF1 MF22a ，e24c2 4a2 MF1 2 MF2 2 ( MF1 MF2 )2MF2 2 MF1 2 2 MF1 MF2 MF2 2,MF2 2设MF1 MF2t2 ，则e2t2t2 1 2t 11t2 12，t1 t21 25 2，1 e25 ，1e5.t法二：QF1F2 2 OM，F1MF2 π ，令 2MF1 r1 ，MF2 r2 ，MF2F1=，tan 2 ，r1=2c sin，r22c cos， 2ar1 r2 =2c(sin cos )， esin 1 cos，e2（sin1 cos）2=11 sin2=111 2 tan tan2 5 ，1 e 5.三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c ，已知 (a 3b)sin A bsin B csin C .(Ⅰ)求角 C 的值； (Ⅱ)若 sin Asin B 1+ 3 ， c 2 ，求 ABC 的面积．4 解:(Ⅰ)由 (a 3b)sin A bsin B csin C 及正弦定理得 (a 3b)a＋b2 =c2 ，即 a2＋b2 c2 3ab ………2 分由余弦定理得 cosC a2＋b2 c2 3 ………4 分2ab2Q 0 C π ，C π ………6 分 6（Ⅱ）法一：设ABC外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2Rc sin C2 sin π4 ………8分6a 2Rsin A 4sin A， b 2Rsin B 4sin B ，ab 16sin Asin B 4(1 3) ………10 分 SABC1 2absin C1 2 4(13) 1 1 23 ………12 分法二：由(Ⅰ)得 cosC 3 ，即 cos Acos B sin Asin B 3 ，22Q sin Asin B 1+ 3 ，cos Acos B 1 3 ，cos(A B) cos Acos B sin Asin B 1 ………7 分442Q A B ( 5π , 5π) ， A B π 或 B A π ………8 分6633当 A B π 时，又 A B 5π ， A 7π ， B π ………9 分36124由正弦定理得bcsin B sin C2sin π 4sin π22 ………10 分6 SABC1 bcsin 2A1 222 2sin 7π 2 122( 2 1 222 3) 1 223 ………11 分当BAπ 3时，同理可得SABC13 ，故 ABC 的面积为13 ………12 分18.(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知四边形 AA1C1C 为矩形， AA1 6 ， AB AC 4 ，BB1BAC BAA1 60 ， A1AC 的角平分线 AD 交 CC1 于 D .(Ⅰ)求证:平面 BAD 平面 AA1C1C ；C(Ⅱ)求二面角 A B1C1 A1 的余弦值.A解:(Ⅰ)如图，过点 D 作 DE // AC 交 AA1 于 E ，连接 CE, BE ，DC1A1设 AD I CE O ，连接 BO ，Q AC AA1 ，DE AE ，又 AD 为 A1AC 的角平分线，四边形 AEDC 为正方形，CE AD ………1 分又Q AC AE ， BAC BAE ， BA BA ，BAC BAE ，BC BE ………2 分又Q O 为 CE 的中点，CE BO ………3 分z又QAD,BO 平面BAD，ADIBO O ，CE 平面 BAD ………4 分BB1又QCE 平面AA1C1C，平面BAD平面AA1C1C………5分C(Ⅱ)在 ABC 中，Q AB AC 4 ， BAC 60，BC 4 ，O在 RtBOC 中，Q CO 1 CE 2 2 ，BO 2 2 ， 2AEx又 AB 4 ， AO 1 AD 2 2 ，Q BO2 AO2 AB2 ，BO AD ，2又 BO CE ，AD ICEO，AD,CE 平面AA1C1C，BO 平面 AA1C1C，DC1y A1故建立如图空间直角坐标系 O xyz ………6 分uuuuruuuur则 A(2,2,0) ， A1(2, 4,0) ， C1(2, 4,0) ， B1(0,6, 2 2) ， C1B1 (2, 2, 2 2) ， AC1 (4,6,0) ，uuuur C1A1 (4,0,0) ，ur uuuur设平面AB1C1的一个法向量为ur m(x1,y1,z1)，则m ur m Cuu1uBur1 AC1，4 x16y12x1 2 y1 20 2z10，ur 令 x1=6 ，得 m (6, 4, 5 2) ………8 分r uuuur设平面A1B1C1的一个法向量为r n( x2 ,y2 ,z2 )，则n r n Cuu1uBur1 C1 A1，4x2 2x2 0 2 y22，2z2 0r 令 y2 = 2 ，得 n (0, 2,1) ………10 分ur rur r cos m, n mn ur rmn92 102 33 17 17，故二面角AB1C1A1 的余弦值为3 17 17………12分19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : x2 y2 1( a b 0 )的上顶点为 E ，左焦点为 F ，离心率为 2 ，直线 EF 与圆 x2 y2 1a2 b222相切.(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；(Ⅱ)设过点 F 且斜率存在的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，线段 A, B 的垂直平分线交 x 轴于点 P ，试yPF 判断 是否为定值？并说明理由.EAB解:(Ⅰ)如图，Q e c 2 ，a 2c ， b c ………2 分 a2FOx直线 EF 的方程为 x y c 0 ，Q 直线 EF 与圆 x2 y2 1 相切， c 2 ，c 1, a 2,b 1………4 分222椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 ………5 分2(Ⅱ)设 A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) ， P(x0 ,0) ，设直线l:yk(x1)，联立 y k(x x2 y2 2 1) 1，消去y得(2k2 1) x24k2x2k 220， x1x24k 2 2k 2 1，x1x22k 2 2k 22 1………7分 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k2 ( 2k42k21)242k 2 2k 2 2 122(k 2 1) 2k 2 1………9 分法一:Q P 在线段 AB 的垂直平分线上， PA PB ，(x1 x0 )2 y12 (x2 x0 )2 y22 ………①QA, B 在椭圆 C上， y121x12 2，y221x22 2，代入①得 (x1x0 )21x12 2 (x2 x0 )21x22 2，化简得 x01 4 (x1x2 ) ………10分 PFx01=|1 4( x1x2)1||11 44k 2 2k2 1|k 2 1 ………11 分 2k2 1法二:线段AB的中点为(2k 2 2k 2 , 12kk2) 1，线段AB的垂直平分线为k(y2kk2) 1x2k 2k 221，令y0，得x0k 2 ………10 2k 2 1分 PFx0 1|1k2 2k 2 1|k 2 1 ………11 分 2k2 1k2 1PF 2k 2 1 2 ，故 PF 为定值 2 ………12 分AB 2 2(k 2 1) 4AB42k 2 120.(本小题满分 12 分)随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为 1200 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至．少．有 2 套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有．且．只．有．1 套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外 2 套系统进行 1 小时的监测，且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小．时．为．计．量．单．位．）被每套系统监测出排放超标的概率均为 p(0 p 1) ，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(Ⅰ)当 p 1 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； 2(Ⅱ)若每套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按 9000 小时计算)？并说明理由.解:(Ⅰ)Q 某个时间段在开启 3 套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C32(1 2)3C33(1 2)31 2………1分某个时间段在需要开启另外 2 套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C31(1 2)3[1(1)2 2]9 32………2分某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 1 9 25 ………4 分 2 32 32(Ⅱ)设某个时间段环境监测系统的运行费用为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500………5 分Q P( X 1500) C31 p(1 p)2 ， P( X 900) 1 C31 p(1 p)2 ………7 分 E( X ) 900 [1 C31 p(1 p)2 ] 1500 C31 p(1 p)2 900 1800 p(1 p)2 ………8 分令 g( p) p(1 p)2, p (0,1) ,则 g( p) (1 p)2 2 p(1 p) (3 p 1)( p 1) ………9 分当 p (0, 1) 时， g( p) 0 ， g( p) 在 (0, 1) 上单调递增；33当 p (1 ,1) 时， g( p) 0 ， g( p) 在上 (1 ,1) 单调递减………10 分33 g( p) 的最大值为 g(1) 4 ………11 分 3 27实施此方案，最高费用为100 9000 (900 1800 4 ) 104 1150 （万元）， 27Q1150 1200，故不会超过预算………12 分21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) a ln x x ( a R ).(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性；(Ⅱ)若对 x (0, ) ， f (x) ex ax 0 恒成立，求 a 的取值范围.解:(Ⅰ) f (x) a 1 x a ……………1 分xx①当 a 0 时，由 f (x) 0 得 x a ， f (x) 0 得 0 x a ， f (x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, ) 上单调递增…………3 分②当 a 0 时， f (x) 0 恒成立, f (x) 在 (0, +) 上单调递增…………5 分(Ⅱ)法一: 由 f (x) ex ax 0 得 a(x ln x) x ex ，令 s(x) x ex ( x 0 )，则 s(x) 1 ex 0 ，s(x) 在 (0, ) 上单调递减，s(x) s(0) 1，s(x) 0 ，即 x ex 0 …………6 分同理可得 x ln x 0， a x ex (*)………7 分 x ln x当 a 0 时，Q x ex 0 ，(*)式恒成立，即 f (x) ex ax 0 恒成立，满足题意………8 分 x ln x法二:由 f (x) ex ax 0 得 f (x) ax ex ，Q f (ex ) ax ex ， f (x) f (ex ) …………6 分令 s(x) x ex ( x 0 )，则 s(x) 1 ex 0 ，s(x) 在 (0, ) 上单调递减，s(x) s(0) 1，s(x) 0 ，即 x ex …………7 分当 a 0 时，由(Ⅰ)知 f (x) 在 (0, ) 上单调递增， f (x) f (ex ) 恒成立，满足题意………8 分当 a 0 时，令(x) a ln x ex ，则(x) 在 (0, ) 上单调递减，又(1) e 0 ，当 x 0 时，(x) ，r (0,1) ，使得(r) 0 …………9 分当 x0 (0, r) 时，(x0 ) (r) 0 ，即 a ln x0 ex0 …………10 分又 x0 ax0 ， a ln x0 x0 ex0 ax0 ， f (x0 ) ex0 ax0 0 ，不满足题意………11 分综上所述， a 的取值范围是[0, ) …………12 分请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x y 1+ cos 1 cos 2sin 1 cos(为参数).以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 0 (0 (0, π) )，将曲线 C1 向左平移 2 个单位长度得到曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 1 1 的取值范围.OA OB解:(Ⅰ)Qx 1+ cos 1 cos2 cos2 22sin2 cos2 2sin2 ，y 2sin 1 cos4sin cos 22sin2 22 cos 2sin ………1 分22224 cos2 y2 2 sin2 4x ，即曲线 C1 的普通方程为 y2 4x ………2 分2依题意得曲线 C 的普通方程为 y2 4(x 2) ………3 分令 x cos ， y sin 得曲线 C 的极坐标方程为 2 sin2 4 cos 8 0 ………5 分(Ⅱ)法一：将 0 代入曲线 C 的极坐标方程得 2 sin2 0 4 cos0 8 0 ，则124 cos0 sin2 0，128 sin20，Q120 ， 1, 2异号………7分 1 1 1 1 1 2 OA OB 1 212(1 2 )2 412 12(4 cos0 sin2 0)232 sin2 0182sin2 01 sin2 0………9 分0(0,π)θ∈Q ，0sin (0,1]θ∴∈，111(2OA OB ∴+∈………10分 法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=， 则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <Q ，12,t t ∴异号………7分12121221111sin t t OA OB t t t t ϕ-∴+=+====9分 (0,π)ϕ∈Q ，sin (0,1]ϕ∴∈，111(2OA OB ∴+∈………10分 23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．(Ⅰ)若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值；(Ⅱ)若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+．解:(Ⅰ)2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++………1分法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-， 2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n ∴+=-++=-+=-+≥………3分 ()2()f m f n ∴+的最小值为73………4分 此时23m n ==………5分 法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+Q 214=(2)=33m n + ………3分47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73………4分 此时23m n ==………5分 法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++………3分 47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73………4分此时23m n ==………5分 (Ⅱ)1m n -<Q ，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-………7分 又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+………9分 |()()|2(||1)f m f n m ∴-<+………10分。
2020届高考江西省九江市二模试题理科数学
绝密★启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x Z x =∈≥-，{}2|2B x x =<，则A B ⋂=（ ）．A ．{|12}x x -≤<B ．{|1x x -≤<C ．{1,0,1}-D ．{0,1}2．已知复数z 满足(3)10z i -=，则z =（ ）．A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，4152S =，则1a =（ ）．A ．12B ．1CD ．2 4．已知(2,2)P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，抛物线C 的焦点为F ，则||PF =（ ）． A ．2 B ．52 C ．3 D ．72 5．将函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位得到函数()f x ，则函数()sin f x y x x =的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．6．已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ）．A ．log 2log 2a b <B ．log log a b b a >C ．a b a b <D ．a b a b < 7．若254()a a R +∈能被9整除，则||a 的最小值为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．68．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为（ ）．A 1BCD 1+10．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）．A ．38 B ．12 C ．23 D ．3411．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则（ ）．A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<12．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln ||g x x =，()[()]F x f g x =，()[()]G x g f x =，给出以下四个命题：①()y F x =为偶函数；②()y G x =为偶函数；③()y F x =的最小值为0；④()y G x =有两个零点．其中真命题的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①③④D ．①④第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a r ，b r 满足||1a =r，||2b =r ，()a a b ⊥-r r r ，则a r 与b r 的夹角为________．14．设x ，y 满足约束条件220220x y x y y x +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最大值是________．15．如图，在一个底面边长为2P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为________．16．已知单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S S n n ++=+，则首项1a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a b c >>．已知sin cos cos sin A B C B-sin2sin B A =-．（Ⅰ）求证：a ，b ，c 成等差数列；（Ⅱ）若5b =，sin B =a ，c 的值． 18．（本小题满分12分）如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11B C BC ∥，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面11A CC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）若120CAB ︒∠=，二面角111C AC B --为120︒，求1AA AB的值． 19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1AF ，1BF 的中点分别为E ，F ，OEF V 的周长为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设2ABF V 的重心为G ，若||6OG =，求直线l 的方程． 20．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x x x ax a R =+-∈． （Ⅰ）若3a =，求()f x 的单调性和极值； （Ⅱ）若函数1()x y f x e=+至少有1个零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现20:20，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现29:29，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p ；乙发球时，甲得分的概率为q ． （Ⅰ）若23p q ==，记“甲以21:(19,)i i i N ≤∈赢一局”的概率为()i P A ，试比较()9P A 与()10P A 的大小；（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下22⨯列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p ，q 的值．①完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？②已知在某局比赛中，双方战成27:27，且轮到乙发球，记双方再战X 回合此局比赛结束，求X 的分布列与期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表供参考：请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标方程分别为0θθ=，()00(0,)2πθθθπ=+∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲线E 的普通方程及极坐标方程； （Ⅱ）求22||||BC AD +的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数||1||2||()|21|x x f x x +--=-的最大值为m ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，求证：1bc ac ab a b c++≥．绝密★启封并使用完毕前九江市2020届第二次高考模拟统一考试理科数学答案 第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C解：∵{|B x x =<<，∴{1,0,1}A B ⋂=-，故选C ．2．D 解：1010(3)33(3)(3)i z i i i i +===+--+，故选D ． 3．A解：法一：依题意知1q ≠，∴()()214151211512a q a q q⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得()241(1)113q q q +-=-，解得2q =，∴1251212a q ==+，故选A ．法二：依题意得24155522a a +=-=，∴24132a a q a a +==+，∴1251212a q ==+，故选A ． 4．B解：将(2,2)P 代入抛物线C 的方程，可得1p =，则015||2222p PF x =+=+=，故选B ． 5．D解：依题意得()2cos 22cos 22sin 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()2sin 2sin sin f x x y x x x x -==4cos x x -=，x k π≠，k ∈Z ，显然该函数为奇函数，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y <，故选D ． 6．C解：法一：对于选项A ：22221101log log 0log 2log 2log log b a a b a b b a<<<⇒<<⇒<⇔<，错误；对于选项B ：01log log a a a b a b <<<⇒>，log log log 1log b b a b a b b a >⇒<<，错误；对于选项C ：∵01a <<，∴x y a =在(0,)+∞上单调递减，由a b <得，b aa b <；∵0a >，∴ay x =在(0,)+∞上单调递增，由a b <得，a a a b <；∴ab a b <，正确；故选C ．法二：取14a =，12b =，则1log 22a =-，log 21b =-，显然log 2log 2a b >，故A 选项错误；1log 2a b =，log 2b a =，显然log log a b b a <，故B 选项错误；12b a =，1412ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然b a a b <，故C选项正确；2a a =2b b =，显然a b a b =，故D 选项错误；故选C ． 7．BA ．3B ．4C ．5D ．6解：∵252525124232242525254(31)33331a a C C C a +=++=++++++…，其中251242322525333C C +++…能被9整除，∴242531253176C a a a ++=⨯++=+能被9整除，则当4a =-时，||a 最小，且能被9整除，故选B ． 8．C解：依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米，如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=，PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈，tan300.583︒=≈，tan 451︒=，∵0.580.781<<，3045PME ︒︒<∠<，故选C ．9．A解：如图，∵四边形2AOBF 为菱形，∴22||AF OA OF c ===，又∵12F F 是圆O 的直径，∴1AF =，∴1221)AF AF a c -==-，∴1e ==+，故选A ． 10．D解：依题意得所拨数字共有124424C C =种可能．若上珠拨的是千位档或百位档，则有122412C C =种；若上珠拨的是个位档或十位档，则有12236C C =种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=，故选D ． 11．B解：正n 边形的中心运动轨迹是由n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2nπ，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长22l n r r nππ=⋅⋅=，圆的中心运动轨迹长也为2r π，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足1234r r r r <<=，∴1234l l l l <<=，故选B ．12．C解：∵()ln ||ln(ln ||)1F x x x =--，()ln ||ln(ln ||)1()F x x x F x -=----=，∴()F x 为偶函数，①正确；∵()ln |ln 1|G x x x =--的定义域不关于原点对称，∴()y G x =为非奇非偶函数，②错误； ∵11()1x f x x x-'=-=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0f x f ≥=．考查函数()y F x =，令ln ||t x =，()y f t =，则1x <-或1x >，当(1,)x e ∈时，ln ||t x =单调递增，()y f t =单调递减，∴()y F x =单调递减；当(,)x e ∈+∞时，ln ||t x =单调递增，()y f t =单调递增，∴()y F x =单调递增，∴1x >时，∴min()F x ()0F e ==，又()F x 为偶函数，∴(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时，∴min ()0F x =，③正确．考查函数()y G x =，令()0G x =得ln 11x x --=±，∵()0f x ≥，∴ln 11x x --=，又221111f e e⎛⎫=+>⎪⎝⎭，()223f e e =-1>，∴直线1y =与函数()y f x =恰有两个交点，故()y G x =有两个零点，④正确．故选C ．第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．60︒解：()a a b ⊥-r r r ，∴20a a b -⋅=r r r ，112cos ,0a b -⨯〈〉=r r ，∴1cos ,2a b 〈〉=r r ，∴a r 与b r 的夹角为60︒．14．23解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max 22232333z =⨯-⨯=． 15．24解：设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =PM=3==，PO ==如图，在截面PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，114PO PO OO R =+==2R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴2R r ==，故小球2O的体积34324V r π==．16．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解：当1n =时，122S S +=，∴2122a a =-，当2 n ≥时21n n S S n n ++=+，21(1)(1)n n S S n n -+=-+-，两式相减得12n n a a n ++=……①．234a a +=，3122a a =+， 当3n ≥时，12(1)n n a a n -+=-……②，-①②得112n n a a +--=，∴数列{}n a 从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列 ∴数列{}n a 单调递增，则满足12322a a a a <<<+，∴1111222242a a a a <-<+<-，解得1102a <<． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）证明∵sin cos cos sin sin2sin A B C B B A -=-，∴sin cos cos sin sin2A B C B B-=sin()B C -+ 1分∴sin cos cos sin sin2sin cos cos sin A B C B B B C B C -=-- 2分 ∴sin cos 2sin cos cos sin A B B B B C =- 3分 ∵a b c >>，∴cos 0B ≠ 4分∴sin 2sin sin A B C =-，即2sin sin sin B A C =+ 5分 由正弦定理得2b a c =+，即a ，b ，c 成等差数列 6分（Ⅱ）∵sin 14B =，B 为锐角，∴11cos 14B = 7分 ∵5b =，∴10a c +=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得22()2(1cos )b a c ac B =+-+，即22115102114ac ⎛⎫=-+⎪⎝⎭9分 ∴21ac = 10分由1021a c ac a c +=⎧⎪=⎨⎪>⎩得7a =，3c = 12分 18．解：（Ⅰ）取BC 的中点E ，连接AE ，1C E ，∵AB AC =，∴AE BC ⊥ 1分∵11ABB A 是正方形，∴1BB AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ， 2分 又∵AE Ü平面ABC ，∴1AE BB ⊥ 3分又1,BB BC Ü平面11BCC B ，1BB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面11BCC B 4分 ∵11B C BC ∥，且1112B C BC =，∴11B C BE =∥，∴四边形11BB C E 为平行四边形， ∴111C E B B A A ==∥∥，四边形11AAC E 为平行四边形，∴11AE AC ∥ 5分∴11A C ⊥平面11BCC B ，又11A C Ü平面11ACC ，∴平面11ACC ⊥平面11BCC B 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以E 为原点，EC ，AE ，1EC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA a =，∵120CAB ︒∠=，∴1AE =，CE =，则C ，1(0,1,)A a -，1(0,0,)C a，1,)AC a =-u u u r ，11(0,1,0)AC =u u u u r7分 易知平面111A B C 的一个法向量为(0,0,1)m =r8分设(,,)n x y z =r 为平面11CAC 的法向量，由11100AC AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r r r得00y az y +-==⎪⎩， 令x a =，得(n a =r10分∴||1|cos ,|||||2m m m n n n ⋅〈〉===⋅rr r r r r ，解得3a =，∴132AA AB = 12分 19．解：（Ⅰ）∵2c e a ==，∵a = 2分 连接2AF ，2BF ，∵E ，O 分别为1AF ，12F F 的中点，∴1112EF AF =，21||2OE AF =， 同理1112FF BF =，21||2OF BF = 3分 ∴OEF V 的周长为()1122122AF BF AF BF a +++==a =1c = 4分又222b ac =-，∴1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y += 5分 （Ⅱ）∵l 过点1(1,0)F -且斜率不为0，∴可设l 的方程为1x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--= 7分∴12222m y y m +=+，12212y y m ⋅=-+ 8分 ∴()12122422x x m y y m +=+-=-+，又∵2(1,0)F ，∴12121,33x x y y G +++⎛⎫⎪⎝⎭， 即()()22222,3232m m G m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭9分∴()2||32OG m ==+10分632m =+，解得m =11分 ∴直线l 的方程为10x ++=或10x -+= 12分20．解：（Ⅰ）法一：当3a =时，2()ln 3f x x x x x =+-，∴()ln 22f x x x '=+- 1分当01x <<时，ln 0x <，220x -<，∴()ln 220f x x x '=+-<，当1x >时，ln 0x >，220x ->，∴()ln 220f x x x '=+-> 2分 ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 3分()f x 在1x =处取得极小值，极小值为(1)2f =-，无极大值 4分法二：当3a =时，2()ln 3f x x x x x =+-，∴()ln 22f x x x '=+- 1分∵()f x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)ln1220f '=+-=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> 2分 ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 3分()f x 在1x =处取得极小值，极小值为(1)2f =-，无极大值 4分（Ⅱ）∵211()ln x x f x x x x ax e e +=+-+，由21ln 0x x x x ax e +-+=得1ln xa x x xe=++ 5分 令1()ln x g x x x xe =++，则()22221(1)111()1xx x x x xxe x x xe x e x g x x x e x e x e-+++--'=+-== 6分 由()0g x '=得1x xe =．令()xh x xe =，当0x >时，()(1)0xh x x e '=+>，∴()xh x xe=在(0,)+∞单调递增，∵1122h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)1h e =>，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得001x x e = 7分 且当()00,x x ∈时，()1h x <，即10x xe -<，当()0,x x ∈+∞时，()1h x >，即10xxe -> 8分 ∵10x +>，20xx e >，∴当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，∴()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增 9分 ∴()g x 在0x x =处取得最小值()000001ln x g x x x x e =++ 10分 ∵001x x e=，∴()00ln ln10x x e ==，即00ln 0x x +=，∴000011ln 011x x x x e ++=+=，即()01g x = 11分 ∴当1a <时，函数1()x y f x e =+无零点， 当1a ≥时，∵1()ln a g a a a a ae =++>，∴函数1()x y f x e=+至少有1个零点，故a 的取值范围是[1,)+∞ 12分21．解：（Ⅰ）∵甲以21:(19,)i i i N ≤∈获胜，则在这21i +个回合的争夺中，前20i +个回合里，甲赢下20个回合，输掉i 个回合，且最后一个回合必需获胜 1分 ∴()2021202022221133333i iii i ii P A CC ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()21999292133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21101010302133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2分∵()()219929921101010302129!10!20!33319!20!30!2133C P A P A C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭==⨯⨯=⨯⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()910P A P A = 4分（Ⅱ）①22⨯列联表如下： 5分22190(50306050) 5.401009011080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6分∵5.40 3.841>，∴有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” 7分 ②由22⨯列联表知12p =，23q =，此局比赛结束，比分可能是29:27，30:28，30:29，∴2,4,5X = 8分若比分为29:27，则甲获胜概率为211323⨯=，乙获胜概率为111339⨯=，∴114(2)399P X ==+=， 若比分为30:28，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率212112111323233226⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率2111121123233332327⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴1213(4)62754P X ==+=， 若比分为30:29，则41317(5)1(2)(4)195454P X P X P X ==-=-==--=，∴X 的分布列为11分 ∴413171852459545454EX =⨯+⨯+⨯=12分 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：（Ⅰ）由E 的参数方程12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），知曲线E 是以(1,0)为圆心，半径为2的圆，∴曲线E 的普通方程为22(1)4x y -+= 2分 令cos x ρθ=，sin y ρθ=得222(cos 1)cos 4ρθρθ-+=， 即曲线E 极坐标方程为22cos 30ρρθ--= 4分（Ⅱ）依题意得12l l ⊥，根据勾股定理，222BC OB OC =+，222AD OA OD =+ 5分 将0θθ=，02πθθ=+代入22cos 30ρρθ--=中，得202cos 30ρρθ--=，202sin 30ρρθ+-=7分设点A ，B ，C ，D 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，3ρ，4ρ，则1202cos ρρθ+=，123ρρ=-，3402sin ρρθ+=-，123ρρ=- 8分∴()2222222222212341212||||||||||||2BC AD OA OB OC OD ρρρρρρρρ+=+++=+++=+-()22234340024cos 64sin 616ρρρρθθ++-=+++= 10分23．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1|2x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭， ∵||1||2|||(1)(2)||21|x x x x x +--≤+--=-，当且仅当(1)(2)012x x x +-≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，即112x -≤<或122x <≤时取等号 3分 ∴|21|()1|21|x f x x -≤=-，∴1m = 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a b c ++= 6分∵2bc ac c a b +≥=，2bc ab b a c +≥=，2ac ab a b c +≥= 8分 相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时取等号 9分 ∴1bc ac ab a b c++≥ 10分 命题人：王峰 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航。