人教版高中数学选修2-1第二章 2.1曲线与方程同步教案(基础)

学生姓名性别年级学科数学

授课教师上课时间年月日第（）次课

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教学课题人教版选修2-1第二章 2.1曲线与方程同步教案（基础）

教学目标知识目标：掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．

能力目标：通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养综合运用各方面知识的能力．情感态度价值观:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．

教学重点与难点重点：曲线轨迹方程

难点：曲线与方程关系与联系

教学过程

（一）曲线的方程、方程的曲线

知识梳理

在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

练习：在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．

问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？

提示：|P A|＝x－22＋y2.

问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？

提示：x－22＋y2＝x＋22＋y2.

问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？

提示：轨迹是一条直线．

1．求曲线的方程的步骤

2．解析几何研究的主要问题

(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．

(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．

正确理解曲线与方程的概念

(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．

(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．

例题精讲

[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．

巩固训练

1．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C B ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程

D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 2.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0

C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0

D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0

例题精讲

[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.

(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m

2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．

巩固训练

3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上

4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (1

2，3)，则a ＝________，b ＝________.

5．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围．

例题精讲

[例3] 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．

巩固训练

6．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．

【方法技巧】

1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．

2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．

课后作业

【基础巩固】

1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )

3．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1

D ．(x ＋3

2

)2＋y 2＝1

4．方程x 2＋y 2－3x －2y ＋k ＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k ＝________.

5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A ―→·PB ―→＝x 2，则点P 的轨迹方程是________． 6．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0表示的曲线． 【能力提升】

7．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )