§6.3.1特殊的平行四边形(1)
B
C
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目标检测:
随堂练习
ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O，△AOB 已知 是等边三角形, 求∠BOC的度数. A D
解:
O
B
C
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主要内容： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 1、矩形的定义： 2、矩形的性质： 矩形的对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角. 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
矩形是轴对称图形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.
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练一练
1. 矩形的短边长为3cm,两对角线所成的钝角是120 °, 6cm 则它的对角线长是_______.
2.判断题
2 3
(1).矩形是平行四边形( ) (2).矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的 等腰三角形( )
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义务教育课程标准实验教科书数学· 九年级· 上册（泰山版）
八年级数学(下)第六章：特殊四边形
1.什么叫平行四边形？
两组对边分别平 行的四边形叫做 平行四边形 平行四边形 . 具有四边形的
一般
一切性质
2. 平行四边形与四边形 有什么关系？
D
A
特殊
B C
3.平行四边形有哪些性质？ ①边: 对边平行且相等. ②角: 对角相等且邻角互补. ③对角线: 互相平分.
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阅读课文第17页到第19页，思考以下问题： 1、什么叫矩形？ 2、矩形有哪些性质定理和推论？ 3、矩形有哪些判定定理？
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1. 矩形：
α
α
α
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
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2. 矩形的性质： 矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等. 性质定理的推论：直角三角形斜边上的中线 等于斜边长的一半.
6.3.1特殊的平行四边形(1)导学案青岛版八年级数学下册
6.3.1特殊的平行四边形（1）班级姓名小组【学习目标】1、通过研读P17P18，经历探索并掌握矩形的概念，理解矩形与平行四边形的关系；2、通过研读P18P19，掌握矩形的性质，会用矩形的性质进行有关的论证和计算；3、通过研读P19P20，掌握直角三角形的性质定理2，并能进行有关计算。
【重、难点】重点：熟练掌握并应用矩形的定义与相关性质。
难点：能够灵活运用矩形的性质进行简单的计算和证明.【教学流程】（一）导（1min）（二）学（6min）1. 知识链接：四边形的不稳定性，平行四边形的性质2. 自学教材自学指导：根据学习目标研读课本P6P8，涉及的知识用黑色笔进行勾画. 研读例题时，对于有疑问的地方用红笔做好标记.自学要求：坐姿端正，零抬头，零发呆，认真研读课本.3注意事项：1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。
2）矩形的定义中不要忽略平行四边形这个条件。
4. 思考问题：矩形具有哪些性质？5. 探究未知：写下你的疑惑①②(三）测（9min）【基础题目】1．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是30°，则两条对角线所夹锐角的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．一个矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个夹角为120°，则这个矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．4.在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠AOB＝2∠BOC，AC＝18cm．求AD的长．【提高题目】5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，CE是高．求证：∠ACE＝∠BCD．6．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE＝2∠BAE，求证：DE＝3BE．【迁移运用】7．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°，过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，求证：（1）AC∥DE：（2）△DCE≌△ABF；（3）四边形BCEF是平行四边形．（四）议（5min）小组合作：自学教材中疑惑的地方、自测题中未解决的问题；要求：站姿端正，手捧书本，先3人或2人一组讨论，解决不了的再小组讨论.（五）展示设计（10min）要求：展示用语规范、板书工整口展：1、2、3、4板展：5、6、7（六）归纳总结1.知识点：1）矩形定义：有一个角是的叫做矩形。
第6章 特殊平行四边形与梯形
第6章特殊平行四边形与梯形本章是上一章《平行四边形》的深化且延续，从知识体系上看从旋转变换定义了中心对称图形平行四边形以后，从角的特殊性（直角）、从边的特殊性（等边）得到矩形和菱形；从对图形研究的角度看，推理论证在这一章中得到加强与深化，进一步要求学生能清晰、有条理表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．同时通过“合作学习”等形式，让学生自主探索这些基本图形的性质及其相互关系，从而丰富对空间图形的认识和感受．应该指出的是：在本套教材中，几何推理证明到此已达到最高要求，根据《数学课程标准》，在后续九（上）《圆的基本性质》《相似三角形》，九（下）《直线与圆、圆与圆的位置关系》等章内容中，除了进一步巩固书写格式、继续训练学生运用数学语言合乎逻辑进行交流讨论外，不再提出其他更高的要求．本章的主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和四边形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的条件．有些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅．本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升．特殊平行四边形与梯形的概念与性质是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，学生要正确理解证明的本身，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点．本章教学时间约需14课时，具体安排如下：6.1 矩形3课时6.2 菱形 2课时6.3 正方形 1课时6.4 梯形 2课时课题学习简单平面图形的重心 1课时复习、评估3课时，机动使用1课时，合计13课时一、教科书内容和课程教学目标(1) 本章知识结构框图如下：(2) 本章教学要求①在动手操作（摆火柴棒、折纸）过程中加深对矩形、菱形、正方形的概念、对称性及其他有关性质的理解，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件．②探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件．③通过交流、讨论、归纳梳理出各个概念的从属关系，各个性质和判定的相互联系与区别，培养学生概括能力，进行矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中的客观规律教育．④探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心），培养学生动手操作能力．⑤了解矩形、菱形、正方形是中心对称图形．欣赏现实生活中的轴对称性与中心对称图形．并了解它们之间的关系．(3) 本章教材分析1．本章的主要内容是特殊平行四边形与梯形，课本从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形．教师可以再补充一些日常生活中的具体的事例，以加深对这些基本图形的认识与理解．2．矩形、菱形、正方形、梯形之间存在一定区别与联系，矩形、菱形和正方形都是一类特殊的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，而菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．梯形不是特殊的平行四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形．只有搞清楚它们之间的关系，才能更好把知识学好．可以抓住平行四边形这条主线，搞清楚它们之间的区别与联系．3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣．还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性．对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质．同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．这些不仅是学习好本章的关键，对于学好整个平面几何各章也是很重要的．4．在教学中应注重对证明本身的理解，虽然前面已有接触，但学生还不熟练，这需要一个过程．因此，教学中不要过分追求证明的数量和技巧，要控制一定的难度，控制在《标准》所规定的范围内．二、本章编写特点（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的实物原型到平面图形，再到基本图形——矩形、菱形、正方形、梯形，从而更好地“把握图形”．在本章教科书的许多地方，如菱形、梯形概念的引入，基本图形的性质与判定的探究，以及合作学习、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形，最终达到用图形解决现实生活中的实际问题．（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立图形观念．学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，让学生在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形等．比如利用火柴棒首尾相接摆成平行四边形，再通过观察思考这个平行四边形的特点，从而引出矩形、菱形的概念．再比如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法等．通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流．其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想像能力．（三）重视几何语言与证明思想的培养和训练在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程．首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形，并从几何图形中抽象出文字和符号．其次，教科书重视几何证明的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上培养证明思想，从而解决几何证明的有关问题．例如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法．这样通过学生自己动手探究出判定菱形的方法，实现了“几何模型→图形→文字”的过程，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．因此，教学中应重视对学生几何语言的培养，这对学习几何证明非常重要．另外，几何证明也是训练学生几何语言的一种非常有效的方法，正确的几何证明也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的证明，注重对证明本身的理解．三、教学建议（一）注意与前两个学段的衔接这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”——特殊平行四边形与梯形的有关内容和要求，并了解它们与这一部分内容的联系与区别．从《数学课程标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识长方形、正方形、梯形等几何图形，并对这些几何图形进行有关的计算．在这一章，要通过丰富的实例，认识基本图形（矩形、菱形、正方形和梯形）之间的关系，通过对平行四边形的进一步的探究，从而发展几何直觉；进一步认识这些基本图形的概念和一些性质，并能初步利用数学语言加以论证并应用．了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复．（二）把握好教学要求在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征．这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程．例如对于判定菱形的方法，教科书中先利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．而课后让学生在作业中模仿教材中的证明，关键是注重对证明本身的理解，决不能片面追求证明的数量和技巧．对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养既集中在“空间与图形”中，又结合各领域中适宜的内容自然地进行．在本章，由于已经进入第三学段的后半段，已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“用符号表示推理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质的得出都通过说理来加以论证．但要控制一定的难度，证明的要求控制在《数学课程标准》所规定的范围内．（三）重视现代信息技术的应用现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力和学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一．在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，可以帮助学生在动态变化的图形中寻找图形的性质，从而发现解题思路．比如，通过《几何画板》动态演示四边形的变化过程，帮助学生寻找基本图形之间的联系，体会它们之间的内在含义．同时，也鼓励学生自己利用信息技术工具，来丰富自己的知识，提高自己的认识．（徐鸿斌）。
第1课时 平行四边形的判定(1)
归纳小结
A
D
O
B
C
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
AD∥BC AB∥DC
四边形ABCD是平行四边形
A
D
O
B
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
AD = BC AB = DC
四边形ABCD是平行四边形
A
D
O
B
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
AD∥BC AD = BC
四边形ABCD是平行四边形
例1 已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为AD 和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = CB（平行四边形的Байду номын сангаас边相等），
AD∥CB（平行四边形的定义）.
∵E，F 分别是AD和CB的中点，
GH=1/2CD，GH∥CD. ∴EF∥GH，EF=GH. ∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
平行四边形的判定方法： 定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课后作业
1.完成课本P142-143 习题6.3， 2.完成练习册本课时的习题.
声明
A B
D
解：AD∥BC或AB=CD C
3. □ ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分
别是OA、OB、OC、OD的中点。四边形EFGH是平 行四边形吗？为什么？
答：四边形EFGH是平行四边形. 理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. 又∵点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ∴EF=1/2AB，EF∥AB.
特殊的平行四边形——菱形的定义与性质
6.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是 ______. 7.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度， 若BD＝6cm，则菱形的周长是（ ） D
C
A A.3cm B.12cm C. 6cm D.4cm B
O
C
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 A ∠DAE=2∠BAE， D 求证：EB=OA； O
= AC×BD
C 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对 角线能 计算菱形的面积公式吗?
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
2
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别 是6cm和8cm，求菱形的面积。
D A O B C
S菱形ABCD
1 AC BD 2
24
D O
A
C
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
已知：在
ABCD 中，AC ⊥ BD B
A
∟
求证： ABCD 是菱形
证明：
O C
D
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵AC⊥BD;
∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
判定方法3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D AC⊥BD B C B C A D
□ABCD
菱形ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
初中数学青岛版八年级下册第6章 平行四边形6.3特殊的平行四边形-章节测试习题(8)
章节测试题1.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解答.【分析】首先根据定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到∠DAC=∠CAE，然后证明∠DAC=∠DCA，可得到DA=DC，再根据菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论．【解答】是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，证明∠DAC=∠DCA是解此题的关键．2.【题文】如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．【答案】见解答.【分析】（1）根据中位线的判定GH=EF= AB，EH=FG= CD，所以四边形EFGH是平行四边形．（2）根据菱形的判定，四边都相等的四边形是菱形，只要证明EF=FG=GH=HE就可以了，这就需要AB=CD这个条件．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF= AB；GH∥AB，GH= AB．（2分）∴EF∥GH，EF=GH．∴四边形EFGH是平行四边形．（2分）（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．（1分）理由：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，∴EF= AB，HG= AB，FG= CD，EH= CD，又∵AB=CD，∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．（3分）【点评】此题考查了三个判定：平行四边形的判定、菱形的判定、中位线的判定，牢记这几个判定，解此类问题就轻而易举了．3.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作A G∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【答案】见解答.【分析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BCE，F分别为AB，CD的中点，∴BE= AB，DF= CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE= AB=AD，而∠DAB=60°∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°故∠ADB=90°∴平行四边形AGBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是弄清菱形及矩形的判定方法．4.【题文】如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解答.【分析】（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠DAC= ∠FAC，∵∠B+∠BCA=∠FAC，∴∠B= ∠FAC，∴∠B=∠FAD，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．5.【题文】已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案】见解答.【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE=DF；（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC（正方形四条边相等），∵BE=DF（已证），∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），即CE=CF，在△COE和△COF中，，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．【点评】本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．6.【题文】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．【答案】见解答.【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，再由AB∥CD，得∠EAC=∠DCA，AC平分∠BAD，得∠DAC=∠CAE，从而得到∠ACD=∠DAC，即AD=DC，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【解答】证明：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．（3分）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，（4分）又∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=∠DAC，（5分）∴AD=DC，（6分）∴四边形AECD是菱形．（8分）【点评】考查了平行四边形和菱形的判定，比较简单．7.【题文】两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A 1 B 1 C 1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C 1 =90°，∠ABC=∠A 1 B 1 C 1 =60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．（1）在图②中，连接BC 1、B 1 C，求证：△A 1 BC 1≌△AB 1 C；（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B 1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB 1 C 1是菱形？说明理由．【答案】见解答.【分析】利用全等三角形的性质得出一些条件，然后再进行证明．【解答】（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A 1 B 1 C 1）是两块完全相同的三角板，∴AC=A 1 C 1 AB=A 1 B 1∠A=∠A 1∴在图②中A 1 B=AB 1∴△A 1 BC 1≌△AB 1 C．（2）解：点B 1落在AB边的中点．理由如下：如图②所示，由已知条件知BC=B 1 C 1，BC∥B 1 C 1∴四边形BCB 1 C 1是平行四边形．要使四边形BCB 1 C 1是菱形，则BC=CB 1∵∠ABC=∠A 1 B 1 C 1 =60°，∴△BCB 1为等边三角形．∴BB 1 =B 1 C=BC，又∵∠A=30°，在直角三角形ABC中，BC= AB，∴BB 1 = AB，∴点B 1落在AB边的中点．【点评】（1）灵活把握题中隐含的条件是解题的关键．（2）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．8.【题文】将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．【答案】见解答.【分析】第一次折叠，AC落在AB边上，则折痕AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD；第二次折叠，A、D重合，则∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA；AE=ED、AF=FD；易证得△AED≌△AFD，得AE=AF、DE=DF，再根据第二次折叠所得到的AE=DE、AF=FD，可证得四边形AEDF的四边相等，由此可判定四边形AEDF是菱形．【解答】证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1=∠2（2分）由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF，∵AE=ED，AF=FD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4（4分），在△AED与△AFD中1=∠2，AD=AD，∠3=∠4∴△AED≌△AFD（ASA）（6分）∴AE=AF，DE=DF，∴EO=FO，AO=DO，AD⊥EF，故四边形AEDF是菱形．（9分）【点评】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法．9.【题文】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．【答案】见解答.【分析】（1）首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．（2）连接OE，通过证四边形BOEC是平行四边形，得OE=BC；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形ODEC的面积．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．（2分）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，（3分）又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（4分）（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，（5分）又∵BC⊥CD，∴OE∥BC（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形；∴OE=BC=8（7分）∴S 四边形OCED = OE•CD=×8×6=24．（8分）【点评】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．10.【题文】如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．【答案】见解答.【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE=∠F；在等腰△BEP中，∠E=∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论；（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD=∠E，∠ADB=∠F；由（1）知∠E=∠F，等量代换后可证得∠ABD=∠ADB，即AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC∥AF，∴∠1=∠F，∵BE=BP，∴∠E=∠1，∴∠E=∠F；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠E，∠3=∠F，∵∠E=∠F，∴∠2=∠3，∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形．11.【题文】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．【答案】见解答.【分析】要证明四边形AEOF是菱形，可根据“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．【解答】证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE= AB，AF= AD （2分），又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AF （4分），又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线．（6分）∴OE∥AD，OF∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形（8分），∵AE=AF，∴四边形AEOF是菱形．【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．12.【题文】某同学用两个完全相同有一个角为60°的直角三角尺重叠在一起（如图）固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移，当D移至AB中点时（如图②）．（1）求证：△ACD≌△DFB；（2）猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．【答案】见解答.【分析】（1）根据已知可以得出∠CAB=∠FDE，AC=DF，BD=AD，即可得出△ACD≌△DFB；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；【解答】（1）证明：∵两个完全相同有一个角为60°的直角三角尺重叠在一起（如图②）固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移，∴∠CAB=∠FDE=60°，AC=DF，∵D移至AB中点时，∴BD=AD，∴在△ACD与△DFB中，，∴△ACD≌△DFB；（2）菱形．理由：∵在直角三角形ABC中，AD=BD，∴CD=AD=BD，根据平移的性质，图形平移前后对应线段相等，对应点平移距离相等，得到CF=BD，BF=CD，∴CF=BD=BF=CD，∴四边形CDBF是菱形；【点评】此题主要考查了菱形的判定，综合运用直角三角形的性质和平移的性质进行分析计算，考查学生综合运用数学知识的能力．13.【题文】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．【答案】见解答.【分析】（1）由CE、BF的内错角相等，可得出△CED和△BFD的两组对应角相等；已知D是BC的中点，即BD=DC，由AAS即可证得两三角形全等；（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．【解答】证明：（1）∵CE∥BF，∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；又∵D是BC的中点，即BD=DC，∴△BDF≌△CDE；（AAS）（2）∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），由（1）知：△BDF≌△CDE，则DE=DF，DB=DC；∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及菱形的判定方法．14.【题文】如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD，在底边AB上截AE=CD．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】见解答.【分析】（1）根据四边形ABCD是梯形得到AB∥DC，从而得到∠DCA=∠EAC，利用EC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC，从而∠DAC=∠DCA，所以AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形AECD是菱形；（2）利用若点E是AB的中点，得到AE=BE，根据CE=AE，得到CE=BE，从而得到△ABC为直角三角形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是梯形，∴AB∥DC，又∵AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形．∴∠DCA=∠EAC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形AECD是菱形；（2）解：∵若点E是AB的中点，∴AE=BE，∵CE=AE，∴CE=BE，∴∠EBC=∠ECB，∠EAC=∠ECA∴∠ECB+∠ECA=90°∴△ABC为直角三角形．【点评】本题考查了梯形的性质及菱形的判定，解题的关键是熟知梯形的性质，并理解其基本辅助线的作法．15.【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C 1点的位置，连接AC 1．求证：四边形ABDC 1是菱形．【答案】见解答.【分析】要证四边形ABDC 1为菱形，则要通过题中的条件证出四边相等即可得出答案．【解答】证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°∴BA= AC．又∵BD是斜边AC的中线，∴BD=AD= AC=CD．∴BD=AB=CD，∴∠C=∠DBC=30°，∵将△BCD沿BD折叠得△BC 1 D，∴△CBD≌△C 1 BD，∴CD=DC 1，∴AB=BD=DC 1，∴∠C 1 BA=∠BC 1 D=30°，∴BA∥DC 1，DC 1 =AB，∴四边形ABDC 1为平行四边形，又∵AB=BD，∴平行四边形ABDC 1为菱形．【点评】此题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．16.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．【答案】见解答.【分析】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等；（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF 是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．证明：由△ABE≌△CDF，得AE=CF，在平行四边形ABCD中，AD平行BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法．17.【题文】如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）若AC=BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．【答案】见解答.【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边进行证明；（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明．【解答】（1）证明：方法一：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC，DE= AC，CF= AC．（3）分∴DE∥CF，DE=CF．∴四边形DECF是平行四边形，5分）方法二：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC，DF∥BC，（3分）∴四边形DECF是平行四边形．（5分）（2）解：四边形DECF是菱形（6分）理由：∵E、F分别是边BC、CA的中点，∴CE= BC，CF= AC，又∵AC=BC，∴CE=CF．（8分）由（1）知，四边形DECF是平行四边形，∴四边形DECF是菱形．（10分）【点评】考查了平行四边形和菱形的判定．形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．18.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠BAE=∠DCF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC⊥EF，试判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．【答案】见解答.【分析】（1）平行四边形的对边相等，对角相等，即∠B=∠D，AB=CD，根据已知给出的∠BAE=∠DCF，可证明两个三角形全等．（2）可先证明四边形AECF中对角线的关系，根据AC⊥EF，从而判断出到底是什么特殊的四边形．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴∠B=∠D，AB=CD，又∵∠BAE=∠DCF．∴△ABE≌△CDF；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴BC-BE=AD-FD，∴EC=AF，∵AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，∠CEF=∠AFE，∴△AOF≌△COE，∴AO=CO，EO=FO，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的对边平行且相等，对角相等，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．19.【题文】△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE 是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．【答案】见解答.【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等；②四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，进而证明∠ABE=∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；（2）根据（1）的思路解答即可．（3）当CD=CB时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE=CD，再证明BE=CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．【解答】证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（2）①②都成立．（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD又∵CD=CB，∴BE=CB．由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB∴CD=CB．方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．【点评】本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．20.【题文】如图，在△ABC中，AB=2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°，得到△CFE．试判断四边形BCFD的形状，并说明理由．【答案】见解答.【分析】四边形BCFD应该是菱形，要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明它是一组邻边相等的平行四边形即可，此题实际是对判定菱形的方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的证明．【解答】解：四边形BCFD是菱形，理由如下：∵点D、点E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE= BC，又∵△CFE是由△ADE旋转而得，∴DE=EF，∴DF∥BC，DF=BC，∴四边形BCFD是平行四边形，又∵AB=2BC，且点D为AB的中点，∴BD=BC，∴BCFD是菱形．【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．还有就是本题中一组邻边相等的平行四边形是菱形．。
最新北师大版数学八年级下册《平行四边形的判定(1)》优质教学课件
第1课时 从四边形边的角度判定平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
边
平行四边形的两组对边分别平行。 平行四边形的两组对边分别相等。
平行四边形的性质：
角
平行四边形的对角相等。 平行四边形的邻角互补。
对角线 平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形是中心对称图形，
解：AB//CD//EF,AC//BD,CE//DF
A
理由如下：
∵ AC=BD,AB=CD
B
∴四边形ABDC是平行四边形
∴AB//CD,AC//BD
∵ DC=EF,CE=DF ∴四边形CDFE是平行四边形 ∴CE//DF,CD//EF ∴AB//CD//EF
DC
E
DC
F
活动2：议一议
1.取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根 细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
E
D
B
F
C
检测三： 习题6.3 第3题
1、知识层面
课堂小结
判定 文字语言 图形语言
几何语言
两组对边分别平行 A
定义法 的四边形是平行四
边形
B
两组对边分别相等 A
定理一 的四边形是平行四
边形 一组对边平行且
B A
定理二 相等的四边形是
平行C ∴四边形ABCD是平行四边形
否在平面内将这四根细木条首尾顺次相接搭成一个平行四边形？说说你的 理由，并与同伴交流.
定猜想理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
D
几何语言：
平行四边形性质(一)
做一做 证明:平行四边形的对角线互相平分 证明 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对角线互相平分 已知:如图 四边形 是平行四边形, 已知 如图,四边形 如图 四边形ABCD是平行四边形 是平行四边形 对角线AC,BD相交于点Ｏ. 相交于点Ｏ 对角线 相交于点 求证:OA=OC,OB=OD. 求证
A D O N 1 3
D
B
E
C
如图,在 例2. 如图 在 ABCD中, BE⊥CD, 中 ⊥ BF⊥AD, ∠ADC=120°,CE=2,AF=3. ⊥ ° 求此平行四边形的周长及面积. 求此平行四边形的周长及面积
D F
30° °
E
C
A
B
A
D
练习一
1.在 ABCD中, 在 中
B C
(1)若∠A=50°,则∠B= ,∠C= 若 °则 ∠ (2)若∠A+∠C=80°,则∠A= 若 ∠ °则 (3)若∠A-∠B=80°,则∠A= 若 ∠ °则 (4)若∠A=∠B+∠D,则∠A= 若 ∠ ∠ 则
平行四边形的性质: 平行四边形的性质 (1)平行四边形的两组对边平行且相等 平行四边形的两组对边平行且相等; 平行四边形的两组对边平行且相等 (2)平行四边形的对角相等 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角相等 (3)平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分
研究平行四边形的主要辅助线是对角 线,它把平行四边形分成成两个全等三角 形,进而将平行四边形内的线段或角的相 等问题转化为三角形全等的问题. 等问题转化为三角形全等的问题. 本节课在证明过程中所运用到的数学 思想方法有:归纳、类比、转化等． 思想方法有:归纳、类比、转化等．
3
D
2 4 1
6.3 特殊的平行四边形-矩形(第1课时)教学设计
6.3 特殊的平行四边形-矩形（第1课时）教学设计学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习重难点：重点：矩形的性质定理及应用。
难点：直角三角形斜边上中线的性质与应用。
课前预习学案1、平行四边形的性质：（1）边：_____________________；（2）角：_______________；（3）对角线：____________；（4）对称性：_____________________。
2.矩形的定义：有一个角是________的平行四边形叫做矩形。
3.矩形的面积：设矩形的两邻边长为a、b,则矩形的面积为。
4、直角三角形的性质：（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是。
（2）直角三角形中，斜边上的________等于斜边的_________。
课内探究学案自主学习自学教材P17——19内容完成以下题目：1、叫做矩形。
2、从矩形的定义可以探究矩形具有的性质：（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“角”上的性质是_____________________________________________. 特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________. 有效训练：总结：矩形的性质：（1）边：矩形的对边_____________________；（2）角：矩形的四个角都是_______________；（3）对角线：矩形的对角线；_____________________；（4）对称性：矩形既是________图形，也是__________对称图形；合作探究探究一：证明：矩形的对角线相等。
已知：如图，四边形ABCD是矩形。
求证：AC＝BD。
证明：OAB CD探究二：已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O 。
6.3特殊的平行四边形(1)
6.3特殊的平行四边形（1）——矩形的性质一、教学目标：1.知识与技能：使学生掌握矩形的概念、性质；掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质；并能应用矩形的性质、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质进行有关证明和计算。
2．过程与方法：经历矩形的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的探索和证明过程，进一步培养学生的探索精神；发展学生的合情推理和演绎推理能力。
3．情感态度价值观：通过本节的探究学习，加深学生对矩形的认识，使学生体验成功的快感，激发学生的探索精神。
二、教学重点难点：重点：矩形及直角三角形斜边上中线的性质定理难点：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的证明及矩形的性质、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的灵活应用。
三、教学方法：合作探究，交流展示。
四、教具准备：1、平行四边形框架（可变形），2、矩形纸片，3、课件，4、直角三角板，5、电脑。
五教学活动过程：（一） 情景导入1. 教师展示一个活动的平行四边形教具：让平行四边形的一个内角任意变化，变化后得到的四边形还是一个平行四边形吗？为什么？2. 当平行四边形的一个内角变化为直角时停止，让学生观察这时的平行四边形是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．（二）、实验探究活动一、探究矩形的对称性对折你手中的矩形纸片，你发现矩形是轴对称图形吗？矩形有几条对称轴？矩形的对称轴是经过哪两点的直线？（师生一道边折叠边得性质） 活动二、探究“矩形四个角都是直角”性质沿矩形纸片的对称轴对折矩形纸片，你发现矩形的四个角有什么性质？证明你发现的结论。
（学生交流后，一学生口述其证明过程，师生订正后，教师，投影显示证明结果供学生参考）。
活动三、探究“矩形的两条对角线相等”性质画出你手中的矩形纸片的对角线，度量并比较它们的长度，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？（学生交流后，一学生板演，然后让学生们评判纠错） 活动四、再认识矩形（为引入并证明直角三角形的性质定理2和后继的练习做铺垫）1、 结合已经学习的平行四边形的对角线性质、“矩形两条对角线相等”的特性，对矩形的对角线你又有什么新认识？（OA=OB=OC=OD= AC= BD ） 2、 矩形的对角线把矩形分成了几个等腰三角形？2121活动五、探究直角三角形的性质定理21在矩形ABCD 中，若将AD 、CD 、OD 边隐藏，其余条件不变，则有在直角三角形ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，你发现BO 与AC 之间有怎样的数量关系？由此你发现了什么结论？3、 怎样证明你发现的结论呢？（注意保留上图，让上图和将AD 、CD 、OD 边隐藏后得到的直角三角形并排显示。
2022春八年级数学下册第六章特殊平行四边形正方形及其性质习题课件鲁教版五四制ppt
14．如图，在正方形ABCD中，G为BC边上一点， BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE. (1)求证：△ABE≌△DAF； 证明：在正方形ABCD中，AB＝AD， ∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝90°. ∵BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，∴∠AEB＝∠DFA＝ 90°，∠ADF＋∠DAF＝90°.∴∠BAE＝∠ADF. ∴△ABE≌△DAF(AAS)．
22＋
6 6.
【点拨】判定一个菱形是正方形，只需一个角是90°或 对角线相等即可．答案不唯一．
4．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B ) A．四个角都相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
5．【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点 的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的 坐标是( D ) A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
解：如图，作 AH⊥BD 于点 H，由题意易知∠AGB＝60°，
∠ABG＝45°，所以∠BAH＝45°＝∠ABG，∠GAH＝30°.
所以 AH＝BH，AG＝2HG.因为 AB＝1，所以在 Rt△ABH
中，由勾股定理可得 AH＝BH＝ 22.在 Rt△AGH 中，由
勾股定理可得
HG＝
66.所以
BG＝
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置； 如果不可能，请说明理由． 解：不可能．理由如下： 如图，连接BE，DF，AC，若要使四边形BFDE是平行四边形， 已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边 形．由(1)可知DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°. 又易知∠BAC＝45°.∴点G与点C重合． 与题中点G不与点C重合矛盾， ∴四边形BFDE不可能是平行四边形．