2018-2019学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．命题“若是奇函数，则是奇函数”的逆否命题是（ ）()f x ()f x -A ．若不是奇函数，则不是奇函数()f x -()f x B ．若是偶函数，则是偶函数()f x -()f x C ．若不是奇函数，则不是奇函数()f x ()f x -D ．若是偶函数，则是偶函数()f x ()f x -【答案】A【解析】直接根据逆否命题的定义得到答案.【详解】命题“若是奇函数，则是奇函数”的逆否命题是：()f x ()f x -若不是奇函数，则不是奇函数()f x -()f x 故选：A 【点睛】本题考查了逆否命题，意在考查学生的推断能力.2．“是奇函数”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】为奇函数，但在处无意义，所以“是奇函数”不是“”的充分条件；又对于，满足，但为偶函数，“是奇函数”不是“”的必要条件；所以“是奇函数”是“”的既不充分也不必要条件.【考点】充分条件、必要条件.3．在下列给出的区间中，函数存在零点的区间是32()452169140f x x x x =-+-（）A ．B ．C ．D ．(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)【答案】C【解析】分别计算的值，根据零点存在定理得到答案.()()()()()1,0,1,2,3f f f f f -【详解】32()452169140f x x x x =-+-则；；；；()13650f -=-<()01400f =-<()1190f =-<()2220f =>()370f =>根据零点存在定理得到在存在零点.()f x (1,2)故选：C 【点睛】本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.4．设函数，若函数有且只有两个不相等的零21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩()()g x f x x a =--点，则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．(,0)-∞(,1]-∞(0,1)[0,)+∞【答案】B【解析】先确定时，函数为周期为的函数，画出函数图像，根据图像得到答案.0x ≥1【详解】当时，函数为周期为的函数，即0x ≥()()1f x f x =-1()()0g x f x x a =--=()f x x a=+画出函数图像，如图所示：函数有且只有两个不相等的零点，故 ()()g x f x x a =--1a ≤故选B 【点睛】本题考查了函数的零点问题，根据函数周期画出函数图像是解题的关键.二、填空题5．已知集合，则___________.{|1},{|12}A x x B x x =>=-<<A B = 【答案】(1,2)【解析】直接利用交集公式得到答案.【详解】，则{|1},{|12}A x x B x x =>=-<<A B = {|12}x x <<故答案为：(1,2)【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.6．函数的定义域为__________.y =【答案】(,0)[1,)-∞⋃+∞【解析】根据定义域的定义得到不等式，计算得到答案.100x x x -⎧≥⎪⎨⎪≠⎩【详解】函数的定义域满足：解得y =100x xx -⎧≥⎪⎨⎪≠⎩(,0)[1,)x ∈-∞⋃+∞故答案为：(,0)[1,)-∞⋃+∞【点睛】本题考查了函数定义域，属于基础题型.7．函数y=x ﹣2的单调增区间是 ．【答案】（﹣∞，0）【解析】试题分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．解：函数y=x ﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，则在（﹣∞，0）内为增函数，故函数的增区间为（﹣∞，0），故答案为（﹣∞，0）【考点】函数的单调性及单调区间．8．函数图像经过定点的坐标是________.()101x y a a a -=≠＞，【答案】(1,1)【解析】根据过,令即可.x y a =(0,1)10x -=【详解】令则,故图像经过定点的坐标是.10x -=1x =()101x y a a a -=≠＞，(1,1)故答案为：(1,1)【点睛】本题主要考查了指数函数的定点问题,属于基础题型.9．偶函数在区间上的值域为__________.2()(1)1f x x b x =+-+[],b b -【答案】[1,2]【解析】根据函数为偶函数得到，再求值域得到答案.1b =【详解】为偶函数，则得到2()(1)1f x x b x =+-+()()f x f x =-1b =故在上的值域为2()1f x x =+[1,1]-[1,2]故答案为：[1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.10．设函数的单调减区间是，则实数的值是__________.||y x a =-(,2]-∞a 【答案】2【解析】根据题意得到分段函数得到单调性计算得到答案.,,x a x a y x a x a -≥⎧=⎨-+<⎩【详解】，故函数在上单调递增，在上单调递减.,,x a x ay x a x a x a -≥⎧=-=⎨-+<⎩(),a +∞(],a -∞故 2a =故答案为：2【点睛】本题考查了函数的单调性，化简得到分段函数是解题的关键.11．给出下列4各命题：①设函数满足，则是偶函数；()y f x =(1)(1),()()f f f f ππ-=-=()y f x =②一次函数不可能为奇函数；y kx b =+③函数的零点为；11y x=-(1,0)④若函数在区间上连续且，()y f x =(,)a b ()()0f a f b <则在内只有一个零点.其中所有假命题的代号是___________.()y f x =(,)a b 【答案】①②③④【解析】依次判断每个选项的正误：①不能得到函数为偶函数；②当时，0,0k b ≠=函数为奇函数；③函数的零点为；④在内有零点，得11y x=-1x =()y f x =(,)a b 到答案.【详解】①设函数满足，不能得到函数为偶函数，错误；()y f x =(1)(1),()()f f f f ππ-=-=②一次函数，当时，函数为奇函数，错误；y kx b =+0,0k b ≠=③函数的零点为，错误；11y x=-1x =④若函数在区间上连续且，则在内有零()y f x =(,)a b ()()0f a f b <()y f x =(,)a b 点，错误.故答案为：①②③④【点睛】本题考查了函数的奇偶性和零点，意在考查学生对于函数性质的综合应用.12．设函数是奇函数，且当时是增函数，若，则不等式()(0)f x x ≠x R +∈(1)0f =的解集为_______.()0f x <【答案】(,1)(0,1)-∞- 【解析】讨论和两种情况，利用函数的单调性和奇偶性计算得到答案.0x >0x <【详解】当时，函数单调递增，，即；0x >()()011f x f x <=∴<()0,1x ∈当时，函数单调递增，，即.0x <()()011f x f x <=-∴<-(,1)x ∈-∞-综上所述：(,1)(0,1)x ∈-∞- 故答案为：(,1)(0,1)-∞- 【点睛】本题考查了利用函数单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.13．设函数对都满足，方程恰有6个不同的()f x x ∈R (3)(3)f x f x +=-()0f x =实数根，则这6个实根的和为____________.【答案】18【解析】根据得到函数关于对称，计算得到答案.(3)(3)f x f x +=-3x =【详解】函数对都满足，即函数关于对称.()f x x ∈R (3)(3)f x f x +=-3x =方程恰有6个不同的实数根，根据对称性知实数根两两相加为()0f x =6这6个实根的和为18故答案为：18【点睛】本题考查了函数的零点问题，得到函数关于对称是解题的关键.3x =14．设实数满足，则的值为____________.,x y |1|32y -+=20182019x y+【答案】2020【解析】根据得到，代入式子计算得到答案.|1|1,13y -≥≥0,1x y ==【详解】易知：，，则|1|1,13y -≥≥|1|32y -+=0,1x y ==20182019120192020x y =+=+故答案为：2020【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.15．已知不等式对一切正数恒成立,则实数的取值范围是()3x a x y +≤+x y 、a _____.【答案】[)4,+∞【解析】参变分离后再换元,利用基本不等式求解即可.【详解】由且有,()3x a x y +≤+0x y >、a ≥,当且仅当时取“=”.344x x yx y++=≤=+4x y =故.4a ≥故答案为：.[)4,+∞【点睛】本题主要考查了基本不等式的用法与恒成立问题,要注意结合题中所给的形式选用合适的基本不等式,属于中等题型.16．设函数，对任意非零实数，若等式3()(1)1f x x x =-++a (1)[1(1)][1(2)][1(2)][1(1)][1]2018f ka f k a f k a f k a f k a f ka -+--+--+++-++-++= 成立，则正整数的值为__________.k 【答案】504【解析】根据题意得到，代入计算得到式子，(1)(1)4f x f x ++-=4(1)2018k f =+=计算得到答案.【详解】，则3()(1)1f x x x =-++33(1)(1)224f x f x x x x x ++-=++--+=则(1)[1(1)][1(2)][1(2)][1(1)][1]f ka f k a f k a f k a f k a f ka -+--+--+++-++-++4(1)2018504k f k =+=∴=故答案为：504【点睛】本题考查了函数值的计算，确定是解题的关键.(1)(1)4f x f x ++-=三、解答题17．设函数为偶函数，求实数的值()|1||1|f x x a x =-++a 【答案】1a =【解析】根据计算得到，再证明为偶函数，得到答案.()()22f f =-1a =【详解】函数为偶函数，则即 ()|1||1|f x x a x =-++()()22f f =-1331a a a +=+∴=当时：，偶函数1a =()()|1||1|()|1||1|f x x x f x x x f x =-++∴-=--+-+=故1a =【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，先确定再证明是解题的关键.1a =18．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）。
金山区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
金山区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．33．记,那么ABCD4．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）5．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．36．运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（）A．y=x+2B．y=C．y=3x D．y=3x37．已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）8．函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（，），使f（sinφ）=f（cosφ），则实数m的取值范围是（）A．（）B．（，]C．（）D．（]9．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（）A．3B．C．2D．610．若函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣2）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（2，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（2，+∞）11．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A ．﹣a ＞﹣bB ．a+c ＜b+cC ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2D ．二、填空题13．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．14．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．15．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号）①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆． 16．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．17．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，若函数y=f （f ()210{ 21(0)xxx e x x x +≥++<（x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．三、解答题19．已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，{}n a {}n b n S {}n a 111a b ==3336b S =（）．228b S =*n N ∈（1）求和；n a n b （2）若，求数列的前项和．1n n a a +<11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T20．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()()2,f x x g x ==B ．()()01,f x g x x ==C ．()()3,f x x g x ==D ．()()222,x f x x g x x== 【答案】C【分析】比较四个选项中，每两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为同一函数，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：()f x x =定义域为R ，()2g x =定义域为[)0,+∞，不是同一函数；对于选项B ：()1f x =定义域为R ，()0g x x =定义域为{}|0x x ≠，不是同一函数；对于选项C ：()f x x =，()3g x x ==两个函数定义域都是R ，对应关系相同，是同一函数；对于选项D ：()2f x x =定义域为R ，()22x g x x=定义域为{}|0x x ≠，不是同一函数； 故选：C【点睛】本题主要考查了同一函数的判断方法，先看定义域是否相同，若定义域相同再看对应关系是否一致，定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，属于基础题. 2．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由不等式的性质，得：由a b >且c d >可得到a c b d +>+，但反之不成立（如：125(5)-+>+-，不能得到15->且25>-，所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要而不充分条件；故选B ．【解析】充分条件与必要条件的判定．3．若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0,m ，值域为2544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可. 【详解】223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当32x =时，254y =-；当0x =或3时，4y =-. 因此当332m ≤≤时，函数234y x x =--在区间[]0,m 上的最小值为254-，最大值为4-，所以，实数m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D4．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，已知集合A 有三个真子集，()(){}22320,B x ax x x ax x R =+++=∈，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】由已知条件求得()2C A =，可得出()1C B =或3，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定方程()()22320ax xxax +++=的解的个数，由此可求得实数a 的所有可能取值，即可得出()C S 的值.【详解】由题意可知，集合A 的真子集个数为()213C A -=，解得()2C A =， 由题中定义可得()()()21A B C A C B C B *=-=-=，()1C B ∴=或3. 由题意可知，0为关于x 的方程()()22320ax xxax +++=的一根.当()1C B =时，则{}0B =，则方程230ax x +=只有一个实根0，可得0a =，此时，方程220x +=无实根，则{}0B =满足条件； 当()3C B =时，则关于x 的方程()()22320ax xxax +++=有三个根，必有0a ≠，此时，关于x 的方程230ax x +=的两根分别为10x =，23x a=-，分以下两种情况讨论：①若3a -是方程220x ax ++=的一根时，则22339210a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =±.当3a =-时，则()(){}{}22333200,1,2B x x x xx =--+==，合乎题意；当3a =时，则()(){}{}22333202,1,0B x x xxx =+++==--，合乎题意；②当方程220x ax ++=有两个相等的实根，则280a ∆=-=，解得a =±.当a =()(){}223204B x x x ⎧⎫⎪⎪=+++==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，合乎题意；当a =-()(){}223200,4B x x x ⎧⎪=--+==⎨⎪⎩，合乎题意.因此，{}3,S =--，即()5C S =. 故选：D.【点睛】以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数a 的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.二、填空题5．若集合{}1,A a =，集合{}21,B a =，且A B =，则实数a =____________【答案】0【分析】根据集合相等和集合中元素的互异性，即可直接求解. 【详解】解：集合{1A =，}a ，集合{1B =，2}a ，且A B =，∴21a a a ⎧=⎨≠⎩，解得：0a =. 故答案为：0.【点睛】本题考查集合相等和集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．函数()f x =的定义域为____________【答案】[)(]2,11,2--⋃-【分析】要使函数有意义，只要24010x x ⎧-⎨+≠⎩即可．【详解】要使函数有意义，须满足24010x x ⎧-⎨+≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠-，故函数()f x 的定义域为[)(]2,11,2--⋃-． 故答案为：[)(]2,11,2--⋃-．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数大于等于0；若解析式为分式，分母不为0． 7．函数[]3,x 2,41x y x +=∈-的最大值为____________ 【答案】5【分析】化简函数得411y x =+-，然后利用单调性求最大值即可． 【详解】化简函数314411111x x y x x x x +-==+=+----在[]2,4上递减，所以当2x =时，最大值为5. 故答案为：5【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意应用其单调性，属于基础题． 8．若全集{}{}|0,|1U x x A x x =>=>，则UA____________【答案】{}|01x x <≤【分析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案. 【详解】解：{}0U x x =>，{}1A x x =>，∴{}01UA x x =<≤.故答案为：{}|01x x <≤.【点睛】本题考查集合的补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题.9．若函数()2,12,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦____________【答案】36【分析】根据自变量的值代入相应解析式求出()3f -，再求()3f f -⎡⎤⎣⎦. 【详解】()()()3236f -=-⨯-=，()()236636f f f ∴-===⎡⎤⎣⎦.故答案为：36【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______ 【答案】12【详解】设两者都喜欢的人数为x 人， 则只喜爱篮球的有(15-x )人， 只喜爱乒乓球的有(10-x )人, (15-x )+(10-x )+x +8= 30 解得x =3, 所以15- x = 12故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.11．幂函数()f x 、()g x 的图象分别经过点()3,9和()32,8，则不等式()()f x g x ≥的解集为____________. 【答案】(][),01,-∞⋃+∞【分析】求出幂函数()f x 、()g x 的解析式，然后分0x ≤、0x >解不等式()()f x g x ≥，进而可求得不等式()()f x g x ≥的解集.【详解】设()af x x =，()bg x x =，则()339af ==，可得2a =，()2f x x ∴=.()5323228bbg ===，53b ∴=，解得35=b ，()35g x x ∴==.①当0x ≤时，()20f x x =≥，()0g x =≤，此时()()f x g x ≥恒成立；②当0x >时，由()()f x g x ≥可得325x x ≥，751x ∴≥，由于幂函数()75h x x =在区间()0,∞+上单调递增，由751x ≥可得()()1h x h ≥，所以1≥x .综上所述，不等式()()f x g x ≥的解集为(][),01,-∞⋃+∞. 故答案为：(][),01,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查利用幂函数的单调性解不等式，关键是求出两个幂函数的解析式.本题在解幂函数不等式时，注意对x 分0x ≤和0x >两种情况讨论，在0x >时，借助了幂函数的单调性来求解，考查了学生的计算能力，属于中等题.12．若函数243y x x a =-+-有两个零点，则实数a 的取值范围是____________【答案】1a >或0a =【分析】由题意知：243y x x =-+与y a =图象有两个交点，数形结合即可得答案.【详解】由题意知：243y x x =-+与y a =图象有两个交点，作243y x x =-+图象如图：若243y x x =-+与y a =图象有两个交点，则1a >或0a =，所以实数a 的取值范围是：1a >或0a = 故答案为：1a >或0a =【点睛】本题主要考查了函数的零点个数转化为对应方程的根的个数，转化为两个函数图象交点的个数，采用了数形结合的方法，属于中档题.13．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-，则m 的取值范围是______.【答案】1122m ≤<. 【分析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---<所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m ≤<. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题. 14．已知正实数,a b 满足23a b +=，则2b a+的最小值为____________ 【答案】83【分析】由23a b +=得22123b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=+ +⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为正实数,a b 满足23a b+=，所以212141822423333b b ab a a ab a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+⎝⎭， 当且仅当4ab ab =，即3243a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立.故答案为：83. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两项之积转化为定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化为定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是容易发生错误的地方. 15．已知函数()f x =，若对于任意不相等的实数(]12,0,1x x ∈，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是____________【答案】()(],01,2-∞⋃【分析】由题可得()f x 在(]0,1x ∈单调递减，讨论a 的范围判断函数的单调性即可求出.【详解】由题20ax -≥在(]0,1x ∈恒成立且1a ≠，则20a -≥，故2a ≤且1a ≠， 又对于任意不相等的实数(]12,0,1x x ∈，都有()()12120f x f x x x -<-成立，∴()f x 在(]0,1x ∈单调递减，当0a =时，()f x =当0a <时，y =10a -<，故()f x 单调递减，满足题意；当01a <<时，y =10a -<，故()f x 单调递增，不满足题意；当12a <≤时，y =10a ->，故()f x 单调递减，满足题意；综上，0a <或12a <≤. 故答案为：()(],01,2-∞⋃.【点睛】本题考查函数单调性的判断，考查根据函数单调性求参数范围，属于中档题. 16．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为121023,,,M M M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为121023,,,m m m ，则121023m m m +++的值为____________【答案】1- 【分析】造出函数()()()()()()2019126105(1)(1)(8)(15)f x x x x x x x x x x x =+++---+++，()11f -即为所求.【详解】设十个元素为1210,,...,a a a .1210121391012391011212100231...............a a a a a a a a a a a a a a a m a a a m m =+++++++++++++++.则121023m m m +++即为函数()()()()()()2019126105(1)(1)(8)(15)f x x x x x x x x x x x =+++---+++展开式中所有项数之和1T -；因为()10T f ==，所以11T -=-．故答案为：1-.【点睛】本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()()()()2019126105(1)(1)(8)(15)f x x x x x x x x x x x =+++---+++，这种转化思想是本题的难点．三、解答题17．已知集合5|02x M x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}|2N x x m =-<． （1）当m =4时，求M N ⋃；（2）当N M ⊆时，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()2,6-；（2）[]0,3m ∈【分析】（1）利用分式不等式的解法可求出(2,5)M =-，利用绝对值不等式的解法可得(2,2)N m m =-+，从而得出4m =时，(2,6)N =，然后进行并集的运算即可；（2）根据N M ⊆即可得出2225m m --⎧⎨+⎩，然后解出m 的范围即可．【详解】（1）()()50520252x x x x x -<⇔-+<⇔-<<+，可求出(2,5)M =-， 22222x m x m m x m -<⇔-<-<⇔-<<+，可得(2,2)N m m =-+，4m =时，(2,6)N =，(2,6)M N ∴⋃=-；（2）因为22m m -<+，所以N ≠∅N M ⊆，∴2225m m --⎧⎨+⎩，解得03m ，m ∴的取值范围为[0，3]．【点睛】本题考查了描述法的定义，分式不等式和绝对值不等式的解法，并集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．已知命题p ：“1x =是不等式2260x ax a +->的解”，命题q ：“函数()12xa f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数”，若命题p 与q 中有且仅有一个是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(][)2,23,4-⋃【分析】先求出命题,p q 对应的a 的取值范围，再讨论p 真q 假和p 假q 真时a 的范围，即可求解.【详解】对于命题p ，1x =是不等式2260x ax a +->的解，则260a a +->，解得23a -<<，对于命题q ，函数()12x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则0112a <-<，解得24a <<， 命题p 与q 中有且仅有一个是真命题，若p 真q 假，则2324a a a -<<⎧⎨≤≥⎩或，解得22a -<≤， 若p 假q 真，则2324a a a ≤-≥⎧⎨<<⎩或，解得34a ≤<， 综上，实数a 的取值范围为(][)2,23,4-⋃.故答案为：(][)2,23,4-⋃.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，属于基础题.19．《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为220040000y x x =-+，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？【答案】（1）200吨；（2）[100,300].【分析】（1）先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量x 的函数关系，再结合重要不等式求最值即可，再运算取等的条件；（2）先列出每月获利S 元与分类处理量x 的函数关系，再求解0S ≥即可得解.【详解】解：（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量， 即(]40000200,0,300y x x x x=+-∈，又40000400x x +≥= ，当且仅当40000x x =，即200x =时取等号，故200x =时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；（2）设该小区每月获利为S 元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本，22300300(20040000)50040000S x y x x x x x =-=--+=-+-，令2500400000x x -+-≥，解得100400x ≤≤，又0300x <≤，即100300x ≤≤，故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在[]100,300.【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.20．已知函数()()121x f x a a R =-∈+为奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：()f x 是R 上的单调递减函数；（3）解不等式：()()2212230f x x f x x x +-+++-->． 【答案】（1）12；（2）证明见解析；（3）()(),13,-∞-+∞.【分析】（1）利用()f x 是R 上的奇函数，知()00f =，即可求得a 的值；（2）用单调性定义证明()f x 是R 上的单调递减，按步骤:一取值，二作差，三定号，四下结论；（3）构造函数()()g x f x x =-，利用()f x 是R 上的奇函数，又是减函数，即可得 ()()212g x x g x +->--，可得212x x x +-<--，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()()121x f x a a R =-∈+为奇函数， 所以()010021f a =-=+，解得12a =， （2）由（1）知()()11212x f x a R =-∈+， 设任意的12x x <，()()1212121111112221212121x x x x f x f x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭()()()()()2121121221212221212121x x x x x x x x +-+-==++++， 因为12x x <，所以21220x x ->，()()1221210x x ++>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >所以()f x 是R 上的单调递减函数；（3）由()()2212230f x x f x x x +-+++--> 得()()()()2211220f x x x x f x x +--+-++-+> 令()()g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，且为减函数，所以()()2120g x xg x +-++>， 所以()()()2122g x x g x g x +->-+=--， 因为()g x 为R 上的减函数，所以212x x x +-<--，整理得：2230x x -->，解得：3x >或1x <- 所以不等式的解集为：()(),13,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值，考查了利用单调性定义证明函数的单调性，考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.21．设集合G 由所有满足如下条件的函数()f x 组成：对于定义域中的任意x ，都有()f x x ≥成立．（1）试判断()21f x x x =-+是否属于集合G ，并说明理由； （2）已知函数()124224x x g x m x m +=+⋅++-，若函数()g x G ∈，求实数m 的取值范围；（3）已知函数()()21h x x b x c =+++，若对任意的实数b ，都有()h x G ∉，求实数c 的取值范围．【答案】（1）属于，理由见解析；（2）(]),2-∞-⋃+∞；（3）(),2-∞-. 【分析】（1）由221(1)0x x x x -+--≥=恒成立，结合新定义即可判断，从而得出结论； （2）由题意可得124224x x m x m x ++++-恒成立，运用换元法和二次函数的性质，解不等式可得所求范围；（3）考虑()h x G ∈，得出2(1)0x b x b c +-++对任意的x ∈R 恒成立，由0∆≤，可得b ，c 的关系式，再由对任意的实数b ，都有()h x G ∉，可得26140b b c -+->恒成立，结合∆<0，解不等式可得所求范围.【详解】解：（1）2()1f x x x =-+属于集合G ，理由：221(1)0x x x x -+--≥=恒成立，可得21x x x -+≥对x ∈R 成立，所以2()1f x x x =-+属于集合G .（2）函数12()4224x x g x m x m +=+++-，若函数()g x G ∈，则124224x x m x m x ++++-≥，即1242240x x m m +++-，由x ∈R ，可得20x >，可令20x t =>，则222240t mt m ++-，即22()40t m m ++-对0t >恒成立， 可得20240m m -<⎧⎨-⎩或2040m m -⎧⎨-⎩， 解得：2m 或2m -，则m 的取值范围是(]),2-∞-⋃+∞.（3）函数2()(1)h x x b x c =+++，若()h x G ∈，即2(1)x b x c x +++，也即2(1)0x b x b c +-++对任意的x ∈R 恒成立，可得2(1)4()0b b c ∆=--+，化为26140b b c -+-，由于对任意的实数b ，都有()h x G ∉，可得26140b b c -+->恒成立，则364(14)0c ∆=--<，解得：2c <-．-∞-.则实数c的取值范围是(,2)【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，以及一元二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁U B=．2．（3.00分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为．3．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=．4．（3.00分）函数F（x）=x﹣的零点个数为．5．（3.00分）已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=．6．（3.00分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 坐标为．7．（3.00分）已知，且2π＜α＜3π，则=．8．（3.00分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是．9．（3.00分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．10．（3.00分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．11．（3.00分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．12．（3.00分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题成立的是（）A．如果a＞b，c≠0，那么B．如果a＞b，那么a2＞b2C．如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c 14．（3.00分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个15．（3.00分）函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（）A．a＜1且b＞3 B．a＞﹣1且b＞1 C．a＞1且b＞﹣1 D．a＜﹣2且b＜2 16．（3.00分）函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A．y=（）x B．y=log2（2x）C．y=log2（x+1）D．y=22x﹣1三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8.00分）解关于x的方程：log 2（x+14）﹣log（x+2）=3+log2（x+6）．18．（10.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．19．（10.00分）设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性．20．（12.00分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S 的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．21．（12.00分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁U B={x|2＜x≤5} ．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，∴∁U B={x|x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|2＜x≤5}故答案为{x|2＜x≤5}2．（3.00分）已知a＞1，则不等式a+的最小值为1+2．．【解答】解：a+=a﹣1++1≥1+2，当且仅当a﹣1=，即a=1+时等号成立．∴不等式a+的最小值为1+2．故答案为1+2．3．（3.00分）幂函数y=f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=．【解答】解：设f（x）=x k，∵y=f（x）的图象经过点（，2），∴，∴=，∴．故答案为．4．（3.00分）函数F（x）=x﹣的零点个数为2．【解答】解：令得x2=4，∴x=±2；∴函数F（x）有两个零点．5．（3.00分）已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=﹣．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣6．（3.00分）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 坐标为（﹣2，﹣1）．【解答】解：令x+3=1，解得x=﹣2，则当x=﹣2时，函数y=log a（x+3）﹣1=﹣1，即函数图象恒过一个定点（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）7．（3.00分）已知，且2π＜α＜3π，则=．【解答】解：∵2π＜α＜3π，∴π＜＜，∴sin＜0，∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，∴=﹣，故答案为：﹣．8．（3.00分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（﹣2，2）．【解答】解：根据题意：可作满足条件的函数图象：如图：f（x）＜0的x的取值范围是（﹣2，2）故答案为：（﹣2，2）9．（3.00分）若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．【解答】解：当a=0，﹣3≤0不成立，符合要求；当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为ϕ，即所对应图象均在x轴上方，故须解得0＜a＜综上满足要求的实数a的取值范围是[0，）故答案为：[0，）．10．（3.00分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且2a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（2a﹣1）x+4a＞6a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以6a﹣1≥0解得a≥综上：a∈．故答案为：．11．（3.00分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]12．（3.00分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是①②③④．【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S可知：符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l∈S时，有l2∈S即l2≤l，再对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有，可得l=1，S={1}，故正确；②m=﹣，则，解得≤l≤1，故正确；③若l=，则，可解得﹣≤m≤0，故正确；④若l=1，则可解得﹣1≤m≤0或m=1，故正确．故答案为：①②③④二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题成立的是（）A．如果a＞b，c≠0，那么B．如果a＞b，那么a2＞b2C．如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c 【解答】解：A．c＜0时不成立；B.0＞a＞b时不成立；C．∵a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，因此不成立；D．∵a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，则a﹣d＞b﹣c，故正确．故选：D．14．（3.00分）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【解答】解：否命题：“若A∪B=B，则A∩B=A”为真命题；逆否命题：“若A∩B=A，则A∪B=B”为真命题．因此逆命题与原命题也为真命题．故选：D．15．（3.00分）函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数的一个充分非必要条件是（）A．a＜1且b＞3 B．a＞﹣1且b＞1 C．a＞1且b＞﹣1 D．a＜﹣2且b＜2【解答】解：因为f（x）==1+，所以f（x）的单调性有a和﹣1的大小和a+b的正负共同决定．所以函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数须要有a＜﹣1且a+b＜0．符合条件的有A和D但a=0，b=1时不能推出函数，x∈[﹣1，+∞）是增函数故选：D．16．（3.00分）函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A．y=（）x B．y=log2（2x）C．y=log2（x+1）D．y=22x﹣1【解答】解：=﹣log 2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移一个单位得到y=log 2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8.00分）解关于x的方程：log 2（x+14）﹣log（x+2）=3+log2（x+6）．【解答】解：∵，∴log2[（x+14）（x+2）=log2[8（x+6）]，∴（x+14）（x+2）=8（x+6），解得x=2，或x=﹣10，检验，得x=2．18．（10.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．19．（10.00分）设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x）∴1﹣a•2=a﹣2x∴a=1（2）设x1＜x2，则2x1＜2x2f（x1）﹣f（x2）=所以f（x）在R上是增函数．20．（12.00分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S 的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），…2分矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分于是200≤S≤225为所求．…6分（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）…8分由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分∴T=25k（+），200≤S≤225∵+≥12，…11分当且仅当=即S=216时等号成立，…12分此时x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．21．（12.00分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【解答】解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M（2分）因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…（6分）又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…（9分）所以f﹣1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得＜1即…（13分）若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）。
上海市金山中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市金山中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(考试时间：120分钟 满分：150分）—、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则-律得零分。
1. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为 .2.在数列{n a }中，3211==+nn a a a ,则=3a . 3.已知角α的终边上一点P 的坐标为)0>)(4,3(t t t -，则=+ααcos sin 2 . 4.在△ABC 中，若C sin <cos sin 222B A +，则△ABC 的形状是 . 5.若54)sin(-=+απ，其中α是第二象限角，则=-)2cos(απ . 6.设),2(,sin 2sin ππααα∈-=,则)2tan(απ-的值是 .7.已知{n a }是等差数列，n S 是它的前n 项和，且5738=a a ，则=515S S . 8.函数2cos 2sin x x y +=在)2,2(ππ-内的单调递增区间为 . 9.在数列{n a }中，若n n n a a a 21,111=+=+，则=+++∞→)...(lim 221n n a a a . 10.数列{n a }的前n 项和为n S ，己知511=a ,且对任意正整数n m ,,都有n m n m a a a ⋅=+，若a <n S 恒成立，则实数a 的最小值为 . 11.数列{n a }的前n 项和为n S ，若)(2cos 1*∈+=N n n n a n π，则{n a }的前2019项和=2019S .12.已知数列{n a }满足)(2||,>,11121*+∈=-=N n a a a a a n n n ，若数列{n a }单调递减，数列{n a 2}单调递增，则数列数列{n a }的通项公式为 . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2018～2019学年度上海市金山中学高一第1学期12月月考数学试题试题解析
2018～2019学年度上海市金山中学高一第一学期12月月考数学试题一、单选题1.命题“若()f x 是奇函数,则()f x -是奇函数”的逆否命题是( ) A.若()f x -不是奇函数,则()f x 不是奇函数 B.若()f x -是偶函数,则()f x 是偶函数 C.若()f x 不是奇函数,则()f x -不是奇函数 D.若()f x 是偶函数,则()f x -是偶函数 【参考答案】：A【试题解答】：直接根据逆否命题的定义得到答案.命题“若()f x 是奇函数,则()f x -是奇函数”的逆否命题是： 若()f x -不是奇函数,则()f x 不是奇函数 故选：A本题考查了逆否命题,意在考查学生的推断能力. 2.“是奇函数”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】：D 【试题解答】：为奇函数,但在处无意义,所以“是奇函数”不是“”的充分条件；又对于,满足,但为偶函数,“是奇函数”不是“”的必要条件；所以“是奇函数”是“”的既不充分也不必要条件.【考点】充分条件、必要条件.3.在下列给出的区间中,函数32()452169140f x x x x =-+-存在零点的区间是( ) A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【参考答案】：C【试题解答】：分别计算()()()()()1,0,1,2,3f f f f f -的值,根据零点存在定理得到答案.32()452169140f x x x x =-+-则()13650f -=-<；()01400f =-<；()1190f =-<；()2220f =>；()370f =>根据零点存在定理得到()f x 在(1,2)存在零点. 故选：C本题考查了零点存在定理,意在考查学生的计算能力.4.设函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩,若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不相等的零点,则实数a 的取值范围是( ) A.(,0)-∞ B.(,1]-∞C.(0,1)D.[0,)+∞【参考答案】：B【试题解答】：先确定0x ≥时,函数为周期为1的函数,画出函数图像,根据图像得到答案.当0x ≥时,()()1f x f x =-函数为周期为1的函数,()()0g x f x x a =--=即()f x x a =+画出函数图像,如图所示：函数()()g x f x x a =--有且只有两个不相等的零点,故1a ≤ 故选B本题考查了函数的零点问题,根据函数周期画出函数图像是解题的关键.二、填空题5.已知集合{|1},{|12}A x x B x x =>=-<<,则A B =I ___________. 【参考答案】：(1,2)【试题解答】：直接利用交集公式得到答案.{|1},{|12}A x x B x x =>=-<<,则A B =I {|12}x x <<故答案为：(1,2)本题考查了交集的运算,属于简单题. 6.函数1x y x-=__________. 【参考答案】：(,0)[1,)-∞⋃+∞【试题解答】：根据定义域的定义得到不等式100x xx -⎧≥⎪⎨⎪≠⎩,计算得到答案.函数1x y x -=100x xx -⎧≥⎪⎨⎪≠⎩ 解得(,0)[1,)x ∈-∞⋃+∞故答案为：(,0)[1,)-∞⋃+∞本题考查了函数定义域,属于基础题型. 7.函数y ＝x ﹣2的单调增区间是 . 【参考答案】：(﹣∞,0)【试题解答】：试题分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可. 解：函数y ＝x ﹣2为偶函数,在(0,＋∞)内为减函数, 则在(﹣∞,0)内为增函数, 故函数的增区间为(﹣∞,0), 故答案为(﹣∞,0)【考点】函数的单调性及单调区间. 8.函数()101x y aa a -=≠＞，图像经过定点的坐标是________.【参考答案】：(1,1)【试题解答】：根据xy a =过(0,1),令10x -=即可.令10x -=则1x =,故()101x y a a a -=≠＞，图像经过定点的坐标是(1,1).故答案为：(1,1)本题主要考查了指数函数的定点问题,属于基础题型.9.偶函数2()(1)1f x x b x =+-+在区间[],b b -上的值域为__________. 【参考答案】：[1,2]【试题解答】：根据函数为偶函数得到1b =,再求值域得到答案.2()(1)1f x x b x =+-+为偶函数,则()()f x f x =-得到1b =故2()1f x x =+在[1,1]-上的值域为[1,2] 故答案为：[1,2]本题考查了函数的奇偶性和值域,意在考查学生对于函数知识的综合应用.10.设函数||y x a =-的单调减区间是(,2]-∞,则实数a 的值是__________. 【参考答案】：2【试题解答】：根据题意得到分段函数,,x a x ay x a x a -≥⎧=⎨-+<⎩得到单调性计算得到答案.,,x a x ay x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩,故函数在(),a +∞上单调递增,在(],a -∞上单调递减.故2a = 故答案为：2本题考查了函数的单调性,化简得到分段函数是解题的关键. 11.给出下列4各命题：①设函数()y f x =满足(1)(1),()()f f f f ππ-=-=,则()y f x =是偶函数； ②一次函数y kx b =+不可能为奇函数； ③函数11y x=-的零点为(1,0)； ④若函数()y f x =在区间(,)a b 上连续且()()0f a f b <,则()y f x =在(,)a b 内只有一个零点.其中所有假命题的代号是___________. 【参考答案】：①②③④【试题解答】：依次判断每个选项的正误：①不能得到函数为偶函数；②当0,0k b ≠=时,函数为奇函数；③函数11y x=-的零点为1x =；④()y f x =在(,)a b 内有零点,得到答案.①设函数()y f x =满足(1)(1),()()f f f f ππ-=-=,不能得到函数为偶函数,错误； ②一次函数y kx b =+,当0,0k b ≠=时,函数为奇函数,错误； ③函数11y x=-的零点为1x =,错误； ④若函数()y f x =在区间(,)a b 上连续且()()0f a f b <,则()y f x =在(,)a b 内有零点,错误.故答案为：①②③④本题考查了函数的奇偶性和零点,意在考查学生对于函数性质的综合应用. 12.设函数()(0)f x x ≠是奇函数,且当x R +∈时是增函数,若(1)0f =,则不等式()0f x <的解集为_______.【参考答案】：(,1)(0,1)-∞-U【试题解答】：讨论0x >和0x <两种情况,利用函数的单调性和奇偶性计算得到答案.当0x >时,函数单调递增,()()011f x f x <=∴<,即()0,1x ∈； 当0x <时,函数单调递增,()()011f x f x <=-∴<-,即(,1)x ∈-∞-. 综上所述：(,1)(0,1)x ∈-∞-U 故答案为：(,1)(0,1)-∞-U本题考查了利用函数单调性和奇偶性解不等式,意在考查学生对于函数性质的综合运用. 13.设函数()f x 对x ∈R 都满足(3)(3)f x f x +=-,方程()0f x =恰有6个不同的实数根,则这6个实根的和为____________. 【参考答案】：18【试题解答】：根据(3)(3)f x f x +=-得到函数关于3x =对称,计算得到答案.函数()f x 对x ∈R 都满足(3)(3)f x f x +=-,即函数关于3x =对称. 方程()0f x =恰有6个不同的实数根,根据对称性知实数根两两相加为6 这6个实根的和为18 故答案为：18本题考查了函数的零点问题,得到函数关于3x =对称是解题的关键.14.设实数,x y 满足|1|32y -+=,则20182019x y+的值为____________.【参考答案】：2020【试题解答】：根据|1|1,13y -≥≥得到0,1x y ==,代入式子计算得到答案.易知：|1|1,13y -≥≥,|1|32y -+=,则0,1x y ==20182019120192020x y =+=+故答案为：2020本题考查了函数值的计算,意在考查学生的计算能力.15.已知不等式()3x a x y ++对一切正数x y 、恒成立,则实数a 的取值范围是_____.【参考答案】：[)4,+∞【试题解答】：参变分离后再换元,利用基本不等式求解即可.由()3x a x y ++且0x y >、有a ≥,344x x yx y++=≤=+,当且仅当4x y =时取“＝”.故4a ≥.故答案为：[)4,+∞.本题主要考查了基本不等式的用法与恒成立问题,要注意结合题中所给的形式选用合适的基本不等式,属于中等题型.16.设函数3()(1)1f x x x =-++,对任意非零实数a ,若等式(1)[1(1)][1(2)][1(2)][1(1)][1]2018f ka f k a f k a f k a f k a f ka -+--+--+++-++-++=L 成立,则正整数k 的值为__________. 【参考答案】：504【试题解答】：根据题意得到(1)(1)4f x f x ++-=,代入计算得到式子4(1)2018k f =+=,计算得到答案.3()(1)1f x x x =-++,则33(1)(1)224f x f x x x x x ++-=++--+=则(1)[1(1)][1(2)][1(2)][1(1)][1]f ka f k a f k a f k a f k a f ka -+--+--+++-++-++L4(1)2018504k f k =+=∴=故答案为：504本题考查了函数值的计算,确定(1)(1)4f x f x ++-=是解题的关键.三、解答题17.设函数()|1||1|f x x a x =-++为偶函数,求实数a 的值 【参考答案】：1a =【试题解答】：根据()()22f f =-计算得到1a =,再证明为偶函数,得到答案.函数()|1||1|f x x a x =-++为偶函数,则()()22f f =-即1331a a a +=+∴=当1a =时：()()|1||1|()|1||1|f x x x f x x x f x =-++∴-=--+-+=,偶函数 故1a =本题考查了根据函数的奇偶性求参数,先确定1a =再证明是解题的关键. 18.围建一个面积为360m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位：元)。
2018-2019年上海市金山中学高一上12月月考 数学试卷
金山中学2018-2019学年高一年级12月考数学试卷一、填空题1.已知集合则_________.{}{}|1|12A x x B x x =>=-<<，，A B =2.函数的定义域为__________.y =3.函数的单调增区间是________.2y x -=4.函数图像经过定点的坐标是________.()101x y a a a -=>≠，5.偶函数在区间上的值域是________.()()211f x x b x =+-+[],b b -6.设函数的单调减区间是，则实数的值是_______.y x a =-(]2-∞，a 7.给出下列4个命题:①设函数满足则是偶函数；()y f x =()()()()11f f f f -=-=，ππ，()y f x =②一次函数不可能为奇函数；y kx b =+③函数的零点为11y x=-()10，；④若逐数在区间上连续且则在内只有一个零点。
()y f x =()a b ，()()0f a f b ⋅＜，()y f x =(),a b 其中所有假命题的代号是_____________.8.设函数是奇函数,且当时是增函数,若则不等式的解集为()()0f x x ≠x R +∈()10f =，()0f x <_________.9.设函数对都满足方程恰有6个不同的实数根,则这6个实根()f x x R ∈()()33f x f x +=-，()0f x =的和为_______.10.设实数满足则的值为_______.x y、132y -+=，20182019x y +11.已知不等式对一切正数恒成立,则实数的取值范围是_____.()3x a x y +≤+x y 、a 12.设函数对任意非零实数,若等式()()311f x x x =-++，a ()()()()()()11112121112018f ka f k a f k a f k a f k a f ka -+--+--+⋯++-++-++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立，则正整数的值为________.k 二、选择题13.命题“若是奇函数,则是奇函数”的逆否命题是（）()f x ()f x -A.若不是奇函数,则不是奇函数B.若是偶函数数,则是偶函数()f x -()f x ()f x -()f xC.若不是奇函数,则不是奇函数D.若是偶函数,则是偶函数()f x ()f x -()f x ()f x -14.“是奇函数”是“”的（）()f x ()00f =A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.在下列给合出的区间中,函数存在零点的区间是（ ）()32452169140f x x x x =-+-A. B. C. D.()10-，()01，()12，()23，16.设函数，若函数有且只有两个不相等的零点,则实数()()21010x x f x f x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，，()()g x f x x a =--a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.()1-∞，(]1-∞，()01，[)0+∞，三、解答题17.设函数为偶函数,求实数的值。
上海市金山中学高一数学10月月考试题(1)
上海市金山中学2017-2018学年高一数学10月月考试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1、因式分解: 2222c b ab a -+-= ▲ 。
2、设集合{}1,2,34P =,，{}2=≤Q x x ，则⋂P Q = ▲ 。
3、请写出集合{}1,2的所有子集 ▲ 。
（不是个数）4、设:α>x m ，:13β≤<x ，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是 ▲ 。
5、已知全集U ，用交并补的运算符号表示图中阴影部分 ▲ 。
6、已知,,a b c 是实数，写出命题“若0++=a b c ，则,,a b c 中至少有一个负数”的等价命题 ▲ 。
7、已知集合(){}22,1,,P x y xy x R y R=+=∈∈，(){},1,,Q x y x y x R y R =+=∈∈，则PQ = ▲ 。
8、“33>⎧⎨>⎩x y 成立”是“69+>⎧⎨>⎩x y xy 成立”的 ▲ 条件。
9、满足{}{}0,10,1,2,3,4,5⊆⊆P 的集合P 的个数是 ▲ 。
10、不等式()()222240----<a x a x 对∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ 。
11、定义集合运算：(){},,==+∈∈A B z z xy x y x A y B ，设集合{}{}0,3,1,2==A B ，则集合AB 的所有元素的平均数为 ▲ 。
12、定义集合运算""⨯：(){},,⨯=∈∈A B x y x A y B ，称为,A B 的两个集合的“卡氏积”.若{}240,=-≤∈A x x x N ，{}1,2,3=B ，则()()⨯⋂⨯A B B A = ▲ 。
二.选择题（每小题5分，共20分）13、如果0<<a b ，那么下列不等式成立的是（▲）A 、11<a b B 、2<ab b C 、2-<-ab a D 、11-<-a b14、已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q =R R ，则a 的取值范围是（▲）A 、()2,∞-+B 、 ()4,∞+C 、 (],2∞--D 、 (],4∞-15、有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设,A B 都为有限集.给出下列命题： ① ()()()⋃=+card A B card A card B 是φ⋂=A B 的充要条件； ② ()()≤card A card B 是⊆A B 的必要不充分条件； ③ ()()1≤-card A card B 是A B Þ的充分不必要条件； ④ ()()=card A card B 是=A B 的充要条件； 其中真命题有（▲）A 、①②③B 、①②C 、②③D 、①④16、设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{},i ii S a b =、{},j j j S a b =（i j ≠且{},1,2,3,,i j k ∈）都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，（{}m i n ,x y 表示两个数,x y 中的较小者），则k 的最大值是（▲）A 、10B 、 11C 、 12D 、 13三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17、（本题满分14分）已知集合{}21,2,4=++M m m ，且5∈M .求m 的取值集合。
上海市金山中学高一月月考数学试题扫描含答案.docx
2019年高一综合能力测试数学试卷（满分100分考试时间60分钟）一、填空题（毎小题4分）31、 函数，=一2二的定义域是 ______x-2 j.2、 不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，官们除颜色外其它都相同，那厶从布袋中任意換出一个球恰好为红球的概率是 ____ .*、如图，AB 是O0直径，点C 在個的延长线上，仞与00相切于点0，若"=25°，则则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 _______ 分.5、 若二次函数尸M - bx- 1的图像经过点（2,1）,则代数式2019 - 2a+b 的值等于 ______ • 6, 如图，在笔直的海岸线Z 上有两个观测点zf 和点/在点B 的罡西方向，AB=2ka.若 从点/测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏來45°的方向，则船C 离7、在实数范围内分解因式4m 5-16m = ___________ •&己知亦尿是一元二次方程，-3x-6=0的两个实数根，那么卅+及'= ___________________ .9、 对两个不相等的实数根a 、b,我们规定符号max{a, 6}表示8、b 中较大的数，如：niax{2, 4} =4,按照这个规定：方程测■{/, -x}=^-的解为 ------------------- •10、 如图，肋是半©0的直径,且初=&点f 是半0°上的1个动点（不与点A, 〃重合）,过点C 作皿丄個垂足为几设必="AD=y,则（x-y ）的最大值等于 ________________________.考试成绩/分 30 29 28 27 」学生数/人315136314、某班的中考英语口语考试成绩如表:二' 选择題（毎小題4分）H、关于術的叙述正确的是（）A・V8=V3+V5 . B.在数轴上不存在表示丽的点G 士2、传,D.与雨最接近的整数是312、已知平行四边形ABCD, AC. M是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（）A. ^.BAC=Z.DCAB.厶BAC二厶DACC. ,BAC=,ABDD. ZBAC=ZADB13、下列四个函数图像中，当Y0时，函数值y随自变虽x的增大而减小的是（）14、如图，△磁中，AB=AC=2, BC=2届0点是△磁所在平面上的_个动点，且/赵=60° ,则△磁面积的最大值是（）卡、（1）化简川f2x-3<x,且x为整数时，求人的值•（2）若x满足不等式组'16、某商场购进-种毎件价格为90元的侨商品，在商场试悄吋危现'稱”价八元/件) 与毎天«W»Z<件〉之间濟足如图所示的关系•<1)求出，与JT之间的函敬关系式,(2)习出每天的利润，与时单价X之间的函数关系式，并求出害价定为多少时，毎天获得的利润最大？量大利润是多少？120 140 x（元件）17、如图，血是00的直径，C是肋延长线上一点，Q与00相切于点£血?丄〃于点0.(1)求证：廊平分ZZMG(2)若AB=4, Z磁=60° .①求〃的长；②求出图中阴彩部分的面积.18、如图，已知二次函数… J,2 51〉杓卄2"5>0〉的图像与X轴相交于点人B（点彳在点B的左侧），与y轴相交于点c,连接仏sc.（1）线段如一-（2）若/1C平分ZOCB,求巾的值t⑶该函数图像的对称轴上是否存在点p,便得△刃c为等边三角形？若存在，求出« 的值；若不存在，说明理由.2019年高一综合能力测试参考答案敷学（構分100分考试时间60分钟）-、填空题《毎小题4分） 1、=-的定义域是 乂02x-22、 不透明的布袋里有2个賛球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它祁相同，那么 从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是 .三— 103、 如图，M 是00直径，点C 在的延长线上，Q9与O0相切于点0,若ZX=25*，则4则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 ___________ 分.]5、 若二次函数y=d - bx- 1的图像经过点（2, 1）,则代数式2019 - 2a^b 的值等于 _______ . 20186、 如图，在笔直的海岸线Z 上有两个观测点/和$点彳在点〃的正西方向，AB=2km.若从点/测得船C 在北偏东60。
上海市金山中学高一数学上学期学业水平试卷(含解析)
2015-2016学年上海市金山中学高二（上）学业水平数学试卷一、填空题1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n= ．2．函数y=arcsin（1﹣x）的定义域是．3．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．4．若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα=．5．已知a n=，则a n= ．6．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= ．7．已知sinα+cosα=，α是第二象限角，那么tanα=．8．若 [2﹣（）n]=2，则实数r的取值范围是．9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为．10．将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f（x）的解析式是．11．若sinθ=，cosθ=，θ∈（，π），则m的取值范围是．12．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题13．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形14．若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．15．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞016．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9三、解答题（共5题，共52分）17．已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x，当x取何值时，y取得最大值和函数的对称中心？18．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？19．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S n，S k=2550．（Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ）求．20．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．21．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1，求T n的值．2015-2016学年上海市金山中学高二（上）学业水平数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n= 2 ．【考点】数学归纳法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用数学归纳法证明的步骤即可得出．【解答】解：利用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时，第一步取n=2，左边=2，右边==2，因此左边=右边．故答案为：2．【点评】本题考查了数学归纳法证明的步骤，考查了推理能力，属于基础题．2．函数y=arcsin（1﹣x）的定义域是[0，2] ．【考点】反三角函数的运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用反正弦函数的定义域求得x的范围．【解答】解：由函数y=arcsin（1﹣x），可得﹣1≤1﹣x≤1，求得0≤x≤2，故函数的定义域为[0，2]，【点评】本题主要考查反正弦函数的定义域，属于基础题．3．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．4．若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα= 3 ．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：由于角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上，那么tanα==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．已知a n=，则a n= ﹣1 ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；极限思想；转化法．【分析】分析知a n==．【解答】解：当n→∞时，只需考虑a n=（n≥2015），则a n==，其中，=0，所以，==﹣1，故填：﹣1．【点评】本题主要考查了极限及其运算，对于分段数列，其极限只需考虑n→∞时对应的分段，属于基础题．6．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 ．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．7．已知sinα+cosα=，α是第二象限角，那么tanα=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinαcosα，判断出sinα与cosα的正负，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα的值，与已知等式联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵sinα+cosα=①，α是第二象限角，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∴cosα＜0，sinα＞0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，①+②得：sinα=，①﹣②得：cosα=﹣，则tanα=﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．若 [2﹣（）n]=2，则实数r的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】极限及其运算；绝对值不等式．【专题】计算题；转化法；不等式的解法及应用．【分析】由 [2﹣（）n]=2得（）n=0，再解不等式||＜1即可．【解答】解：因为 [2﹣（）n]=2，所以（）n=0，因此，||＜1，解得r∈（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及含绝对值不等式的解法，属于基础题．9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到条件不满足，计算输出s的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环：s=0+，n=2+2=4；第二次循环：s=+=，n=4+2=6；第三次循环：s=+=，n=6+2=8；不满足条件n＜8，程序运行终止，输出s=．故答案为：．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．10．将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f（x）的解析式是y=sin （2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意函数y=sinx的图象，逐步逆推求出函数y=f（x）的图象对应的解析式即可．【解答】解：函数y=sinx的图象，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x，再把它的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2x+）的图象．故答案为：y=sin（2x+）．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，伸缩变换，注意函数变换的形式，逐步可逆，化简解题过程．11．若sinθ=，cosθ=，θ∈（，π），则m的取值范围是{8} ．【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】通过平方关系得到关于m的表达式，求出m的值，结合三角函数的性质，判断m的值即可．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ=1∴+=1，∴（m﹣3）2+（4﹣2m）2=（m+5）2即m2﹣6m+9+16﹣16m+4m2=m2+10m+25即25﹣22m+4m2=10m+25即﹣32m+4m2=0即m=0，或m=8因为＜θ＜π，当m=0时，sinθ=﹣35，矛盾，所以m=8故答案为：{8}【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，象限角三角函数值的符号，是基础题12．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为8 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f （x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f （x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题13．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得：A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．14．若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．16．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．三、解答题（共5题，共52分）17．已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x，当x取何值时，y取得最大值和函数的对称中心？【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，可得y=2sin（2x+），结合正弦函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：∵函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，y取得最大值，由2x+=kπ，k∈Z得：x=+kπ，k∈Z，故函数图象的对称中心坐标为：（ +kπ，0）（k∈Z）【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，二倍角公式和和差角（辅助角）公式，难度中档．18．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．19．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S n，S k=2550．（Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ）求．【考点】极限及其运算；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）设该等差数列为{a n}，由题设条件可知首项a1=2，公差d=2．由此可以求得a=2，k=50．（Ⅱ）由，得S n=n（n+1），=，由此求得求的值．【解答】解：（Ⅰ）设该等差数列为{a n}，则a1=a，a2=4，a3=3a，S k=2550．由已知有a+3a=2×4，解得首项a1=a=2，公差d=a2﹣a1=2．代入公式S k=k•a1+得∴k2+k﹣2550=0解得k=50，k=﹣51（舍去）∴a=2，k=50；（Ⅱ）由得S n=n（n+1），===∴=1．【点评】本题考查数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．20．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c 时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．21．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1，求T n的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过代入、取倒数可知=+，进而可知数列{}是首项为1、公差为的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知a n a n+1=•（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意， ===+，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=，∴数列{a n}的通项公式a n=；（2）由（1）可知a n a n+1=•=•（﹣），∴T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1=•（﹣+﹣+…+﹣）=•（﹣）=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形及裂项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2018-2019学年上海市金山区金山中学高一上学期期末考试数学试题
上海市金山区金山中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题1.已知幂函数()y f x =的图像过点1,22⎛⎝⎭，则2log (2)f =__________.2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且，{}22x x y x A -==，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ，则=*B A ________________.3.关于x 的不等式（）的解集为_____________. 4.函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是_______________________.5.已知集合{}2,A x x x =>∈R ，{}1,B x x x =≥-∈R ，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”.则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_______________________.6.已知关于x 的方程ax-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1121有一个正根，则实数a 的取值范围是______________.7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2(1)(1)0f t f t -++<，则实数t 的取值 范围为_____________.8.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是____________.9.作为对数运算法则：lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>）是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+.那么，对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ （0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a f b =的表达式为_______________________.10.已知函数1y x=的图像与函数()1xy a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若 2201a xx a ->--1a ≠AB =，则实数a 为____________. 11.若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_____________. 12.求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设函数34()()()55x x f x =+，则函数()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，方程623(23)23x x x x +=+++的解集为____________.二、选择题13.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果{}1log 2<=xx P ，{}12<-=x x Q ，那么=-Q P （）A.)1,0(B.]1,0(C.)2,1[D.)3,2[ 14.已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为（） A.),0[]1,(+∞--∞B.]0,1(-C.]0,1[-D.),0()1,(+∞--∞15.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只 有一个子集，则（）A.0>abB.0≥abC.0<abD.0≤ab16.已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的 不动点与稳定点.则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 三、解答题17.已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值.()221f x x tx =-+[]2,5x ∈()f x 8t18．已知集合{}0)1(2>--+=a x a x x A ，{}0))((>++=b x a x x B ，其中b a ≠，全 集=U R .（1）若1->>b a ，求B A ； （2）若∈+412a U C A ，求实数a 的取值范围.19．已知.（1）写出()H x 的解析式与定义域； （2）画出函数的图像； （3）试讨论方程的根的个数.20．某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⋅<<+=--)1(142)10(1112x a x x ax y x x ，其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5.（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该 药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）()()f x g x ==()()()H x f x g x =⋅(1)2y H x =-+(1)2H x m -+=21．已知()21x f x =+（a ∈R ）的图像关于坐标原点对称.（1）求a 的值，并求出函数的零点； （2）若函数()()221x x bh x f x =+-+在[0,1]内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设4()l o g 1k x g x x +=-，若不等式1()()f x g x -≤在12[,]23x ∈上恒成立，求满足条件的 最小整数k 的值.【参考答案】11242)()(-+-+=xxx f x F一、填空题 1.122.{}0(2,)+∞3.4.1,,13y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦5.C B C A ⊆R R6.()0,∞-7.(1,0)-8.3231<<x 9.(1)1ba b b =>- 10.411.),3(+∞ 12.{1,3}- 二、选择题 13.B 14.C 15.A 16.B 三、解答题17.解：函数的对称轴为，所以或.若，在上单调递增，，得，符合； 若，在上单调递减，，得，舍. 综上，. ()22,1a a +()221f x x tx =-+x t =2t ≤5t ≥2t ≤[]2,5()()max 5251018f x f t ==-+=95t =5t ≥[]2,5()()max 24418f x f t ==-+=34t =-95t =18．解：（1）因为1->>b a ，所以1<-<-b a ，故=A {}|1x x a x <->或，{}b x a x x B ->-<=或，因此{}1>-<=x a x x B A 或 .（2）U A ð＝{xx －1)(x ＋a )≤0}，由a 2＋41∈U A ð得(a 2－43)( a 2＋41＋a )≤0， 解得21-=a 或2323≤≤-a ，所以a 的取值范围是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-2323a a .19．解：（1）的定义域为，()()22220()2220x xx H x x x x xx ⎧+≥⎪=+=⎨--<<⎪⎩（2）=，图像略. （3）{}[)∞+∈，102 m 时，方程有一解； ()10,2∈m 时，方程有两解；()2,∞-∈m 时，方程无解.20．解：8a =，2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+（1）当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x <<. 当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++， ∵22x ≥，∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤， ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==.（2）∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4， ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解. 当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得4x = ()H x {}2x x >-(1)2y H x =-+()()()2221112124511x x x x x x x ⎧+≥⎪-+-+=⎨-+-<<⎪⎩当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得2log (8x =+.∴当2[4(8x ∈-+时，为有效时间区间.∴有效的持续时间为2log (8(4 3.85+--≈小时.21．解：（1）由题意知()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，得1a =.21()21x xf x -=+，)(x F ＝2121x x -+＋42121xx --+＝2(2)2621x x x+-+， 由2(2)26x x+-＝0，可得2x ＝2，所以，1x =，即)(x F 的零点为1x =.（2）2121(2)21()2212121x x x x x x x b bh x +-+--=+-=+++， 有题设知()0h x =在[0,1]内有解，即方程21(2)210x x b ++--=在[0,1]内有解.212(2)21(21)2x x x b +=+-=+-在[0,1]内递增，得27b ≤≤.所以当27b ≤≤时，函数()()221xxbh x f x =+-+在[0,1]内存在零点. （3）由1()()f x g x -≤，得241log log 11x k x x x++≤--， 2(1)1x k x x ++≥-，显然12[,]23x ∈时0k x +>，即22+11x x k x +≥-.设12111,[,][,]2332m x x m =-∈∈由于所以，于是222+125442325[4,]13x x m m m x m m +-+==+-∈-，所以23k 3≥.满足条件的最小整数k 的值是8k =.。