相似图形的判定及性质
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。
它们的边长之比相等，并且对应角度相等。
考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。
相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。
二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。
根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。
2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。
由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。
但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。
3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。
2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。
相似三角形的判定与性质 高效整合课件
如图，在△ABC 中，M 是 AC 边中点， E 是 AB 边上一点，且 AE＝14AB，连接 EM 并延长
交 BC 的延长线于 D，求证：BC＝2CD．
证明： 过点 C 作 CF∥AB 交 ED 于 F. ∴CAEF＝CMMA， ∵AM＝CM，∴CF＝AE＝14AB， ∴CF＝13BE. ∵CF∥AB，∴CBEF＝CBDD＝13， ∴BD＝3CD，即 BC＋CD＝3CD，
如图，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝ ∠DAE. ( 1 ) 求 证 ： B E ·A D ＝ C D ·A E
(2)根据图形的特点，猜想DBCE可能等于哪两条线段的比(只 写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．
解析： (1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC． ∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC．
解析： 梯形 ABCD 中，AD∥BC⇒△AMD∽△CMB，
AD＝10，BC＝20，SS△△ABMMDC＝12002＝14， ∵S△AMD＝500÷10＝50(米 2)，∴S△BMC＝200(米 2)， 则还需要资金 200×10＝2 000(元)， 而剩余资金为 2 000－500＝1 500＜2 000， 所以资金不够用．
①当 AD 在三角形内时，如图甲所示．在 Rt△ABD 中， ∵AB＝4 3，AD＝2 3， ∴BD＝ AB2－AD2＝ 4 32－2 32＝6. 同理可得，CD＝ AC2－AD2＝ 16－12＝2. ∴BC＝BD＋DC＝6＋2＝8. ∵(4 3)2＋42＝82，即 AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.
∴△ABE∽△ACD， ∴CBDE＝AADE，即 BE·AD＝CD·AE.
(2)DBCE＝AADCAAEB 证明：∵△ABE∽△ACD， ∴AACB＝AADE， 又∵∠BAC＝∠EAD， ∴△BAC∽△EAD，∴DBCE＝AADCAABE.
33相似三角形的性质和判定第1课时
6
【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角 形有什么关系？
两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应 边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以
两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特殊形式！
答：它们相似， 相似比为2:1
14
谢谢各位
15
下列结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
D
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
1 C.△ABC与△A′B′C′的相似比为 3
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为 1 4
12
试一试
三、已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相
似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE EF DF
4
想一想
2.由相似三角形的定义可知，相似三角形有哪些性质？
对应角相等，对应边成比例。 此性质用符号语言表示为：如果△ABC∽△ DEF，
那么（∠A= ∠D， ∠B= ∠E， ∠C= ∠F
）且（ AB BC AC ）。 DE EF DF
5
想一想
3.如图，根据相似三角形的判定定理1填写：
蓦然回首
什么叫相似图形？ 直观上，把一个图形放大（或缩小）
得到的图形与原图形是相似图形。
1
看书要求与目标
❖ 1.关起书来看能否说出所看书的主要内容； ❖ 2.关起书来看能否说出什么叫相似三角形？相似比？
能否用符号表示两个相似三角形？ ❖ 3.看能否从相似三角形的定义中说一说相似三角形
有哪些性质？ ❖ 4.关起书来看能否说出相似三角形的判定定理1？能
相似图形的知识点总结(16篇)
相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。
相似三角形总结
相似三角形总结 相似三角形总结1 1、相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2、相似三角形的表示方法：用符号'∽'表示，读作'相似于'。 3、相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4、相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
初中数学相似三角形定理知识点总结 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的对应边相等'的条件改为'对应边
成比例'就可得到相似三角形的.判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6、直角三角形相似： （1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形的对应角相等。 （2）相似三角形的对应边成比例。 （3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（4）相似三角形的周长比等于相似比。 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8、相似三角形的传递性 如果△abc∽△a1b1c1，△a1b1c1∽△a2b2c2，那么△abc∽a2b2c2相似三角形总结2
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
考核要求： （1）理解相似形的概念； （2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3：相似三角形的概念 考核要求：以相似三角形的`概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
苏教版八下10.5相似三角形的性质
在实际问题中，可以利用相似三角形 的面积和周长变化规律来解决一些与 比例、测量和计算相关的问题。
另外，还可以利用相似三角形的面积和周长 变化规律来解决一些与面积或周长相关的实 际问题，如计算不规则图形的面积或周长等 。
例如，可以通过测量相似三角形的一组对 应边长，计算出另一组对应边长，从而得 到一些难以直接测量的长度或距离。
通过已知条件确认两个三角形的三组 对应边成比例，从而证明两三角形相 似。
利用SAS判定定理证明
通过已知条件确认两个三角形的一组 对应边成比例且夹角相等，从而证明 两三角形相似。
判定定理在几何问题中应用
解决线段比例问题
利用相似三角形的性质，可以 解决涉及线段比例的问题，如 证明两条线段成比例或求解未 知线段的长度。
解决角度问题
通过相似三角形的性质，可以 求解或证明与角度相关的问题 ，如证明两个角相等或求解未 知角的度数。
解决面积问题
相似三角形的面积比等于对应 边比的平方，利用这一性质可 以解决涉及面积的问题，如求 解未知三角形的面积或比较两 个三角形的面积大小。
03
相似三角形中线段比例关系
中线、高、角平分线等线段比例关系
【解答】∵ (S△ABC/S△DEF) = (AB/DE)² = 4/9，∴ AB/DE = 2/3。又∵ CD/DH = AB/DE = 2/3，∴ DH = (3/2) × CD = (3/2) × 6cm = 9cm。
04
面积与周长在相似三角形中变化规律
面积比等于相似比平方原理
相似三角形的面积比 等于其对应边长的相 似比的平方。
易错难点剖析及注意事项
易错点
01
02
忽视相似三角形的对应关系和方向；
相似图形第三讲--三角形相似的判定
相似图形第三讲－－三角形相似的判定、性质一、知识要点1.三角形相似的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似.（2）三边对应成比例的两个三角形相似.（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. （2）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.二、知识要点及典型例题精讲【知识要点1】——三角形相似的判定定理【例1】如图，点P在平行四边形ABCD的边CD上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.（1）求证：△DQP∽△CBP;(2)当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长.【例2】如图1，要使△ADB∽△ABC,还需要增添的条件是 .【例3】一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm,30cm,36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边。
截法有那几种？【随堂练习四】1、如图1，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形 有 。
2、如图2，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延 长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是 。
3、如图3，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于E ，AD 交PC 于G ， 则图中相似三角形有 。
图1 图2 图3 图44、如图4，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论： ①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ． 正确的有 。
5、如图5，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是 ①∠EAF= 45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2+DC 2=DE 26、如图6，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A ′B ′ C ，点B ′在AB 上，A ′B ′交AC 于F ，则图中与△AB'F 相似的三角形有（不再添加其它 线段）是 。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
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期末提分练案
证明：过点 C 作 CM∥AB，交 DF 于点 M. ∵CM∥AB， ∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB. ∴△CMF∽△BDF. ∴BCFF＝CBMD. 又∵CM∥AD， ∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.
北师版 九年级上
期末提分练案
第6讲 相似图形的判定及性质 第5课时 技巧训练
证比例式或等积式的七种常用技巧
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期末提分练案
期末提分练案
证明：如图，连接 PM，PN. ∵MN 是 AP 的垂直平分线， ∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.
期末提分练案
∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP. ∴CBNP＝BCMP ，即 BP·CP＝BM·CN.
求证：AB·DF＝BC·EF.
期末提分练案
【点拨】利用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方 法：把等积式或者比例式中的四条线段分别看成两个三角形 的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要 证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应 关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
期末提分练案
6．如图，P 是▱ABCD 的边 BC 的延长线上一点，AP 分别交 BD 和 CD 于点 M 和 N.求证：AM 2＝MN·MP.
期末提分练案
【点拨】利用平行线得到角相等，从而判定三角形相似，再 由相似三角形对应边的比相等，可求某些线段的长或证明比 例式和等积式．当直接利用相似三角形对应边的比相等或平 行线截得的对应线段成比例无法解决时，可找中间比进行过 渡，而找“中间比”是证比例关系常用的方法．
期末提分练案
∴△ADE∽△CME. ∴AEEC＝CAMD. ∵D 为 AB 的中点，∴BD＝AD. ∴CBMD ＝CAMD . ∴BCFF＝AEEC，即 AE·CF＝BF·EC.
期末提分练案
2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线 上有一点 E，且 AD＝CE，DE 交 AC 于点 F.
期末提分练案
∴∠MAD＝∠AMB＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°. ∴∠B＝∠MAN. ∴△AMN∽△BAC. ∴AAMB ＝MACN.
期末提分练案
9．如图，CE 是 Rt△ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任 取一点 P，连接 AP，作 BG⊥AP 于点 G，交 CE 于点 D．
7．如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F.求证：BBFE＝ABBC.
期末提分练案
证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE 平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∽△BAE.∴BADB＝BBFE. ∵∠BAC＝∠BDA＝90°， ∠ABC＝∠DBA. ∴△ABC∽△DBA. ∴ABBC＝BADB.∴BBFE＝ABBC.
期末提分练案
证明：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G. 易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC. ∴DEFF＝DCEG，ABBC＝DADG. ∵AD＝CE，∴DCEG＝DADG. ∴ABBC＝EDFF，即 AB·DF＝BC·EF.
期末提分练案
3．如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证：DAEC＝ACDF.
期末提分练案
∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴AM＝ME，即 MD AM
AM2＝MD·ME.
期末提分练案
5．如图，在等边三角ຫໍສະໝຸດ ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点， AP 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
期末提分练案
证明：∵AB∥DN， ∴∠MBA＝∠MDN，∠MAB＝∠MND. ∴△AMB∽△NMD. ∴NAMM＝BDMM. 又∵AD∥BP， ∴∠MAD＝∠P，∠MDA＝∠MBP.
期末提分练案
∴△BMP∽△DMA. ∴AMMP＝DBMM. ∴MAMN＝AMMP. ∴AM2＝MN·MP.
期末提分练案
期末提分练案
8．如图，在▱ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为 M，N.求证：
期末提分练案
(1)△AMB∽△AND； 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND.
期末提分练案
(2)AAMB ＝MACN. 证明：由△AMB∽△AND 得AAMN＝AABD，∠BAM＝∠DAN. 又∵AD＝BC，∴AAMN＝ABBC. ∴AAMB ＝ABNC. ∵AM⊥BC，AD∥BC，
期末提分练案
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥DC，∠A＝∠C. ∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE. ∴DAEC＝CAFD.
期末提分练案
4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点， DM⊥BC 交 CA 的延长线于 D，交 AB 于 E.
求证：AM2＝MD·ME.
期末提分练案
【点拨】三点定型法是证明线段等积式或比例式时找相似三 角形的最常用且最有效的方法，它就是设法找出比例式或等 积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，是否存在可 由“三点”确定的两个相似的三角形．
期末提分练案
证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D. 又∵M 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.