第七章复数整章练习【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册检测(含解析)
内边界，但不包括外边界（如图所示）.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，复数 z 的模 z 表示其在复平面上对应点 Z 到原点的距离 OZ ． 16．(1) m 1或 m 3：
(2) m 4 ； (3) 4 m 1 . 【分析】 (1) z 是实数，根据虚部为 0 ，列方程即可求解； (2) z 是纯虚数，根据实部为 0 ，虚部不为 0 ，列方程组即可求解； (3) z 对应的点在第二象限，根据实部小于 0 ，虚部大于 0 ，列不等式组即可求解. 【详解】
加这个条件就不可能一一对应. 9．C 【分析】
根据条件列方程，求出 x ，进而可得 z 在复平面内对应的点在第几象限.
【详解】
由 12 x2 2 ，得 x 3 ，∴ z 1 3i ，故 z 在复平面内对应的点位于第一或第四象
限. 故选：C. 【点睛】 本题考查复数模的运算以及复数的几何意义，是基础题. 10．B 【分析】
人教 A 版 7.1 复数的概念课前检测题
一、单选题ห้องสมุดไป่ตู้
1．已知 i 是虚数单位，复数 z 1 2i 的虚部为（ ）
A． 2
B． 2
C． 2i
D．1
2．设复数 z a bi(a R, b R) ，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有
z 1，则 a b （ ）
A． -1
B．0
C．1
（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）z 对应的点在第二象限
1．A 【分析】 根据复数的概念可得出结论. 【详解】
复数 z 1 2i 的虚部为 2 .
故选：A. 2．C 【分析】
参考答案
根据复数的几何意义得 a, b ．
【详解】
∵ z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴ a 0 ，又 z 1，∴ b 1， ∴ a b 1．
解：因为复数 z 1 2i ，
所以 | z | 12 (2)2 5 ．
故答案为： 5 ．
14． 2, 1 2,
【分析】 由已知建立不等式组，解之可得答案． 【详解】
m 2 0 根据题意得出 m2 m 2 0 ，解得 2 m 1或 m>2 ，所以实数 m 的取值范围是
2, 1 2, ． 故答案为： 2, 1 2, ．
【分析】
复数所对应的点在第二象限应满足实部 a 0 ，虚部为 b 0 ，解不等式在即可得到答案.
【详解】
∵在复平面内，若复数 z m2 4m m2 m 6 i 所对应的点在第二象限，
∴
m2
m
2
4m 0 m6
0
解得
3
x
4
∴实数 m 的取值范围是 3, 4
故选：D. 【点睛】 本题考查复数的概念及分类，属于基础题. 6．D 【详解】
D．1 5i
5．已知 i 为虚数单位，设 z 5 3i ，则在复平面内，复数 z 5i 所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．如图，在复平面内，若复数 z1 ，z2 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数
z z1 2z2
所对应的点位于（ ）
A．第一象限 C．第三象限
A．1
B．1 或 4
C． 4
D．0 或 4
8．下列命题中,正确的是( )
A．复数的模总是正实数
B．复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应
C．如果与复数 z 对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
9．设 z 1 xi(x R) ，且 | z | 2 ，则 z 在复平面内对应的点在第（ ）象限.
数 m 的取值范围是（ ）
A． 0,3
B． , 2
C． 2, 0
D． 3, 4
6．已知 z1 5 3i ， z2 5 4i ，下列各式中正确的是
A． z1 z2
B． z1 z2
C． z1 z2
D． z1 z2
7．复数 4 3a a2i 与复数 a2 4ai 相等，则实数 a 的值为（ ）
三、解答题 15．已知 i 为虚数单位，计算：
（1） (1 2i) (3 4i) (5 6i) ；
（2） 5i [(3 4i) (1 3i)]；
（3） (a bi) (2a 3bi) 3i(a,b R) .
16．已知 A(1, 2) ， B(a,1) ， C(2,3) ， D(1, b) ， (a,b R) 是复平面上的四个点，且
【点睛】
本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
人教 A 版 7.2.1 复数的加、减运算课前检测题
一、单选题
1． 2 i 3 i （ ）
A． 5 2i
B． 5 5i
C． 6 i
2．若复数 z 满足 z 1 i 2i 1，则 | z | （ ）
D． 6 5i
向量
AB
，
CD
对应的复数分别为
z1
，
z2
.
（1）若 z1 z2 1 i ，求 z1 ， z2 ；
（2）若 z1 z2 2 ， z1 z2 为实数，求 a ， b 的值.
1．A 【分析】 利用加法法则运算即可. 【详解】
2 i 3 i 5 2i .
参考答案
故选：A 【点睛】 本题考查复数的加法运算，是一道基础题. 2．A 【分析】
D．2
3．在复平面内，复数1 i 的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．若复数 (a2 3a 2) (a 1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．1 或 2
D．-1
5．在复平面内，若复数 z m2 4m m2 m 6 i 所对应的点在第二象限，则实
二、填空题
11．计算 (5 5i) (2 i) (3 4i) ________.
12．在复平面上，如果
AB
，
AC
对应的复数分别是
5
4i
，
2
3i
，那么
BC
对应的
复数为________.
13．若复数 z 的共轭复数 z 2z 1 i ，则 z __________．
14．设 f z z ， z1 3 4i ， z2 2 i ，则 f z1 z2 ______.
故选：C． 3．D 【分析】 求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. 【详解】
复数1 i 的共轭复数为1 i ，
其对应的点 1, 1 位于第四象限.
故选：D. 【点睛】 本题考查复数的几何意义，属于基础题. 4．B 【解析】
由
得 a 1或2 ，且 a 1 0得a 1，a 2 ．
5．D
【分析】
根据共轭复数的知识列方程组，解方程组求得 x, y 的值.
【详解】
(x
2)
yi
和
3x
i
互为共轭复数,
x y
2 3x, (1) 0,
解得
x y
1, 1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查共轭复数的概念，属于基础题.
12．B
【分析】
将点 (2, a) 代入直线方程，由此求得 a 的值，进而求得 z2 对应点所在象限.
B．第二象限 D．第四象限
7．已知复数 z1 1 i ， z2 1 i ，若 3 2i mz1 nz2 m, n R ，则 mn （ ）
3
A．
2
2
B．
3
4
C．
5
5
D．
4
8．已知是虚数单位，那么 (3 i) (1 2i) （ ）
A． 2 3i
B． 4 i
C． 4 2i
D． 4 3i
由条件 z 1 i 2i 1 ，则 z 2i 11 i ，求出 z ，在求| z | .
【详解】
∵ z 1 i 2i 1 ，∴ z 2 i ，
∴ z 22 12 5 .
故选：A
【点睛】
本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.
9．已知复数 z1 2 i ， z2 1 2i ，则 z1 z2 （ ）
A． 3 i
B． 3 i
C．1 3i
D．1 3i
10．设 z1 3 4i ， z2 2 3i ，其中 i 为虚数单位，则 z1 z2 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【详解】
复数
z1
2
ai(a
R)
对应的点的坐标为
(2,
a)
,该点在直线
y
1 3
x
4 3
上,故
a
2 3
4 3
,解得
a
2
,所以复数
z2
2
2i
,它对应的点的坐标为
(2, 2)
,在第二象限,故
选：B
【点睛】
本小题主要考查复数对应点的坐标以及对应点所在象限.
13． 5
【分析】 由复数的模的计算公式即可求出． 【详解】
（2）不等式 2
|
z
|
5
可化为不等式组
|
z z
2 5
,不等式
|
z
|
5
的是圆
|
z
|
5
的内部所有的点
组成的集合，不等式 | z | 2 的解集是圆 | z | 2 上的点及其外部所有的点组成的集合，所以，
满足条件 2 | z | 5 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 及 5 为半径的两个圆所夹的圆环，包括
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。
高中数学第七章复数单元检测含解析新人教A版必修第二册
单元素养检测(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.= ( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.===2-i.2.若复数z-2+3i=1-i,则∣z∣=( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.3.复数z=在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数z===-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.【补偿训练】(2019·天津高二检测)在复平面上,复数对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意,复数=1+i,所以复数对应的点的坐标为位于第一象限.4.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z= ( )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.【解析】选D.z(1+i)=2i,z===i(1-i)=1+i.5.z是纯虚数的一个充要条件是( )A.z+≠0B.z-≠0C.z·≠0D.=-z(z≠0)【解析】选D.(1)设z=bi(b≠0),则=-bi,所以z+=0,所以=-z(z≠0).(2)设z=a+bi(z≠0),则=a-bi,因为=-z,所以a-bi=-(a+bi),即a=0,又z≠0,所以b≠0,所以z是纯虚数,由(1),(2)知z是纯虚数的一个充要条件是=-z(z≠0).6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于( )A. B. C.- D.-【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)·a+3m+i=0,所以所以7.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.由图可知z=3+i,所以====2-i,对应复平面内的点H.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,则点M的坐标为(a+2,a-2),当a=1时,坐标为(3,-1),即点M在第四象限,若点M在第四象限,而a=1却不一定成立,故“a=1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知复数z=,则下列结论正确的是( )A.z的虚部为iB.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=-1+i【解析】选BC.因为复数z===1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.10.设z是复数,则下列命题中的真命题是( )A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0【解析】选ABD.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确.对选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z2≥0错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.11.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是( )A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=2+i,则z=+iD.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z====4+3i,选项B是真命题.设z=x+yi(x,y∈R),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i,所以选项C是真命题.若z·(2+i)=10-5i,则z====3-4i,=3+4i,选项D是假命题.12.下列复数不可能与复数+i(a∈R)相等的是( )A.-2iB.a2+iC.3-a2iD.3+a2i【解析】选ACD.由于+i不可能是纯虚数,而-2i是纯虚数,故-2i和+i不可能相等;当a2=,即a=1时,a2+i和+i相等;因为复数3-a2i的虚部-a2≤0,而+i的虚部为1,故二者不可能相等;若3+a2i和+i相等,则而此方程组无解,故二者不相等.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.定义运算=ad-bc,若复数x=,y=,则y=________.【解析】依题意,y=4i(x+i)-2xi=4i2+2xi=-4+=-4+=-4+2=-2.答案:-214.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=________.【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,=5.答案:515.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.【解析】因为=b+i,所以a+2i=bi-1,所以所以a+b=1.答案:116.已知+i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=________, b=________. 【解析】把+i代入方程得a+b+1=0,即+i=0.所以即解得答案:1 -四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,所以a=-2或a=6.19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).(1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平面上所对应的点在第二象限,所以解得-3<m<-,所以m的取值范围是.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m+10=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=.20.(12分)已知z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,当θ为何值时:(1)z1=z2;(2)z1,z2对应点关于实轴对称;(3)|z2|<.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得θ=2kπ+(k∈Z).(2)因为z1与z2对应点关于实轴对称,所以即解得θ=2kπ+π(k∈Z).(3)因为|z2|<,所以<,即3sin2θ+cos2θ<2,化简得sin2θ<,解得-<sin θ<,所以kπ-<θ<kπ+(k∈Z).21.(12分)已知复数z=(2+i)-(其中i是虚数单位,x∈R).(1)若复数z是纯虚数,求x的值;(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为z=(2+i)-=(2-x)+(1-x)i,且复数z为纯虚数,所以解得x=2.(2)由(1)知函数f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,又函数f(x)与g(x)=-mx+3的图象有公共点,所以方程2x2-6x+5=-mx+3有解,即方程2x2+(m-6)x+2=0有解,所以Δ=(m-6)2-4×2×2≥0,所以m≤2或m≥10.所以实数m的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞).【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=x2+ai对于任意实数x,都有>恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】依题意,得|z1|=,|z2|=,|z1|>|z2|⇒|z1|2>|z2|2⇒x4+x2+1>x4+a2⇒x2+1>a2⇒-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.【解析】(1)设x∈R是方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan θ-2-i(x+1)=0.所以由②得x=-1,代入①得tan θ=1,所以锐角θ=.(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a≠0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan θ+1)i=0.所以(*)因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.。
第七章 复数 单元检验-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第七章 复数 单元检验——2022-2023学年高一下学期数学人教A 版（2019）必修第二册一、单选题(共8题；共40分)1．（5分）复数 ， ， 是虚数单位.若 ，则（ ） A ．2B ．-2C ．0D ．2．（5分）已知i 为虚数单位,复数 满足 ,则z 的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知z=m ﹣1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣2，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）4．（5分）已知i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（5分）若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=2﹣i ，则z 1•z 2=（ ） A ．﹣5B ．5C ．﹣4+iD ．﹣4﹣i6．（5分）已知 ，则下列说法正确的是（ ）A ．复数 的虚部为B ．复数 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数D ．7．（5分）已知复数，，则下面四个命题中为真命题的是（ ）：若，则；：若，则；：若，则；：若，则.A ．，B ．，C ．，D ．，()()21z a i i =-+a R ∈i 4z =a =2±z 12z i i ⋅=+2i -12i -2i +2i -2017z =(12)z i i -=z 5iz 255i z =-15z =1z 2z 1P 12z z =12z z =2P 12z z =-12z z =-3P 12z z =12z z =4P 12z z =12z z =1P 3P 1P 4P 2P 3P 2P8．（5分）设a ，b 为实数，若复数，则（ ） A ．B ．a=3，b=1C ．D ．a=1，b=3二、多选题(共4题；共20分)9．（5分）已知复数（且），是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知复数（i 为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（ ）A ．B ．C ．的共轭复数为D ．在复平面内对应的点在第三象限11．（5分）已知复数，其中z 为虚数，则下列结论中正确的是（ ）A ．当时，的虚部为B ．当时，C ．当时，ω=3−iD ．当时，12．（5分）设是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）A ．若，则不一定是实数B ．若，则是虚数C ．若是虚数，则D ．若是纯虚数，则三、填空题(共5题；共20分)13．（4分）已知复数满足为虚数单位，则 ．14．（4分）复数的值是 15．（4分）复数 满足 ，则复数 的共轭复数 ．16．（4分）已知复数 满足 则 .17．（4分）已知 ( 是虚数单位), 定义: 给出下列命题:4P 121ii a bi+=++31,22a b ==13,22a b ==i z a b =+R a b ∈，0b ≠z Rz z +∈Rz z -∈Rz z ⋅∈R zz∈(1i)i z =-+z ||2z =22iz =z 1i+z 4ωz z=+1i z =+ω1-1i z =+|ω|=1i z =+ωR ∈||4z =z 20z ≥z 20z <z z 20z ≥z 20z <z ()12i 5(z i -=)z =101i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭z ()127i z i -=+z z =12z z 、1212 1 z z z z ==-=，12z z +=z a bi =+a b R i ∈，，12z z C ∈，，()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，⑴对任意 都有 ⑵若 是 的共轭复数,则 恒成立；⑶若 则 ⑷对任意 结论 恒成立.则其中所有的真命题的序号是 .四、解答题(共6题；共70分)18．（10分）已知复数，其中，为虚数单位．（1）（5分）当取何值时，为纯虚数；（2）（5分）如果复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．19．（15分） 为何实数时，复数在复平面内所对应的点（1）（5分）在实轴上；（2）（5分）在虚轴上；（3）（5分）位于第四象限．20．（10分）已知 是复平面内的平行四边形，顶点A ，B ，C 对应的复数分别为 ， ， .（1）（5分）求点D 对应的复数为 ；（2）（5分）令复数 ，当实数 取什么值时，复数z 表示的点位于第二或四象限.21．（10分）已知复数 满足: 求 的值.22．（10分）已知复数 （ ， 是虚数单位）． （1）（5分）若 是纯虚数，求实数 的值；（2）（5分）设 是 的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围．23．（15分）实数m 分别为何值时，复数z= +（m 2﹣3m ﹣18）i 是（1）（5分）实数； （2）（5分）虚数；z C ∈，()0D z >；z z ()()D z D z =()()()1212D z D z z z C =∈，，12z z =；123z z z C ∈，，，()()()131223 + D z z D z z D z z ≤，，，()()22632i z m m m m =+-+-+m R ∈i m z z m m ()()223456z m m m m i =--+--()m R ∈ABCD 13i -i -24i +0z (13)(24)z i m i =-⨯-+m z 13i ,z z =+-22(1i)(34i)2z++64i1im z -=+m R ∈i z m z z 2z z -m 2233m m m +-+（3）（5分）纯虚数．。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第七章 复数 综合测试(附答案与解析)
第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i 6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i i z z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,1)C .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21i z +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ∈R g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ∈R ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ∈R ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z ωθθ∈+=+=-C （θ为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z ∴+=-++-=-+，12z z ∴+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +∴==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，∴设i z b =（b ∈R 且0b ≠），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b ∴+=，即2b =-，2i z ∴=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d ∴++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，∴“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ⋅∈R ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ∈R ，则z z ⋅∈R .∴“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ⎧+-=⎪⎨++≠⎪⎩即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、1316【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，240,20,a a ⎧-=⎪∴⎨-≠⎪⎩解得2a =-，4i z ∴=-，4i z =，114i z ∴+=-=，=16z z ⋅.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z ∴=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++∴===---+，其共轭复数为i -，∴其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM =uuu r ，所以1210M M =uuuuu u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==uuur uuur uuuuu u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b -=∴-=⎪⎩解得4,3,a b =-⎧⎨=⎩43iz ∴=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++∴====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩即251,53,m k m m m ⎧==-⎪⎨≠≠-⎪⎩或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m ∴--+=，10,20,n m m --=⎧∴⎨=⎩解得1,0,n m =⎧⎨=⎩1m n ∴+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m ∴--+-=，40,240,n m m --=⎧∴⎨-=⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，∴12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-⎧⎨-+--=-⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ⎧⎪-⎨⎪-⎩＜＜解得1,5,2a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a ∴=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a ⎡⎤∴+=+-+--=++---⎣⎦-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a ∴---=≠≠且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a ∴=+-=-+-，1z ∴=21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22ππ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，∴点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。
复数全章综合测试卷(基础篇)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
第七章复数全章综合测试卷（基础篇）【人教A版2019】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（ ） A ．i 9=iB ．复数z =3−2i 的虚部为−2C ．若z =(1+i )2，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z 满足z −2i =z i +4，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 的模为√10B ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为−1+3iD ．(z−13)2023=−i11．（5分）（2022春·福建三明·高一期末）设复数z =12+√32i ，其中i 是虚数单位，下列判断中正确的是（ ） A ．z +z̅=1B ．z 2=z̅C ．z 是方程x 2−x +1=0的一个根D ．满足z n ∈R 最小正整数n 为312．（5分）（2022春·江苏常州·高一期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式e i θ=cosθ+i sinθ（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ） A ．e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B ．e i π+1=0 C ．(12+√32i )3=−1D ．cosθ=e i θ+e −i θ2三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·高三课时练习）复数4+3i 与−2−5i 在复平面上对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 . 14．（5分）（2023·高一课时练习）把复数−1−i （i 为虚数单位）改写成三角形式为 ． 15．（5分）（2022春·河南濮阳·高一阶段练习）设复数z 满足(1+i )z =2i ，则|z |= ． 16．（5分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）下面给出的几个关于复数的命题，①若(x2−4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±2②复数(a2+1)i(a∈R)是纯虚数③复数z=−sin100°+i cos100°在复平面内对应的点Z位于第三象限④如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，则|z−2i−1|的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数z满足z+|z|=1−2i，求复数z.18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．(1)(1+i)(1−i)+(−1+i)；(2)(1−2i)(2+i)(3−4i)．19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.(1)z=(1−√3i)5；(2)z=12(cosπ4−i sinπ4).20．（12分）（2022·全国·高一专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1=2(cos1112π+i sin1112π)；(2)z2=12(cos23π−i sin23π)；(3)z3＝－2(cos θ＋isin θ)．21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数z=(m2−3m+2)+(m2−4m+3)i，m∈R．(1)若z是实数，求m的值．(2)若z是纯虚数，求m的值．(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数z1是方程x2−6x+25=0的一个根．(1)求z1；(2)设z2=a+i（其中i是虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数z2满足|z13⋅z2|=125√5，求z22．第七章复数全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（）A．i9=iB．复数z=3−2i的虚部为−2C．若z=(1+i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数【解题思路】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.【解答过程】对于A，i9=(i2)4⋅i=i，A正确；对于B，复数z=3−2i的虚部为−2，B正确；对于C，z=(1+i)2=2i，则z=−2i，复平面内z对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：ABD.10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z满足z−2i=z i+4，则下列说③复数z=−sin100°+i cos100°在复平面内对应的点Z位于第三象限④如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，则|z−2i−1|的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是②③.【解题思路】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【解答过程】对于①，因为(x2−4)+(x2+3x+2)i为纯虚数，所以{x 2−4=0x2+3x+2≠0，解得x=2，故①错误；对于②，因为a∈R，所以a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故②正确；对于③，因为−sin100°<0，cos100°<0，所以z=−sin100°+i cos100°在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，|z+i|+|z−i|=2表示复数z对应的点Z到点A(0,−1)和到点B(0,1)的距离之和，又因为|AB|=2，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而|z−2i−1|表示点Z到点P(1,2)的距离，所以其最小值为|PB|=√(1−0)2+(2−1)2=√2，故④错误．故答案为：②③．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数z满足z+|z|=1−2i，求复数z.【解题思路】设z=a+bi(a,b∈R)，根据已知条件列方程，求得a,b，进而求得z.【解答过程】设z=a+bi(a,b∈R)，所以|z|=√a2+b2，代入方程得a+bi+√a2+b2=1−2i，由复数相等的条件得{a+√a2+b2=1b=−2，解得a=−32,b=−2，所以z=−32−2i.18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．(1)(1+i)(1−i)+(−1+i)；(2)(1−2i)(2+i)(3−4i)．【解题思路】（1）由复数的乘法与加法法则计算；（2）由复数的乘法法则计算．【解答过程】（1）(1+i)(1−i)+(−1+i)=1+1+(−1+i)=1+i；（2）(1−2i)(2+i)(3−4i)=(2+i−4i−2i2)(3−4i)=(4−3i)(3−4i)=12−16i−9i+12i2=−25i.19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.(1)z=(1−√3i)5；(2)z=12(cosπ4−i sinπ4).需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限． 所以z 3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数z =(m 2−3m +2)+(m 2−4m +3)i ，m ∈R ．(1)若z 是实数，求m 的值．(2)若z 是纯虚数，求m 的值．(3)若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围；【解题思路】（1）由复数的概念可得m 2−4m +3=0，解出即可得到结果；（2）由复数的概念可得{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解出即可得到结果； （3）根据复数的几何意义，可得{m 2−3m +2>0m 2−4m +3<0，解出不等式组即可得到结果. 【解答过程】（1）因为z 为实数，所以m 2−4m +3=0，解得m =1或m =3.（2）因为z 是纯虚数，所以有{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解得m =2. （3）因为z 对应复平面上的点在第四象限，所以有{m 2−3m +2>0m 2−4m +3<0， 解得2<m <3.22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数z 1是方程x 2−6x +25=0的一个根．(1)求z 1；(2)设z 2=a +i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 2的共轭复数z 2满足|z 13⋅z 2|=125√5，求z 22． 【解题思路】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得a =±2，进而即得.【解答过程】（1）因为x 2−6x +25=0，所以Δ=(−6)2−4×25=−64，所以x =6±√64i2=3±4i ，所以z 1=3+4i 或z 1=3−4i ；（2）由z 2=a +i ，可得z 2=a −i ，当z 1=3+4i 时，|z 13⋅z 2|=|(3+4i )3⋅(a −i )|=125√5，所以125√a 2+1=125√5，解得a =±2，当a =2时，z 22=(2+i )2=3+4i ，当a =−2时，z 22=(−2+i )2=3−4i.。
高中数学人教A版(2019)必修第二册第七章复数单元测试A卷
必修第二册第七章复数单元测试A 卷一、单选题1．已知i 为虚数单位，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,2)-，则复数12iz z ⋅=（ ） A ．34i -- B ．34i -+ C ．43i -- D ．3-2．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -3．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆4．已知复数z =z 是z 的共轭复数，则•z z =A ．14B ．12C ．1D ．25．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3二、多选题6．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -7．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题8．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”．已知复数1z a =与22i z b =+互为“邻位复数”，,R a b ∈，则22a b +的最大值为_____．9．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin 5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．10．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 11．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______. 四、解答题12．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.13．实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++--(1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数 (3)对应的点在x 轴上方.14．已知复数1z 、2z满足1||1z =、2||1z ，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.15．已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值； （2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间；①已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值.参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()12212i i z zii+-⋅=，计算得到答案.【详解】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()122124334i i z zi i iii+-⋅-===--.故选：A. 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 2．B 【解析】 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++， 则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 3．A 【解析】 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A. 4．A 【解析】 【分析】利用复数除法化简14z i =，再求出共轭复数，进而可得结果. 【详解】i i z ==1114i i -+===，14z i =，111•444z z i i ⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 5．B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i +--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 6．BC 【解析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】根据题意，{},nM m m i n N ==∈中，()4n k k N =∈时，1n i =； ()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-， {}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉. 故选：BC. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 7．AC 【解析】 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.8．8+【解析】 【分析】由已知条件与复数模长的计算公式可知()(2221a b -+=，所求表达式表示点(),a b 到原点的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解. 【详解】因为复数1z a =与22i z b =+互为“邻位复数”，所以2i 1a b --=，故())2221a b-+=，即()(2221a b -+=，其表示的是点(),a b 的轨迹是以(A 为圆心，半径1r =的圆，(),a b 到原点的距离，即11OA r +，所以22a b +的最大值为)218=+故答案为：8+9． 118(,)55- 1-【解析】 【分析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=则118)55z i '==-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-.故答案为：118(,)55-；1-【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题. 10．1 【解析】 【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．6 【解析】 【详解】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=，所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然.12．（1）3a b ==；（2）min z 【解析】（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可. 【详解】（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根，()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==.（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，=z 对应的点Z到点()1,1-的距离为构成的图形是以()11,1O -为圆心，.当点Z 在1OO所在的直线上时，z 有最大值或最小值，1OO=r =∴当1z i =-时，z 有最小值，且minz 【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题. 13．（1）m ＝－1 （2）m ＝1（3）m<－3或m>5. 【解析】 【详解】解：(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5.14．12z z =，12||4z z +=.【解析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于2221)1)4+=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥， 则1212||||4z z z z +=-=，2121z z ===. 【点睛】 本题的易错点在12z z =，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 15．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；①78- 【解析】 【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式. （1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值. （2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.①利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3πα+的值.答案第9页，共9页 【详解】由于12z z =，所以sin 22x m m x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 22x x λ=. （1）当0λ=时，sin 220x x =，则tan 2x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =. （2）由于sin 22x x λ=，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z . ①依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-. 【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题.。
高中试卷-人教A版2019必修二第七章 复数 单元测试卷(Word版含解析)(含答案)
第七章 复数 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分)1、(4分)已知1i z =+, 则i i z z +=-( )A. 34i 55+ B. 34i 55+ C. 41i 5+ D. 41i 5-2、(4分)若23i z z +=+, 则 z =( )A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i--3、(4分)已知复数()211i z a a =-++，其中R a Î，i 是虚数单位，若z 为纯虚数，则a 的值为( )A.1-B. 0C. 1D.1-或14、(4分)若复数(3)i x z =-+是（i 虚数单位，R x Î）为纯虚数，则在复平面内复数1i z x =-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、(4分)若复数 i i 1i a z -=-+()a ÎR 在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a =( )A. 4 B. 2C. 3-D. 4-6、(4分)已知复数2i 1z =-, 则 5z z += ( )A. 4i B. 4i - C. 2 D. 2-7、(4分)ABC △的三个顶点所对应的复数分别为123,,z z z 复数z 满足123z z z z z z -=-=-,则z 对应的点是ABC △的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8、(4分)复数i(,)a b a b +ÎR 的平方是一个实数的充要条件是( ).A.0a =且0b ¹B.0a ¹且0b =C.0a b ==D.0ab =9、(4分)已知i 为虚数单位，复数()()2i 1i z a =++，a ÎR ，若z 为纯虚数，则a =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-10、(4分)已知复数2()1ai z a R i +=Î+在复平面内对应的点在第四象限，则a 的取值范围是( )A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－2，1) D.(－2，2)二、填空题(共25分)11、(5分)已知,,3i a b R a Î+是关于x 的方程220x x b ++=的根，则a b +=________.12、(5分)若复数()i z a a =+ÎR 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =________.13、(5分)已知2i z =-，则z =_____________，i z +=_____________．14、(5分)欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，5i e p 表示的复数的虚部为_________.15、(5分)已知复数12i 2iz -=+在复平面内对应的点为A ，复数2z 在复平面内对应的点为B ，若向量AB uuu v 与虚轴垂直，则2z 的虚部为_________.三、解答题(共35分)16、(8分)已知关于x 的方程()2250x px p -+=ÎR 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若8p =，求1x 、2x ；（2）若134i x =+，求p 的值．17、(9分)已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；18、(9分)已知1i,,z a b =+为实数.(1)若234z z w =+-，求||w .(2)若221i 1z az b z z ++=--+，求a ，b 的值.19、(9分)已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-Ç=，求实数a 的值.参考答案1、答案：A 解析：()()()()12i 12i i 12i 34i i 12i 12i 12i 55z z ++++===-+---+. 故选A 2、答案：A解析：设(),i R z a b a b =+Î, 因为()2i 2i 3i 3i z z a b a b a b +=-++=+=+, 所以1a b ==, 故1i z =+.3、答案：C 解析：由复数z 为纯虚数可知21010a a ì-=í+¹î，解得1a =4、答案： D解析：5、答案：C解析：()()i 1i i 13i i i 1i 222a a a a z ----+=-=-=-+, 由题意可得 z 为实数, 所以30,a +=3a =-.6、答案：D解析：()5512i 12i 12i i 212iz z +=-++=-++--=--+, 故选 D 7、答案：A解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应,由ABC △的三个顶点所对应的复数分别为123,,z z z 及123z z z z z z -=-=-可知点Z 到ABC △的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z 即为ABC △的外心.8、答案：D解析：因为22222(i)2i (i)2a b a ab b a b ab +=++=-+为实数，所以0ab =，反之，当0ab =时，复数i(,)a b a b +ÎR 的平方是一个实数，所以复数(,)a bi a b +ÎR 的平方是一个实数的充要条件是0ab =，故选D.9、答案：C解析：10、答案：B解析：11、答案：9解析：由题可知()2(3i)23i 0a a b ++++=，即()()22966i 0a a b a +-+++=，所以2290,660,a a b a ì+-+=í+=î解得110,a b =-ìí=î所以9.a b += 12、答案：1±解析： i z a =-，因为复数z 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，所以21a =，所以1a =±13、答案：2i +；解析：14、答案：12解析：15、答案：45-解析：16、答案：（1）143i x =+，243i x =-；（2）6p =解析：（1）由题意得，2100360p D =-=-<，∴86i 43i 2x ±====±，∴143i x =+，243i x =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=Î的一根为134i x =+，所以()()()()234i 34i 25183244i 0p p p +-++=-+-=，所以1832440p p -=-=，解得6p =．17、答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ì--=í-+¹î，解得12212m m m m ì=-=ïíï¹¹î或且，12m \=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数；18、答案：(1)||w =(2)12a b =-ìí=î解析：(1)2(1i)3(1i)41i w =++--=--，所以||w =.(2)由条件，得()(2)i 1i ia b a +++=-，所以()(2)i 1i a b a +++=+，所以1,21,a b a +=ìí+=î解得1,2.a b =-ìí=î19、答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=ÎR ，所以22313,560,a a a a ì--=í--=î即 4 1,6 1,a a a a ==-ìí==-î或或所以1a =-.。
高中数学第七章复数章末检测新人教A版必修第二册
第七章章末检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若(2＋i)y i ＝x －2i(x ,y ∈R),则( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －2＝0 D ．x －y ＋2＝0【答案】A 2．i 是虚数单位,则i1＋i的虚部是( ) A ．12i B ．－12iC ．12D ．－12【答案】C3．已知i 是虚数单位,a ,b ∈R,则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A4．复数i2－i在复平面内对应点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，25 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25【答案】B5．已知i 是虚数单位,z 为复数,2＋1i ＝z (3＋i),则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D6．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,在复变函数论里占有非常重要的地位．根据此公式,e－2i表示的复数在复平面内位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C7．已知a 为实数,若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i(i 为虚数单位)为纯虚数,则a ＋i 2 0201＋i的值为( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i【答案】D【解析】因为复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i(i 为虚数单位)为纯虚数,所以a 2－1＝0且a ＋1≠0,解得a ＝1.又i2 020＝(i 4)505＝1,所以a ＋i 2 0201＋i＝1＋11＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i.故选D ． 8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0191＋i ,则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0,i 5＋i 6＋i 7＋i 8＝0,…,i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＝0,i2 017＋i2 018＋i2 019＝i －1－i ＝－1,所以z ＝－11＋i ＝－12＋12i,所以对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12在第二象限．故选B ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．已知复数z ＝2－1＋i ,则( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2i C ．z 的共轭复数为1＋i D ．z 的虚部为－1【答案】BD【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i,∴A ：|z |＝2,B ：z 2＝2i,C ：z 的共轭复数为－1＋i,D ：z 的虚部为－1.故选BD ．10．已知复数z ＝1＋i,则下列命题中正确的为( ) A ．|z |＝ 2 B ．z －＝1－iC ．z 的虚部为iD ．z 在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD【解析】复数z ＝1＋i,则|z |＝2,故A 正确；z －＝1－i,故B 正确；z 的虚部为1,故C 错误；z 在复平面上对应点的坐标为(1,1),在第一象限,故D 正确．故选ABD ．11．设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋12＋(a 2－2a －1)i(a ∈R),则下列结论错误的是( )A ．z 一定不是实数B ．z 在复平面内对应的点在虚轴右边C ．z 可以是纯虚数D ．z 在复平面内对应的点在第四象限【答案】ACD【解析】a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＞0,a 2－2a －1＝(a －1)2－2可正可负,对于A,当a 2－2a－1＝0时,z 是实数,故A 错误；对于B,∵a 2－a ＋12＞0,∴z 在复平面内对应的点在虚轴右边,故B 正确；对于C,∵a 2－a ＋12＞0,∴z 不可能是纯虚数,故C 错误；对于D,∵a 2－2a －1＝(a－1)2－2可正可负,∴z 在复平面内对应的点在第一,四象限,故D 错误．故选ACD ．12．设z 1,z 2是复数,则下列命题中是真命题的是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z －2 B ．若z 1＝z －2,则z －1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|,则z －1·z 1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|,则z 21＝z 22【答案】ABC【解析】对A,若|z 1－z 2|＝0,则z 1－z 2＝0,z －1＝z －2,所以z 1＝z －2为真；对B,若z 1＝z 2,则z 1和z 2互为共轭复数,所以z －1＝z 2为真；对C,设z 1＝a 1＋b 1i,z 2＝a 2＋b 2i,若|z 1|＝|z 2|,则a 21＋b 21＝a 22＋b 22,z 1·z －1＝a 21＋b 21,z 2·z －2＝a 22＋b 22,所以z 1·z －1＝z 2·z －2为真；对D,若z 1＝1,z 2＝i,则|z 1|＝|z 2|,而z 21＝1,z 22＝－1,所以z 21＝z 22为假．故选ABC ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝3＋2i2－3i ,i 为虚数单位,则z 的共轭复数z ＝________．【答案】－i【解析】(方法一)z ＝3＋2i 2－3i ＝i （2－3i ）2－3i ＝i,所以z 的共轭复数为－i.(方法二)z ＝3＋2i 2－3i ＝（3＋2i ）（2＋3i ）（2－3i ）（2＋3i ）＝13i13＝i,所以z 的共轭复数为－i.14．已知m ∈R,复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等,则m ＝________．【答案】12【解析】m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i2,由已知得m 2＝1－m 2,则m ＝12.15．设x ,y 为实数,且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i,则x ＋y ＝________,|x ＋y i|＝________．【答案】426【解析】由x1－i＋y1－2i＝51－3i ,得x （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＋y （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）,∴x （1＋i ）2＋y （1＋2i ）5＝5（1＋3i ）10,则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2y 5i ＝12＋32i,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.∴x ＋y ＝4；|x ＋y i|＝|－1＋5i|＝（－1）2＋52＝26.16．已知复平面内平行四边形ABCD 中,点A 对应的复数为－1,AB →对应的复数为2＋2i,BC →对应的复数为4－4i,则D 点对应的复数为________．【答案】3－4i【解析】如图,依题点A 对应的复数为－1,AB →对应的复数为2＋2i,得A (－1,0),AB →＝(2,2),可得B (1,2)．又BC →对应的复数为4－4i,得BC →＝(4,－4),可得C (5,－2)．设D 点对应的复数为x ＋y i,x ,y ∈R,得CD →＝(x －5,y ＋2),BA →＝(－2,－2),∵ABCD 为平行四边形,∴BA →＝CD →,解得x ＝3,y ＝－4,故D 点对应的复数为3－4i.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知z ∈C,解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解：设z ＝a ＋b i(a ,b ∈R),则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i,即a 2＋b 2－3b －3a i＝1＋3i.根据复数相等的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z＝－1＋3i.18．已知复数z 的模为1,求|z －1－2i|的最大值和最小值．解：∵复数z 的模为1,∴z 在复平面内的对应点是以原点为圆心,1为半径的圆．而|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1,2)的距离,如图．∴|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1,|z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1.19．已知复数z 满足|3＋4i|＋z ＝1＋3i. (1)求z －；(2)求（1＋i ）2（4＋3i ）2z－的值．解：(1)由|3＋4i|＋z ＝1＋3i,得32＋42＋z ＝1＋3i,所以5＋z ＝1＋3i,所以z ＝－4＋3i,所以z －＝－4－3i.(2)（1＋i ）2（4＋3i ）2z ＝（1＋2i ＋i 2）（4＋3i ）2（－4－3i ）＝2i （4＋3i ）－2（4＋3i ）＝－i.20．已知复数z ＝14－a ＋32i(a ∈R,a ＞0),且1z ＋z ∈R.(1)求复数z 及|z |；(2)若复数(z ＋m )2(m ∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求m 的取值范围． 解：(1)因为1z ＋z ＝14－a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫14－a 2＋34＋14－a ＋32i,且1z＋z ∈R,所以－32⎝ ⎛⎭⎪⎫14－a 2＋34＋32＝0,解得a ＝34或a ＝－14(舍去),所以复数z ＝－12＋32i,|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1. (2)(z ＋m )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12＋32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122－34＋3m －12i,因为复数(z ＋m )2在复平面内对应的点在第四象限, 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122－34＞0，3⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12＜0，解得m ＜1－32,即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－32.21．设z ＝a ＋b i(a ,b ∈R,|a |≠1),|z |＝1. (1)求证：u ＝z ＋1z －1是纯虚数； (2)求|z ＋2z －＋2|的取值范围． (1)证明：u ＝z ＋1z －1＝a ＋1＋b i a －1＋b i ＝[（a ＋1）＋b i][（a －1）－b i]（a －1）2＋b2,化简得u ＝－2b（a －1）2＋b2i,又因为|a |≠1,b ≠0,所以u 为纯虚数．(2)解：|z ＋2z －＋2|＝|3a ＋2－b i|＝（3a ＋2）2＋b 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋342＋12, 又|z |≠1,a 2＋b 2＝1,所以－1＜a ＜1.所以8⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋342＋12∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，25,所以|z ＋2z －＋2|的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，5. 22．已知关于x 的方程x 2＋4x ＋p ＝0(p ∈R)的两个根是x 1,x 2. (1)若x 1为虚数且|x 1|＝5,求实数p 的值； (2)若|x 1－x 2|＝2,求实数p 的值．解：(1)由题意知Δ<0,∴16－4p <0,解得p >4.又x 1x 2＝p ,x 1x 2＝x 1x 1＝|x 1|2＝25,∴p ＝25. (2)x 1＋x 2＝－4,x 1x 2＝p .若方程的判别式Δ≥0,即p ≤4时,方程有两个实数根x 1,x 2,则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4p ＝4,解得p ＝3；若方程的判别式Δ<0,即p >4时,方程有一对共轭虚根x 1,x 2,则|x 1－x 2|＝|4p －16|＝4p －16＝2,解得p ＝5.故实数p 的值为3或5.。
人教A版新教材高一数学必修第二册第七章复数单元测试题
人教A 版新教材高一数学必修第二册第七章复数单元测试题复数（B ）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ． 2．已知i 为虚数单位，复数，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线4．复数，，如果，那么实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ．D ．5．已知方程有实根，且，则复数等于（ ） A ．B ．C ．D ．6．若复数为纯虚数，，则（ ）A ．B ．C ．D ．或 7．分别是复数在复平面内对应的点，是原点，若，则一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．设集合，为虚数单位，，则为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A ．若x ，，则的充要条件是 B ．是纯虚数C ．若，则D ．当时，复数是纯虚数10．设，，为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．对应的点在第一象限B ．一定不为纯虚数C ．一定不为实数D ．对应的点在实轴的下方11．已知虚数满足，下列结论正确的是（ ） A ．虚数对应的点在某个圆上 B ．虚数对应的点在某条直线上 C ．当实数时，为实数 z 2i 13i(i z ⋅=+)z =31i 22-31i 22+31i 22-+31i 22--7π7πsin i cos 66z =-134i z -=+z 12i z a =+22i z =-+12z z <a ()1,1-()1,+∞()0,+∞()(),11,-∞-+∞()()24i 4i 0x x a a ++++=∈R b i z a b =+z 22i -22i +22i -+22i --()234sin12cos i z θθ=-++()0,πθ∈θ=π6π32π3π32π3,A B 12,z z O 1212z z z z +=-OAB △22{cos sin |,}M y y x x x ==-∈R 1{i|N x x =-<i }x ∈R M N ()0,1(]0,1[)0,1[]0,1y C ∈i 1i x y +=+1x y ==()()21i a a +∈R 22120z z +=120z z ==4m =()22lg(27)56i m m m m --+++()()2225322i z t t t t =+-+++t ∈R i z z z z z 2510z z +=+z z 5m =z mm z+D ．若在复平面内对应的点在直线上，则复数 12．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A ．若复数z 满足则复数z 对应的点在以为半径的圆上B ．若复数z 满足，则复数C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限． 14．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________．15．已知i 为虚数单位，计算：_________． 16．如果虚数z 满足，那么的值是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）实数取什么值时，复数．（1）与复数相等；（2）与复数互为共轭复数； （3）对应的点在轴上方．18．（12分）已知复数在复平面上对应的点在第二象限，且满足．（1）求复数；（2）设，，在复平面上对应点分别为，，，求的面积．()12i z -y x =z =i z -()1,0||28i z z +=+158i z =+1z 1OZ 2z 2OZ 1212z z z z +=-12OZ OZ ⊥z i 2i z a =-+2(4)1z +=+||z =z 12cos isin 23π3π⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭38z =3222z z z +++m ()()2256215i z m m m m =+++--212i -1216i +x z 2z z =z z 2z 3z A B C ABC △19．（12分）已知复数，．（1）求；（2）在中，，且，求的取值范围．20．（12分）设虚数z 满足． （1）求证：为定值；（2）是否存在实数k ，使为实数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知复数， (其中i 是虚数单位，，，)． （1）若为纯虚数，求实数m 的值； （2）若，求实数的取值范围．12i z =+()121i22i 1z z z +=+-2z ABC △π3B =2cos 2i cos 2C u A =+2u z+232z +=+z z kk z+()2142i z m m =-+-()22sin cos 2i z λθθ=++-m λθ∈R 1z 12z z =λ22．（12分）（1；（2）若复数满足，，求复数三角形式．10101i1i22⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭z112zz-=argπ13zz-⎛⎫=⎪⎝⎭3(2||)2zz z--+新教材高一数学必修第二册第七章单元测试题复数（B ）答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】，故选A ．2．【答案】B 【解析】由， ， 即复数， 所以复数对应的点为位于第二象限，故选B ． 3．【答案】B【解析】设， 由，两边平方得，∴复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，故选B ． 4．【答案】A【解析】由题意，复数，，可得，因为，故选A ． 5．【答案】A【解析】由是方程的根，()13i i 13i 31i 2i222z +⋅+===--π7π1sinsin(π)sin 666π2=+=-=-π7πcoscos(π)cos 666π=+=-=7π7π1sini cos 662z =-=-1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()i ,z x y x y =+∈R 134i z -=+5=()22125x y -+=12i z a =+22i z =-+1z =2z =12z z <<11a -<<b ()()24i 4i 0x x a a ++++=∈R可得，整理可得，所以，解得，所以，故选A ． 6．【答案】B【解析】若复数为纯虚数，则，即，结合，可知，故，本题选择B 选项． 7．【答案】C【解析】因为，所以，，因此，，即一定是直角三角形，故选C ． 8．【答案】C【解析】确定出集合的元素是关键．本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点．，所以；因为，即又因为，所以，即，所以，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】BD【解析】取，，则，但不满足，故A 错误；()24i 4i 0b b a ++++=()()2i 440b a b b ++++=20440b a b b +=⎧⎨++=⎩22a b =⎧⎨=-⎩22i z =-()234sin12cos i z θθ=-++234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩()0,πθ∈sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩π3θ=1212z z z z +=-OA OB OA OB +=-22OA OB OA OB =∴+-0OA OB ⋅=OA OB ∴⊥OAB △22cos sin cos 2[0,1]y x x x =-=∈[]0,1M =i1x -<i x +<()i x --<x ∈R 11x -<<()1,1N =-[)0,1M N =i x =i y =-i 1i x y +=+1x y ==，恒成立，所以是纯虚数，故B 正确；取，，则，但不成立，故C 错误；时，复数是纯虚数，故D 正确，故选BD ． 10．【答案】CD【解析】，， 所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当，即或时，为纯虚数，故B 错误；因为恒成立，所以一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，对应的点在实轴的上方，所以对应的点在实轴的下方，故D 正确， 故选CD ． 11．【答案】AC【解析】设（x ，且），由，得，化简得，即，因此虚数z 对应的点在以为圆心，5为半径的圆上，A 正确，B 错误；若为实数，则， 又且，，解得，因此C 正确； 由及已知得，即，代入，解得或， a ∀∈R 210a +>()21i a +1i z =21z =22120z z +=120z z ==4m =()()2212756i 42i g m m m m --+++=22549492532488t t t ⎛⎫+-=+->- ⎪⎝⎭()2222110t t t ++=++>z 222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩3t =-12t =z 2220t t ++>z z z z x yi =+y ∈R 0y ≠2510z z +=+()()222225410x y x y ++=++2225x y +=5z =()0,02222i z m x mx y my m z m x y m x y ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭220y my m x y -=+0y ≠2225x y +=1025mm ∴-=5m =±()()()()()12i 12i i 22i z x y x y y x -=-+=++-22x y y x +=-3y x =-2225x y +=2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故或，因此D 错误，故选AC ． 12．【答案】CD【解析】满足z 对应的点在以为半径的圆上，A 错误； 在B 中，设，则．由，得，，解得，，B错误；由复数的模的定义知C 正确；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确， 故选CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．，二【解析】因为，所以，所以，所以，解得所以，，所以，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．，二． 14．【答案】【解析】设，， 依题意有，，i 22z =--i 22z =-+i z -=()0,1i(,)z a b a b =+∈R z =||28i z z +=+i 28i a b +=+28a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩158a b =-⎧⎨=⎩158i z ∴=-+1212z z z z +=-1OZ 2OZ 2i z a =-+2i z a =--222(4)(2i)44i 1z a a a +=-=--=+2414a a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩a =2z =-2z =-||z =z (-2i ±1i z a b =+()2i ,,,z c d a b c d =+∈R 124z z +=125z z ⋅=即，所以．将代入，得； 将代入，解得； 将代入，得，结合，解得或，所以对应的数为、，故答案为． 15．【答案】 【解析】原式， 故答案为． 16．【答案】6【解析】由，得，又z 为虚数，得．∴，故答案为6．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）；（3）或．()()i 4i 5a c b d ac bd ad bc ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩b d =-0ad bc +=a c =a c =4a c +=2a c ==2a c ==5ac bd -=1bd =-b d =-11b d =⎧⎨=-⎩11b d =-⎧⎨=⎩2i +2i -2i±1i 44-+cosisin 2cos isin 33ππππ33⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos isin 2cos isin 333π3πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos is πππin 23333π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦14=-+14-+38z =()()22240z z z -++=2240z z ++=()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=1m =-1m =3m <-5m >【解析】（1）根据复数相等的充要条件得，解得．（2）根据共轭复数的定义得，解得．（3）根据复数的对应点在x 轴的上方可得， 解得或． 18．【答案】（1）；（2． 【解析】（1）设，则，故，所以，．又，，解得，，． （2）由（1），得，，， ，，在复平面上对应点，，，如图所示：故． 19．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，，2256221512m m mm ⎧++=⎨--=-⎩1m =-22561221516m m m m⎧++=⎨--=-⎩1m =z 22150m m ->-3m <-5m >12z =-()i 0,0z a b a b =+<>i z a b =-2222i i z ab ab a b z =-+==-22a b a -=2ab b =-0a <0b >12a =-b =12z =-+12z =-212z =-31z =z 2z 3z A B C 12π311sin 23ABC S =⨯⨯⨯⨯=△2i z =-22⎫⎪⎪⎣⎭12i z =+()121i22i 1z z z +=+-所以． （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）依题意，设（x ，，），代入， 得，整理得，即， 所以为定值．（2）假设存在实数k ，使得为实数， ()()()212i i 1i 2i 2i 12i i 1z ⎡⎤++⎣⎦+===-+-+-22cos 2i cos i cos i cos 2C u z A A C +=+-=+22πcos(2)111cos 21cos 32222A C C u z +++=+++=()11cos 2cos 22A C =++π3B =2π3AC +=2π3A C =-4cos 2cos 2cos(π2)cos 23A C C C +=-+11cos 22cos 2cos 22cos(2)22π3C C C C C C =-+=-=+221cos )123π(2u z C +=++2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5π2,33ππ3C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1cos(2)1,32πC ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭2215,24u z ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭2u z+22⎢⎣⎭k =i z x y =+y ∈R 0y≠232z +=+)232i 2i x y x y ++=+-223x y +=z =z z k k z=即： 为实数， ， ，，故存在实数k ，使为实数，此时． 21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵为纯虚数，∴，解得．（2）由，得． ，∴当时，；当时，，∴实数的取值范围是．22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1，而 ，()()()()i i i i i i i i 3k x y k x y z k x y k x y x y k z k x y k x y x yk --++++=+=+=+++-i 33x kx y ky k k ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3y ky k ∴-=0y ≠k ∴=z k k z=k =2m =-[]2,61z 24020m m ⎧-=⎨-≠⎩2m =-12z z =242sin 2cos 2m m λθθ⎧-=+⎨-=-⎩1sin 1θ-≤≤sin 1θ=min 2λ=sin 1θ=-max 6λ=λ[]2,61i 22-2π2π(cos isin )233+10101i 1i 2⎛⎫⎛++-+ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭10101i i)i 2⎫⎛=-+++-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭10101i i)i 222⎛⎫⎛-+++-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1010ππππi (cos isin )[cos()isin()]4433=-+++-+-∴原式 ． （2）由题意知：，所以，， ∴． 5π5π10π10πi (cos sin )[cos()isin()]2233i =-+++-+-2π2π1i i cos isin 332=-+++=-11ππ(cos isin )233z z -=+ππ(cos isin )333z =+ππisin )333z =-32π2π(2||)3i isin )2233z z z --=-=+。
人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第7章 复数 7.3.1 复数的三角表示式
7.3.1 复数的三角表示式课后·训练提升1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是3π2,则实数a 的值是( )A.1B.-1C.-√2D.-√3答案:B解析:∵z=(a+i)2=(a 2-1)+2ai,argz=3π2,∴{a 2-1=0,a <0,∴a=-1. 2.复数-12+√32i 的三角形式是( )A.cos 60°+isin 60°B.-cos 60°+isin 60°C.cos 120°+isin 60°D.cos 120°+isin 120°答案:D解析:r=1,cosθ=-12.因为与-12+√32i 对应的点在第二象限,所以可取θ=120°. 所以-12+√32i=cos120°+isin120°. 3.复数-sin 50°+icos 50°的辐角的主值是( ) A.50° B.320° C.40° D.140°答案:D解析:-sin50°+icos50°=cos140°+isin140°,则与之对应的点在第二象限,所以arg(-sin50°+icos50°)=140°.4.复数z=-3(cos π5-isin π5)(i 是虚数单位)的三角形式是( )A.3[cos (-π5)+isin (-π5)] B.3(cos π5+isin π5) C.3(cos 4π5+isin 4π5) D.3(cos 6π5+isin6π5)答案:C解析:z=-3(cos π5-isin π5)=3(-cos π5+isin π5)=3[-cos (π-4π5)+isin (π-4π5)]=3(cos 4π5+isin4π5).故选C.5.已知复数z=√2+√6i,则arg 1z 是( )A.π3B.5π3C.π6D.11π6答案:B解析:∵z=√2+√6i, ∴1z =√2+√6i=√2-√6i8=√24(12-√32i). ∴arg 1z=5π3.故选B.6.设arg(3+4i)=θ,则arg(8-6i)为( ) A.2π-θ B.π2+θC.3π2-θD.3π2+θ答案:D解析:∵arg(3+4i)=θ,∴cosθ=35,sinθ=45,0<θ<π2.设arg(8-6i)=α, 则cosα=45,sinα=-35,3π2<α<2π.∴α=3π2+θ.7.设z=1+i,则复数z 2-3z+6z+1的三角形式是 .答案:√2(cos7π4+isin 7π4)解析:∵z=1+i, ∴z 2-3z+6z+1=(1+i )2-3(1+i )+61+i+1=3-i 2+i=1-i,∴r=√2,cosθ=√22.又与1-i 对应的点在第四象限, ∴arg(1-i)=7π4.∴1-i=√2(cos7π4+isin7π4).8.把下列复数表示为代数形式. (1)3(cos π4+isin π4);(2)√3(cos4π3+isin 4π3);(3)2√2(cos7π6-isin7π6).解:(1)3(cos π4+isin π4)=3√22+3√22i. (2)√3(cos4π3+isin 4π3)=-√32−32i. (3)2√2(cos7π6-isin7π6)=-√6+√2i.9.下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式.(1)-sin θ-icos θ;(2)cos 60°+isin 30°. 解:(1)不是.-sinθ-icosθ=cos (3π2−θ)+isin (3π2−θ).(2)不是.cos60°+isin30°=12+12i=√22(√22+√22i)=√22(cos π4+isin π4).10.求复数z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值. 解:z=1+cosθ+isinθ=2cos 2θ2+2i·sin θ2cos θ2=2cos θ2(cos θ2+isin θ2),∵π<θ<2π, ∴π2<θ2<π,∴cos θ2<0.∴z=-2cos θ2(-cos θ2-isin θ2)=-2cos θ2·[cos (π+θ2)+isin (π+θ2)].∴|z|=-2cos θ2.又π2<θ2<π,∴3π2<π+θ2<2π,∴argz=π+θ2.。