2020届新疆乌鲁木齐一模数学(理科)试卷及答案
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x=B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n nn a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是（填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解： 集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<= ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=．故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．故选：D ．4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解答】解：0.621a => ，0.3log 0.6(0,1)b =∈，3log 0.60c =<，则有c b a <<．故选：A ．5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解： ||2,||3,,3a b a b π==<>=，∴221(2)(2)223242932312a b a b a b a b +-=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-．故选：B ．6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，可得c b =，22233c a c -=，2ce a===．故选：D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟程序的运行，可得0S =，1n =2S =，2n =满足条件30S <，执行循环体，246S =+=，3n =满足条件30S <，执行循环体，6814S =+=，4n =满足条件30S <，执行循环体，141630S =+=，5n =此时，不满足条件30S <，退出循环，输出n 的值为5．故选：C ．8．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，从五个数中随机抽取2个不同的数有25C 种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到25442105P C ===，故选：B ．9．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．63【解答】解：14a ，22a ，3a 依次等差数列，可得21344a a a =+，显然公比q 不为1，则211144a q a a q =+，即为2440q q -+=，解得2q =，则551(1)12531112a q S q --===--．故选：B ．10．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ【解答】解： 奇函数())cos(2)2sin[(2)]6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，06πϕ∴-=，6πϕ∴=，()2sin 2f x x =．把()f x 的图象向右平移6πϕ=个单位长度后得到函数()2sin(23y g x x π==-的图象，令3222232k x k πππππ+-+ ，求得5111212k x k ππππ++，故函数()g x 的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈，故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=【解答】解：如图所示，过M 点作CM ⊥直线22p px ==，垂足为C ，交准线于D ，∴5sin 7MCMFA MF∠==，由抛物线定义可得：MF MD =，∴005272px MC p MF x -==+00575722x p x p +=-03x p∴=点00()2pM x x >是抛物线上一点，∴202px =23666p ⨯=6p ∴=212y x∴=故选：C．12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞【解答】解：22,0()(),0x x f x f x x x ⎧--==-⎨<⎩ ，∴函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩，为R 上的奇函数，又0x 时，2()f x x =为增函数，()f x ∴为定义域R 上的增函数．又3f =，()3())f x m f x f ∴+= ， 对任意[,3]22m mx ∈+，()3())f x m f x f += ，()f x 为定义域R上的增函数，1)]1)(3)2max mm x ∴-=+ ，即13(11)22m ---=，解得：m ．即实数m的取值范围是，)+∞，故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=，故答案为：614．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=310+．【解答】解：因为4cos()35πα+=-，α为锐角，所以13sin()35απ+=，故11111sin sin()))33233ααππαπαπ=+-=+-+=故答案为：310+15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =34．【解答】解：由1112,2,n n n nn a a a a a a a +⎧=⎨+<⎩ ，①若31a a ，则3232a a ==，232a =，又21a a <与212a a =+相矛盾，21a a ∴ ，21322a a ==，得134a =；②若31a a <，则322a a =+，21a ∴=，由2112a a ==，112a =，与31a a <不符．∴134a =．故答案为：34．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是①②③④（填写所有正确的序号）【解答】解：①由题意可得1//D F BE，1111111111111111111[](543543)2032232B BED F B BED B BFD D BEB D BFB V V V V V BB BC AB BBD A AB -----=+=+=+=⨯⨯+⨯⨯= ，所以①正确；②将长方体展开，如图所示，恰好过B 点时，截面的周长为12BD ，而在1BDD ∆中，1BD ==，所以最小值为1BED F 为平行四边形，且E 为展开图中唯一的点所以②正确；③E 嗲不与C ，1C 重合，则F 不会为A ，即CG 不在面1EBD 内，可作出CG 的平面与1EBD 平行，所以在棱AD 上均有相应的G ，使得//CG 面1EBD ，故③正确；④因为1BB BD =，可得对角面11BB D D 为正方形，可得11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥时，由三垂线定理可得1B D BE ⊥，即有1B D ⊥面1EBD ，在矩形11BB C C 中，1BE B C ⊥，所以1CE BC BC CC =，所以1165BC BC CE CC ==，故④正确综上可得：正确为①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．【解答】解：()I 由题意结合正弦定理可得，22()3a b ab c +=+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，(0,)C π∈ ，故13C π=，()II 由余弦定理可得，222a b ab =+-，所以，2222a b ab ab +=+ ，故2ab ，则1sin 22ABC S ab C ∆=，当且仅当a b ==时，面积取得最大值2．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，M 为PD 的中点，//MN AP ∴，2AD BC = ，AN BC ∴=，//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，CN NM N = ，BA AP A = ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂ 平面MNC ，//CM ∴平面PAB ．（Ⅱ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PBD ∆ 为等边三角形，AB AD AP ∴==，设2AB =，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，∴(2BD =- ，2，0)，(2BP =-，0，2)，设平面BDP 的法向理(n x =，y ，)z ，则220220n BD x y n BP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1n = ，1，1)，AD ⊥ 平面PAB ，∴平面PAB 的法向量(0n =，1，0)，||3cos ||||3n m n m θ∴== ．∴二面角A PB M --的余弦值为3．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-【解答】解：（Ⅰ）设2012年的快递业务量为a ，则9261%aa-=，解得57.1a ≈；即2012年的快递业务量为57.1亿件；（Ⅱ）由题意列表得，t12345y6152485128计算1(12345)35t =⨯++++=，1(6152485128)485y =⨯++++=，512222222515(161252348451528)5348ˆ 6.712345535ii i i it ytybtt==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-++++-⨯-∑∑，ˆˆ48(6.7)368.1ay bt =-=--⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程是ˆ 6.768.1yt =-+；（Ⅲ）令6t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7668.127.9(%)y=-⨯+=；所以2018年快递业务增长量为399.9(127.9%)511.5⨯+≈（亿件）；令7t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7768.121.2(%)y=-⨯+=；所以2019年快递业务增长量为511.5(121.2%)619.9⨯+≈（亿件）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -，可得2c =，2a =a =，2b =，可得椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值3-．理由如下：直线l 的斜率不为0，设:2AB x my =-，联立椭圆方程2228x y +=，可得22(2)440m y my +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1y ，20y ≠，12242m y y m +=+，12242y y m=-+，两式相除可得1212y y m y y +=-，由1(4,)N y -，可设BN 的方程为2112(4)4y y y y x x --=++，令0y =，可得121122122021212144(2)44y x y y x y y my y x y y y y y y -------=-==---12121212122121212424333my y y y y y y y y y y y y y y y -+-++--===----．则D 点的横坐标为定值3-．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．【解答】解：2221()()x ax I f x x -+'=，0x >，对于221y x ax =-+，△28a =-，对称轴为4a x =，当△0时，即[a ∈-时，()0f x ' ，()f x 在(0,)+∞递增；当△0>时，即(a ∈-∞，-⋃，)+∞，方程有两个不同的根84a a m =，n =m n <，由于(0)1y =，当a <-，m ，0n <，函数在(0,)+∞递增；当a >，m ，0n >，函数()f x 在(0,)m ，(,)n +∞递增，(,)m n 递减；综上，a - 时，()f x 在(0,)+∞递增；a >时，()f x 在8(0,4a a --，8(4a a +-，)+∞上递增；在递减；()II 令1()()2g x f x x alnx x=-=--，0x >，方程()2f x x =有两个不相等的实数根，相当于函数()g x 由两个零点，222111()a ax axg x x x x x--'=-=-=，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增，则()g x 至多只有一个零点，不成立；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()g x 递增；1(x a ∈，)+∞递减，所以1()()min g x g a alna a==-+，由0a alna -+>，又0a >，所以a e >，因为1a是()g x 的极大值点，由11a>，g （1）10=-<，由a e >，a e a >，1a e a -<，21()a a a a g e alne e a e---=--=-+，对于2x y e x =-，易知y 在(,)e +∞递增，因为指数函数比幂函数增长的快，所以20a e a ->，()0a g e -<，所以函数()g x 在1(,)a e a -与1(a，1)各有一个零点，所以a e >，要证明2()2a f a e <+，即证明a e >时，211(22a alna e a---<成立，设h （a ）211(2()a alna a e e a =--->，h'（a ）22111lna a e =+--，由于h '（a ）在(,)e +∞递减，所以h '（a ）h '<（e ）0=，所以h （a ）在(,)e +∞递减；所以h （a ）h <（e ）22e e=-<，故原命题成立．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．【解答】解：（Ⅰ）曲线221:40C x y x +-=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为tan y x α=，(0,6πα∈．（Ⅱ）由已知可得：θα=，则||4cos AB αα=-，1||tan 4sin AM ραα==，由于|||AM AB =，所以4sin )ααα=-，解得tan k α==所以直线的斜率为23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．【解答】解：（Ⅰ）31,1()|22||3|5,3131,3x x f x x x x x x x +>⎧⎪=-++=-+-⎨⎪--<-⎩．()25f x x + ，∴31251x x x ++⎧⎨>⎩ 或52531x x x -++⎧⎨-⎩ 或31253x x x --+⎧⎨<-⎩，4x ∴ 或30x - 或3x <-，0x ∴ 或4x ，∴不等式的解集为{|0x x 或4}x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4min f x k ==．()4a b c k ∴+==，4ab ac ∴+=，22222222()()228a b c a b a c ab ac ∴++=++++= ，当且仅当a b c ===22228a b c ∴++ ．。
乌鲁木齐市中考数学一模考试试卷
乌鲁木齐市中考数学一模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·淮安模拟) 等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A .B .C .D .3. （2分）若反比例函数的图象在第二,四象限,则m的值是（）A . −1或1B . 小于12的任意实数C . −1D . 不能确定4. （2分）拉动一个活动的长方形框架，将它拉成一个平行四边形．此时，平行四边形面积与原来长方形面积相比（）A . 大一些B . 相等C . 小一些D . 无法比较大小5. （2分）如图所示，△ABC中AB边上的高线是（）A . 线段AGB . 线段BDC . 线段BED . 线段CF6. （2分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连接CF，BF，下列结论中，不正确的是（）A . ∠F=B . AB⊥BFC . CE是⊙O的切线D .二、填空题 (共12题；共12分)7. （1分） (2018九上·兴化月考) 已知，则＝________.8. （1分） (2019九上·昌平期中) 两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的周长之比________.9. （1分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为________ ．10. （1分）(2019·石景山模拟) 如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB 的距离为n，则m________n．（填“＞”，“＝”或“＜”）11. （1分） (2018九上·云安期中) 请写出一个开口向上，且其图象经过原点的抛物线的解析式为________．12. （1分）抛物线的对称轴为________。
2020年新疆中考数学一模试卷 (含解析)
2020年新疆中考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.给出下列各数：2，−3，−0.56，−11，35，0.618，−125，+2.5，−136，−2.333，0，其中负数有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2.下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的()A. B. C. D.3.下列运算中，正确的是()A. 2a2−a2=2B. (a3)2=a5C. a2⋅a4=a6D. a−3÷a−2=a4.实数a、b在数轴上的位置如图，则|−a|+|a−b|等于()A. aB. −bC. b−2aD. 2a−b5.一元二次方程x2−2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是()A. m>1B. m=1C. m<1D. m≤16.不等式组{x−2<03x<4x+3的解集为()A. −3<x<2B. −3<x<−2C. x<2D. x>−37.8.数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是()A. 34B. 38C. 916D. 238.已知函数y=−(x−m)(x−n)(其中m<n)的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=m+nx的图象可能是()A. B.C. D.9.如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法(在下面四幅图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点)，其中正确的分法有()A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.如图，已知∠1=75°，如果CD//BE，那么∠B=____．11.分解因式：ab2−a=____________．12.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况．移机总数n400150035007000900014000成活数m325133632036335807312628成活的频率(精确到O.001)0.8130.8910.9150.9050.8970.902由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是______.(精确到0.1)13.若点A、B的坐标分别为(m,−2)、(3,m−1)，且AB//x轴，则AB=________．14.一扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______cm．15.如图，△ABC中，AB=4，AC=6，∠A=30°，点D为AC边上一动AD+DB的最小值为________．点，则12三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16.计算：|√3−2|−(π−3.14)0−(−1)2018．四、解答题（本大题共7小题，共69.0分）17.先化简，再求值：(2a+b)(2a−b)−(3a−b)2+6a(a−b)，其中a=3，b=1．718.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG//DB交CB的延长线于点．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．19.我市某中学为了解学生的体质健康状况，随机抽取若干名学生进行测试，测试结果分为A：良好、B：合格、C：不合格三个等级．并根据测试结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：(1)此次调查共抽取了______人，扇形统计图中C部分圆心角的度数为______；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有1800名学生，请估计体质健康状况为“合格”的学生有多少人？20.如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m.求建筑物EF的高度(精确到1m)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，√2≈1.4)21.某商场计划购进冰箱、彩电进行销售，已知冰箱的进货单价比彩电的进货单价多400元，若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等．该商场冰箱、彩电的售货单价如下表：种类冰箱彩电售价(元/台)25002000(1)分别求出冰箱、彩电的进货单价．(2)为了满足市场需求，商场决定用不超过90000元的资金采购冰箱、彩电共50台．若该商场将购进的冰箱、彩电共50台全部售出，获得利润为w元，为了使商场的利润最大，该商场该如何购进冰箱、彩电，最大利润是多少？22.如图所示，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于点O，点D在⊙O上，连接BD、CD，延长CD与AB的延长线交于点E，点F在BE上，且FD=FE．(1)求证：FD是⊙O的切线；(2)若AF=8，tan∠BDF=1，求EF的长．423.如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P，连接AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确负数的定义，可以判断一个数是否为负数．根据负数的定义可以判断题目中的哪些数据是负数，从而可以解答本题．解：在2，−3，−0.56，−11，35，0.618，−125，+2.5，−136，−2.333，0中，其中负数有−3，−0.56，−11，−125，−136，−2.333，共6个．故选C．2.答案：D解析：本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握俯视图的定义和常见几何体的俯视图是解题的关键．分别列出每个几何体的俯视图可得答案．解：A.此几何体的俯视图是圆，不符合题意；B.此几何体的俯视图是长方形，不符合题意；C.此几何体的俯视图是圆，不符合题意；D.此几何体的俯视图是三角形，符合题意．故选D．3.答案：C解析：本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方．分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别计算可得．解：A.2a2−a2=a2，此选项错误；B.(a3)2=a6，此选项错误；C.a2⋅a4=a6，此选项正确；D.a−3÷a−2=a−3−(−2)=a−1，此选项错误．故选C．4.答案：C解析：此题考查的是数轴，属于基础题．先根据a、b在数轴上的位置确定符号，即可得解．解：由数轴得：a<0，b>0，∴a−b<0，−a>0，所以|−a|+|a−b|=−a+b−a=b−2a，故选C．5.答案：D解析：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．根据根的判别式，令Δ≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解：∵方程x2−2x+m=0总有实数根，∴Δ≥0，即4−4m≥0，∴−4m≥−4，∴m≤1．故选：D．6.答案：A解析：解：解不等式x−2<0，得：x<2，解不等式3x<4x+3，得：x>−3，则不等式组的解集为−3<x<2，故选：A．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7.答案：C解析：利用列表和画树状图可知所有的情况，在找出两次抽到的是既是中心对称图形又是轴对称图形的情况，利用求简单概率的公式即可求出．【详解】由题意可知：四张卡片正面的四种图形分别为矩形、菱形、等边三角形、圆，除等边三角形外其余三种都既是中心对称图形，又是轴对称图形．设矩形、菱形、圆分别为Al、A2、A3，等边三角形为B，根据题意可画树状图如下图：如图所示，共有16种等可能情况的结果数，其中两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的情，况为9种，所以两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率P=916故选：C．本题主要考查了利用列表法和画树状图法求概率，熟知中心对称图形、轴对称图形的定义与画树状图的方法及求概率的公式是解题关键．8.答案：C解析：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．根据二次函数图象判断出m<−1，n=1，然后求出m+n<0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m<−1，n=1，所以m+n<0，所以，一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点(0,1)，反比例函数y=m+nx的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．9.答案：D解析：此题主要考查三角形中位线定理和三角形面积的计算，难度不是很大，只是步骤繁琐，属于中档题．根据D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是线段BF和AF的中点，利用三角形中位线定理，分别证明各情况中的各三角形等底等高，然后即可证明其面积相等即可．解：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴在图①中，DE=12AB，EF=12BC，DF=12AC，∴△AEF，△BDF，△DEF，△EDC是等底等高，∴根据三角形面积公式可得△AEF，△BDF，△DEF，△EDC面积相等，故①正确；在图②中，△ACH，△FCH，△FCG，△BCG是等底同高，∴根据三角形面积公式可得△ACH，△FCH，△FCG，△BCG面积相等，故②正确；在图③中，∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴△AEF，△ECF，等底同高，面积相等，∴△AEF，△BDF，△CDF，△CEF，等底等高，面积相等，故③正确；同理可得图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．故选D．10.答案：105°解析：本题考查了平行线的性质，找到邻补角、同位角是解题的关键．根据邻补角定义求出∠2度数，再根据平行线的性质求出∠B的度数．解：如图，∵∠1=75°，∴∠2=180°−75°=105°，∵CD//BE，∴∠B=∠2=105°，故答案为105°．11.答案：a(b+1)(b−1)解析：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．首先将原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式=a(b2−1)=a(b+1)(b−1)，故答案为：a(b+1)(b−1)12.答案：0.9解析：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．故答案为0.9．13.答案：4解析：本题考查了坐标与图形的性质，由平行于x轴的直线上点的纵坐标相等得出关于m的一元一次方程是解题关键．根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得关于m的一元一次方程，根据解方程，可得m的值．解：∵A(m,−2)，B(3,m−1)且AB//x轴，∴m−1=−2，∴m=−1，∴A(−1,−2)，B(3,−2)，∴AB=3−(−1)=4．故答案为4．14.答案：25=2πr，解析：解：150π×60180解得r=25cm．利用底面周长=展开图的弧长可得．解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．15.答案：2√3解析：本题考查的是轴对称——最短路径问题，作点B关于AC的对称点F，过点F作AB的垂线交AC于点D，根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．解：作点B 关于AC 的对称点F ，过点F 作AB 的垂线于点E ，交AC 于点D ，∴∠AMB =90°，BM =MF ，BD =DF ，∵∠A =30°，∴DE =12AD ，BM =12AB =2， ∴12AD +DB =DE +DF =EF ，BF =4，∴此时FE ⊥AB ，12AD +DB 最小为EF ，∵∠A =30°，FE ⊥AB ，∴∠ADE =60°=∠FDM ，∴∠F =30°，，故答案为2√3． 16.答案：解：原式=2−√3−1−1=−√3．解析：直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.答案：解：原式=4a 2−b 2−(9a 2−6ab +b 2)+6a 2−6ab=4a 2−b 2−9a 2+6ab −b 2+6a 2−6ab =a 2−2b 2．当a =37，b =1时，原式=(37)2−2×12=949−2=−8949．解析：此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．18.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵{AD=BC ∠A=∠C AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)；(2)∵∠G=90°，AG//BD，AD//BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE=BE=DE，∵DF//BE，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．解析：(1)根据已知条件证明AE=CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；(2)先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中．19.答案：解：(1)120；36；(2)A等级人数为：120−72−12=36，补全图形如下：(3)1800×60%=1080(人)，答：估计体质健康状况为“合格”的学生有1080人．解析：解：(1)此次调查共抽取了72÷60%=120(人)，扇形统计图中C部分圆心角的度数为：=36°，360°×12120故答案为：120，36°；(2)见答案，(3)见答案．(1)由B等级人数及百分比即可得被调查总人数，用360°乘以C等级所占比例可得其对应扇形圆心角度数；(2)总人数减去B、C等级人数可得A等级人数即可补全统计图；(3)用总人数乘以样本中B等级对应百分比即可得．此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20.答案：解：设AG⊥EF于G，CH⊥EF于H设CH =xm ，由题意得，四边形ACHG 为矩形，∴AG =CH =x ，GH =AC =20−10=10，∵∠ECH =45°，∴EH =CH =x ，在Rt △EAG 中，tan∠EAG =EG AG ，即tan37°=EG x ，解得，EG ≈34x ，则x −34x =10，解得，x =40，∴EF =FH +EH =50，故建筑物EF 的高度约为50m ．解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．设CH =xm ，根据矩形的性质得到AG =CH =x ，根据正切的定义用x 表示出EH 、EG ，结合图形列式计算即可．21.答案：解：(1)设彩电的进货单价为x元/台，则冰箱的进货单价为(400+x)元/台，根据题意得：80000400+x =64000x，解得：x=1600，经检验，x=1600是原分式方程的解，且符合题意，∴x+400=1600+400=2000．答：冰箱的进货单价为2000元/台、彩电的进货单价为1600元/台．(2)设该商场购进冰箱t台，则购进彩电(50−t)台．∵进货总价不超过90000元，∴2000t+1600(50−t)≤90000，解得：t≤25．∵t为非负整数，∴0≤t≤25．根据题意得：w=(2500−2000)t+(2000−1600)(50−t)=100t+20000，∵k=100>0，∴w随t的增大而增大，∴t=25时，w取最大值，最大值=100×25+20000=22500．答：该商场购进冰箱、彩电各25台时，商场的利润最大，最大利润为22500元．解析：本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据总利润=单台利润×销售数量找出w关于t的函数关系式．(1)设彩电的进货单价为x元/台，则冰箱的进货单价为(400+x)元/台，根据数量=总价÷单价结合商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设该商场购进冰箱t台，则购进彩电(50−t)台，根据总价=单价×数量结合进货总价不超过90000元，即可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围，再根据总利润=单台利润×销售数量即可找出w关于t的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．22.答案：(1)证明：连结OD，如图，∵CO⊥AB，∴∠E+∠C=90°，∵FE=FD，OD=OC，∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，∴∠FDE+∠ODC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切线；(2)解：连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠A+∠ODB=90°，∵∠BDF+∠ODB=90°，∴∠A=∠BDF，而∠DFB=∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴DFAF =BDAD，在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF=BDAD =14，∴DF8=14，∴DF=2，∴EF=2．解析：(1)连结OD，如图，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根据等腰三角形的性质由FE=FD，OD=OC 得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，则可根据切线的判定定理得到FD是⊙O的切线；(2)连结AD，如图，利用圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，则∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根据相似的性质得DF AF =BDAD ，再在Rt △ABD 中，根据正切的定义得到tan∠A =tan∠BDF =BD AD =14，于是可计算出DF =2，从而得到EF =2．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质． 23.答案：解：(1)∵抛物线与x 轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，∴设抛物线的解析式为y =a(x +3)(x −1)，∵点C(0,3)，∴−3a =3，解得a =−1，∴抛物线的解析式为y =−(x +3)(x −1)，即y =−x 2−2x +3； (2)∵抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3；∴其对称轴x =−1，顶点P 的坐标为(−1,4)∵点M 在抛物线的对称轴上，∴设M(−1,m)，∵A(1,0)，P(−1,4)，∴设过点A 、P 的直线解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{k +b =0−k +b =4，解得{k =−2b =2， ∴直线AP 的解析式为y =−2x +2，∴E(0,2)，∴S △ACP =S △ACE +S △PEC =12CE ⋅1+12CE ⋅1=12×1×1+12×1×1=1，∵S△MAP=2S△ACP，∴1MP×2=2，解得MP=2，2当点M在P点上方时，m−4=2，解得m=6，∴此时M(−1,6)；当点M在P点下方时，4−m=2，解得m=2，∴此时M(−1,2)，综上所述，M1(−1,6)，M2(−1,2)．解析：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度不大．(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，再把C(0,3)代入求出a的值即可；(2)根据(1)中抛物线的解析式求出抛物线的对称轴方程及顶点坐标，设出M点的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，求出E点坐标，故可得出△ACP的面积，进而可得出M点的坐标．。
2020年新疆乌鲁木齐市米东区中考一模考试数学试卷
2020年乌鲁木齐市米东区中考一模考试数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共45分）1．-3的相反数是（ ）A ．13-B ．-3C ．3D ．132．如图，a ∥b ，直线AB 分别交a 、b 于A 、B 两点，点C 在直线b 上，且∠1=∠2，则下列结论正确的是( )A ．∠1=∠ABCB ．∠1=∠ACBC ．∠ABC =∠ACBD ．∠2=∠ABC 3．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．822-=B ．（﹣2x 2y ）3=﹣8x 5y 3C ．（﹣5）0=0D ．a 6÷a 3=a 24．一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为每件360元，则每件服装获利（ ）A ．168元B ．108元C ．60元D ．40元 5．如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2－4πB ．32－4πC ．2－8πD ．32－8π 6．如图,O 过点B 、C ，圆心O 在等腰t R ABC 的内部,=90BAC ∠︒，1OA =，6BC =，则O 的半径为（ ）A 13B ．13C ．6D ．137．如图，点A 在双曲线4y x=上，点B 在双曲线12y x =上，且//AB x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D 在BC 上且BD=2CD ，E ，F 分别在AB ，AC 上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x ，CF=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：BG CE =①；BG CE ⊥②；AM ③是AEG △的中线；EAM ABC ∠=∠④，其中正确结论的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）10．用360搜索关键词“一带一路”，为我们找到相关结果约18200000个．将18200000用科学记数法表示为__________________．11．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为_____cm2．12．由于换季，商场准备对进价为75元某商品打折出售，如果按标价的七五折销售，仍然可盈利10%，则该商品的标价为____元．13．如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE∶BE = 3∶2，且BF = 2，则DF = ．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移4个单位后与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点P，则k=________；△POA的面积为________．15．函数2y x bx c=++与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①240b c->；②3b＋c＋6＝0；③b ＋c ＋1＝0；④当1＜x ＜3时，()210x b x c +-+<．其中，结论正确的是______（只填正确结论的序号）．三、解答题(共75分)16．（6分）解不等式组3(2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并写出不等式组的非负整数解． 17．（7分）先化简，再求值：2262212x x x x x x x x --+÷---+-，其中x 23- 18．（10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ .(1)求证：BOQ EOP ∆≅∆；(2)求证：四边形BPEQ 是菱形；(3)若6AB =，F 为AB 的中点，9OF OB +=，求PQ 的长.19．（10分）西宁市教育局自实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，A ：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差；并将调查结果绘制成以下不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了名同学；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法列出所有等可能的结果，并求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．20．（10分）已知：甲、乙两车分别从相距200千米的A，B两地同时出发相向而行，其中甲车到B地后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．x=时，甲、乙两车离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y（千米）（2）当3与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．21．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45︒改为30，已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC 的长度；（结果保留根号）（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0．1米参考数据：2 1.41，3 1.73，6 2.45≈） 22．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝4，cosA ＝25，求DF 的长． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是()8,4．连接AC ，BC ．(1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC 的形状；(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts ，当t 为何值时，BPQ 的面积最大？(3)当抛物线的对称轴上有一点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点M 的坐标．参考答案：1．C2．B3．A4．C5．B6．A7．B8．D9．A10．71.8210⨯11．2π．12．11013．514．2215．②④16．0，117．32x--，318．(3)152 PQ=.19．（1）20（2）（3）12 20．（1）y ()1000298036022x x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）()4005=≤≤y x x ；（3）经过107或4小时，甲、乙两车相遇 21．（1）2米；（2）货物DEFG 不用挪走，见解析 22．（1）（22123．(1)21566y x x =-；直角三角形 (2)52(3)1520519(2M +或2520519(2M -或35519(2M 或45519(,2M。
2020届新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷(理科)(有答案)(已审阅)
新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．13．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．104．“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．2636．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x7．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣48．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．2109．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3πC．10+2πD．10+3π10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．11．球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．12．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．14．学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为．15．若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AEC1⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01 1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.12 1.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．20．在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上的动点，且|OM|2+|ON|2=8，过点M，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，C和B，D，且AB∥CD，求证直线AB的斜率为定值．21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅【考点】15：集合的表示法．【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A⊆B．故选：C．2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．3．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．4．“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵．反之不成立，可能0＞a＞b．故选：A．5．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．263【考点】EF：程序框图．【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263﹣105﹣105=53，即输出n值为53．故选：A．6．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故B满足条件；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．7．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（）A．﹣19 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z=﹣3x﹣y为y=﹣3x﹣z，由图可知，当直线z=﹣3x﹣y过点A（2，﹣1）时，z=﹣3x﹣y有最大值，最大值为﹣5．故选：C．8．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210【考点】7F：基本不等式．【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3πC．10+2πD．10+3π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，即可求出表面积．【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积．故选D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，则离心率e==，故选A．11．球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V O﹣ACM =V M﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．12．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．【解答】解：令，依题意，对任意k＞1，当x＞0时，y=f（x）图象在直线y=k（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增递减y=f（x）的大致图象：则当a=0时，∵f'（0）=2，∴当1＜k＜2时不成立；当a=﹣1时，设y=k0（x+1）与y=f（x）相切于点（x0，f（x0））．则，解得．∴，故成立，∴当a∈Z时，a max=﹣1．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵，∴，∵为单位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案为：．14．学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】六位老师值班每天两人的排法有种，求出满足要求的排法有42种，即可求出概率．【解答】解：六位老师值班每天两人的排法有种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有种，故共有42种．因此满足此要求的概率．故答案为．15．若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为3．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：由于点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d．又圆心C到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号．故|PQ|+|PC|得最小值为3．故答案为：3．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）=3．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，则a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=﹣31，a6=﹣63．∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到a2+b2﹣c2=﹣ab，由此利用余弦定理能求出．（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l=，由此能求出△ABC周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．∴由已知，得，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴，由0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．设周长为l，则==∵，∴2＜2sin（A+）+≤2+，∴△ABC周长的最大值为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AEC1⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；L Y：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取AC，AC1的中点O，F，推导出四边形OBEF是平行四边形，从而OB ∥EF．推导出OB⊥面ACC1A1，从而EF⊥平面ACC1A1，由此能证明平面AEC1⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别取AC，AC1的中点O，F，连结OB，OF，EF，则OF BE，∴四边形OBEF是平行四边形，∴OB∥EF．∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，ABC是正三角形，O是AC的中点，∴OB⊥面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）建立如图O﹣xyz空间直角坐标系，设AA1=AB=2，则，，设平面AEC的法向量为，平面AEC1的法向量为，则有，，得，设二面角C﹣AE﹣C1的平面角为θ，则．∴二面角C﹣AE﹣C1的平面角的余弦值为．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=ce dx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01 1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.12 1.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39．所以表中空格内的值为﹣0.39．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为y=0.24x﹣8.76．20．在平面直角坐标系xOy中，M，N是x轴上的动点，且|OM|2+|ON|2=8，过点M，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，C和B，D，且AB∥CD，求证直线AB的斜率为定值．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）求出M，N的坐标，利用|OM|2+|ON|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出CD的斜率，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设P（m，n），直线，令y=0，得，直线，令y=0，得．∴．∴曲线E的方程是；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，设，A（x A，y A），B（x B，y B），C （x C，y C），D（x D，y D），则（1﹣x A，1﹣y A）=λ（x C﹣1，y C﹣1），即x A=1+λ﹣λx C，y A=1+λ﹣λy C①，同理x B=1+λ﹣λx D，y B=1+λ﹣λy D②将A（x A，y A），B（x B，y B），代入椭圆方程得，化简得3（x A+x B）（x A﹣x B）=﹣4（y A+y B）（y A﹣y B）③把①②代入③，得3（2+2λ）（x C﹣x D）﹣3λ（x C+x D）（x C﹣x D）=﹣4（2+2λ）（y C﹣y D）+4λ（2+2λ）（y C+y D）（y C﹣y D）将C（x C，y C），D（x D，y D），代入椭圆方程，同理得3（x C+x D）（x C﹣x D）=﹣4（y C+y D）（y C ﹣y D）代入上式得3（x C﹣x D）=﹣4（y C﹣y D）．即，∴直线AB的斜率为定值21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（e﹣a），由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点，取，则，根据函数的零点存在定理讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）（lnx+a）（x＞0）．①当a=0时，f'（x）=2（x﹣1）lnx，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＞0．当x=1时，f'（x）=0．∴f（x）在（0，+∞）递增；②当a＞0时，令f'（x）=0，得，此时e﹣a＜1．易知f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，（1，+∞）递增；③当a＜0时，e﹣a＞1．易知f（x）在（0，1）递增，（1，e﹣a）递减，（e﹣a，+∞）递增．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，且，将x=e﹣a代入f（x），得，∵a＜﹣2，∴f（e﹣a）＜0．下面证明当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．首先，由不等式lnx＜x﹣1，∴，∴，∴．考虑到x2﹣2x=x（x﹣2）＜0，∴．再令，可解出一个根为，∵a＜﹣2，∴，∴，就取．则有f（x0）＜0．由零点存在定理及函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点．下面证明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，就取，则，∴，由不等式e x＞x+1，则e﹣a+a＞（﹣a+1）+a＞0，即f（x1）＞0．根据零点存在定理及函数单调性知f（x）在（e﹣a，+∞）上有一个零点．综上可知，f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即可讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立得，即可求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【解答】解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，∴当时，直线l与圆C有1个公共点；当时，直线l与圆C有2个公共点（Ⅱ）依题意，点P在以OA为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为．联立得．∴点P的轨迹与圆C相交所得弦长是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】5B：分段函数的应用；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；（Ⅱ）分与两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，其图象如图所示，易知y=f（x）图象与直线y=3交点坐标，所以围成区域的面积为 [1﹣（﹣1）]×（3﹣）=．（Ⅱ）当，即时，．所以，所以﹣a﹣1=1，解得a=﹣，满足题意；当，即时，，所以f（x）min=f（）=|+a|=+a=1，解得a=，满足题意；综上所述，或．。
新疆乌鲁木齐市2021届高三一模数学试题及答案(理科)
2021年新疆乌鲁木齐市高考数学第一次质检试卷（理科）（问卷）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|1≤x≤3}，则（）A．A⊇B B．A＝B C．A⊆B D．A∩B＝∅2．i为虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2﹣i3．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行4．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（）A．B．C．D．5．已知α为第一象限角，sinα﹣cosα＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为，若S m﹣1＝0，S m＝2，S m+1＝5，则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．57．函数与的图象关于直线l对称，则l可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝D．x＝8．在等比数列{a n}中，a1+a4＝9，a2•a3＝8，若a1•a2……•a n有最大值，则最大值为（）A．16 B．32 C．64 D．1289．定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，若f（e x）≥0，则x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，e] C．[1，+∞）D．（﹣1，0]10．设a＝log2e，b＝log3e，c＝ln3，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c11．设点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝120°，且|AF1|＝2|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．四面体ABCD的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点A，B，O作平面α，平面α截此四面体所得截面面积为，则球O的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π二、填空题（共4小题）.13．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为．14．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：t）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的α分位数为满足P（X≥zα）＝1﹣α的zα，则估计本例中z0.85＝．15．如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形．若∠BAE＝30°，设＝x+y，则xy的值为．16．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若的面积为，求它的周长．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是等边三角形，，M，N分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥MN；（Ⅱ）求二面角N﹣AM﹣C的正弦值．19．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买．（Ⅰ）求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；（Ⅱ）某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；（Ⅲ）请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损（每瓶的成本是2元）．20．已知椭圆的左、右集点分别为F1，F2，离心率，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点A为椭圆在第一象限上一点，过点F2作AF1的垂线交该椭圆于M，N两点，求四边形AMF1N面积的取值范围．21．设函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣kx2+1（其中k∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求实数k的值；（Ⅱ）当k≤1时，若函数f（x）在（﹣∞，k]上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣2ρsinθ+16＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若过曲线C2上任意一点M作曲线C1的切线，切点为N，求|MN|的最大值．23．已知a，b，c都是正数，且a2+b2+c2＝1，用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，M＝max．（Ⅰ）证明≥9；（Ⅱ）求M的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|1≤x≤3}，则（）A．A⊇B B．A＝B C．A⊆B D．A∩B＝∅解：设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|1≤x≤3}，则A集合包含B集合的所有元素，B集合是A集合的子集且是真子集，故A⊇B，故选：A．2．i为虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2﹣i解：复数z＝＝＝﹣2﹣i，∴复数z的共轭复数是＝﹣2+i．故选：C．3．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行解：A．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，因此不正确；B．垂直于同一平面的两条直线平行，正确；C．平行于同一直线的两个平面平行，不正确，两个平面可能相交；D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行，不正确，直线可能在平面内．故选：B．4．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（）A．B．C．D．解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0），因为点C（4，﹣4），所以16＝﹣2p×（﹣4），解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝﹣4y，点A（﹣3，y0）在抛物线上，所以9＝﹣4y0，解得y0＝﹣，所以|OA|＝|y0|＝，所以管柱OA的高度为m．故选：C．5．已知α为第一象限角，sinα﹣cosα＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．解：因为α为第一象限角，sinα﹣cosα＝，两边平方，可得1﹣sin2α＝，即sin2α＝，所以sinα+cosα＝＝＝＝，则cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα﹣sinα）＝×（﹣）＝﹣．故选：D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为，若S m﹣1＝0，S m＝2，S m+1＝5，则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵S m﹣1＝0，S m＝2，S m+1＝5，∴a m＝2，a m+1＝3，∴d＝3﹣2＝1，∴ma1+＝2，a1+m＝3，解得m＝4，故选：C．7．函数与的图象关于直线l对称，则l可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝D．x＝解：由题意：令，解得x＝π+2kπ，k∈Z，再令，解得x＝，又因为两个函数图象关于直线l对称，所以x＝，当k＝0时，对称轴l为：x＝，故选：D．8．在等比数列{a n}中，a1+a4＝9，a2•a3＝8，若a1•a2……•a n有最大值，则最大值为（）A．16 B．32 C．64 D．128解：∵a2•a3＝8，∴a1•a4＝a2•a3＝8，由，解得，或，即或，即a n＝2n﹣1，或a n＝24﹣n，当a n＝2n﹣1时，a n≥1，S n＝a1•a2……•a n为递增数列，无最大值，当a n＝24﹣n时，当n＜4时，a n＞1，S n递增，当n＞4时，a n＜1，S n递减，∴当n＝4时，a1•a2……•a n有最大值，最大值为S4＝64．故选：C．9．定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，若f（e x）≥0，则x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，e] C．[1，+∞）D．（﹣1，0]解：∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，f（e x）≥0，∴f（e x）≥f（1），∴e x≥1，解得x≥0，∴x的取值范围是：[0，+∞）．故选：A．10．设a＝log2e，b＝log3e，c＝ln3，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c解：∵log2e＞log22＝1，∴a＞1，∵0＝log31＜log3e＜log33＝1，∴0＜b＜1，∵ln3＞lne＝1，∴c＞1，∴b＜a，b＜c，又∵a＝log2e＝＝，∴＝ln2ln3＜＝＜＝1，∴c＜a，∴b＜c＜a．故选：B．11．设点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝120°，且|AF1|＝2|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．解：由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，∵|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1AF2＝＝＝cos120°，化简得，c＝a，∴离心率e＝＝．故选：D．12．四面体ABCD的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点A，B，O作平面α，平面α截此四面体所得截面面积为，则球O的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π解：将四面体ABCD放置在正方体中，如图，设正方体的棱长为a，则AB＝，取CD中点M，连接AM，BM，则△ABM为平面α截此四面体所得截面，由题意，，得a＝．∴正方体的对角线长为，则球O的半径为，可得球O的表面积为4π×．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为 6 ．解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；目标函数z＝2x﹣y可化为y＝2x﹣z，平移目标函数知，y＝2x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值；由，求得B（2，﹣2），所以z的最大值为z max＝2×2﹣（﹣2）＝6．故答案为：6．14．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：t）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的α分位数为满足P（X≥zα）＝1﹣α的zα，则估计本例中z0.85＝ 2.8 ．解：由题意可得z0.85就是满足P（X≥z0.85）＝0.15的横坐标的值．又4﹣4.5t的频率为0.5×0.04＝0.12；3.5﹣4t的频率为0.5×0.06＝0.03；3﹣3.5t的频率为0.5×0.10＝0.05；2.5﹣3t的频率为0.5×0.25＝0.125；所以z0.85落在2.5﹣3t之间，设z0.85距离3的距离为x，则0.5（0.04+0.06+0.1）+0.25x＝0.15，解得x＝0.2，所以z0.85＝3﹣x＝3﹣0.2＝2.8，故答案为：2.8．15．如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形．若∠BAE＝30°，设＝x+y，则xy的值为2+．解：设|EB|＝m，∠BAE＝30°，在三角形△ABE中，|AE|＝m，∴|EH|＝（﹣1）m＝|EF|，如图：＝（1+），＝＝，∴x＝2+，y＝1，∴xy＝2+．故答案为：2+．16．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．解：∵函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d在R上是增函数，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c≥0恒成立，∴a＞0且△＝4b2﹣12ac≤0，即b2≤3ac，∵存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c＝0有解，∴△＝4b2﹣12ac≥0，即b2≥3ac，∴b2＝3ac，且a＞0，∴＝＝，当b＝0时，此时＝0，当b≠0时，＝＝•，设＝t，则+＝t2+t＝（t+）2﹣≥﹣且≠0，∴∈（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞），即∈（﹣∞，﹣]∪（0，+∞），综上所述∈（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若的面积为，求它的周长．解：（Ⅰ）因为，由余弦定理可得＝＝＝，所以c＝2．（Ⅱ）因为c＝2，的面积为＝ab sin C＝ab，可得ab＝4，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣12，可得a+b＝4，可得△ABC的周长a+b+c＝4+2＝6．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是等边三角形，，M，N分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥MN；（Ⅱ）求二面角N﹣AM﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接OP、OB，因为AB＝BC，所以AC⊥OA，因为△PAC是等边三角形，所以AC⊥OP，所以AC⊥平面PBO，又PB⊂平面PBO，所以AC⊥PB，又因为M，N分别是BC，PC的中点，所以MN∥PB，所以AC⊥MN．（Ⅱ）解：因为平面PAC⊥平面ABC，PO⊥AC，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，由（Ⅰ）知OA、OB、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC＝4，则各点坐标如下：O（0，0，0），A（0，﹣2，0），M（1，1，0），N（0，1，），＝（1，3，0），＝（0，3，），设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），，令y＝﹣1，＝（3，﹣1，），平面AMC的法向量为＝（0，0，1），设二面角N﹣AM﹣C的大小为θ，则cosθ＝＝，于是sinθ＝＝．故二面角N﹣AM﹣C的正弦值为．19．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买．（Ⅰ）求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；（Ⅱ）某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；（Ⅲ）请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损（每瓶的成本是2元）．解：（Ⅰ）记“每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖”为事件A，则P（A）＝＝＝．（Ⅱ）前三天促销活动中共开＝365箱饮料，依题意，X～B（365，），故抽中奖的箱数X的数学期望为365×＝219（箱）．（Ⅲ）设每瓶的售价定为a元，则前3天全部销售额为730a元，总成本为730×2＝1460元，设每个人获奖金额为Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝10）＝＝，P（Y＝20）＝＝，P（Y＝30）＝＝，故E（Y）＝0×+10×+20×+30×＝10，故前3天用于中奖消费金额为365×10＝3650元，若想前3天不亏损，则730a≥1460+3560，解得a≥7，故每瓶售价至少7元．20．已知椭圆的左、右集点分别为F1，F2，离心率，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点A为椭圆在第一象限上一点，过点F2作AF1的垂线交该椭圆于M，N两点，求四边形AMF1N面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得，解得a＝2，b＝，c＝1，即椭圆的标准方程为+＝1；（Ⅱ）当MN垂直于x轴时，四边形AMF1N的面积取得最大，由x＝1代入椭圆方程，可得M（1，），N（1，﹣），故|MN|＝3，|AF1|＝3，则四边形AMF1N的面积为×3×3＝；当MN与x轴平行时，四边形AMF1N的面积最小，则A（1，），四边形AMF1N的面积为三角形MNA的面积，S＝××4＝3，故四边形AMF1N的面积的取值范围是[3，]．21．设函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣kx2+1（其中k∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求实数k的值；（Ⅱ）当k≤1时，若函数f（x）在（﹣∞，k]上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝xe x﹣2kx，依题意，f′（1）＝e﹣2k＝0，则，经验证，当时，符合题意；（Ⅱ）显然f（0）＝0，令f′（x）＝0，则x1＝0，x2＝ln（2k）（k＞0），①若k≤0，而x∈（﹣∞，k]，故x≤0，此时f′（x）＝x（e x﹣2k）＜0，∴f（x）在（﹣∞，k]上单调递减，不可能有两个零点，不合题意；②当k∈（0，1]时，（i）若，此时f（x）在（﹣∞，ln（2k））上单调递增，在（ln（2k），0）上单调递减，在（0，k]上单调递增，而x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，f（x）＝0有两个解且f（0）＝0符合条件；（ii）若，f′（x）＝x（e x﹣1），此时f（x）在（﹣∞，k]上单调递增，不合题意；（iii）若，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，ln（2k））上单调递减，在（ln（2k），k）上单调递增，而f（0）＝0，故需f（k）≥0，即，设，则φ′（x）＝xe x﹣3x2＝x（e x﹣3x），令，则F′（x）＝e x﹣3在上小于0恒成立，∴F（x）在上单调递减，又F（x）≥F（1）＝e﹣3＜0，，故存在，使得F（x）＝0，则φ（x）在上单调递增，在（x0，1]上单调递减，又，∴φ（x）＞0在上恒成立，即符合条件．综上，实数k的取值范围为．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣2ρsinθ+16＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若过曲线C2上任意一点M作曲线C1的切线，切点为N，求|MN|的最大值．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），设t＝tanθ，所以，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣2ρsinθ+16＝0，根据，转换为直角坐标方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝1．（Ⅱ）MN为曲线C1的切线，由勾股定理得：，其中C1（0，1），设M（4+cosθ，1+sinθ），所以，当cosθ＝1时，最大，且最大值为25．所以，故．23．已知a，b，c都是正数，且a2+b2+c2＝1，用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，M＝max．（Ⅰ）证明≥9；（Ⅱ）求M的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：∵a2+b2+c2＝1，∴＝＝≥＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立，故≥9；（Ⅱ）解：由题意，M，M，M，∴＝（a2+b2+c2）+（）+2（）≥1+9+2×＝16，当且仅当a＝b＝c时上式等号成立．∴M，即M的最小值为．。
【附20套高考模拟试题】2020届新疆乌鲁木齐七十中高考数学模拟试卷含答案
2020届新疆乌鲁木齐七十中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．323B ．163C ．83D ．433．已知函数()2sin f x x ω=(0)>ω在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是增函数，其在区间[0,]π上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．35,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-5．当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1A C 上运动时，异面直线BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ）A．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知命题p：“,a b a b∀>>”，命题q：“00,20xx∃”，则下列为真命题的是（）A．p q∧B．p q⌝∧⌝C．p q∨D．p q∨⌝7．已知函数()()2ln3,21={21,1x xf xx x x-+-<≤---+>-，且()()212222f a a-+<()()2112142f a a---，则实数a的取值范围为（）A．()2,4B．()4,14C．()2,14D．()4,+∞8．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图，在区域：224x y+≤内取一点，则该点恰好取自阴影部分（阴影部为“224x y+≤”与“22(1)(1)2x y-+-≤”的公共部分）的概率是（）A．1122π-B．11π-C．21π-D．1122π+10．已知单位向量12,e eu r u u r的夹角为θ，且tan22θ=1223m e e=-u r u r u u r，则||m=u r（）A．9 B．10 C．3 D1011．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%12．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新疆乌鲁木齐市2020版数学中考一模试卷C卷
新疆乌鲁木齐市2020版数学中考一模试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列计算正确的是（）A . 3a2﹣a2=3B . a6÷a2=a3C . （a2）3=a5D . a2•a3=a52. （2分） (2016·济南) 京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美，下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）如图是一个立体图形的二视图，根据图示的数据求出这个立体图形的体积是（）A . 24πcm3B . 48πcm3C . 72πcm3D . 192πcm34. （2分）为纪念雷锋逝世52周年暨毛主席号召“向雷锋同志学习”49周年，育才中学举行了“学雷锋”演讲比赛．下面是8位评委为其中一名参赛者的打分：9.4，9.6，9.8，9.9，9.7，9.9，9.8，9.5．若去掉一个最高分，一个最低分，这名参赛者的最后得分是（）A . 9.70B . 9.72C . 9.74D . 9.685. （2分）一个函数的图象如图，给出以下结论：①当x=0时，函数值最大；②当0＜x＜2时，函数y随x的增大而减小；③存在0＜x0＜1，当x=x0时，函数值为0．其中正确的结论是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③6. （2分）方程−＝0的解是（）A . 5B . 4C . 6D . 87. （2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A . 60°B . 30°C . 40°D . 50°8. （2分）(2017·丹东模拟) 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若 =2，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2020七下·定兴期末) 下列每对数值中是方程x-3y=1的解的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017八上·临颍期中) 如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共10题；共10分)11. （1分）(2020·官渡模拟) 庚子新春，一场突如其来的新冠肺炎疫情肆虐湖北。
新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷
新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）下列各组数中，互为相反数的是（）A . ﹣2与|﹣2|B . ﹣2与﹣|﹣2|C . ﹣2与﹣D . 2与|﹣2|2. （2分）(2020·北京模拟) 港珠澳大桥作为世界首例集桥梁、隧道和人工岛于一体的超级工程，创下了多项“世界之最”．它是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．其中，数字6700用科学记数法表示为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020八下·厦门期末) 下列运算结果不为零的是（）A . 3×0B . 0÷3C . 3－│－3 │D . 304. （2分）(2017·娄底) 如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（）A . 30°B . 25°C . 20°D . 15°5. （2分） (2019八上·朝阳期中) 如图，在数轴上标注了四段范围，则表示的点落在第段。
（）A . ①B . ②C . ③D . ④6. （2分）如果不等式组只有一个整数解，那么a的范围是（）A . 3＜a≤4B . 3≤a＜4C . 4≤a＜5D . 4＜a≤57. （2分）(2017·河北) 若 =____+ ，则横线上的数是（）A . ﹣1B . ﹣2C . ﹣3D . 任意实数8. （2分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A . 10cm2B . 5π cm2C . 10π cm2D . 20π cm29. （2分）(2016·台湾) 有一个三位数8□2，□中的数字由小欣投掷的骰子决定，例如，投出点数为1，则8□2就为812．小欣打算投掷一颗骰子，骰子上标有1～6的点数，若骰子上的每个点数出现的机会相等，则三位数8□2是3的倍数的机率为何？（）A .B .C .D .10. （2分） (2019九上·农安期末) 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC ＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）正方形具备而菱形不具备的性质是（）A . 四条边都相等B . 四个角都是直角C . 对角线互相垂直平分D . 每条对角线平分一组对角12. （2分）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，与各边分别相切于点E、F、G、H，则∠1的正切值等于（）A .B .C . 1D . 213. （2分） (2018九上·通州期末) 如图，⊙ 的半径为4.将⊙ 的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心 .则折痕AB的长为（）A .B .C .D .14. （2分）如图二次函数的图象与轴交于（– 1，0），（3，0）；下列说法正确的是（）A .B . 当时，y随x值的增大而增大C .D . 当时，二、填空题 (共5题；共6分)15. （1分）(2020·仙居模拟) 因式分解：a2-4=________。
新疆乌鲁木齐市2020版数学中考一模试卷D卷
新疆乌鲁木齐市2020版数学中考一模试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2012·来宾) 在下列平面图形中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019九上·滦南期中) 若x=-1是关于x的一元二次方程ax2-bx-2018=0的一个解，则1+a+b的值是（）A . 2016B . 2017C . 2018D . 20193. （2分） (2019九上·温州月考) 下列事件中，属于随机事件的是（）A . 上抛的硬币会落下B . 太阳从西边升起C . 明年元旦是晴天D . 一匹马的奔跑速度是700米／秒4. （2分） (2019九下·象山月考) 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，BD，OD，OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）A . 120°B . 105°C . 100°D . 110°5. （2分）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（）A . 抛物线开口方向向下B . 当x=5时，函数有最大值C . 抛物线可由经过平移得到D . 当x＞5时，y随x的增大而减小6. （2分）(2019·玉林模拟) 在学校乒乓球比赛中，从甲、乙、丙、丁这四人中，随机抽签一组对手，正好抽到乙与丁的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）已知反比例函数，在每个象限内y随着x的增大而增大，点P（a－1， 2）在这个反比例函数上，a的值可以是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A . 289（1﹣x）2=256B . 256（1﹣x）2=289C . 289（1﹣2x）2=256D . 256（1﹣2x）2=2899. （2分） (2019九上·泰山期末) 如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3 ，则（）A . S1＜S2＜S3B . S2＜S1＜S3C . S3＜S1＜S2D . S1＝S2 ＝S310. （2分）(2019·定远模拟) 如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB ，则PB+ PD的最小值为（）A .B . 2C .D .11. （2分）如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE=（）．A . 90°B . 85°C . 80°D . 40°12. （2分）如图，直线y=﹣ x+4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转，点A在x轴上，得到△A′O′B，则点O′的坐标是（）A . （﹣2，2 ）B . （6，2 ）C . （2，2 ）D . （﹣6，2 ）二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2019九上·高安期中) 方程的解为________．14. （1分）(2020·北京模拟) 已知函数满足下列两个条件：①当时，随的增大而减小；②它的图象经过坐标原点，请写出一个符合上述条件的函数的表达式________．15. （1分） (2019九上·萧山期中) 正方形ABCD是半径为10的圆内接正方形，则正方形的周长为________．16. （1分） (2019八下·邵东期末) 如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，则BD=________．17. （1分）(2019·松桃模拟) 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.18. （1分） (2018九上·新乡期末) 抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是________．三、解答题 (共8题；共88分)19. （10分） (2020八下·合肥月考) 解方程：（1）（因式分解法）（2）（公式法）20. （15分）(2018·惠山模拟) 今年4月23日是第23个“世界读书日”，也是江苏省第四个法定的全民阅读日。
新疆乌鲁木齐市数学中考一模试卷
第 1 页 共 11 页 新疆乌鲁木齐市数学中考一模试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 选择题 (共10题；共20分) 1. （2分） (2019七上·淮安月考) 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A . ﹣（﹣2） B . |﹣2| C . ﹣22 D . （﹣2）2 2. （2分） (2020·济源模拟) 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A . B . （﹣2x2y）3=﹣8x5y3 C . （﹣5）0=0 D . a6÷a3=a2
3. （2分） (2017八下·简阳期中) 如图，函数y=k（x+1）与y= 在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）
A . B . C . D . 4. （2分） (2020九上·安徽月考) 如图， ， ， ，若 与 第 2 页 共 11 页
相似，则 的长（ ） A . 或 B . 或 C .
D . 5. （2分） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB的大小为（ ）
A . 30º B . 45º C . 50º D . 60º
6. （2分） (2019八下·焦作期末) 要使分式 的值为零，则x的取值应满足（ ） A . B . C . D . 7. （2分） 我市五月份连续五天的最高气温分别为23、20、20、21、26(单位: ),这组数据的中位数和众数分别是（ ） A . 22,26 B . 22,20 C . 21,26 D . 21,20
8. （2分） 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD= ，则△ABC的边长为（ ） 第 3 页 共 11 页
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 9. （2分） “绿水青山就是金山银山”.为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务.设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是（ ）